第8章 8.2.2 函数的实际应用（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（苏教版）

本讲义聚焦函数的实际应用核心知识点，系统梳理一次、二次、指数、对数等常见函数模型，构建审题、建模、求模、还原四步解决实际问题的学习支架，帮助学生从模型认知过渡到实际应用。 该资料以问题驱动引导学生用数学眼光观察现实，通过经济、环境等案例培养数学思维，分层练习助力课后查漏补缺，建模与数据分析提升数学语言表达能力，课中辅助教学，课后帮助学生巩固知识。

8.2.2　函数的实际应用 学习目标　1.能利用已知函数模型求解实际问题.2.能根据实际需要构建指数函数或对数函数模型解决实际问题. 导语 我们知道，函数是描述客观世界变化规律的数学模型，不同的变化规律需要用不同的函数模型来刻画，当面临一个实际问题时，该如何选择恰当的函数模型来刻画它呢？ 一、实际问题中的函数模型建立 问题1　你能写出几种函数模型？ 提示　 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)=ax+b(a，b为常数，a≠0) 反比例函数模型 f(x)=+b(k，b为常数且k≠0) 二次函数模型 f(x)=ax2+bx+c(a，b，c为常数，a≠0) 指数函数模型 f(x)=bax+c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) 对数函数模型 f(x)=blogax+c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) 幂函数模型 f(x)=axα+b(a，b，α为常数，a≠0) 三角函数模型 y=Asin(ωx+φ)+B，y=Acos(ωx+φ)+B，y=Atan(ωx+φ)+B(A，B，ω，φ为常数，A≠0，ω≠0) 问题2　应用函数模型解决问题的基本过程是什么？ 提示　(1)审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型. (2)建模——将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相应的数学模型. (3)求模——求解数学模型，得出数学模型. (4)还原——将数学结论还原为实际问题. 例1　(课本例3)某计算机集团公司生产某种型号计算机的固定成本为200万元，生产每台计算机的可变成本为3 000元，每台计算机的售价为5 000元.分别写出总成本C(单位：万元)、单位成本P(单位：万元)、销售收入R(单位：万元)以及利润L(单位：万元)关于总产量x(单位：台)的函数关系式. 解　总成本与总产量的关系为 C=200+0.3x，x∈N*. 单位成本与总产量的关系为 P=+0.3，x∈N*. 销售收入与总产量的关系为 R=0.5x，x∈N*. 利润与总产量的关系为 L=R-C=0.2x-200，x∈N*. 例1　某地规划对一片面积为a的沙漠进行治理，每年治理面积占上一年底沙漠面积的百分比均为x(0<x<1).当治理面积达到这片沙漠面积的一半时，正好用了10年时间. (1)求x的值； (2)若今年初这片沙漠面积为原沙漠面积的按照规划至少还需多少年，使剩余沙漠面积至多为原沙漠面积的？ 解　(1)由于每年治理面积占上一年底沙漠面积的百分比均为x(0<x<1)， 则a(1-x)10=a，即(1-x)10= 解得x=1-. (2)设从今年开始，还需治理n年， 则n年后剩余面积为a(1-x)n， 令a(1-x)n≤a，即(1-x)n≤ ≤≥ 解得n≥15， 故至少还需治理15年. 反思感悟　与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题意，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答. 跟踪训练1　某化工厂生产一种溶液的成品，生产过程的最后工序是过滤溶液中的杂质，过滤初期溶液含杂质2%，每经过一次过滤均可使溶液杂质含量减少一半，记过滤次数为x(x∈N*)，此时溶液杂质含量为y， (1)分别求出过滤1次、过滤2次后的溶液杂质含量y1，y2的值； (2)写出y与x的函数关系式(要求写出定义域)； (3)按市场要求，出厂成品杂质含量不能超过0.02%，问至少经过几次过滤才能使产品达到市场要求？(参考数据：lg 2≈0.301) 解　(1)过滤1次后， 溶液杂质含量y1=×=0.01=1%， 过滤2次后，溶液杂质含量 y2=××=0.005=0.5%. (2)因为每经过一次过滤均可使溶液杂质含量减少一半， 所以过滤次数为x(x∈N*)时溶液杂质含量 y=2%×=×x∈N*. (3)设至少应过滤x次才能使产品达到市场要求，则×≤0.02%， 即≤所以x≥=≈6.6， 又x∈N*，所以x≥7， 即至少应过滤7次才能使产品达到市场要求. 二、应用已知函数模型解决实际问题 例2　人们通常以分贝(符号是dB)为单位来表示声强级，其中0 dB是人们能听到的最低声强对应的声强级.一般地，如果声强为x的声音对应的等级为f(x)dB，则有f(x)=alg(a为常数).已知人正常说话时的声强级约为60 dB，嘈杂的马路声的声强级约为90 dB，而90 dB对应的声强是60 dB对应的声强的1 000倍. (1)求函数f(x)的解析式； (2)若某种喷气式飞机起飞时，声强级约为150 dB，计算该种喷气式飞机起飞时的声强是人正常说话时声强的多少倍？ 解　(1)设90 dB对应的声强是x1，60 dB对应的声强是x2， 则=1 000， 所以 所以30=alg 所以30=3a，所以a=10， 所以f(x)=10lgx∈(0，+∞). (2)设喷气式飞机起飞时的声强为x3， 所以 所以9=lg所以=109， 故喷气式飞机起飞时的声强是人正常说话时声强的109倍. 反思感悟　利用已知函数模型解决实际问题 (1)首先确定已知函数模型解析式中的未知参数. (2)利用已知函数模型相关的运算性质、函数性质解决实际问题. (3)涉及较为复杂的指数运算时，常常利用等式的两边取对数的方法，将指数运算转化为对数运算. 跟踪训练2　Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域，有学者根据公布数据建立了某地区流行感冒累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：I(t)=其中K为最大确诊病例数.当I(t*)=0.9K时，标志着已初步得到遏制，则t*约为(注：e为自然对数的底数，ln 9≈2.2)(　　) A.60 B.62 C.66 D.69 答案　B 解析　∵I(t*)==0.9K， ∴1+== 则-0.24(t*-53)=ln=-ln 9≈-2.2， 解得t*≈62. 1.知识清单： (1)建立函数模型解决实际问题. (2)应用已知函数模型解决实际问题. 2.方法归纳：转化法. 3.常见误区：对函数拟合效果的分析不能做出正确选择. 课时对点练 [分值：80分] 单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共12分 1.某种产品今年的产量是a，如果保持5%的年增长率，那么经过x年(x∈N*)，该产品的产量y满足(　　) A.y=a(1+5%x) B.y=a+5% C.y=a(1+5%)x-1 D.y=a(1+5%)x 答案　D 解析　今年产量为a，经过1年后产量为y=a(1+5%)，经过2年后产量为y=a(1+5%)2，依此类推，经过x年后产量为y=a(1+5%)x. 2.“道高一尺，魔高一丈”出自《西游记》第五十回用来比喻取得一定成就后遇到的障碍会更大，也比喻正义终将战胜邪恶，若用下列函数中的一个来表示这句话的含义，则最合适的是(注：1丈=10尺)(　　) A.y=10x，x>0 B.y=x，x>0 C.y=x+10，x>0 D.y=x+9，x>0 答案　A 解析　因为一丈等于十尺，所以“道高一尺，魔高一丈”更适合用y=10x，x>0来表示. 3.某工厂采用高科技改革，在两年内产值的月增长率都是a，则这两年内第二年某月的产值比第一年相应月产值的增长率为(　　) A.a12-1 B.(1+a)12-1 C.a D.a-1 答案　B 解析　不妨设第一年1月份的产值为b，则2月份的产值为b(1+a)，3月份的产值为b(1+a)2，依此类推，第二年1月份产值是b(1+a)12.由增长率的概念知，这两年内的第二年某月的产值比第一年相应月产值的增长率为=(1+a)12-1. 4.某公司2024一整年的奖金有如下四种方案可供员工选择(奖金均在年底一次性发放). 方案1：奖金10万元； 方案2：前半年的半年奖金4.5万元，后半年的半年奖金为前半年的半年奖金的1.2倍； 方案3：第一个季度奖金2万元，以后每一个季度的奖金均在上一季度的基础上增加5 000元； 方案4：第n个月的奖金=基本奖金7 000元+200n元. 如果你是该公司员工，你选择的奖金方案是(　　) A.方案1 B.方案2 C.方案3 D.方案4 答案　C 解析　方案2：所得奖金为 4.5+4.5×1.2=9.9(万元)， 方案3：所得奖金为 2+(2+0.5)+(2+1)+(2+1.5)=11(万元)， 方案4：所得奖金为 (7 000+200)+(7 000+200×2)+…+(7 000+200×12)=99 600(元)=9.96(万元). 所以应选方案3. 5.一位报刊推销员从报社买进报纸的价格是每份2元，卖出的价格是每份3元，卖不完的还可以以每份0.8元的价格退回报社.在一个月(以30天计算)内有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，且每天从报社买进报纸的份数都相同，要使推销员每月所获得的利润最大，则应该每天从报社买进报纸(　　) A.215份 B.350份 C.400份 D.520份 答案　C 解析　设每天从报社买进x(250≤x≤400，x∈N)份报纸时，每月所获利润为y元，具体情况如表， 数量/份 单价/元 金额/元 买进 30x 2 60x 卖出 20x+10×250 3 60x+7 500 退回 10(x-250) 0.8 8x-2 000 则y=[(60x+7 500)+(8x-2 000)]-60x =8x+5 500(250≤x≤400，x∈N). 因为y=8x+5 500在[250，400]上单调递增， 所以当x=400时，y取得最大值8 700， 即每天从报社买进400份报纸时，每月获得的利润最大，最大利润为8 700元. 6.(多选)小菲在学校选修课中了解到艾宾浩斯遗忘曲线，为了解自己记忆一组单词的情况，她记录了随后一个月的有关数据，绘制图象，拟合了记忆保持量f(x)与时间x(天)之间的函数关系f(x)=则下列说法正确的是(　　) A.随着时间的增加，小菲的单词记忆保持量降低 B.第一天小菲的单词记忆保持量下降最多 C.9天后，小菲的单词记忆保持量低于40% D.26天后，小菲的单词记忆保持量不足20% 答案　ABC 解析　由函数解析式可知f(x)随着x的增大而减小，故A正确；由图象可得B正确；当1<x≤30时，f(x)=+则f(9)=+×=0.35，即9天后，小菲的单词记忆保持量低于40%，故C正确；f(26)=+×2>故D错误. 7.(5分)交通信号灯由红灯、绿灯、黄灯组成，红灯表示禁止通行，绿灯表示准许通行，黄灯表示警示，黄灯设置的时长与路口宽度、限定速度、停车距离有关.经过安全数据统计，驾驶员反应距离S1(单位：m)关于车速v(单位：m/s)的函数模型为S1=0.758 4v；刹车距离S2(单位：m)关于车速v(单位：m/s)的函数模型为S2=0.072v2，反应距离与刹车距离之和称为停车距离，在某个十字路口标示小汽车最大限速v=50 km/h(约14 m/s)，路口宽度为30 m，如果只考虑小车通行安全，黄灯亮的时间是允许最大限速的车辆离停车线距离小于停车距离的汽车通过十字路口，那么信号灯的黄灯至少要亮　　　　s(保留两位有效数字).  答案　3.9 解析　依题意，当小汽车最大限速v=50 km/h(约14 m/s)时， 反应距离S1=0.758 4×14=10.617 6(m)，刹车距离S2=0.072×142=14.112(m)， 所以停车距离为10.617 6+14.112=24.729 6(m)， 又路口宽度为30 m， 所以s=24.729 6+30=54.729 6(m)， 所以时间t==≈3.9(s). 8.(5分)物理学中，声衰减是声波在介质中传播时其强度(声强)随着传播距离的增加而逐渐减弱的现象.一般地，声衰减遵从指数规律，即声强I(单位：瓦/平方米)与传播距离x(单位：米)之间的函数关系为I=I0eαx，其中I0为初始声强，α为常数.若某声波传播2米时，声强减小了30%，则声强减小80%时，传播距离大约为　　　　米.(结果保留整数，参考数据：lg 2≈0.301，lg 7≈0.845)  答案　9 解析　由题意得，I0e2α=(1-30%)I0， 即e2α=0.7. 设当声波传播x米时，声强减小80%， 则I0eαx=(1-80%)I0，即eαx=0.2， ∴(eαx)2=0.22， ∵(eαx)2=(e2α)x， ∴0.7x=0.22，即lg 0.7x=lg 0.22， ∴xlg 0.7=2lg 0.2，即x(lg 7-1)=2(lg 2-1)， ∴x=≈9. 9.(10分)科学家发现某种特别物质的温度y(单位：摄氏度)随时间x(单位：分钟)的变化规律满足关系式：y=m·2x+21-x(0≤x≤4，m>0). (1)若m=2，求经过多少分钟，该物质的温度为5摄氏度？(4分) (2)如果该物质温度总不低于2摄氏度，求m的取值范围.(6分) 解　(1)由题意，得m=2， 令y=2·2x+21-x=2·2x+=5， 解得x=1(负值舍去)， 因此，经过1分钟，该物质的温度为5摄氏度. (2)由题意得m·2x+21-x≥2对一切0≤x≤4恒成立， 则由m·2x+21-x≥2， 得m≥- 令t=2-x， 则≤t≤1，且m≥2t-2t2， 构造函数f(t)=2t-2t2=-2+ 所以当t=时，函数f(t)取得最大值 则m≥. 因此，实数m的取值范围是. 10.(13分)某蔬菜种植基地共有蔬菜种植大棚100个，用于种植普通蔬菜，平均每个大棚年收入为10万元.为适应市场需求，提高收益，决定调整原种植方案，将x(10≤x≤32，x∈N*)个大棚改种速生蔬菜，其余大棚继续种植普通蔬菜.经测算，调整种植方案后，种植普通蔬菜的每个大棚年收入比原来提高2.5x%，种植速生蔬菜的每个大棚年收入为万元. (1)当m=20时，要使蔬菜种植大棚全年总收入不少于原来的140%，求x的取值范围；(6分) (2)当22<m<23时，求蔬菜种植大棚全年总收入的最大值.(7分) 解　(1)当m=20时，设种植速生蔬菜和普通蔬菜的收入分别为y1，y2， 则y1=x(10≤x≤32，x∈N*)， y2=(100-x)(10+10×0.025x)=(100-x)(10+0.25x) =-x2+15x+1 000(10≤x≤32，x∈N*). 要使蔬菜种植大棚全年总收入不少于原来的140%， 则y1+y2≥100×10×140%， 所以x-x2+15x+1 000≥1 400， 化简得x2-56x+640≤0， 即(x-40)(x-16)≤0， 解得16≤x≤40，又因为10≤x≤32，x∈N*， 所以16≤x≤32，x∈N*. (2)设蔬菜种植大棚全年总收入为Z(x)万元， 所以Z(x)=x-x2+15x+1 000 =-x2+(m+15)x+1 000=-+(m+15)2+1 000(10≤x≤32，x∈N*)， 当22<m<23时(m+15)∈(29.6，30.4)， 所以当x∈时，函数单调递增； 当x∈时，函数单调递减， 又当x=29时，Z(29)=29m+909.375； 当x=30时，Z(30)=30m+887.5； 当x=31时，Z(31)=31m+864.375， 所以当22<m<23时，Z(30)-Z(29)=m-21.875>0，所以Z(30)>Z(29)， Z(31)-Z(30)=m-23.125<0，所以Z(30)>Z(31)，所以Z(30)最大， 所以当x=30时，蔬菜种植大棚全年总收入最大，为(30m+887.5)万元. 11.(多选)“学习曲线”可以用来描述学习达到某一水平所需的学习时间，假设“学习曲线”符合函数t=5log2其中B为常数，N(单位：字)表示某一英文词汇量水平，t(单位：天)表示达到这一英文词汇量所需要的学习时间.已知李明练习达到40个词汇量需要10天，则下列判断正确的是(　　) A.B=20 B.t=5log2(N>0) C.他学习22天，能掌握160个词汇量 D.若他学习时间大于30天，则他的词汇量大于640字 答案　BD 解析　把t=10，N=40代入t=5log2可得10=5log2解得B=10，所以t=5log2(N>0)，故选项A错误，B正确； 对于C，当N=160时，t=5log2=5log216=20(天)，故选项C错误； 对于D，当t>30时，5log2>30，解得N>640，所以李明学习时间大于30天，则他的词汇量大于640字，故选项D正确. 12.根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分钟)为f(x)=(A，c为常数).已知工人组装第4件产品用时30 min，组装第A件产品用时15 min，那么c和A的值分别是(　　) A.75，25 B.75，16 C.60，25 D.60，16 答案　D 解析　由题意知，组装第A件产品所需时间为=15，故组装第4件产品所需时间为=30， 解得c=60.将c=60代入=15，得A=16. 13.(5分)某工厂产生的废气必须经过过滤后排放，规定排放时污染物的残留含量不得超过原污染物总量的0.01%.已知在过滤过程中的污染物的残留数量P(单位：毫克/升)与过滤时间t(单位：小时)之间的函数关系为P=P0·ekt(其中e是自然对数的底数，k为常数，P0为原污染物总量).若前4个小时废气中的污染物被过滤掉了80%，则k=　　　　　　；要能够按规定排放废气，还需要过滤n小时，则正整数n的最小值为　　　　　.(参考数据：log52≈0.43)  答案　-ln 5　19 解析　当t=4时，P=P0·e4k=(1-80%)P0， 解得k=-； P=P0·≤0.01%P0， 即-(n+4)≤-4ln 10， 即n≥-4=16(1+log52)-4≈18.88. 故正整数n的最小值为19. 学科网（北京）股份有限公司 $