第7章 §7.4 三角函数应用（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（苏教版）

本讲义核心围绕三角函数模型解决实际问题，衔接三角函数图象与性质，系统梳理物理中简谐运动（弹簧振子、单摆）及生活中潮汐、摩天轮等周期性现象的建模方法，搭建从数据到函数解析式的学习支架。 通过弹簧振子数据表分析、水轮高度函数建模等真实情境，引导学生用数学眼光抽象周期规律，通过参数计算培养数学思维，以函数表达解决问题提升数学语言能力。课中助力教师落实应用教学，课后练习帮助学生巩固查漏。

学习目标　1.通过构建三角函数模型，尝试解决物理中的简单问题.2.会用三角函数解决简单的实际问题. 导语 现实世界中，许多事物的运动、变化呈现出一定的周期性，例如，地球的自转引起的昼夜交替变化和公转引起的四季交替变化；海水在月球和太阳引力下发生的涨落现象；做简谐运动的物体的位移变化；人体在一天中血压、血糖浓度的变化等等，如果某种变化着的现象具有周期性，那么它可以借助三角函数来描述，利用三角函数的图象和性质解决相应的实际问题，今天，我们就一起来探究如何构建三角函数模型解决实际问题. 一、三角函数模型在物理中的应用 问题　某个弹簧振子(简称振子)在完成一次全振动的过程中，时间t(单位：s)与位移y(单位：mm)之间的对应数据如下表所示.试根据这些数据确定这个振子的位移关于时间的函数解析式. t 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 y -20.0 -17.8 -10.1 0.1 10.3 17.7 20.0 t 0.35 0.40 0.45 0.50 0.55 0.60 y 17.7 10.3 0.1 -10.1 -17.8 -20.0 提示　振子的振动具有循环往复的特点，由振子振动的物理学原理可知，其位移y随时间t的变化规律可以用函数y=Asin(ωt+φ)来刻画. 根据已知数据作出散点图，如图所示. 由数据表和散点图可知，振子振动时位移的最大值为20 mm，因此A=20；振子振动的周期为T=0.6 s，即=0.6，解得ω=；再由初始状态(t=0)振子的位移为-20，可得sin φ=-1，因此φ=-.所以振子的位移关于时间的函数解析式为y=20sint∈[0，+∞). 知识梳理　简谐运动 简谐运动(单摆、弹簧振子等)是一种周期运动，其运动规律可以用三角函数表达为y=Asin(ωx+φ)，其中，x表示时间，y表示相对于平衡位置的偏离； (1)A表示物体运动时离开平衡位置的最大距离，称为振幅； (2)往复运动一次所需的时间T=称为这个运动的周期； (3)单位时间内往复运动的次数f==称为运动的频率； (4)ωx+φ称为相位，x=0时的相位φ称为初相位. 注意点：如果A<0或ω<0，应先利用诱导公式把函数进行标准化，把A和ω的符号化为正数以后再确定相位和初相位. 例1　(课本例1)在图中，点O为做简谐运动的物体的平衡位置，取向右的方向为物体位移的正方向.已知振幅为3 cm，周期为3 s，且物体向右运动到距平衡位置最远处时开始计时.求： (1)物体对平衡位置的位移x(单位：cm)和时间t(单位：s)之间的函数关系； (2)该物体在t=5 s时的位置. 解　(1)设x和t之间的函数关系为x=3sin(ωt+φ)(ω>0，0≤φ<2π). 则由T==3，可得ω=. 当t=0时，有x=3sin φ=3，即sin φ=1. 又0≤φ<2π，可得φ=. 因此所求函数关系为x=3sin即x=3cost. (2)令t=5，得x=3cos=-1.5，故该物体在t=5 s时的位置是在O点的左侧且距O点1.5 cm处. 例1　一根细线的一端固定，另一端悬挂一个小球，小球来回摆动时，离开平衡位置的位移s(单位：厘米)与时间t(单位：秒)的函数关系是s=6sin. (1)画出它在一个周期内的图象； (2)回答以下问题： ①小球开始摆动(t=0)时，离开平衡位置多少厘米？ ②小球摆动时，离开平衡位置的最大距离是多少厘米？ ③小球来回摆动一次需要多少时间？ 解　(1)周期T==1(秒).列表： 2πt+ π 2π 2π+ t 0 1 6sin 3 6 0 -6 0 3 描点画图，如图所示. (2)①当t=0时，s=6sin=3，故小球开始摆动(t=0)时，离开平衡位置3 厘米. ②小球摆动时离开平衡位置的最大距离是6厘米. ③小球来回摆动一次需要1 秒(即周期). 反思感悟　处理物理学问题的策略 (1)常涉及的物理学问题有单摆、光波、电流、机械波等，其共同的特点是具有周期性. (2)明确物理概念的意义，此类问题往往涉及诸如频率、振幅等概念，因此要熟知其意义并与对应的三角函数知识结合解题. 跟踪训练1　已知电流I与时间t的关系为I=Asin(ωt+φ). (1)如图所示的是I=Asin(ωt+φ)在一个周期内的图象，根据图中数据求I=Asin(ωt+φ)的解析式； (2)如果t在任意秒的时间内，电流I=Asin(ωt+φ)都能取得最大值和最小值，那么ω的最小正整数值是多少？ 解　(1)由题图知A=300，设t1=-t2= 则周期T=2(t2-t1)=2= ∴ω==150π. 又当t=时，I=0，即sin=0， 而|φ|<∴φ=. 故所求的解析式为I=300sin. (2)依题意，周期T≤即≤(ω>0)， ∴ω≥300π>942，又ω∈N*， 故所求最小正整数ω=943. 二、三角函数模型在生活中的应用 例2　(课本例2)一半径为3 m的水轮如图所示，水轮圆心O距离水面2 m，已知水轮每分钟逆时针转动4圈，且当水轮上点P从水中浮现时(图中点P0)开始计算时间. (1)将点P到水面的距离z(单位：m.在水面下，则z为负数)表示为时间t(单位：s)的函数； (2)点P第一次到达最高点大约要多长时间？ 解　(1)如图，建立平面直角坐标系.设角φ是以Ox为始边，OP0为终边的角. 由OP在t s内所转过的角为t=t，可知以Ox为始边，OP为终边的角为t+φ，故P点纵坐标为3sin则z=3sin+2. 当t=0时，z=0，可得sin φ=-. 因为-<φ<0，所以φ≈-0.73， 故所求函数关系式为z=3sin+2. (2)令z=3sin+2=5， 得sin=1. 取t-0.73=解得t≈5.5. 故点P第一次到达最高点大约需要5.5 s. 例2　摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色.如图，某摩天轮最高点距离地面高度为130米，转盘直径为120米，开启后按逆时针方向匀速旋转，每30分钟转一圈.已知游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，设游客距离地面的高度h(单位：米)关于进舱时间t(单位：分钟)的函数解析式为h(t)=Asin(ωt+φ)+b(其中A>0，ω>0，φ∈(-π，π)). (1)求h(t)； (2)在摩天轮转动的一圈内，有多长时间游客距离地面的高度不小于100米？ 解　(1)由题意知，T=30， ∴ω== 有解得 由t=0时，h(0)=60sin φ+70=10， 解得sin φ=-1， 又φ∈(-π，π)，∴φ=- ∴h(t)=60sin+70. (2)由(1)知，h(t)=60sin+70， 令h(t)≥100， 则sin≥. 故+2kπ≤t-≤+2kπ，k∈Z， 解得10+30k≤t≤20+30k，k∈Z， 又0≤t≤30，∴10≤t≤20， ∴在摩天轮转动的一圈内，有20-10=10(分钟)游客距离地面的高度不小于100米. 反思感悟　解决三角函数的实际应用问题必须按照一般应用题的解题步骤执行 (1)认真审题，理清问题中的已知条件与所求结论. (2)建立三角函数模型，将实际问题数学化. (3)利用三角函数的有关知识解决关于三角函数的问题，求得数学模型的解. (4)根据实际问题的意义，得出实际问题的解. (5)将所得结论返回、转译成实际问题的答案. 跟踪训练2　健康成年人的收缩压和舒张压一般为90~139 mmHg和60~89 mmHg.心脏跳动时，血压在增加或减小.血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压.记某人的血压满足函数式p(t)=25sin 160πt+105，其中p(t)为血压(单位：mmHg)，t为时间(单位：min)，试回答下列问题： (1)求函数p(t)的周期； (2)求此人每分钟心跳的次数； (3)求出此人的血压在血压计上的读数，并与正常值比较. 解　(1)T===(min). (2)f==80. 即此人每分钟心跳的次数为80. (3)p(t)max=105+25=130(mmHg)， p(t)min=105-25=80(mmHg)， 即收缩压为130 mmHg，舒张压为80 mmHg.此人的血压在血压计上的读数为130/80 mmHg，在正常值范围内. 1.知识清单： (1)三角函数模型在物理中的应用. (2)三角函数模型在生活中的应用. 2.方法归纳：数学建模、数形结合. 3.常见误区：选择三角函数模型时，最后结果忘记回归实际问题. 课时对点练 [分值：90分] 单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共18分 1.简谐运动y=4sin的相位与初相位分别是(　　) A.5x- B.5x-4 C.5x-- D.4 答案　C 解析　相位是5x-当x=0时的相位为初相位，即-. 2.如图是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图，经过周期后，乙点的位置将处于图中的(　　) A.甲 B.戊 C.丙 D.丁 答案　D 解析　与乙点的位置相差周期的点为丁点. 3.电流I(A)随时间t(s)变化的关系式是I=5sin则当t= s时，电流I为(　　) A.5 A B.2.5 A C.2 A D.-5 A 答案　B 解析　将t=代入I=5sin 得I=2.5 A. 4.音叉是呈“Y”形的钢质或铝合金发声器(如图1)，各种音叉可因其质量和叉臂长短、粗细不同而在振动时发出不同频率的纯音.敲击某个音叉时，在一定时间内，音叉上点P离开平衡位置的位移y与时间t的函数关系为y=sin ωt.图2是该函数在一个周期内的图象，根据图中数据可确定ω的值为(　　) A.200 B.400 C.200π D.400π 答案　D 解析　由图象可得，ω>0，T=4×= 即=则ω=400π. 5.如图所示是一质点做简谐运动的图象，则下列结论错误的是(　　) A.该质点的运动周期为0.8 s B.该质点的振幅为5 cm C.该质点在0.1 s和0.5 s时运动速度最大 D.该质点在0.1 s和0.5 s时运动速度为零 答案　C 解析　由题图可知=0.7-0.3=0.4，所以T=0.8，故A正确；最小值为-5，所以振幅为5 cm，故B正确；在0.1 s和0.5 s时，质点到达运动的顶点，所以速度为0，故C错误，D正确. 6.在一个港口，相邻两次高潮发生的时间相距12 h，低潮时水深为9 m，高潮时水深为15 m.每天潮涨潮落时，该港口水的深度y(m)关于时间t(h)的函数图象可以近似地看成函数y=Asin(ωt+φ)+k(A>0，ω>0)的图象，其中0≤t≤24，且t=3时涨潮到一次高潮，则该函数的解析式可以是(　　) A.y=3sint+12 B.y=-3sint+12 C.y=3sint+12 D.y=3cost+12 答案　A 解析　由相邻两次高潮的时间间隔为12 h，知T=12，由T=(ω>0)，得ω=又由高潮时水深15 m和低潮时水深9 m，得A=3，k=12.由题意知当t=3时，y=15，故将t=3，y=15代入解析式y=3sin+12中，得3sin+12=15，得×3+φ=+2kπ(k∈Z)，解得φ=2kπ(k∈Z)，所以该函数的解析式可以是y=3sin+12=3sint+12. 7.(5分)一根长l cm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s(cm)与时间t(s)的函数关系式为s=3cos其中g是重力加速度，当小球摆动的周期是1 s时，线长l=　　　　cm.  答案　 解析　由已知得=1，所以=2π=4π2，l=. 8.(5分)如表给出的是某港口在某季节每天几个时刻的水深关系. 时刻t 0 3 6 9 12 15 18 21 24 水深 y(m) 5.0 7.0 5.0 3.0 5.0 7.0 5.0 3.0 5.0 若该港口的水深y(m)和时刻t(0≤t≤24)的关系可用函数y=Asin ωt+h(其中A>0，ω>0，h>0)来近似描述，则该港口在11：00的水深为　　　m.  答案　4 解析　由题意得函数y=Asin ωt+h(其中A>0，ω>0，h>0)的周期为T=12， 解得 ∴ω==∴y=2sint+5， ∴该港口在11：00的水深为 y=2sinπ+5=4(m). 9.(10分)如图，弹簧挂着的小球做上下振动，它在t(单位：s)时相对于平衡位置(静止时的位置)的高度h(单位：cm)由关系式h=Asin确定，其中A>0，ω>0，t∈[0，+∞).在一次振动中，小球从最高点运动至最低点所用时间为1 s，且最高点与最低点间的距离为10 cm. (1)求小球相对于平衡位置的高度h(单位：cm)和时间t(单位：s)之间的函数关系式；(5分) (2)若小球在t0 s内经过最高点的次数恰为50次，求t0的取值范围.(5分) 解　(1)由题意得A==5. 因为在一次振动中，小球从最高点运动至最低点所用时间为1 s， 所以最小正周期为2 s，即T=2=所以ω=π， 所以h=5sin(t∈[0，+∞)). (2)由(1)知，当t=时，小球第一次到达最高点，以后每隔一个周期都到达一次最高点. 因为小球在t0 s内经过最高点的次数恰为50次， 所以+49T≤t0<+50T. 因为T=2，所以98≤t0<100 所以t0的取值范围为. 10.(12分)某“花式风筝冲浪”集训队在一海滨浴场进行集训，在海滨区域的某个观测点观测到该处水深y(米)随着一天的时间t(0≤t≤24，单位：小时)呈周期性变化，某天各时刻t的水深数据的近似值如下表： t 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y 1.5 2.4 1.5 0.6 1.4 2.4 1.6 0.6 1.5 (1)根据表中近似数据画出散点图.观察散点图，从①y=Asin(ωt+φ)，②y=Acos(ωt+φ)+b，③ y=-Asin ωt+b(A>0，ω>0，-π<φ<0)中选择一个合适的函数模型，并求出该拟合模型的函数解析式；(6分) (2)为保证队员安全，规定在一天中5~18时且水深不低于1.05米的时候进行训练，根据(1)中选择的函数解析式，试问：这一天可以安排什么时间段组织训练，才能确保集训队员的安全？(6分) 解　(1)根据表中近似数据画出散点图，如图所示. 依题意，选②y=Acos(ωt+φ)+b作为函数模型， ∴A==b==T=12， ∴ω==∴y=cos+ 又∵函数图象过点(3，2.4)， 即2.4=cos+ ∴cos=1，∴sin φ=-1， 又∵-π<φ<0，∴φ=- ∴y=cos+=sint+. (2)由(1)知，y=sint+ 令y≥1.05，即sint+≥1.05， ∴sint≥- ∴2kπ-≤t≤2kπ+(k∈Z)， ∴12k-1≤t≤12k+7， 又∵5≤t≤18，∴5≤t≤7或11≤t≤18， ∴这一天安排早上5点至7点以及11点至18点组织训练，能确保集训队员的安全. 11.某市房地产中介对本市一楼盘今年的房价做了统计与预测：发现每个季度的平均单价y(每平方米的价格，单位：元)与第x季度之间近似满足y=500sin(ωx+φ)+9 500(ω>0)，已知第一、二季度平均单价如下表所示： x 1 2 3 y 10 000 9 500 ？ 则此楼盘在第三季度的平均单价大约是(　　) A.10 000元 B.9 500元 C.9 000元 D.8 500元 答案　C 解析　因为y=500sin(ωx+φ)+9 500(ω>0)， 所以当x=1时，500sin(ω+φ)+9 500=10 000； 当x=2时，500sin(2ω+φ)+9 500=9 500，所以ω可取φ可取π，即y=500sin+9 500. 当x=3时，y=9 000. 12.(多选)如图是某市夏季某一天的温度变化曲线，若该曲线近似地满足函数y=Asin(ωx+φ)+B(A>0，ω>0，0<φ<π)，则下列说法正确的是(　　) A.该函数的最小正周期是16 B.该函数图象的一条对称轴是直线x=14 C.该函数的解析式是y=10sin+20(6≤x≤14) D.该市这一天中午12时天气的温度大约是27 ℃ 答案　ABD 解析　由图象知A+B=30，-A+B=10， ∴A=10，B=20. ∵=14-6，∴T=16，A正确； ∵T=∴ω=∴y=10sin+20. ∵图象经过点(14，30)， ∴30=10sin+20， ∴sin=1.∵0<φ<π，∴φ= ∴y=10sin+20，0≤x≤24， ∴B正确，C错误； 当x=12时，y=10sin+20=10×+20≈27(℃).故D正确. 13.(多选)如图，一个水轮的半径为6 m，水轮轴心O距离水面的高度为3 m，已知水轮按逆时针匀速转动，每分钟转动5圈，当水轮上点P从水中浮现时(图中点P0)开始计，记f(t)为点P距离水面的高度(单位：m)关于时间t(单位：s)的函数，则下列结论正确的是(　　) A.f(3)=9 B.f(1)=f(7) C.若f(t)≥6，则t∈[2+12k，5+12k](k∈N) D.不论t为何值，f(t)+f(t+4)+f(t+8)是定值 答案　BD 解析　如图，以水轮所在平面为坐标平面，以水轮的轴心O为坐标原点，x轴和y轴分别平行和垂直于水面建立平面直角坐标系，依题意得，OP在t(s)内所转过的弧度数为t， 则∠POx=t- 则点P的纵坐标为y=6sin 所以点P距离水面的高度关于时间t的函数为 f(t)=6sin+3. f(3)=6sin+3=3+3，选项A错误； 因为f(1)=6sin+3=3， f(7)=6sin+3=3， 所以f(1)=f(7)，选项B正确； 由f(t)≥6，得sin≥ 解得t∈[2+12k，6+12k](k∈N)，选项C错误； 由f(t)+f(t+4)+f(t+8)=6sin+ 3+6sin+3+6sin+3， 展开整理得f(t)+f(t+4)+f(t+8)=9，为定值，选项D正确. 14.(5分)国际油价在某一时间内呈现出正弦波动规律：P=Asin+60(A>0，ω>0)(单位：美元)，现采集到下列信息：最高油价为80美元，当t=150(单位：天)时达到最低油价，则ω的最小值为　　　.  答案　 解析　由题意得A=20.当t=150时达到最低油价，即sin=-1，此时150ωπ+=2kπ-k∈Z，因为ω>0，所以令k=1，得150ωπ+=2π-解得ω=.故ω的最小值为. 15.(多选)科学研究已经证实：人的智力、情绪和体力分别以33天、28天和23天为周期，均可按y=sin ωx(ω>0)进行变化，记智力曲线为I，情绪曲线为E，体力曲线为P，则(　　) A.第35天时情绪曲线E处于最高点 B.第33天到第42天时，智力曲线I与情绪曲线E不相交 C.第46天到第50天时，体力曲线P处于上升期 D.体力曲线P关于点(320，0)对称 答案　AC 解析　设人的智力曲线、情绪曲线和体力曲线对应的函数分别为f(x)=sin ω1x，g(x)=sin ω2x，h(x)=sin ω3x， 所以ω1=ω2==ω3= 所以f(x)=sinx，g(x)=sinx，h(x)=sinx. A项，第35天时，g(35)=sin=sin=sin=1， 故曲线E处于最高点，A正确； B项，设F(x)=f(x)-g(x)=sinx-sinx， 因为F(33)=sin 2π-sin=-sin<0，F(42)=sin-sin 3π=sin>0， 故存在x0∈(33，42)，使得F(x0)=0，故此时智力曲线I与情绪曲线E相交，B错误； C项，因为x∈(46，50)，所以x∈ 因为<所以根据正弦函数的性质可得h(x)=sinx在(46，50)上单调递增，故曲线P处于上升期，C正确； D项，因为h(320)=sin≠0， 所以体力曲线P不关于点(320，0)对称，D错误. 学科网（北京）股份有限公司 $