第8章 8.1.2 用二分法求方程的近似解（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（苏教版）

本讲义聚焦“用二分法求方程的近似解”核心知识点，前承函数零点存在定理，后启数值方法应用。通过猜手机价格情境、找假币类比问题引入，结合定义解析、例题示范及跟踪训练，构建从原理理解到步骤掌握的学习支架。 该资料以生活实例激发兴趣，体现用数学眼光观察现实世界，如猜价格问题引导学生发现二分法思想。通过程序化步骤和区间迭代表格，培养逻辑推理与逐步逼近的数学思维，课中助力分层教学，课后课时对点练帮助学生巩固，有效查漏补缺。

8.1.2　用二分法求方程的近似解 学习目标　1.了解二分法的原理及其适用条件.2.掌握二分法求函数零点的步骤.3.体会二分法中蕴含的逐步逼近与程序化思想. 导语 同学们，前几天有个同事买了一部手机，为了游戏更有趣，我暂且不能告诉大家是什么牌子的手机，我可以告诉大家这部手机的价位在2 000元~3 000元，如果我给大家6次猜价的机会，我只能告诉大家猜的价格比真实值多或少，大家能否猜出与手机真实价格的误差在50元以内的价格？注意啊，你的机会只有6次！为了解决这个问题，接下来，让我们一起探究解决这个问题的方法吧. 一、二分法的理解 问题1　有16个大小、颜色相同的金币，其中有15个金币是真的，有一个质量稍轻的是假的.用天平称几次一定可以找出这个稍轻的假币？ 提示　4次. 第一次，两端各放8个金币，高的那一端一定有假币； 第二次，两端各放4个金币，高的那一端一定有假币； 第三次，两端各放2个金币，高的那一端一定有假币； 第四次，两端各放1个金币，高的那一端一定是假币. 知识梳理 二分法：对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y=f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近函数f(x)的零点，进而得到零点近似值的方法称为二分法. 注意点： 二分法的求解原理是函数零点存在定理. 例1　(1)(多选)下列函数图象与x轴均有交点，能用二分法求函数零点近似值的是(　　) 答案　ABC 解析　由二分法的定义，知函数f(x)在区间[a，b]上的图象连续不断，且f(a)f(b)<0，即函数的零点是变号零点，才能将区间[a，b]一分为二，逐步得到零点的近似值.对各图象分析可知，选项A，B，C都符合条件，而选项D不符合，因为零点左右两侧的函数值不变号，所以不能用二分法求函数零点的近似值. (2)用二分法求方程2x+3x-7=0在区间(1，3)内的近似解，取区间的中点为x0=2，那么下一个有根的区间是　　　　.  答案　(1，2) 解析　设f(x)=2x+3x-7， f(1)=2+3-7<0，f(3)=10>0，f(2)=3>0， ∵f(1)f(2)<0， ∴f(x)零点所在的区间为(1，2)， ∴方程2x+3x-7=0下一个有根的区间是(1，2). 反思感悟　运用二分法求函数的零点应具备的条件 (1)函数图象在零点附近连续不断. (2)在该零点左右函数值异号. 只有满足上述两个条件，才可用二分法求函数零点. 跟踪训练1　已知函数f(x)的图象如图，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为(　　) A.4，4 B.3，4 C.5，4 D.4，3 答案　D 解析　图象与x轴有4个交点，所以零点的个数为4；左右函数值异号的零点有3个，所以可以用二分法求解的个数为3. 二、用二分法求函数零点的近似值 问题2　你能想办法求函数f(x)=x3-3的零点或零点的近似值吗？ 提示　由于f(1)=-2<0，f(2)=5>0，因此可以确定区间[1，2]作为计算的初始区间，用二分法逐步计算，缩小零点所在的区间.这可能是一个无休止的过程.实际上，如果满足精确度要求的话，就可以停止计算，得到零点的近似值. 例2　用二分法求函数f(x)=x3-x-1在区间(1，1.5)内的一个零点(精确度为0.1). 解　经计算，f(1)<0，f(1.5)>0， 所以函数在(1，1.5)内存在零点x0. 取区间(1，1.5)的中点1.25， 经计算f(1.25)<0， 因为f(1.25)·f(1.5)<0， 所以x0∈(1.25，1.5). 如此继续下去，得到函数的一个零点所在的区间，如下表： (a，b) (a，b)的中点 中点函数值符号 (1，1.5) 1.25 f(1.25)<0 (1.25，1.5) 1.375 f(1.375)>0 (1.25，1.375) 1.312 5 f(1.312 5)<0 (1.312 5，1.375) 因为|1.375-1.312 5|=0.062 5<0.1，所以函数f(x)=x3-x-1的近似零点可取为1.312 5. 反思感悟　用二分法求函数零点的近似值应遵循的原则 (1)依据函数图象估计零点所在的初始区间[m，n](一般采用估计值的方法完成). (2)取区间端点的平均数c，计算f(c)，确定有解区间是(m，c)还是(c，n)，逐步缩小区间的“长度”，直到达到精确度要求，终止计算，得到函数零点的近似值. 跟踪训练2　用二分法求函数f(x)=3x-x-4的一个零点，其参考数据如下： f(1.600 0) ≈0.200 f(1.587 5) ≈0.133 f(1.575 0) ≈0.067 f(1.562 5) ≈0.003 f(1.556 25) ≈-0.029 f(1.550 0) ≈-0.060 据此数据，可得f(x)=3x-x-4的一个零点的近似值(精确度为0.01)为　　　　.  答案　1.56 解析　由参考数据知f(1.562 5)≈0.003>0， f(1.556 25)≈-0.029<0， 即f(1.562 5)f(1.556 25)<0， 且|1.562 5-1.556 25|=0.006 25<0.01，所以函数f(x)=3x-x-4的零点的近似值可取为1.56. 三、用二分法求方程的近似解 问题3　如何求方程x3-3=0的近似解呢？ 提示　可以转化为求对应函数f(x)=x3-3的近似零点. 知识梳理 用二分法求方程的一个近似解的操作流程 步骤1　　　　　　　　　　　　　　　　方程f(x)=0的解 步骤2　　　　　　　　　　　　　　　　函数f(x)的零点 步骤3　　　　　　　　　　　　　　确定f(x)的零点x0∈(a，b) 步骤4　　　　　　　　　　　　　　　取a，b的平均数c= 步骤5　　　　　　　　　　　　　　确定f(x)的零点x0∈(a1，b1) 步骤6　　　　　　　　　　　　　　　　|bn-an|<ε(ε为精确度) 步骤7　　　　　　　　　　　　　　方程的一个近似解为an(或bn) 注意点： 在上述操作过程中如果存在c，使得f(c)=0，那么c就是方程f(x)=0的一个精确解. 例3　(课本例3)利用计算器，求方程lg x=3-x的近似解(精确度为0.1). 解　分别画出函数y=lg x和y=3-x的图象，如图所示.在两个函数图象的交点处，函数值相等.因此，这个点的横坐就是方程lg x=3-x的解.由函数y=lg x与y=3-x的图象可以发现，方程lg x=3-x有唯一解，记为x0，并且这个解在区间(2，3)内. 设f(x)=lg x+x-3，用计算器计算，得 f(2)<0，f(3)>0⇒x0∈(2，3)， f(2.5)<0，f(3)>0⇒x0∈(2.5，3)， f(2.5)<0，f(2.75)>0⇒x0∈(2.5，2.75)， f(2.5)<0，f(2.625)>0⇒x0∈(2.5，2.625)， f(2.562 5)<0，f(2.625)>0⇒x0∈(2.562 5，2.625). 因为|2.625-2.562 5|=0.062 5<0.1，所以原方程的近似解可取为2.562 5. 例3　用二分法求方程2x3+3x-3=0的一个正实数近似解(精确度为0.1). 解　令f(x)=2x3+3x-3，经计算， f(0)=-3<0，f(1)=2>0，f(0)f(1)<0， 所以函数f(x)在(0，1)内存在零点， 即方程2x3+3x-3=0在(0，1)内有解. 取(0，1)的中点0.5，经计算f(0.5)<0， 又f(1)>0，所以方程2x3+3x-3=0在(0.5，1)内有解. 如此继续下去，得到方程的正实数解所在的区间，如下表： (a，b) 中点c f(c) (0，1) 0.5 f(0.5)<0 (0.5，1) 0.75 f(0.75)>0 (0.5，0.75) 0.625 f(0.625)<0 (0.625，0.75) 0.687 5 f(0.687 5)<0 (0.687 5，0.75) 因为|0.75-0.687 5|=0.062 5<0.1，故方程的近似解可取为0.75. 反思感悟　利用二分法求方程的近似解的步骤 (1)构造函数，利用图象确定方程的解所在的大致区间，通常取区间(n，n+1)，n∈Z. (2)利用二分法求出满足精确度要求的方程的解所在的区间M. (3)区间M内任何一个数(或区间的端点值)都可以作为方程的近似解. 跟踪训练3　利用计算器，求方程2x-cos x-1=0的近似解(精确度为0.1). 解　先画出y=2x-1与y=cos x的图象(图略)， 设f(x)=2x-cos x-1， 由图象可知，f(x)=0只有一个解，设为x0， ∵f(0)=-2<0，f(1)=1-cos 1>0，∴x0∈(0，1). 用二分法的思想，列表如下： 区间中点 中点处函数值的符号 取区间 0.5 f(0.5)<0 (0.5，1) 0.75 f(0.75)<0 (0.75，1) 0.875 f(0.875)>0 (0.75，0.875) 0.812 5 f(0.812 5)<0 (0.812 5，0.875) ∵|0.875-0.812 5|=0.062 5<0.1，∴所求方程的近似解可取为0.875. 1.知识清单： (1)二分法的定义. (2)利用二分法求函数的零点、方程的近似解. 2.方法归纳：化归、逼近. 3.常见误区：二分法并不适用于所有零点，只能求函数的变号零点. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共18分 1.用二分法求如图所示的函数f(x)的零点时，不可能求出的零点是(　　) A.x1 B.x2 C.x3 D.x4 答案　C 解析　能用二分法求零点的函数必须满足在区间[a，b]上连续不断，且f(a)f(b)<0.而x3两边的函数值都小于零，不满足区间端点处函数值符号相异的条件. 2.设f(x)=lg x+x-3，用二分法求方程lg x+x-3=0在(2，3)内近似解的过程中得f(2.25)<0，f(2.75)>0，f(2.5)<0，f(3)>0，则方程的根落在区间(　　) A.(2，2.25) B.(2.25，2.5) C.(2.5，2.75) D.(2.75，3) 答案　C 解析　因为f(2.5)<0，f(2.75)>0，由函数零点存在定理知，方程的根在区间(2.5，2.75). 3.用二分法求函数f(x)在(a，b)内的唯一零点时，若精确度为0.01，则下列有零点的区间正确的是(　　) A.(0.835，0.846) B.(1.478，1.501) C.(3.487 5，3.490 3) D.(10.325，10.436) 答案　C 解析　由|3.490 3-3.487 5|=0.002 8<0.01，故C项正确，其他选项均不正确. 4.(多选)在用二分法求函数f(x)的一个正实数零点时，经计算，f(0.64)<0，f(0.72)>0，f(0.68)<0，则函数的一个精确度为0.05的正实数零点的近似值可能为(　　) A.0.65 B.0.69 C.0.70 D.0.72 答案　BCD 解析　由题意知f(x)的零点x0∈(0.68，0.72)，|0.72-0.68|=0.04<0.05，故零点近似值可能为0.69，0.70，0.72. 5.(多选)在用“二分法”求函数f(x)零点近似值时，第一次所取的区间是[-2，4]，则第三次所取的区间可能是(　　) A. B.[-2，1] C. D. 答案　ACD 解析　因为第一次所取的区间是[-2，4]， 所以第二次所取的区间可能为[-2，1]，[1，4]， 所以第三次所取的区间可能为 . 6.求函数f(x)的零点时，用计算器得部分函数值如表所示. f(2)=-1.307 f(3)=1.099 f(2.5)=-0.84 f(2.75)=0.512 f(2.625)=0.215 f(2.562 5)=-0.032 则方程f(x)=0的近似解(精确度为0.1)为(　　) A.2.5 B.2.6 C.2.7 D.无法确定 答案　B 解析　由表中数据知，f(x)=0的近似解x0∈(2.562 5，2.625)，|2.625-2.562 5|=0.062 5<0.1，则方程f(x)=0的近似解可取为2.6. 7.(5分)函数f(x)=x2+ax+b有零点，但不能用二分法求出，则a，b的关系是　　　　.  答案　a2=4b 解析　∵函数f(x)=x2+ax+b有零点，但不能用二分法求出， ∴函数f(x)=x2+ax+b的图象的顶点在x轴上， ∴Δ=a2-4b=0，∴a2=4b. 8.(5分)用二分法求函数f(x)=ln(x+1)+x-1在区间[0，1]上的零点，要求精确度为0.01时，所需二分区间的次数最少为　　　　.  答案　7 解析　根据题意，原来区间[0，1]的“长度”等于1， 每经过二分法的一次操作，区间的“长度”变为原来的一半， 则经过n次操作后，区间的“长度”为若<0.01， 即n≥7，故最少为7次. 9.(12分)判断函数f(x)=2x3-1的零点个数，并用二分法求零点的近似值.(精确度为0.1) 解　f(0)=-1<0，f(1)=1>0， 即f(0)f(1)<0，f(x)在(0，1)内有零点， 又f(x)在R上是增函数， ∴f(x)只有一个零点x0∈(0，1). 取区间(0，1)的中点x1=0.5， f(0.5)=-0.75<0， ∴f(0.5)f(1)<0，即x0∈(0.5，1). 取区间(0.5，1)的中点x2=0.75， f(0.75)=-0.156 25<0， ∴f(0.75)f(1)<0，即x0∈(0.75，1). 取区间(0.75，1)的中点x3=0.875， f(0.875)≈0.34>0. ∴f(0.75)f(0.875)<0，即x0∈(0.75，0.875). 取区间(0.75，0.875)的中点x4=0.812 5， f(0.812 5)≈0.073>0. ∴f(0.75)f(0.812 5)<0，即x0∈(0.75，0.812 5)， ∵|0.812 5-0.75|=0.062 5<0.1， ∴f(x)的零点的近似值可取为0.812 5. 10.(12分)已知函数f(x)=3x+在(-1，+∞)上单调递增，用二分法求方程f(x)=0的正根(精确度为0.1). 解　由于函数f(x)=3x+在(-1，+∞)上单调递增，故在(0，+∞)上也单调递增， 因此f(x)=0的正根最多有一个. 因为f(0)=-1<0，f(1)=>0， 所以方程的正根在(0，1)内，用二分法逐次计算，列出下表： 区间 中点值 中点函数近似值 (0，1) 0.5 0.732 (0，0.5) 0.25 -0.084 (0.25，0.5) 0.375 0.328 (0.25，0.375) 0.312 5 0.124 因为|0.312 5-0.25|=0.062 5<0.1，所以方程f(x)=0的正根的近似值可取为0.3. 11.若函数f(x)在[a，b]上的图象为一条连续不断的曲线，且同时满足f(a)·f(b)<0，f(a)·f>0，则(　　) A.f(x)在上有零点 B.f(x)在上有零点 C.f(x)在上无零点 D.f(x)在上无零点 答案　B 解析　由f(a)·f(b)<0，f(a)·f >0， 可知f ·f(b)<0，根据函数零点存在定理可知f(x)在上有零点. 12.关于用二分法求方程的近似解，下列说法正确的是(　　) A.用二分法求方程的近似解一定可以得到f(x)=0在[a，b]内的所有根 B.用二分法求方程的近似解有可能得到f(x)=0在[a，b]内的重根 C.用二分法求方程的近似解有可能得出f(x)=0在[a，b]内没有根 D.用二分法求方程的近似解有可能得到f(x)=0在[a，b]内的精确解 答案　D 解析　利用二分法求方程f(x)=0在[a，b]内的近似解， 即在区间[a，b]内肯定有根存在，而对于重根无法求解出来， 且所得的近似解可能是[a，b]内的精确解. 13.(多选)若a<b<c，则下列区间中存在函数f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)的零点的有(　　) A.(-∞，a) B.(a，b) C.(b，c) D.(c，+∞) 答案　BC 解析　∵a<b<c，∴f(a)=(a-b)(a-c)>0， f(b)=(b-c)(b-a)<0， f(c)=(c-a)(c-b)>0， ∴f(x)的零点分别位于(a，b)和(b，c)内. 14.(5分)已知函数f(x)满足：对任意x1，x2∈[a，b]，都有>0，且f(a)f(b)<0.在用二分法寻找零点的过程中，依次确定了零点所在区间为[a，b]又f=0，则函数f(x)的零点为　　　　.  答案　 解析　因为对任意x1，x2∈[a，b]，都有>0，且f(a)f(b)<0， 所以f(x)在[a，b]上单调递增，且f(a)<0，f(b)>0， 因为a+1>a恒成立， 所以解得 所以f(x)的零点为=. 15.(13分)为确定传染病的感染者，医学上可采用“二分检测方案”.假设待检测的总人数是2m(m为正整数).将这2m个人的样本混合在一起做第1轮检测(检测1次)，如果检测结果是阴性，可确定这些人都未感染；如果检测结果是阳性，可确定其中有感染者，则将这些人平均分成两组，将每组2m-1个人的样本混合在一起做第2轮检测，每组检测1次.依此类推.每轮检测后，排除结果为阴性的组，而将结果为阳性的组再平均分成两组，做下一轮检测，直至确定所有的感染者. 例如，当待检测的总人数为8，且标记为“x”的人是唯一感染者时，“二分检测方案”如图所示.从图中可以看出，需要经过4轮共n次检测后，才能确定标记为“x”的人是唯一感染者. (1)写出n的值；(5分) (2)若待检测的总人数为8，采用“二分检测方案”，经过4轮共9次检测后确定了所有的感染者，写出感染者人数的所有可能值.(8分) 解　(1)由题意知，第1轮需检测1次；第2轮需检测2次；第3轮需检测2次；第4轮需检测2次， ∴n=1+2+2+2=7. (2)由(1)可知，若只有1个感染者，则只需7次检测即可；经过4轮共9次检测查出所有感染者，比只有1个感染者多2次检测，则只需第3轮时，对两组都进行检查，即对最后4个人进行检查，可能结果如图所示： ∴感染者人数可能的取值为2，3，4. 学科网（北京）股份有限公司 $