第8章 8.2.1 几个函数模型的比较（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（苏教版）

本讲义聚焦指数函数、对数函数、幂函数的增长差异这一核心知识点，通过比较“指数爆炸”“对数增长”“幂函数增长”的变化趋势，承接函数基本性质学习，为解决投资回报、生物蔓延等实际问题提供知识支架。 以投资方案选择为导语创设真实情境，通过数据表格分析、信息技术作图比较函数图象，培养学生用数学眼光观察增长规律、用数学思维推理函数差异的能力。课中助力教师直观教学，课后通过分层练习帮助学生巩固知识、查漏补缺。

8.2.1　几个函数模型的比较 学习目标　1.了解指数爆炸、对数增长等含义.2.借助信息技术，作出函数图象，比较指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异.3.了解不同函数模型的“变化趋势”，加深对自然现象的理解. 导语 如果你现在手里有一笔资金可以用于投资，现在有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报是这样的：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番.请问，你会选择哪种投资方案？为了解决这个问题，让我们一起开始今天的探究吧！ 一、指数爆炸(求值) 指数变化 当a>1时，指数函数y=ax随着x的增大而增大，且增大的速度越来越快，呈“爆炸”的趋势，因此“指数增长”可以用“指数爆炸”来形容. 当0<a<1时，指数函数y=ax随着x的增大而减小，并逐步趋向于0. 例1　四个变量y1，y2，y3，y4随自变量x变化的数据如下表： x 1 5 10 15 20 25 30 y1 2 26 101 226 401 626 901 y2 2 32 1 024 32 768 1.05×106 3.36×107 1.07×109 y3 2 10 20 30 40 50 60 y4 2 4.322 5.322 5.907 6.322 6.644 6.907 则关于x呈指数型函数变化的变量是　　　.  答案　y2 解析　 以爆炸式增长的变量呈指数函数变化.从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，且都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变量y2关于x呈指数型函数变化. 反思感悟　指数函数增长的特点 指数函数y=ax(a>1)是增函数，随着x的增大，y=ax(a>1)的增长速度越来越快，形象地称为“指数爆炸”. 跟踪训练1　如表是函数值y随自变量x变化的一组数据，由此判断它最符合的函数是(　　) x 3 4 5 6 7 y 3.38 5.06 7.59 11.39 67.09 A.一次函数 B.二次函数 C.指数型函数 D.对数型函数 答案　C 解析　画出图形，如图所示. 随着自变量x的增加，函数值y以“爆炸”式的速度增长，故为指数型函数. 二、函数模型增长差异的比较(图象) 问题　把一次函数y=2x，对数函数y=lg x和指数函数y=2x的图象画到同一平面直角坐标系下，并比较它们的增长差异. 提示　一次函数y=2x匀速增长，指数函数y=2x增长越来越快，对数函数y=lg x增长最慢. 知识梳理 指数函数与对数函数、幂函数的增长趋势比较 　　　函数 性质　　　 y=ax (a>1) y=logax (a>1) y=xα (α>0) 在(0，+∞)上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 图象的变化 随x的增大逐渐变“陡” 随x的增大逐渐趋于稳定 随α值的不同而不同 增长速度 ax的增长快于xα的增长，xα的增长快于logax的增长 增长后果 当x足够大时，有ax>xα>logax(a>1) 例2　(1)下列函数中，随着x的增大，增长速度最快的是(　　) A.y=2 025x B.y=x2 025 C.y=log2 025x D.y=2 025x 答案　A (2)某生物研究者于元旦在湖中放入一些凤眼莲(其覆盖面积为k)，这些凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，二月底测得凤眼莲的覆盖面积为24 m2，三月底测得凤眼莲的覆盖面积为36 m2，凤眼莲的覆盖面积y(单位：m2)与月份x(单位：月)之间的关系有两个函数模型y=kax(k>0，a>1)与y=p+k(p>0，k>0)可供选择.试判断哪个函数模型更合适并求出该模型的解析式. 解　由题设可知，两个函数y=kax(k>0，a>1)，y=p+k(p>0，k>0)在(0，+∞)上均单调递增，随着x的增大，函数y=kax(k>0，a>1)的值增加得越来越快，而函数y=p+k(p>0，k>0)的值增加得越来越慢，由于凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，故而函数模型y=kax(k>0，a>1)满足要求.由题意可得 解得k=a=故该函数模型的解析式为y=(x∈N*). 反思感悟　指数函数、对数函数和幂函数增长差异的判断方法 (1)根据函数的变化量的情况对函数增长模型进行判断. (2)根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时，通常是观察函数图象上升的快慢，即随着自变量的增大，图象最“陡”的函数是指数函数，图象趋于平缓的函数是对数函数. (3)幂函数模型介于指数函数模型和对数函数模型之间，适合描述不快不慢的变化规律. 跟踪训练2　函数f(x)=2x和g(x)=x3的图象如图所示.设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1<x2. (1)请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数； (2)结合函数图象，判断f(6)，g(6)，f(2 025)，g(2 025)的大小. 解　(1)曲线C1对应的函数为g(x)=x3，曲线C2对应的函数为f(x)=2x. (2)因为f(1)>g(1)，f(2)<g(2)， f(9)<g(9)，f(10)>g(10)， 所以1<x1<2，9<x2<10， 所以x1<6<x2，2 025>x2， 从图象上可以看出， 当x1<x<x2时，f(x)<g(x)，所以f(6)<g(6). 当x>x2时，f(x)>g(x)， 所以f(2 025)>g(2 025). 又因为g(2 025)>g(6)， 所以f(2 025)>g(2 025)>g(6)>f(6). 1.知识清单： (1)指数增长. (2)幂函数、指数函数、对数函数增长趋势的比较. 2.方法归纳：数形结合法. 3.常见误区：函数值大小关系比较时没有注意所给区间. 课时对点练 [分值：85分] 单选题每小题5分，共25分；多选题每小题6分，共18分 1.某研究小组在一项实验中获得一组关于y，t的数据，将其整理得到如图所示的图形.下列函数中最能近似刻画y与t之间关系的是(　　) A.y=2t B.y=2t2 C.y=t3 D.y=log2t 答案　D 2.某地区植被被破坏，土地沙漠化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加数y(万公顷)关于年数x(年)的函数关系较为近似的是(　　) A.y=0.2x B.y=(x2+2x) C.y= D.y=0.2+log16x 答案　C 解析　将x=1，2，3，y=0.2，0.4，0.76分别代入验算. 3.有一组实验数据如下表所示： x 1 2 3 4 5 y 1.5 5.9 13.4 24.1 37 下列所给函数模型较适合的是(　　) A.y=logax(a>1) B.y=ax+b(a>1) C.y=ax2+b(a>0) D.y=logax+b(a>1) 答案　C 解析　通过所给数据可知y随x增大，其增长速度越来越快，而A，D中的函数增长速度越来越慢，B中的函数增长速度保持不变，只有C中的函数较合适. 4.函数f(x)=x与g(x)=在区间(0，+∞)上的衰减情况为(　　) A.f(x)的衰减速度越来越慢， g(x)的衰减速度越来越快 B.f(x)的衰减速度越来越快，g(x)的衰减速度越来越慢 C.f(x)的衰减速度越来越慢，g(x)的衰减速度越来越慢 D.f(x)的衰减速度越来越快，g(x)的衰减速度越来越快 答案　C 解析　在平面直角坐标系中画出f(x)与g(x)的图象如图所示， 由图象可判断出衰减情况为f(x)的衰减速度越来越慢，g(x)的衰减速度越来越慢. 5.(多选)当a>1时，下列结论中正确的是(　　) A.指数函数y=ax，当a越大时，其函数值的增长越快 B.指数函数y=ax，当a越小时，其函数值的增长越快 C.对数函数y=logax，当a越大时，其函数值的增长越快 D.对数函数y=logax，当a越小时，其函数值的增长越快 答案　AD 解析　对于指数函数y=ax(a>1)，底数a越大，在y轴右侧，其图象越接近于y轴，其函数值的增长越快；对于对数函数y=logax(a>1)，底数越大，其图象越接近于x轴，函数值的增长越慢，因此当a越小时，其函数值的增长越快. 6.(多选)已知函数y1=x2，y2=2x，y3=x，则下列关于这三个函数的描述中，正确的是(　　) A.当x∈(4，+∞)时，随着x的逐渐增大，y1的增长速度越来越快于y2 B.当x∈(4，+∞)时，随着x的逐渐增大，y2的增长速度越来越快于y1 C.当x∈(0，+∞)时，y1的增长速度一直快于y3 D.当x∈(0，+∞)时，y2的增长速度有时快于y1 答案　BD 解析　当x>0时，曲线y1=x2与y2=2x的交点坐标为(2，4)和(4，16)，曲线y1=x2与y3=x的交点坐标为(1，1).如图，对于y1=x2，y2=2x，当0<x<2时，y2>y1，当2<x<4时，y1>y2，当x>4时，y2>y1，且y1再也追不上y2，故当x∈(4，+∞)时，随着x的逐渐增大，y2的增长速度越来越快于y1，A错误，B，D正确；对于y1=x2，y3=x，由于y3=x的增长速度是不变的，当0<x<1时，y3>y1，当x>1时，y1>y3，y3再也追不上y1，所以当x∈(0，+∞)时，y1的增长速度不是一直快于y3，C错误. 7.(5分)物价上涨是民生的热点话题，某部门为尽快实现稳定某物品的价格，提出四种绿色运输方案.据预测，这四种方案均能在规定的时间T内完成预测的运输任务Q0，各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如图所示，则在这四种方案中，运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是　　　　.(填序号)  答案　② 解析　Q的增长速度随t的增大越来越快，即运输效率在逐步提高，只有②符合. 8.(5分)三个变量y1，y2，y3随自变量x的变化情况如表： x 1 3 5 7 9 11 y1 5 135 625 1 715 3 645 6 633 y2 5 29 245 2 189 19 685 177 149 y3 5 6.1 6.61 6.95 7.20 7.40 其中符合对数函数模型的变量是　　　　，符合指数函数模型的变量是　　　　，符合幂函数模型的变量是　　　　.  答案　y3　y2　y1 解析　由题中表格，可知三个变量y1，y2，y3随着x的增大都是越来越大的，其中y2的增长速度最快，符合指数函数模型，y3的增长速度最慢，符合对数函数模型，y1符合幂函数模型. 9.(11分)函数f(x)=lg x，g(x)=0.3x-1的图象如图所示. (1)试根据函数的增长差异指出曲线C1，C2分别对应的函数；(4分) (2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较).(7分) 解　(1)C1对应的函数为g(x)=0.3x-1，C2对应的函数为f(x)=lg x. (2)当0<x<x1时，g(x)>f(x)； 当x1<x<x2时，f(x)>g(x)； 当x>x2时，g(x)>f(x)； 当x=x1或x=x2时，f(x)=g(x). 10.(12分)每年的3月12日是植树节，全国各地在这一天都会开展各种形式的植树活动，某市现有树木面积10万平方米，计划今后5年内扩大树木面积，现有两种方案如下： 方案一：每年植树1万平方米； 方案二：每年树木面积比上一年增加9%. 5年后哪个方案的树木面积较大？ 解　方案一：5年后树木面积为10+1×5=15(万平方米). 方案二：5年后树木面积是10(1+9%)5≈15.386(万平方米)， 因为15.386>15，所以方案二的树木面积较大. 11.安徽怀远石榴自古就有“九州之奇树，天下之名果”的美称，今年又喜获丰收.某中学数学兴趣小组进行社会调查，了解到某石榴合作社为了实现100万元利润的目标，准备制定激励销售人员的奖励方案：在销售利润超过6万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随销售利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不能超过利润的20%.同学们利用函数知识设计了如下函数模型，其中符合合作社要求的是(参考数据：1.015100≈4.432，lg 11≈1.041)(　　) A.y=0.04x B.y=1.015x-1 C.y=tan D.y=log11(3x-10) 答案　D 解析　对于函数y=0.04x， 当x=100时，y=4>3，不符合题意； 对于函数y=1.015x-1， 当x=100时，y=3.432>3，不符合题意； 对于函数y=tan不满足单调递增，不符合题意； 对于函数y=log11(3x-10)，满足当x∈(6，100]时，函数单调递增，且y≤log11(3×100-10)=log11290<log111 331=3，符合题意. 12.(多选)甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一个方向运动，其路程fi(x)(i=1，2，3，4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f1(x)=2x-1，f2(x)=x2，f3(x)=x，f4(x)=log2(x+1)，以下说法正确的是(　　) A.当x>1时，乙走在最前面 B.当0<x<1时，丁走在最前面，当x>1时，丁走在最后面 C.丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面 D.如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲 答案　BCD 解析　f1(x)=2x-1，f2(x)=x2，f3(x)=x，f4(x)=log2(x+1)相应的函数分别是指数型函数、二次函数、一次函数和对数型函数.当x=5时，f1(5)=31，f2(5)=25，f1(5)>f2(5)，A不正确；根据四种函数的变化特点，对数型函数的变化是先快后慢，当x=1时甲、乙、丙、丁四个物体又重合，从而可知当0<x<1时，丁走在最前面，当x>1时，丁走在最后面，B正确；指数型函数变化是先慢后快，当运动的时间足够长，最前面的一定是按照指数型函数运动的物体，即一定是甲物体，D正确；结合对数型和指数型函数的图象变化情况，可知丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面，C正确. 13.(4分)生活经验告诉我们，当水注入容器(设单位时间内进水量相同)时，水面的高度随着时间的变化而变化，在图中请选择与容器相匹配的图象，A对应　　　　；B对应　　　　；C对应　　　　；D对应　　　　.  答案　(4)　(1)　(3)　(2) 解析　A容器下粗上细，水面高度的变化先慢后快， 故与(4)对应；B容器为球形，水面高度变化为快—慢—快，故与(1)对应；C，D容器都是柱形的，水面高度的变化速度都应是直线型，但C容器细，D容器粗，故C容器水面高度变化快，与(3)对应，D容器水面高度变化慢，与(2)对应. 14.(5分)在密闭培养环境中，某类细菌的繁殖在初期会较快，随着单位体积内细菌数量的增加，繁殖速度又会减慢.在一次实验中，检测到这类细菌在培养皿中的数量y(单位：百万个)与培养时间x(单位：小时)的数据如表： x/小时 2 3 4 5 6 8 y/百万个 3.5 3.8 4 4.16 4.3 4.5 根据表格中的数据在坐标系中描出各点如图. 为了描述从第2小时开始细菌数量随时间变化的关系，现有以下三种模型供选择： ①y=alog2x+b；②y=x2+ax+b；③y=2x-a+b. 你认为最符合实际的函数模型是　　　　(填序号)；利用(4，4)和(8，4.5)这两组数据求出你选择的函数模型的解析式，并预测从第2小时开始，至少再经过　　　　个小时，细菌数量达到6百万个.  答案　①　62 解析　随着自变量x的增加，函数值y的增长速度变小， 而y=x2+ax+b在对称轴右方，随着自变量x的增加，函数值y的增长速度变大， y=2x-a+b随着自变量x的增加，函数值y的增长速度变大，故选择函数y=alog2x+b. 由题意可得 解得所以y=log2x+3. 令y=log2x+3≥6，解得x≥64. 故至少再经过62个小时，细菌数量达到6百万个. 学科网（北京）股份有限公司 $