第7章 周末练15 章末检测试卷六(第7章 三角函数)（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（苏教版）

**基本信息** 以三角函数为核心，通过19道题构建"概念-性质-应用"三阶训练体系，强化逻辑推理与数学建模能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|3题|公式法、定义法|从扇形面积公式推导到三角函数定义应用| |函数性质|4题|性质分析法、周期公式|由周期计算到对称性判断的递进| |图像应用|6题|图像变换法、数形结合|从图像识别到方程根的几何意义| |实际建模|2题|数学建模法|将实际问题抽象为三角函数模型|

周末练15　章末检测试卷六(第7章) [时间：120分钟　分值：150分] 一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分) 1.若扇形的面积为16 cm2，圆心角为2 rad，则该扇形的弧长为(　　) A.4 cm B.8 cm C.12 cm D.16 cm 答案　B 解析　S=|α|r2=r2=16(cm2)， ∴r=4(cm)，l=|α|r=2×4=8(cm)，故选B. 2.下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线x=对称的是(　　) A.y=sin B.y=sin C.y=sin D.y=sin 答案　A 解析　∵最小正周期为π，∴ω=2， 又图象关于直线x=对称， ∴f=±1，故只有A符合. 3.若α是第三象限角，则π-是(　　) A.第一或第二象限角 B.第一或第三象限角 C.第二或第三象限角 D.第二或第四象限角 答案　B 解析　∵α是第三象限角， ∴2kπ+π<α<2kπ+k∈Z， ∴kπ+<<kπ+k∈Z， ∴-kπ-<-<-kπ-k∈Z. ∴-kπ+<π-<-kπ+k∈Z. 当k为偶数时，π-是第一象限角； 当k为奇数时，π-是第三象限角. 4.已知角θ的终边经过点(3，-4)，则等于(　　) A. B.- C. D.- 答案　C 解析　由三角函数的定义可得tan θ=- 因此 ==-=. 5.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)的部分图象如图所示，则f(x)的减区间为(　　) A.k∈Z B.k∈Z C.k∈Z D.k∈Z 答案　A 解析　易得周期T满足T=-=π，故T=.且图中最高点横坐标x=-T=-×π=.故f(x)的一个减区间为=.又函数周期T=. 故减区间为k∈Z. 6.达·芬奇的经典之作《蒙娜丽莎》举世闻名.数百年来画中女子神秘的微笑让无数观赏者入迷.某业余爱好者对《蒙娜丽莎》的缩小影像作品进行了粗略测绘，将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧，在嘴角A，C处作圆弧的切线，两条切线交于B点，测得如下数据：AB=6 cm，BC=6 cm，AC=10.392 cm.根据测量得到的结果推算：将《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角约等于(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　依题意知AB=BC=6，设∠ABC=2θ. 则sin θ==0.866≈.∴θ≈2θ≈. 设《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角为α，则α+2θ=π，∴α≈. 7.方程lg|x|=sin的实数根的个数为(　　) A.4 B.5 C.6 D.7 答案　C 解析　由≤1，得-1≤lg|x|≤1， 即≤|x|≤10，方程lg|x|=sin实数根的个数就是函数y=lg|x|与y=sin图象公共点的个数，当x>0时，两函数图象如图所示， 两图象有3个公共点，同理，当x<0时，两图象也有3个公共点，故两图象共有6个公共点，从而方程有6个实数根. 8.已知函数f(x)=2cos(ω>0)，若f(x)的图象在[0，2π]上有且仅有2条对称轴，且方程f(x)=0在[0，2π]上有且仅有3个根，则ω的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　令t=ωx+由x∈[0，2π]， 得t∈. 又f(x)的图象在[0，2π]上有且仅有2条对称轴， 且方程f(x)=0在[0，2π]上有且仅有3个根， 即y=2cos t的图象在上有且仅有2条对称轴， 且方程2cos t=0在上有且仅有3个根. 作出y=2cos t的图象(如图)， 所以≤2πω+<3π，解得≤ω<即ω的取值范围是. 二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.下列函数中最小正周期为π的是(　　) A.y=cos|2x| B.y=|cos x| C.y=cos D.y=tan 答案　ABC 解析　A中，y=cos|2x|=cos 2x，其最小正周期为π；B中，y=|cos x|是y=cos x将x轴下方的部分向上翻折得到的，故周期减半，即y=|cos x|的最小正周期为π； C中，y=cos的最小正周期T==π； D中，y=tan的最小正周期T=. 10.已知函数f(x)=2sin+1，则下列说法正确的是(　　) A.函数f(x)的图象关于点对称 B.函数f(x)图象的一条对称轴是x=- C.若x∈则函数f(x)的最小值为+1 D.若0<x1<x2<π，则f(x1)<f(x2) 答案　BC 解析　A项，令2x-=kπ(k∈Z)知函数f(x)关于点(k∈Z)对称，所以A不成立； B项，令2x-=+kπ(k∈Z)知函数f(x)关于x=+(k∈Z)对称，所以B成立； C项，若x∈2x-∈ 则函数f(x)的最小值为+1，所以C成立； D项，当x∈(0，π)时，2x-∈f(x)不具有单调性，所以D不成立. 11.对于函数f(x)=下列说法中不正确的是(　　) A.该函数的值域是[-1，1] B.当且仅当x=2kπ+(k∈Z)时，函数取得最大值1 C.当且仅当x=2kπ-(k∈Z)时，函数取得最小值-1 D.当且仅当2kπ+π<x<2kπ+(k∈Z)时，f(x)<0 答案　ABC 解析　画出函数f(x)的图象如图所示，由图象容易看出，该函数的值域是；当且仅当x=2kπ+或x=2kπ(k∈Z)时，函数取得最大值1；当且仅当x=2kπ+(k∈Z)时，函数取得最小值-；当且仅当2kπ+π<x<2kπ+(k∈Z)时，f(x)<0，可知A，B，C不正确，D正确. 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12.已知函数f(x)=tan ωx(ω>0)的图象的相邻两支截直线y=所得线段长为则ω=　　　，f=　　　.  答案　4　0 解析　∵f(x)的图象的相邻两支截直线y=所得线段的长度即为f(x)=tan ωx的一个周期， ∴=ω=4，因此f =tan=tan π=0. 13.设定义在区间上的函数y=cos x与y=tan x的图象交于点P，过点P作x轴的垂线，垂足为P1，直线PP1与函数y=sin x的图象交于点P2，则线段P1P2的长为　　　　.  答案　 解析　不妨设P1坐标为(x0，0)， 则P1P2的长为sin x0. ∵y=cos x与y=tan x的图象交于点P， 即cos x0=tan x0，cos x0=. 解得sin x0= 则线段P1P2的长为. 14.已知函数f(x)=2sin的图象向左平移个单位长度后得到函数g(x)的图象，若实数x1，x2满足f(x1)-g(x2)=4，则|x1-x2|的最小值为　　　　　　.  答案　 解析　由题意得g(x)=f=2sin=2cos 2x， 因为实数x1，x2满足f(x1)-g(x2)=4， 所以 所以2x1+=+2k1π，k1∈Z，2x2=π+2k2π，k2∈Z， 解得x1=+k1π，k1∈Z，x2=+k2π，k2∈Z， 所以x1-x2=-+(k1-k2)π，k1∈Z，k2∈Z. 所以|x1-x2|min=. 四、解答题(本题共5小题，共77分) 15.(13分)已知-<x<sin x+cos x=. (1)求的值；(7分) (2)求sin x-cos x的值.(6分) 解　(1)∵sin x+cos x= ∴1+2sin xcos x=即sin xcos x=- ∴= ==sin xcos x=-. (2)由(1)知sin xcos x=-<0，又-<x< ∴cos x>0，sin x<0， ∴sin x-cos x=- =-=-. 16.(15分)已知函数f(x)=sin-1. (1)求f(x)的最小正周期；(6分) (2)求f(x)的减区间及最大值.(9分) 解　(1)f(x)的最小正周期T==π. (2)因为函数y=sin x的减区间为 k∈Z， 由2kπ+≤2x-≤2kπ+k∈Z， 得kπ+≤x≤kπ+k∈Z. ∴f(x)的减区间为k∈Z. 当sin=1时，f(x)max=-1. 17.(15分)已知关于x的方程2x2-bx+=0的两根为sin θ和cos θ，θ∈. (1)求实数b的值；(7分) (2)求的值.(8分) 解　(1)∵sin θ，cos θ为关于x的方程 2x2-bx+=0的两根， ∴ 由②③，得=1+ 解得b=±此时Δ=5-2>0， 又θ∈ ∴sin θ+cos θ>0， ∴b=. (2)由(1)，得sin θ+cos θ=. 又θ∈ ∴sin θ>cos θ， ∴sin θ-cos θ= == ∴== =4+2-2-. 18.(17分)某同学在做研究性学习时发现某景区每年到访的游客人数会发生周期性的变化.现假设该风景区每年各个月份游客的人数(单位：万人)φ(n)可近似地用函数φ(n)=10[Acos(ωn+2)+m]来刻画.其中，正整数n表示月份且n∈[1，12]，例如n=2时表示二月份；A和m是正整数；ω>0.统计发现，风景区每年各个月份游客人数有以下规律： ①每一年相同的月份，该风景区游客人数大致相同； ②该景区游客人数最多的八月份和最少的二月份相差约400 000人； ③二月份该风景区游客大约为100 000人，随后逐渐增加，八月份达到最多. (1)试根据已知信息，确定一个符合条件的φ(n)的表达式；(8分) (2)一般地，当该地区游客超过400 000人时，该风景区也进入了一年中的旅游“旺季”.那么，一年中的哪几个月是该风景区的旅游“旺季”？请说明理由.(9分) 解　(1)根据题意，可知该函数为周期函数且周期为12，可得T==12，即ω= 由规律②③可知 解得A=2，m=3， 综上可得，φ(n)=10. (2)由φ(n)=10>40， 可得cos> ∴2kπ-<+2<2kπ+k∈Z， 即12k-2-<n<12k+2-k∈Z， 又n∈[1，12]，n∈Z， 当k=1时，10-<n<14- 故n=7，8，9，10， 即一年中的7月，8月，9月，10月是该风景区的旅游“旺季”. 19.(17分)已知函数f(x)=2sin. (1)求函数f(x)的最小值及f(x)取到最小值时自变量x的集合；(4分) (2)指出函数y=f(x)的图象可以由函数y=sin x的图象经过哪些变换得到；(6分) (3)当x∈[0，m]时，函数y=f(x)的值域为[-2]，求实数m的取值范围.(7分) 解　(1)f(x)min=-2，此时2x-=2kπ-k∈Z， 即x=kπ-k∈Z，即此时自变量x的集合是. (2)把函数y=sin x的图象向右平移个单位长度，得到函数y=sin的图象，再把函数y=sin的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，得到函数y=sin的图象，最后再把函数y=sin的图象上所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍，得到函数y=2sin的图象. (3)如图，因为当x∈[0，m]时，y=f(x)可以取到最大值2，所以m≥. 又函数y=f(x)在上单调递减，f(0)=-故m的最大值为内使函数值为-的值，令2sin=-得x= 所以m的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $