8.2.2 函数的实际应用 （Word教参）-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第一册（苏教版）

8.2.2　函数的实际应用 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] [课时目标] 1.理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具. 2.在实际情境中,会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律. 几类常见函数的模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)=ax+b(a,b为常数,a≠0) 反比例函数模型 f(x)=+b(k,b为常数且k≠0) 二次函数模型 f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0) 指数型函数模型 f(x)=bax+c(a,b,c为常数,b≠0,a>0,且a≠1) 对数型函数模型 f(x)=blogax+c(a,b,c为常数,b≠0,a>0,且a≠1) 幂函数模型 f(x)=axn+b(a,b为常数,a≠0) |微|点|助|解| 1.应用函数模型解决应用问题的注意事项 (1)正确理解题意,选择适当的函数模型; (2)要特别关注实际问题中的自变量的取值范围,合理确定函数的定义域; (3)在解决函数模型后,必须验证这个数学解对实际问题的合理性. 2.用函数建立数学模型的关键 一是实际问题数学化,即在理解的基础上,通过列表、画图、引入变量、建立平面直角坐标系等手段把实际问题翻译成数学问题,把文字语言翻译成数学符号语言; 二是对得到的函数模型进行解答,得到数学问题的解 . 基础落实训练 1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)银行利率、细胞分裂等增长率问题可以用指数函数模型来描述. (　 ) (2)在函数建模中,散点图可以帮助我们选择恰当的函数模型. (　 ) (3)当不同的范围下,对应关系不同时,可以选择分段函数模型. (　 ) (4)无论运用哪种函数模型,解决实际问题都要注重实际条件的限制. (　 ) 答案:(1)√　(2)√　(3)√　(4)√ 2.某林场计划第一年造林10 000亩,以后每年比前一年多造林20%,则第四年造林 (　 ) A.14 400亩 B.172 800亩 C.17 280亩 D.20 736亩 答案:C 3.为解决老百姓买药贵的问题,国家决定对某药品分两次降价,假设平均每次降价的百分率为x.已知该药品的原价是m元,降价后的价格是y元,则y关于x的函数关系式是 (　 ) A.y=m(1-x)2 B.y=m(1+x)2 C.y=2m(1-x) D.y=2m(1+x) 解析:选A　第一次降价后价格为m(1-x),第二次降价后价格变为y=m(1-x)(1-x)=m(1-x)2. 题型(一)　二次函数模型 [例1]　据市场分析,烟台某海鲜加工公司当月产量在10吨至25吨时,月生产总成本y(万元)可以看成月产量x(吨)的二次函数;当月产量为10吨时,月总成本为20万元;当月产量为15吨时,月总成本最低为17.5万元,为二次函数的顶点. (1)写出月总成本y(万元)关于月产量x(吨)的函数关系式; (2)已知该产品销售价为每吨1.6万元,那么月产量为多少时,可获最大利润? [解]　(1)由题意,设y=a(x-15)2+17.5(a≠0), 将x=10,y=20代入上式,得20=25a+17.5, 解得a=0.1. 所以y=0.1(x-15)2+17.5(10≤x≤25). (2)设月利润为Q(x), 则Q(x)=1.6x-y=1.6x-[0.1(x-15)2+17.5]=-0.1(x-23)2+12.9(10≤x≤25).所以月产量为23吨时,可获得最大利润为12.9万元. |思|维|建|模|　利用二次函数求最值的方法及注意点 方法 根据实际问题建立函数模型解析式后,可利用配方法、判别式法、换元法以及函数的单调性等方法求最值,从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等最值问题 注意点 取得最值时的自变量与实际意义是否相符 　　[针对训练] 1.如图,已知边长为8米的正方形钢板有一个角被锈蚀,其中AE=4米,CD=6米.为了合理利用这块钢板,在五边形ABCDE内截取一个矩形BNPM,使点P在边DE上. (1)设MP=x米,PN=y米,将y表示成x的函数,并求该函数的解析式及定义域; (2)求矩形BNPM面积的最大值. 解:(1)如图,作PQ⊥AF于点Q, ∴PQ=8-y,EQ=x-4. ∵PQ∥DF,∴△EDF∽△EPQ. ∴=,即=. ∴y=-x+10,定义域为{x|4≤x≤8}. (2)设矩形BNPM的面积为S,则S(x)=xy=x=-(x-10)2+50,4≤x≤8. ∴S(x)是关于x的二次函数,且图象开口向下,对称轴为直线x=10. ∴当x∈[4,8]时,S(x)单调递增. ∴当x=8时,矩形BNPM的面积取得最大值,最大值为48平方米. 题型(二)　分段函数模型 [例2]　某超市引进A,B两类有机蔬菜.在当天进货都售完的前提下,A类有机蔬菜的纯利润为3元/千克,B类有机蔬菜的纯利润为5元/千克.若当天出现未售完的有机蔬菜,次日将以5折售出,此时售出的A类蔬菜的亏损为1元/千克,B类蔬菜的亏损为3元/千克.已知当天未售完的有机蔬菜,次日5折促销都能售完.假设该超市A,B两类有机蔬菜当天共进货100千克,其中A类有机蔬菜进货x(x∈N,30≤x≤70)千克,假设A,B类有机蔬菜进货当天可售完的质量均为50千克. (1)试求进货当天及次日该超市这两类有机蔬菜的总盈利f(x)(单位:元)的表达式; (2)若f(x)≥322,求x的取值范围. [解]　(1)当x∈N,30≤x≤50时,f(x)=3x+50×5-3(100-x-50)=6x+100; 当x∈N,50<x≤70时,f(x)=50×3+5×(100-x)-1×(x-50)=700-6x. 故f(x)= (2)当x∈N,30≤x≤50时, 由6x+100≥322,解得x≥37; 当x∈N,50<x≤70时, 由700-6x≥322,解得x≤63. 故x的取值范围是{x∈N|37≤x≤63}. |思|维|建|模| 构建分段函数模型的关键点 　　建立分段函数模型的关键是确定分段的各边界点,即明确自变量的取值区间,对每一区间进行分类讨论,从而写出函数的解析式. [针对训练] 2.某学校准备购买一批电脑,在购买前进行的市场调查显示:在相同品牌、质量与售后服务的条件下,甲、乙两公司的报价都是每台6 000元.甲公司的优惠条件是购买10台以上的,从第11台开始按报价的七折计算,乙公司的优惠条件是均按八五折计算. (1)分别写出在两公司购买电脑的总费用y甲,y乙与购买台数x之间的函数关系式. (2)根据购买的台数,你认为学校应选择哪家公司更合算? 解:(1)由题意,得y甲= y乙=5 100x(x∈N). (2)当x≤10时,显然y甲>y乙; 当x>10时,令y甲>y乙, 即4 200x+18 000>5 100x,解得x<20. 故当购买的台数小于20台时,应选择乙公司; 当购买的台数超过20台时,应选择甲公司; 当购买的台数为20台时,选择甲、乙公司均可. 题型(三)　指数型函数模型 [例3]　一种放射性元素,最初的质量为500 g,按每年10%衰减. (1)求t年后,这种放射性元素的质量w的表达式; (2)由求出的函数表达式,求这种放射性元素的半衰期(保留小数点后一位,参考数据lg 2≈0.3,lg 3≈0.48). [解]　(1)最初的质量为500 g. 经过1年,w=500(1-10%)=500×0.9;经过2年,w=500×0.92;由此推知,t年后,w=500×0.9t. (2)由题意得500×0.9t=250,即0.9t=0.5,两边取以10为底的对数,得lg 0.9t=lg 0.5,即tlg 0.9=lg 0.5,∴t==≈7.5. 即这种放射性元素的半衰期为7.5年. |思|维|建|模| (1)实际问题中,有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题都可以用指数型函数模型表示. (2)利用指数函数的单调性即可得出函数的单调性,利用指数式与对数式的转化可得出函数的表达式. [针对训练] 3.物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述,设物体的初始温度是T0,经过一定时间t后的温度是T,则T-Ta=(T0-Ta)×,其中Ta表示环境温度,h称为半衰期,现有一杯用88 ℃热水冲的速溶咖啡,放在24 ℃的房间中,如果咖啡降温到40 ℃需要20 min,那么降温到32 ℃时,需要多长时间? 解:由题意知40-24=(88-24)×, 即=,解得h=10. 故原式可化简为T-24=(88-24)×, 当T=32时,代入上式,得32-24=(88-24)×,即===,∴t=30. 因此,降温到32 ℃需要30 min. 题型(四)　对数型函数模型 [例4]　某同学对航天知识有着浓厚的兴趣,通过查阅资料,他发现在不考虑气动阻力和地球引力等造成的影响时,火箭是目前唯一能使物体达到宇宙速度,克服或摆脱地球引力,进入宇宙空间的运载工具.早在1903年齐奥尔科夫斯基就推导出火箭的最大理想速度公式:v=ωln,被称为齐奥尔科夫斯基公式,其中ω为喷流相对火箭的速度,m0和mk分别是火箭的初始质量和发动机熄火(推进剂用完)时的质量,被称为火箭的质量比. (1)某火箭的初始质量为160吨,喷流相对火箭的速度为2千米/秒,发动机熄火时的火箭质量为40吨,求该火箭的最大理想速度(保留2位有效数字); (2)根据现在的科学水平,通常火箭的质量比不超过10.如果喷流相对火箭的速度为2千米/秒,请判断该火箭的最大理想速度能否超过第一宇宙速度7.9千米/秒,并说明理由.(参考数据:ln 2≈0.69) [解]　(1)由题意,ω=2,m0=160,mk=40, ∴v=ωln=2×ln=2ln 4=4ln 2≈2.8, ∴该火箭的最大理想速度为2.8千米/秒. (2)∵≤10,ω=2,∴v=ωln≤2ln 10. ∵e7.9>27.9>27=128,∴7.9=ln e7.9>ln 128>ln 100=2ln 10,即vmax=2ln 10<7.9. ∴该火箭的最大理想速度不能超过第一宇宙速度7.9千米/秒. |思|维|建|模| 对数型函数应用题的基本类型和求解策略 (1)基本类型:有关对数型函数的应用题一般都会给出函数的解析式,然后根据实际问题求解. (2)求解策略:首先根据实际情况求出函数解析式中的参数,或给出具体情境,从中提炼出数据,代入解析式求值,然后根据数值回答其实际意义. [针对训练] 4.设小丁单次持续背单词所花时间y(分钟)与背出单词数x(个)之间满足函数表达式y=k·lg,其中常数k,b∈R且k,b≠0.已知小丁持续背单词50分钟背出了20个单词,100分钟背出了30个单词.问:小丁持续背200分钟约能背出多少个单词?(四舍五入精确到个位) 解:由题意,得 两式相除,得=, 即1-=, 解得b=40.所以k=, 即y=·lg. 当y=200时,解得x=37.5≈38(个), 所以小丁200分钟约能背出38个单词. [课时检测] 1.某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个,…,现有2个这样的细胞,分裂x次后得到细胞的个数y与x的函数关系是 (　 ) A.y=2x B.y=2x-1 C.y=2x D.y=2x+1 解析:选D　分裂一次后由2个变成2×2=22个,分裂两次后变成4×2=23个,…,分裂x次后变成y=2x+1个. 2.若拟定从甲地到乙地通话m分钟的电话费由f(m)=1.06(0.5·{m}+1)(元)决定,其中m>0,{m}是大于或等于m的最小整数,(如:{3}=3,{3.8}=4,{3.1}=4),则从甲地到乙地通话时间为5.5分钟的电话费为 (　 ) A.3.71元 B.3.97元 C.4.24元 D.4.77元 解析:选C　由已知得{5.5}=6.由f(m)=1.06(0.5·{m}+1),得f(5.5)=1.06(0.5·{5.5}+1)=1.06×(0.5×6+1)=4.24元,故选C. 3.国家规定某行业征税如下:年收入在280万元及以下的税率为p%,超过280万元的部分按(p+2)%征税.有一公司的实际缴税比例为(p+0.25)%,则该公司的年收入是 (　 ) A.560万元 B.420万元 C.350万元 D.320万元 解析:选D　设该公司的年收入为a万元,则280p%+(a-280)(p+2)%=a(p+0.25)%, 解得a==320. 4.设在海拔x m处的大气压强是y Pa,y与x之间的函数关系为y=cekx,其中c,k为常量.已知海平面处的大气压强为1.01×105Pa,在1 000 m高空处的大气压强为0.90×105Pa,则在600 m高空处的大气压强约为(参考数据:0.890.6≈0.93) (　 ) A.9.4×104 Pa B.9.4×106 Pa C.9×103 Pa D.9×105 Pa 解析:选A　依题意得1.01×105=ce0=c,0.90×105=ce1 000k,因此e1 000k=≈0.89, 因此当x=600时,y=1.01×105e600k=1.01×105(e1 000k)0.6=1.01×105×0.890.6≈9.4×104.故选A. 5.酒驾是严重危害交通安全的违法行为,为了保障安全,根据国家有关规定:100 mL血液中酒精含量达到20~79 mg的驾驶员即为酒后驾车,80 mg及以上认定为醉酒驾车.某驾驶员喝了一定量的酒后,其血液中酒精含量上升到了0.6 mg/mL,如果停止饮酒后,他的血液中的酒精会以每小时25%的速度减少,那么他至少要经过几个小时后才能驾车 (　 ) A.6 B.5 C.4 D.3 解析:选C　设他至少经过x个小时才能驾驶汽车,则60(1-25%)x<20,∴<,当x=3时,=>;当x=4时,=<;结合选项可知他至少经过4个小时才能驾驶汽车.故选C. 6.已知一种放射性元素,每年的衰减率是8%,那么a千克的这种物质的半衰期(剩余量为原来的一半所需的时间)t等于 (　 ) A.lg B.lg C. D. 解析:选C　由题意得a(1-8%)t=,所以0.92t=0.5.两边取对数得lg 0.92t=lg 0.5.所以tlg 0.92=lg 0.5.故t=. 7.所谓声强,是指声音在传播途径上每1平方米面积上的声能流密度,用I表示,人类能听到的声强范围很广,其中能听见的1 000 Hz声音的声强(约10-12 W/m2)为标准声强,记作I0,声强I与标准声强I0之比的常用对数称作声强的声强级,记作L,即L=lg,声强级L的单位名称为贝尔,符号为B,取贝尔的十分之一作为响度的常用单位,称为分贝尔,简称分贝(dB).《三国演义》中有张飞喝断当阳桥的故事,设张飞大喝一声的响度为140 dB.一个士兵大喝一声的响度为90 dB,如果一群士兵同时大喝一声相当于张飞大喝一声的响度,那么这群士兵的人数为 (　 ) A.1万 B.2万 C.5万 D.10万 解析:选D　设张飞的声强为I1,一个士兵的声强为I2,根据题意可知,140=10lg,90=10lg,所以I1=102,I2=10-3,所以=105,所以这群士兵的人数为10万. 8.(5分)某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入运营,据市场分析,每辆客车营运的利润y与营运年数x(x∈N)为二次函数关系(如图),则客车有营运利润的时间不超过　　　　年.  解析:由题图知函数关于直线x=6对称,设y=a(x-6)2+11.又函数过点(4,7),代入函数解析式,可得a=-1.所以y=-(x-6)2+11.令y≥0,得6-≤x≤6+,所以有营运利润的时间为2.又6<2<7,故有营运利润的时间不超过7年. 答案:7 9.(5分)已知某种放射性元素的原子数N随时间t的变化规律是N=N0e-λt,其中N0,λ为正常数.由放射性元素的这种性质,可以制造高精度的时钟,用原子数表示时间t为　　　　.  解析:因为N=N0e-λt,所以=e-λt,两边取以e为底的对数,所以t=-ln. 答案:t=-ln 10.(5分)“学习曲线”可以用来描述学习某一任务的速度,假设函数t=-144lg中,t表示达到某一英文打字水平所需的学习时间,N表示每分钟打出的字数.则当N=40时,t=　　　　(已知lg 2≈0.301,lg 3≈0.477).  解析:当N=40时,t=-144lg=-144lg=-144(lg 5-2lg 3)=-144(1-lg 2-2lg 3)≈36.72. 答案:36.72 11.(10分)在数学课外活动中,小明同学进行了糖块溶于水的实验:将一块质量为7 g的糖块放入一定量的水中,测量不同时刻未溶解糖块的质量,得到若干组数据,其中在第5 min末测得未溶解糖块的质量为3.5 g.联想到教科书中研究“物体冷却”的问题,小明发现可以用指数型函数S=ae-kt(a,k是常数)来描述以上糖块的溶解过程,其中S(单位:g)代表t min末未溶解糖块的质量. (1)求a的值;(2分) (2)求k的值;(3分) (3)设这个实验中t min末已溶解的糖块的质量为M,请画出M随t变化的函数关系的草图,并简要描述实验中糖块的溶解过程.(5分) 解:(1)由题意,当t=0时,S=a=7. (2)因为5 min末测得未溶解糖块的质量为3.5 g,所以3.5=7e-5k. 解得k=. (3)M随t变化的函数关系的草图如图所示.溶解过程,随着时间的增加,逐渐溶解. 12.(15分)某医药研究所开发的一种新药,如果成年人按规定的剂量服用,据监测: 服药后每毫升血液中的含药量y(单位:微克)与时间t(单位:小时)之间近似满足如图所示的曲线. (1)写出第一次服药后y与t之间的函数关系式y=f(t);(7分) (2)据进一步测定:每毫升血液中含药量不少于1微克时,治疗有效.问:服药多少小时开始有治疗效果?治疗效果能持续多少小时?(精确到0.1)(参考数据:lg 2=0.301)(8分) 解:(1)根据题图知,当0≤t<1时,y=4t;当t≥1时,y=a·0.8t,当t=1时,y=4,得4=a·0.8.所以a=5,即y=5·0.8t. 因此y=f(t)= (2)根据题意知,当y=4t≥1时,t≥=0.25;当y=5·0.8t≥1时,即0.8t≥0.2,所以t≤==≈7.21.所以0.25≤t≤7.21,7.21-0.25=6.96≈7.0.因此服药0.25小时(即15分钟)开始有治疗效果,治疗效果能持续7.0小时. [阶段质量评价]　　　　　　　　第8章　函数应用 (时间:120分钟　满分:150分) 一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题所给的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.已知y=f(x)是定义在R上的函数.下列命题正确的是 (　 ) A.若y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,且在(a,b)内有零点,则有f(a)·f(b)<0 B.若y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,且有f(a)·f(b)>0,则其在(a,b)内没有零点 C.若y=f(x)在区间(a,b)上的图象是一条连续不断的曲线,且有f(a)·f(b)<0,则其在(a,b)内有零点 D.若y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,且有f(a)·f(b)<0,则其在(a,b)内有零点 答案:D 2.函数f(x)=ln x-的零点所在的大致区间是 (　 ) A.(1,2) B.(2,e) C. D.(e,3) 解析:选D　因为y=ln x与y=-在(0,+∞)上单调递增, 所以f(x)=ln x-在(0,+∞)上单调递增.又f(e)=1-<0,f(3)=ln 3-1>0,由f(e)f(3)<0,所以f(x)在(e,3)上存在唯一零点. 3.已知y=(x-m)(x-n)+2 022(m<n),且α,β(α<β)是方程y=0的两实数根,则α,β,m,n的大小关系是 (　 ) A.α<m<n<β B.m<α<n<β C.m<α<β<n D.α<m<β<n 解析:选C　∵α,β为方程y=0的两实数根,∴α,β为函数y=(x-m)(x-n)+2 022的图象与x轴交点的横坐标.令y1=(x-m)(x-n),∴m,n为函数y1=(x-m)(x-n)的图象与x轴交点的横坐标.易知函数y=(x-m)(x-n)+2 022的图象可由y1=(x-m)·(x-n)的图象向上平移2 022个单位长度得到,∴m<α<β<n. 4.若函数f(x)=x2+x+m的零点在区间(1,2)内,则m的取值范围为 (　 ) A.[-6,-2] B.(-6,-2) C.(-∞,-6]∪[-2,+∞) D.(-∞,-6)∪(-2,+∞) 解析:选B　因为f(x)在(1,2)上单调递增,且f(x)的图象是连续不断的, 所以解得-6<m<-2. 5.设函数f(x)=log3-a在区间(1,2)内有零点,则实数a的取值范围是 (　 ) A.(-1,-log32) B.(0,log32) C.(log32,1) D.(1,log34) 解析:选C　令f(x)=0,得a=log3.令h(x)=log3=log3,由复合函数的单调性可知,当x∈(1,2)时,h(x)单调递减,h(2)=log32,h(1)=log33=1,故h(x)∈(log32,1).要使f(x)=log3-a在区间(1,2)内有零点,则a∈(log32,1). 6.近年来,“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大方便.某共享单车公司计划在甲、乙两座城市共投资120万元,根据行业规定,每座城市至少要投资40万元.由前期市场调研可知:甲城市收益P(单位:万元)与投入a(单位:万元)满足P=3-6,乙城市收益Q(单位:万元)与投入A(单位:万元)满足Q=A+2,则投资这两座城市收益的最大值为 (　 ) A.26万元 B.44万元 C.48万元 D.72万元 解析:选B　由题意可知⇒40≤a≤80.设投资这两座城市收益为y,则有y=3-6+A+2=3+(120-a)-4=3-a+26, 令=t⇒t∈[2,4],则有f(t)=-t2+3t+26,该二次函数的对称轴为t=6,且开口向下,所以f(t)max=f(6)=-×(6)2+3×6+26=44. 7.关于x的方程x2+(a-2)x+5-a=0在(2,4)上有两个不相等的实根,则实数a的取值范围是 (　 ) A.(-6,-2) B.(-6,-4) C. D. 解析:选D　令f(x)=x2+(a-2)x+5-a,要满足在(2,4)上有两个不相等的实根, 则解得a∈. 8.为提高生产效率,某公司引进新的生产线投入生产,投入生产后,除去成本,每条生产线生产的产品可获得的利润s(单位:万元)与生产线运转时间t(单位:年),t∈N*,满足二次函数关系:s=-2t2+30t-72,现在要使年平均利润最大,则每条生产线运行的时间t为 (　 ) A.5年 B.6年 C.7年 D.8年 解析:选B　由题意,年平均利润为f(t)===-2t-+30,t∈N*. 因为当t>0时,2t+≥2=24,当且仅当2t=,即t=6时,等号成立, 所以f(t)≤-24+30=6,即当t=6时,年平均利润最大为6万元. 二、多项选择题(本大题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分) 9.函数f(x)=,g(x)=lox,h(x)=在区间(0,+∞)上 (　 ) A.f(x)的递减速度越来越慢 B.g(x)的递减速度越来越慢 C.h(x)的递减速度越来越慢 D.g(x)的递减速度慢于h(x)的递减速度 解析:选ABC　根据指数函数,对数函数及幂函数的性质结合图象可知在区间(0,+∞)上,f(x)=的递减速度越来越慢,故A正确; g(x)=lox的递减速度越来越慢,故B正确; h(x)=的递减速度越来越慢,故C正确; h(x)的递减速度慢于g(x)的递减速度,故D错误. 10.已知函数f(x)=2x-lox,实数a,b,c满足a<b<c,且f(a)f(b)f(c)<0,若实数x0是函数f(x)的一个零点,则下列结论可能成立的是 (　 ) A.x0>c B.x0<c C.x0>a D.x0<a 解析:选ABC　因为函数y=2x,y=-lox在(0,+∞)上单调递增, 所以函数f(x)=2x-lox在区间(0,+∞)上单调递增. 因为a<b<c,f(a)f(b)f(c)<0, 所以有如下两种情况:①f(a)<f(b)<f(c)<0;②f(a)<0<f(b)<f(c). 又x0是函数f(x)的一个零点,即f(x0)=0, 所以,当f(a)<f(b)<f(c)<0=f(x0)时,由单调性,可得x0>c>b>a; 当f(a)<0=f(x0)<f(b)<f(c)时,可得c>b>x0>a. 11.(2023·新课标Ⅰ卷)噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱,定义声压级Lp=20×lg,其中常数p0(p0>0)是听觉下限阈值,p是实际声压.下表为不同声源的声压级: 声源 与声源的距离/m 声压级/dB 燃油汽车 10 60~90 混合动力汽车 10 50~60 电动汽车 10 40 已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10 m处测得实际声压分别为p1,p2,p3,则 (　 ) A.p1≥p2 B.p2>10p3 C.p3=100p0 D.p1≤100p2 解析:选ACD　因为Lp=20×lg随着p的增大而增大,且∈[60,90],∈[50,60],所以≥,所以p1≥p2,故A正确;由Lp=20×lg,得p=p01,因为=40,所以p3=p01=100p0,故C正确;假设p2>10p3,则p01>10p01,所以1>10,所以->20,由题中表格数据知不可能成立,故B错误;因为==1≥1,所以p1≤100p2,故D正确.故选A、C、D. 三、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分.把答案填在题中的横线上) 12.(5分)已知函数y=f(x)的图象是连续不断的,有如下的x,y对应表: x -2 -1 0 1 2 3 y 2.5 0.8 -1.2 -0.3 0.7 -1 则函数y=f(x)在区间[-2,3]上的零点至少有　　　　个.  解析:函数y=f(x)的图象是连续不断的, 由f(-1)·f(0)=0.8×(-1.2)<0,可得函数y=f(x)在区间(-1,0)上至少有1个零点; 由f(1)·f(2)=0.7×(-0.3)<0,可得函数y=f(x)在区间(1,2)上至少有1个零点; 由f(2)·f(3)=0.7×(-1)<0,可得函数y=f(x)在区间(2,3)上至少有1个零点. 综上,函数y=f(x)在区间[-2,3]上的零点至少有3个. 答案:3 13.(5分)已知函数f(x)=3x-x-4在区间[1,2]上存在一个零点,用二分法求该零点的近似值,其参考数据如下:f(1.600 0)≈0.200,f(1.587 5)≈0.133,f(1.575 0)≈0.067,f(1.562 5)≈0.003,f(1.556 2)≈-0.029,f(1.550 0)≈-0.060,据此可得该零点的近似值为　　　　.(精确到0.01)  解析:因为f(1.562 5)≈0.003,f(1.556 2)≈-0.029,即f(1.562 5)·f(1.556 2)<0, 所以由零点存在定理可知f(x)的零点在(1.556 2,1.562 5)之间,近似值为1.56. 答案:1.56 14.(5分)已知函数f(x)=20·3-x-x的零点x0∈(k,k+1),k∈Z,则k=　　　　.  解析:因为函数y=3-x为R上的减函数, 所以函数f(x)=20·3-x-x为R上的减函数. 又f(2)=20·3-2-2=-2=>0,f(3)=20·3-3-3=-3<0, 所以f(x)=20·3-x-x在(2,3)上有唯一零点. 结合题意可知k=2. 答案:2 四、解答题(本大题共5小题,共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(13分)已知函数f(x)=2x2-8x+m+3(m∈R). (1)若m=-4,判断函数f(x)在(-1,1)上是否存在零点.若存在,请在精确度为0.2的条件下,用二分法求出该零点x0存在的区间;若不存在,请说明理由.(7分) (2)若函数f(x)在区间[-1,1]上存在零点,求实数m的取值范围.(6分) 解:(1)函数在(-1,1)上存在零点.理由如下: 当m=-4时,可得f(x)=2x2-8x-1, 则函数f(x)的图象开口向上,对称轴为x=2,所以函数f(x)在(-1,1)上单调递减. 由f(-1)=9,f(1)=-7,可得f(-1)·f(1)<0, 所以函数f(x)在区间(-1,1)上存在唯一零点x0. 因为f(0)=-1<0,所以f(-1)·f(0)<0,可得x0∈(-1,0). 因为f=>0,所以f·f(0)<0,可得x0∈. 因为f=>0,所以f·f(0)<0,可得x0∈. 因为f=>0,所以f·f(0)<0,可得x0∈. 又因为=<=0.2,所以所求区间为. (2)易知函数f(x)在[-1,1]上单调递减. 因为f(x)在区间[-1,1]上存在零点, 所以即 解得-13≤m≤3.所以实数m的取值范围是[-13,3]. 16.(15分)行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用,要继续往前滑行一段距离才能停下,这段距离称为刹车距离,在某种路面上,经过多次实验测试,某种型号汽车的刹车距离y(米)与汽车的车速x(千米/时,0≤x≤120)的一些数据如表.为了描述汽车的刹车距离y(米)与汽车的车速x(千米/时)的关系,现有三种函数模型供选择:y=px2+mx+n(p≠0),y=0.5x+a,y=klogax+b. x 0 40 60 80 y 0 8.4 18.6 32.8 (1)请选出你认为最符合实际的函数模型,并求出相应的函数解析式;(8分) (2)如果要求刹车距离不超过25.2米,求行驶的最大速度.(7分) 解:(1)结合表格数据可得y=px2+mx+n(p≠0)最符合实际的函数模型. 将x=0,y=0;x=40,y=8.4;x=60,y=18.6分别代入上式可得 解得即所求的函数解析式为y=x2+x(0≤x≤120). (2)由题意,令x2+x≤25.2,即x2+2x-5 040≤0,解得-72≤x≤70. 又0≤x≤120,所以0≤x≤70, 即要求刹车距离不超过25.2米,则行驶的最大速度为70千米/时. 17.(15分)如图所示,定义域为(-∞,2]的函数f(x)的图象由一条射线及抛物线的一部分组成. (1)求f(x)的解析式;(4分) (2)若关于x的方程f(x)=a有三个不同的实数解,求实数a的取值范围;(5分) (3)若f(x)=,求实数x的值.(6分) 解:(1)①当x≤0时,函数f(x)为一次函数,设其解析式为f(x)=kx+m(k≠0). ∵点(0,2)和(-2,0)在该一次函数的图象上, ∴解得 ∴f(x)=x+2. ②当0<x≤2时,函数f(x)是二次函数,由题可设其解析式为f(x)=ax2+bx+3(a>0). ∵点(1,0),(2,0)在该二次函数的图象上, ∴解得 ∴f(x)=x2-x+3. 综上,f(x)= (2)由(1)得当0<x≤2时,f(x)=x2-x+3=-,∴f(x)≥-. 结合题图,可知若方程f(x)=a有三个不同的实数解,则-<a≤0. ∴实数a的取值范围为. (3)当x≤0时,由f(x)=,得x+2=, 解得x=-. 当0<x≤2时,由f(x)=,得x2-x+3=,整理得4x2-12x+5=0,解得x=或x=(舍去).综上,实数x的值是-或. 18.(17分)已知关于x的二次方程x2+2m2x+m=0. (1)若方程有两根,其中一根在区间(-1,0)内,另一根在区间(0,1)内,求m的取值范围;(9分) (2)若方程两根均在区间[-1,1]内,求m的取值范围.(8分) 解:令f(x)=x2+2m2x+m,则f(x)是关于x的一元二次方程所对应的二次函数,其图象开口向上. (1)若函数f(x)的两个零点x1,x2满足x1∈(-1,0),x2∈(0,1), 则需要满足即解1-2m2+m>0,即2m2-m-1<0,即(2m+1)(m-1)<0,解得-<m<1,对于1+2m2+m>0, 即1+2m2+m=2+>0恒成立.综上可得-<m<0, 故m的取值范围是. (2)若方程两根均在区间[-1,1]内,则即解得-≤m≤0或m=1,即m∈∪{1}. 19.(17分)某住宅小区为了营造一个优雅、舒适的生活环境,打算建造一个八边形的休闲花园,它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成面积为200 m2的十字形区域,且计划在正方形MNPK上建一座花坛,其造价为4 200元/ m2,在四个相同的矩形上(图中的阴影部分)铺花岗岩路面,其造价为210元/ m2,并在四个三角形空地上铺草坪,其造价为80元/ m2. (1)设AD的长为x米,试写出总造价Q(单位:元)关于x的函数解析式;(8分) (2)当x取何值时,总造价最少?求出这个最小值.(9分) 解:(1)设AM=y,又AD=x, 则x2+4xy=200,∴y=. 故Q=4 200x2+210×4xy+80×2y2 =38 000+4 000x2+(0<x<10). (2)令t=x2,则Q=38 000+4 000, 且0<t<200.Q≥38 000+4 000×2=118 000,当且仅当t=10时,等号成立.∴当t=10时,umin=20. 故当x=时,Qmin=118 000(元). 37 / 49 学科网（北京）股份有限公司 $$