8.1.2 用二分法求方程的近似解 （Word教参）-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第一册（苏教版）

8.1.2　用二分法求方程的近似解 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] [课时目标] 1.探索用二分法求方程近似解的思路并会画程序框图,能借助计算工具用二分法求方程近似解. 2.了解用二分法求方程近似解具有的一般性. 　　　　　　 　　　　　 　　　　　 二分法的概念及应用 (1)二分法是求一元方程近似解的常用方法;运用二分法的前提是要先判断某解所在的区间. (2)用二分法求方程的一个近似解的操作流程 在上述操作过程中如果存在c,使得f(c)=0,那么c就是方程f(x)=0的一个精确解. |微|点|助|解| (1)用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的零点为变号零点时适用,对函数的零点为不变号零点时不适用.如函数f(x)=(x-1)2的零点就不能用二分法求解. (2)用二分法求函数的零点时,要根据函数的性质尽可能地找到含有零点的较小的区间,这样可以减小计算量. (3)二分法的基本思想:逼近思想和算法思想. 基础落实训练 1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)如果函数零点两侧函数值同号,不适合用二分法求此零点近似值. (　 ) (2)要用二分法,必须先确定零点所在区间. (　 ) (3)用二分法最后一定能求出函数零点. (　 ) (4)达到精确度后,所得区间内任一数均可视为零点的近似值. (　 ) 答案:(1)√　(2)√　(3)×　(4)√ 2.下列函数图象中,不能用二分法求函数零点的是 (　 ) 答案:D 3.用二分法研究函数f(x)=x3+3x-1的零点时,第一次经计算f(0)<0,f(0.5)>0,可得其中一个零点x0∈　　　,第二次应计算　　　　,以上横线上应填的内容为 (　 )  A.(0,0.5),f(0.25)　　　 B.(0,1),f(0.25) C.(0.5,1),f(0.75) D.(0,0.5),f(0.125) 解析:选A　二分法要不断地取区间的中点值进行计算.由f(0)<0,f(0.5)>0知x0∈(0,0.5).再计算0与0.5的中点0.25的函数值,以判断x0的更准确位置.故选A. 题型(一)　二分法概念的理解 [例1]　(多选)下列关于函数y=f(x),x∈[a,b]的叙述中,正确的是 (　 ) A.二分法既是一种求值方法,又是一种解决实际问题的思想,有着广泛应用 B.若x0是f(x)在[a,b]上的零点,则可用二分法求x0的近似值 C.用二分法求方程的近似解时,可以精确到小数点后的任一位 D.用二分法求方程的根时,得到的都是近似值 [解析]　对于A,二分法除了可以求函数的零点,方程的根外,还广泛应用于实际问题中,如在一个串联多焊点的故障检测中,要查出哪个焊点出现故障时,就可以用二分法,以尽快找到故障焊点,正确;对于B,函数f(x)不一定连续,且无法判断是否有f(a)·f(b)<0,错误;对于C,利用二分法,步骤循环进行,可以得到小数点后的任一位,正确;对于D,用二分法求方程的根时,得到的根也可能是精确值,错误. [答案]　AC |思|维|建|模| 运用二分法求函数的零点应具备的条件 (1)函数图象在零点附近连续不断. (2)在该零点左右函数值异号. 只有满足上述两个条件,才可用二分法求函数零点. [针对训练] 1.(多选)下列函数中,能用二分法求函数零点的有 (　 ) A.f(x)=3x-1 B.f(x)=x2-2x+1 C.f(x)=log4x D.f(x)=ex-2 解析:选ACD　f(x)=x2-2x+1=(x-1)2,f(1)=0,当x<1时,f(x)>0;当x>1时,f(x)>0,在零点两侧函数值同号,不能用二分法求零点,其余选项中在函数的零点两侧函数值异号. 2.已知f(x)=x2+6x+c有零点,但不能用二分法求出,则c的值是 (　 ) A.9 B.8 C.7 D.6 解析:选A　f(x)=x2+6x+c有零点,但不能用二分法求出,则x2+6x+c=0有两个相等的实数根,即Δ=36-4c=0,解得c=9. 题型(二)　用二分法求函数零点的近似解 [例2]　用二分法求函数f(x)=5x+7x-2的一个零点,其参考数据如下: x 0.062 5 0.093 75 0.125 0.156 25 0.187 5 f(x) -0.456 7 -0.180 9 0.097 8 0.379 7 0.664 7 根据上述数据,可得f(x)=5x+7x-2的一个零点近似值(精确到0.1)为 (　 ) A.0.6 B.0.4 C.0.2 D.0.1 [解析]　由参考数据知f(0.093 75)≈-0.180 9<0,f(0.125)≈0.097 8>0,即f(0.093 75)·f(0.125)<0. 因为0.093 75与0.125精确到0.1的近似值都是0.1,所以原函数的近似零点为0.1. [答案]　D |思|维|建|模| 二分法求函数零点的关注点 (1)验证零点所在的区间是否符合要求. (2)区间内两个端点按要求取得的近似值要相等才可以. 　　[针对训练] 3.在用二分法求函数f(x)在(0,1)内的零点的近似解时,经计算f(0.625)<0,f(0.72)>0,f(0.687 5)<0,则可得出方程零点的一个近似解为　　　　　(精确到0.1).  解析:因为0.72和0.687 5精确到0.1的近似值都是0.7,所以函数f(x)的近似零点为0.7. 答案:0.7 题型(三)　用二分法求方程的近似解 [例3]　已知函数f(x)=2x3-x2-3x+1. (1)求证:f(x)在区间(1,2)上存在零点; (2)若f(x)的一个正数零点附近的函数近似值如表格所示,请利用二分法计算f(x)=0的一个近似解(精确到0.1). 参考数据: f(1)=-1 f(1.5)=1 f(1.25)=-0.406 25 f(1.375)=0.183 59 f(1.312 5)=-0.138 18 f(1.343 75)=0.015 81 [解]　(1)证明:∵f(x)=2x3-x2-3x+1, ∴f(1)=-1<0,f(2)=7>0,∴f(1)·f(2)=-7<0,且f(x)=2x3-x2-3x+1在(1,2)内连续, ∴f(x)在区间(1,2)上存在零点. (2)由(1)知,f(x)=2x3-x2-3x+1在(1,2)内存在零点,由表知,f(1)=-1,f(1.5)=1, ∴f(1)·f(1.5)<0, ∴f(x)的零点在(1,1.5)上. ∵f(1.25)=-0.406 25, ∴f(1.25)·f(1.5)<0, ∴f(x)的零点在(1.25,1.5)上. ∵f(1.375)=0.183 59, ∴f(1.25)·f(1.375)<0, ∴f(x)的零点在(1.25,1.375)上. ∵f(1.312 5)=-0.138 18, ∴f(1.312 5)·f(1.375)<0, ∴f(x)的零点在(1.312 5,1.375)上. ∵f(1.343 75)=0.015 81, ∴f(1.312 5)·f(1.343 75)<0, ∴f(x)的零点在(1.312 5,1.343 75)上. ∵1.312 5与1.343 75精确到0.1的近似数都是1.3, ∴f(x)=0的一个精确到0.1的近似解是1.3. |思|维|建|模| 用二分法求方程的近似解应明确两点 (1)根据函数的零点与相应方程的解的关系,求函数的零点与求相应方程的解是等价的.求方程f(x)=0的近似解,即按照用二分法求函数零点近似值的步骤求解. (2)对于求形如f(x)=g(x)的方程的近似解,可以通过移项转化成求形如F(x)=f(x)-g(x)=0的方程的近似解,然后按照用二分法求函数零点近似值的步骤求解. [针对训练] 4.利用计算器,求方程2x=2-x的近似解(精确到0.1). 解:在同一平面直角坐标系中分别画出函数y=2x,y=2-x的图象,如图所示.方程2x=2-x的解就是两函数图象交点的横坐标.由函数y=2x,y=2-x的图象可以得到,方程2x=2-x有唯一解,记为x1,并且这个解在区间(0,1)上. 设f(x)=2x+x-2,用计算器计算得, f(0)·f(1)<0,则x1∈(0,1), f(0.5)·f(1)<0,则x1∈(0.5,1), f(0.5)·f(0.75)<0,则x1∈(0.5,0.75), f(0.5)·f(0.625)<0,则x1∈(0.5,0.625), f(0.5)·f(0.562 5)<0,则x1∈(0.5,0.562 5), f(0.531 25)·f(0.562 5)<0, 则x1∈(0.531 25,0.562 5),f(0.531 25)·f(0.546 875)<0,则x1∈(0.531 25,0.546 875).因为0.531 25与0.546 875精确到0.1的近似值都为0.5,所以原方程的近似解为0.5. [课时检测] 1.用二分法求函数f(x)=x3+5的零点可以取的初始区间是 (　 ) A.[-2,1] B.[-1,0] C.[0,1] D.[1,2] 解析:选A　∵f(-2)=-3<0,f(1)=6>0,f(-2)·f(1)<0,∴可以取区间[-2,1]作为计算的初始区间,用二分法逐次计算. 2.下列是关于函数y=f(x),x∈[a,b]的几个命题: ①若x0∈[a,b]且满足f(x0)=0,则(x0,0)是f(x)的一个零点; ②若x0是f(x)在[a,b]上的零点,则可用二分法求x0的近似值; ③函数f(x)的零点是方程f(x)=0的根,但f(x)=0的根不一定是函数f(x)的零点; ④用二分法求方程的根时,得到的都是近似值. 那么以上叙述中,正确的个数为 (　 ) A.0 B.1 C.3 D.4 解析:选A　x0∈[a,b]且满足f(x0)=0,则x0是f(x)的一个零点,而不是(x0,0),所以①错误;例如f(x)=x2,不可以用二分法求零点,所以②错误;方程f(x)=0的根一定是函数f(x)的零点,所以③错误;用二分法求方程的根时,得到的根也可能是精确值,所以④也错误. 3.若函数f(x)在[a,b]上连续,且同时满足f(a)·f(b)<0,f(a)·f>0.则 (　 ) A.f(x)在上有零点 B.f(x)在上有零点 C.f(x)在上无零点 D.f(x)在上无零点 解析:选B　由题函数f(x)在上连续,且同时满足 f(a)·f(b)<0,f(a)·f>0.由“二分法”可知,一定有f(b)·f<0,即函数f(x)在上有零点. 4.如图是函数f(x)的图象,它与x轴有4个不同的公共点.给出的下列四个区间之中,存在不能用二分法求出的零点,该零点所在的区间是 (　 ) A.[-2.1,-1] B.[4.1,5] C.[1.9,2.3] D.[5,6.1] 解析:选C　结合图象可得:A、B、D选项每个区间的两个端点函数值异号,可以用二分法求出零点,C选项区间两个端点函数值同号,不能用二分法求零点. 5.用二分法求函数y=f(x)在区间[2,4]上的唯一零点的近似值时,验证f(2)·f(4)<0,取区间(2,4)的中点x1==3,计算得f(2)·f(x1)<0,则此时零点x0所在的区间是 (　 ) A.(2,4) B.(2,3) C.(3,4) D.无法确定 解析:选B　由题意可知,对于函数y=f(x)在区间[2,4]上,有f(2)·f(4)<0,所以函数在(2,4)上有零点.取区间的中点x1==3,因为计算得f(2)·f(x1)<0,所以利用函数的零点存在定理得,函数在(2,3)上有零点. 6.用二分法求函数的零点,经过若干次运算后函数的零点在区间(a,b)内,当|a-b|<ε(ε为精确度)时,函数零点的近似值x0=与真实零点的误差的取值范围为 (　 ) A. B. C.[0,ε) D.[0,2ε) 解析:选B　真实零点离近似值x0最远即靠近a或b,而b-=-a=<, 所以误差的取值范围为. 7.若函数f(x)的零点与函数g(x)=4x+2x-2的零点之差的绝对值不超过0.25,则f(x)可以是 (　 ) A.f(x)=4x-1 B.f(x)=log3(2-x) C.f(x)=3x-1 D.f(x)=2x-3 解析:选A　对A,f(x)=4x-1的零点为x=; 对B,f(x)=log3(2-x)的零点为x=1; 对C,f(x)=3x-1的零点为x=0; 对D,f(x)=2x-3的零点为x=; g(0)=40-2=-1<0,g=+2×-2=1>0,g(0)·g<0,故g(x)零点在之间,再用二分法,取x=,g=+2×-2=-<0,g·g<0,故g(x)的零点x∈,由题f(x),g(x)的零点之差的绝对值不超过0.25,则只有f(x)=4x-1的零点符合.故选A. 8.(5分)函数f(x)=x2+ax+b有零点,但不能用二分法求出,则a,b的关系是　　　.  解析:∵函数f(x)=x2+ax+b有零点,但不能用二分法,∴函数f(x)=x2+ax+b图象与x轴有且仅有一个交点.∴Δ=a2-4b=0.∴a2=4b. 答案:a2=4b 9.(5分)用二分法求方程x3-2x-5=0在区间(2,3)上的近似解,取区间中点x0=2.5,那么下一个有解区间为　　　　.  解析:令f(x)=x3-2x-5,则f(2)<0,f(2.5)>0,f(3)>0,故下一个有解区间为(2,2.5). 答案:(2,2.5) 10.(10分)求方程x2+2x+=0的近似解(精确到0.1). 解:设函数f(x)=x2+2x+, 则f(-3)=(-3)2+2×(-3)-=2.666 7>0, f(-2)=(-2)2+2×(-2)-=-0.5<0. 利用二分法求函数f(x)=x2+2x+在区间(-3,-2)内的零点的过程如下表: 左端点 右端点 中点 左端点函数值 右端点函数值 中间端点函数值 -3 -2 -2.5 2.666 7 -0.5 0.85 -2.5 -2 -2.25 0.85 -0.5 0.118 -2.25 -2 -2.125 0.118 -0.5 -0.204 9 -2.25 -2.125 -2.187 5 0.118 -0.204 9 -0.046 986 6 -2.25 -2.187 5 0.118 -0.046 986 6 从上表可以看出,区间[-2.25,-2.187 5]内的所有值,若精确到0.1,都是-2.2,所以-2.2是函数f(x)=x2+2x+在区间(-3,-2)内的零点. 11.(10分)用二分法求2x+x=4在[1,2]内的近似解(精确到0.1).参考数据: x 1.125 1.25 1.375 1.437 5 1.5 1.625 1.75 2x 2.18 2.38 2.59 2.71 2.83 3.08 3.36 解:令f(x)=2x+x-4,则f(1)=2+1-4<0,f(2)=22+2-4>0. 区间 区间中点值xn f(xn)的值及符号 (1,2) x1=1.5 f(x1)=0.33>0 (1,1.5) x2=1.25 f(x2)=-0.37<0 (1.25,1.5) x3=1.375 f(x3)=-0.035<0 (1.375,1.5) x4=1.437 5 f(x4)=0.147 5>0 ∵1.375与1.437 5精确到0.1的近似值都为1.4. ∴2x+x=4在[1,2]内的近似解可取为1.4. 12.(10分)已知函数f(x)=x3-x2+1. (1)证明方程f(x)=0在区间(0,2)内有实数解;(4分) (2)使用二分法,取区间的中点三次,指出方程f(x)=0(x∈[0,2])的实数解x0在哪个较小的区间内.(6分) 解:(1)证明:∵f(0)=1>0,f(2)=-<0, ∴f(0)·f(2)=-<0,由函数零点存在定理可得方程f(x)=0在区间(0,2)内有实数解. (2)取x1=(0+2)=1,得f(1)=>0, 由此可得f(1)·f(2)=-<0,下一个有解区间为(1,2). 再取x2=(1+2)=,得f=-<0, ∴f(1)·f=-<0,下一个有解区间为. 再取x3==,得f=>0, ∴f·f<0,下一个有解区间为. 故f(x)=0的实数解x0在区间内. 13.(15分)阅读材料 求方程x2-2=0的近似根有很多种算法,下面给出两种常见算法. 方法一:设所求近似根与精确解的差的绝对值不超过0.005,算法: 第一步:令f(x)=x2-2.因为f(1)<0,f(2)>0,所以设x1=1,x2=2. 第二步:令m=,判断f(m)是否为0.若是,则m为所求; 若否,则继续判断f(x1)·f(m)大于0还是小于0. 第三步:若f(x1)·f(m)>0,令x1=m;否则,令x2=m. 第四步:判断|x1-x2|<0.005是否成立?若是,则x1,x2之间的任意值均为满足条件的近似根;若否,则返回第二步. 方法二:考虑x2-2=0的一种等价形式. 变形如下:x=,∴x+x=x+.∴x=. 这就可以形成一个迭代算法:给定x0, 根据xk+1=,k=0,1,2,…,计算多次后可以得到一个近似值. (1)分别运用方法一和方法二计算的近似值(结果保留4位有效数字),比较两种方法迭代速度的快慢;(9分) (2)根据以上阅读材料,设计合适的方案计算的近似值(精确到0.001).(6分) 解:(1)方法一:令f(x)=x2-2.因为f(1)<0, f(2)>0,所以设x1=1,x2=2.令m==,f=-2=>0,f(1)·f<0,令x2=,所以=>0.005,返回第二步; 令m==,f=-2=-<0,f(1)·f>0,令x1=, 所以|x1-x2|=>0.005,返回第二步; 令m==,f=-2=-<0,f·f>0,令x1=, 所以=>0.005,返回第二步; 令m==,f=-2=>0,f·f<0,令x2=, 所以=>0.005,返回第二步; 令m==,f=-2=-<0,f·f>0,令x1=, 所以=>0.005,返回第二步; 令m==,f=-2=>0,f·f<0,令x2=, 所以=>0.005,返回第二步; 令m==,f=-2=-<0,f·f>0,令x1=, 所以=>0.005,返回第二步; 令m==,f=-2=>0,f·f<0,令x2=, 所以=<0.005, 则x1,x2之间的任意值均为满足条件的近似值,其中x2=≈1.418,x1=≈1.414, 故的近似值可取1.414. 方法二:xk+1=,k=0,1,2,…, 不妨取x0=1,则x1==, x2===, x3===, 其中≈1.414.故的近似值可取1.414.显然,方法二的迭代速度更快. (2)考虑x2-5=0的一种等价形式, x=,∴x+x=x+,∴x=. 这就可以形成一个迭代算法:给定x0=2, 根据xk+1=,k=0,1,2,…, 计算过程如下:x1==, x2==, x3==≈2.236. 故的近似值为2.236. 学科网（北京）股份有限公司 $$