8.1.2　用二分法求方程的近似解 同步练习-2026-2027学年高一上学期数学苏教版必修第一册

**基本信息** 聚焦二分法核心概念，通过基础认知、技能应用、综合拓展三层设计，实现从概念辨析到实际应用的递进，培养数学抽象与逻辑推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|二分法适用条件、初始区间判断|以图像辨析（第1题）、区间选择（第2题）考查概念理解，培养数学抽象能力| |技能应用|区间迭代、精度控制、实际模型|通过计算表格（第8题）、硬币称重（第9题）训练操作逻辑，发展推理意识| |综合拓展|多零点分析、代数证明、跨知识整合|结合函数性质证明（第14题）、三次方程多解问题（第15题），提升数学思维的严谨性与应用意识|

8.1.2　用二分法求方程的近似解 1.下列函数图象中，不能用二分法求函数零点的是（　　） 2.用二分法求函数f（x）＝x3＋5的零点可以取的初始区间是（　　） A.（－2，－1） B.（－1，0） C.（0，1） D.（1，2） 3.用二分法求函数f（x）在（a，b）内的唯一零点时，若精确到0.01，则下列有根区间正确的是（　　） A.（0.835，0.846） B.（1.478，1.501） C.（3.487 5，3.490 3） D.（10.325，10.436） 4.[x]表示不超过x的最大整数，例如[3.5]＝3，[－0.5]＝－1.已知x0是方程ln x＋3x－15＝0的根，则[x0]＝（　　） A.2 B.3 C.4 D.5 5.（多选）在用二分法求函数f（x）零点近似值时，第一次取的区间是[－2，4]，则第三次所取的区间可能是（　　） A.[1，4] B.[－2，1] C.[1，2.5] D.[－0.5，1] 6.（多选）函数f（x）＝lox＋x－4的零点所在的区间可以为（　　） A.（0，1） B.（1，2） C.（2，4） D.（4，8） 7.用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间（2，4）上的实数根时，取中点x1＝3，则下一个有根区间是　　　　. 8.求函数f（x）＝x3－x－1在区间（1，1.5）内的一个零点（精确到0.1），用“二分法”逐次计算列表如下： 端（中）点的值 中点函数值符号 零点所在区间 （1，1.5） 1.25 f（1.25）＜0 （1.25，1.5） 1.375 f（1.375）＞0 （1.25，1.375） 1.312 5 f（1.312 5）＜0 （1.312 5，1.375） 1.343 75 f（1.343 75）＞0 （1.312 5，1.343 75） 则函数零点的近似值为　　　　. 9.在12枚崭新的硬币中，有一枚外表与真币完全相同的假币（质量小一点），现在只有一台天平，则应用二分法的思想，最多称　　　　次就可以发现假币. 10.已知函数f（x）＝3x＋在（－1，＋∞）上单调递增，用二分法求方程f（x）＝0的正根（精确到0.1）. 11.若函数f（x）的零点与函数g（x）＝4x＋2x－2的零点之差的绝对值不超过0.25，则f（x）＝（　　） A.4x－1 B.log3（2－x） C.3x－1 D.2x－3 12.已知定义在区间[a，b]上的增函数f（x），在用二分法寻找零点的过程中，依次确定了零点所在区间为[a，b]，［a，］，［a＋，］，又f（）＝0，则函数f（x）的零点为（　　） A.－ B.－ C.－ D.－ 13.已知y＝x（x－1）（x＋1）的图象如图所示，今考虑f（x）＝x（x－1）（x＋1）＋0.01，则方程f（x）＝0： ①有三个实根；②当x＜－1时，恰有一实根（有一实根且仅有一实根）；③当－1＜x＜0时，恰有一实根；④当0＜x＜1时，恰有一实根；⑤当x＞1时，恰有一实根. 正确的有　　　　.（填序号） 14.已知函数f（x）＝3ax2＋2bx＋c，a＋b＋c＝0，f（0）＞0，f（1）＞0，证明a＞0，并利用二分法证明方程f（x）＝0在区间[0，1]内有两个实根. 15.判断方程2x3－6x2＋3＝0是否有解？如果有解，有几个解，且全部解的和为多少（精确到0.01）？ 8.1.2　用二分法求方程的近似解 1.D　根据函数零点存在定理，对于D，在零点的左右附近，函数值不改变符号，所以不能用二分法求函数零点，故选D. 2.A　f（－2）f（－1）＝－12＜0，所以可以取的初始区间是（－2，－1）.故选A. 3.C　A选项，0.835精确到0.01的近似值为0.84，0.846精确到0.01的近似值为0.85，故A错误；B选项，1.478精确到0.01的近似值为1.48，1.501精确到0.01的近似值为1.50，故B错误；C选项，3.487 5精确到0.01的近似值为3.49，3.490 3精确到0.01的近似值为3.49，故C正确；D选项，10.325精确到0.01的近似值为10.33，10.436精确到0.01的近似值为10.44，故D错误.故选C. 4.C　令f（x）＝ln x＋3x－15.当x＝4时，f（4）＝ln 4＋3×4－15＜0，当x＝5时，f（5）＝ln 5＋3×5－15＞0，即f（4）f（5）＜0，∴f（x）在（4，5）上有零点即方程ln x＋3x－15＝0有根.∴[x0]＝4.故选C. 5.CD　因第一次所取的区间是[－2，4]，所以第二次所取的区间可能是[－2，1]，[1，4]；第三次所取的区间可能为[－2，－0.5]，[－0.5，1]，[1，2.5]，[2.5，4]，故选C、D. 6.AD　设y1＝lox，y2＝4－x，则f（x）的零点个数即y1与y2的交点个数，作出两函数图象，如图，由图知，y1与y2在区间（0，1）内有一个交点，又当x＝4时，f（4）＝－2＜0，当x＝8时，f（8）＝1＞0，所以在（4，8）内两曲线又有一个交点.故函数f（x）的两零点所在的区间为（0，1），（4，8）. 7.（2，3）　解析：设函数f（x）＝x3－2x－5，∵f（2）＝－1＜0，f（3）＝16＞0，f（4）＝51＞0，∴下一个有根区间是（2，3）. 8.1.3　解析：由表可知，1.312 5和1.343 75精确到0.1的近似值都是1.3，∴函数零点的近似值为1.3. 9.3　解析：将12枚硬币平均分成两份，放在天平上，假币在轻的那6枚硬币里面；将这6枚平均分成两份，则假币一定在轻的那3枚硬币里面；将这3枚硬币任拿出2枚放在天平上，若平衡，则剩下的那一枚即是假币；若不平衡，则轻的那一枚即是假币，依据上述分析，最多称3次就可以发现这枚假币. 10.解：由于函数f（x）＝3x＋在（－1，＋∞）上单调递增，故在（0，＋∞）上也单调递增， 因此f（x）＝0的正根最多有一个. 因为f（0）＝－1＜0，f（1）＝＞0， 所以方程的正根在（0，1）内，取（0，1）为初始区间，用二分法逐次计算，列出下表： 区间 中点值 中点函数近似值 （0，1） 0.5 0.732 （0，0.5） 0.25 －0.084 （0.25，0.5） 0.375 0.328 （0.25，0.375） 0.312 5 0.124 （0.25，0.312 5） ∵0.25与0.312 5精确到0.1的近似值都为0.3，∴f（x）＝0的正根约为0.3. 11.A　对A，f（x）＝4x－1的零点为；对B，f（x）＝log3（2－x）的零点为1；对C，f（x）＝3x－1的零点为0；对D，f（x）＝2x－3的零点为；g（0）＝40－2＝－1＜0，g（）＝＋2×－2＝1＞0，g（0）g（）＜0，故g（x）零点在（0，）之间，再用二分法，取x＝，g（）＝＋2×－2＝－＜0，g（）g（）＜0，故g（x）的零点x∈（，），由题f（x），g（x）的零点之差的绝对值不超过0.25，则只有f（x）＝4x－1的零点符合.故选A. 12.C　由题意得，f（a）＜0，f（b）＞0，又a＋＞a恒成立，则解得∵f（）＝0，∴f（x）的零点为＝－.故选C. 13.①②　解析：由y＝x（x－1）（x＋1）的图象可知，f（x）＝x（x－1）（x＋1）＋0.01与x轴有三个交点，对应f（x）＝0有三个实根，①正确；∵f（－2）＝（－2）×（－3）×（－1）＋0.01＝－5.99＜0，f（－1）＝0.01＞0，即f（－2）f（－1）＜0，∴在（－2，－1）内有一个实根，结合图象（图略）可知，方程在（－∞，－1）上恰有一个实根，②正确；又∵f（0）＝0.01＞0，结合图象可知f（x）＝0在（－1，0）上没有实数根，③不正确；又∵f（0.5）＝0.5×（－0.5）×1.5＋0.01＝－0.365＜0，f（1）＝0.01＞0，即f（0.5）f（1）＜0，∴f（x）＝0在（0.5，1）上必有一实根，且f（0）f（0.5）＜0，∴f（x）＝0在（0，0.5）上也有一个实根.∴f（x）＝0在（0，1）上有两个实根，④不正确；由f（1）＞0结合图象知，f（x）＝0在（1，＋∞）上没有实根，⑤不正确. 14.证明：∵f（1）＞0，∴f（1）＝3a＋2b＋c＞0， 即3（a＋b＋c）－b－2c＞0. ∵a＋b＋c＝0，∴a＝－b－c，－b－2c＞0， ∴－b－c＞c，即a＞c. ∵f（0）＞0，∴f（0）＝c＞0，∴a＞0. 取区间[0，1]的中点， 则f（）＝a＋b＋c＝a＋（－a）＝－a＜0. ∵f（0）＞0，f（1）＞0， ∴函数f（x）在区间和上各有一个零点. 又f（x）为二次函数，最多有两个零点， ∴f（x）＝0在[0，1]内有两个实根. 15.解：设函数f（x）＝2x3－6x2＋3. ∵f（－1）＝－5＜0，f（0）＝3＞0，f（1）＝－1＜0，f（2）＝－5＜0，f（3）＝3＞0，且函数f（x）＝2x3－6x2＋3的图象是一条连续的曲线， ∴函数f（x）＝2x3－6x2＋3在区间（－1，0），（0，1），（2，3）上分别有一个零点， ∴方程2x3－6x2＋3＝0有3个实数解. ∵f（－1）f（0）＜0，∴函数f（x）在区间（－1，0）内有一个零点x0. 取区间（－1，0）的中点x1＝－0.5，用计算器计算得f（－0.5）＝1.25＞0. ∵f（－1）f（－0.5）＜0，∴x0∈（－1，－0.5）. 再取（－1，－0.5）的中点x2＝－0.75，用计算器计算得f（－0.75）＝－1.218 75＜0， ∵f（－0.75）f（－0.5）＜0， ∴x0∈（－0.75，－0.5）. 同理可得，x0∈（－0.75，－0.625）， x0∈（－0.687 5，－0.625）， x0∈（－0.656 25，－0.625）， x0∈（－0.656 25，－0.640 625）， x0∈（－0.648 437 5，－0.640 625）， x0∈（－0.644 531 25，－0.640 625）. ∵－0.644 531 25和－0.640 625精确到0.01的近似值都是－0.64， ∴方程2x3－6x2＋3＝0在区间（－1，0）内的近似解为－0.64. 同理，可求得方程2x3－6x2＋3＝0在区间（0，1）和（2，3）内的近似解分别为0.83，2.81. ∴方程2x3－6x2＋3＝0的3个解的和为－0.64＋0.83＋2.81＝3. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $