第8章 8.1.1 函数的零点（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（苏教版）

本讲义聚焦高中数学“函数的零点”核心知识点，从二次函数零点概念类比延伸至一般函数，明确零点与方程的解、函数图象与x轴交点的等价关系，构建“概念—存在定理—个数判断”的完整学习支架。 资料以问题驱动引导学生用数学眼光抽象概念，通过代数法与几何法结合的例题培养数学思维，课时对点练覆盖不同题型，课中辅助教师教学，课后帮助学生巩固提升，有效弥补知识盲点。

8.1.1　函数的零点 学习目标　1.了解函数的零点、方程的解与图象与x轴的交点三者之间的联系.2.会借助函数零点存在定理判断函数的零点所在的大致区间.3.能借助函数单调性及图象判断零点个数. 导语 我们已经学习了二次函数的零点概念，知道二次函数的图象与x轴的交点有几个，对应的一元二次方程的实数解就有几个.随着学习的不断深入，我们会遇到其他方程的求解.我们就会不禁思考，二次函数与一元二次方程的关系能否套用到一般函数与方程.例如ln x+2x-6=0这样不能用公式求解的方程，是否也能采用类似的方法，用相应的函数来研究它的解的情况呢？ 一、函数零点的概念及求法 问题1　类比二次函数的零点，对于一般函数y=f(x)，若x0是它的零点，则f(x0)的值为多少？ 提示　0 问题2　类比二次函数的零点，对于一般函数y=f(x)的零点，与对应方程的根、函数图象与x轴的交点有联系吗？ 提示　有.函数y=f(x)有零点，方程f(x)=0有实数根，函数y=f(x)的图象与x轴有交点，三者是等价的. 知识梳理　函数的零点 (1)概念：我们把使函数y=f(x)的值为0的实数x称为函数y=f(x)的零点. (2)函数的零点、函数的图象与x轴的交点的横坐标、对应方程的解的关系 注意点： (1)与二次函数类似，零点不是点，是函数图象与x轴交点的横坐标； (2)求零点可转化为求对应方程的解； (3)不能用公式求解的方程，可以与函数联系起来，利用函数的图象和性质找零点，然后得到方程的解. 例1　(1)求函数f(x)=的零点； (2)已知函数f(x)=ax-b(a≠0)的零点为3，求函数g(x)=bx2+ax的零点. 解　(1)当x≤0时，令x2+2x-3=0， 解得x=-3(x=1舍)； 当x>0时，令-2+ln x=0，解得x=e2. 所以函数f(x)=的零点为-3和e2. (2)由已知得f(3)=0，即3a-b=0，即b=3a. 故g(x)=3ax2+ax=ax(3x+1). 令g(x)=0，即ax(3x+1)=0， 解得x=0或x=-. 所以函数g(x)的零点为0和-. 反思感悟　探究函数零点的两种求法 (1)代数法：求方程f(x)=0的实数根，若存在实数根，则函数存在零点，否则函数不存在零点. (2)几何法：与函数y=f(x)的图象联系起来，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点. 跟踪训练1　(1)(多选)下列图象对应的函数有零点的是(　　) 答案　ACD (2)函数f(x)=x3-2x2-x+2的零点为　　　　　　.  答案　-1，1，2 解析　令x3-2x2-x+2=0， 得x2(x-2)-(x-2)=(x-2)(x2-1) =(x-2)(x+1)(x-1)=0， 解得x=-1或x=1或x=2， ∴函数f(x)的零点是-1，1，2. 二、函数零点的存在问题 问题3　函数f(x)=x2-2x-1的图象(如图所示)是一条连续不断的曲线，x1，x2是它的两个零点，f(-1)·f(0)与f(0)·f(3)的符号相同吗？ 提示　相同，且均为负号. 知识梳理　函数零点存在定理 若函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是一条不间断的曲线，且f(a)f(b)<0，则函数y=f(x)在区间(a，b)上有零点. 注意点： 若函数y=f(x)的图象在闭区间[a，b]上连续，则f(a)f(b)<0是函数有零点的充分且不必要条件. 例2　(课本例1)证明：函数f(x)=x3+x2+1在区间(-2，-1)上存在零点. 证明　因为f(-2)=(-2)3+(-2)2+1=-3<0， f(-1)=(-1)3+(-1)2+1=1>0. 且函数f(x)在区间[-2，-1]上的图象是不间断的，所以函数f(x)在区间(-2，-1)上存在零点. 例2　(1)f(x)=ex+x-2的零点所在的区间是(　　) A.(-2，-1) B.(-1，0) C.(0，1) D.(1，2) 答案　C 解析　方法一　∵f(0)=-1<0， f(1)=e-1>0， f(x)为R上的连续函数， ∴f(x)在(0，1)内有零点. 方法二　ex+x-2=0，即ex=2-x， ∴原函数的零点所在区间即为函数y=ex和y=2-x的图象交点的横坐标所在的区间. 在同一平面直角坐标系内画出y=ex和y=2-x的图象，如图， 由图象可得函数y=ex和y=2-x的图象交点的横坐标所在的区间为(0，1). (2)由表格中的数据，可以断定方程ex-3x-2=0的一个根所在的区间是(　　) x 0 1 2 3 4 ex 1 2.72 7.39 20.09 54.60 3x+2 2 5 8 11 14 A.(0，1) B.(1，2) C.(2，3) D.(3，4) 答案　C 解析　设f(x)=ex-3x-2，f(x)为R上的连续函数，由题表知f(0)，f(1)，f(2)均为负值，f(3)，f(4)均为正值，因此方程ex-3x-2=0的一个根所在的区间为(2，3). 反思感悟　确定函数f(x)零点所在区间的常用方法 (1)解方程法：当对应方程f(x)=0易解时，可先解方程，再看求得的根是否落在给定区间上. (2)利用函数零点存在定理：首先看函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)f(b)<0.若f(a)f(b)<0，则函数y=f(x)在区间(a，b)内必有零点. (3)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断. 跟踪训练2　(1)若函数f(x)的图象在R上连续不断，且满足f(0)<0，f(1)>0，f(2)>0，则下列说法正确的是(　　) A.f(x)在区间(0，1)上一定有零点，在区间(1，2)上一定没有零点 B.f(x)在区间(0，1)上一定没有零点，在区间(1，2)上一定有零点 C.f(x)在区间(0，1)上一定有零点，在区间(1，2)上可能有零点 D.f(x)在区间(0，1)上可能有零点，在区间(1，2)上一定有零点 答案　C 解析　由题知f(0)f(1)<0， 所以根据函数零点存在定理可得，f(x)在区间(0，1)上一定有零点， 又f(1)f(2)>0， 因此无法判断f(x)在区间(1，2)上是否有零点. (2)函数f(x)=lg x-的零点所在的区间是(　　) A.(0，1) B.(1，10) C.(10，100) D.(100，+∞) 答案　B 解析　函数f(x)的定义域为(0，+∞)，且函数f(x)是定义域上的增函数， f(1)=-1<0，f(10)=1->0， ∴在(1，10)内，函数f(x)存在零点. 三、函数零点的个数问题 问题4　通过上面的学习，你能总结如何判断函数零点的个数吗？ 提示　可以直接求解f(x)=0来判断个数，也可以利用函数图象与x轴的交点个数判断，或者转化为两个函数图象交点的问题. 例3　判断函数f(x)=ln x+x2-3的零点个数. 解　方法一　函数对应的方程为 ln x+x2-3=0， 所以原函数零点的个数即为函数y=ln x与y=3-x2的图象交点个数. 在同一平面直角坐标系中，作出两函数的图象(如图). 由图象知，函数y=3-x2与y=ln x的图象有一个交点.从而方程ln x+x2-3=0有一个根，即函数f(x)=ln x+x2-3有一个零点. 方法二　由于f(1)=ln 1+12-3=-2<0， f(2)=ln 2+22-3=ln 2+1>0， 所以f(1)f(2)<0， 又f(x)=ln x+x2-3的图象在[1，2]上是连续的，所以f(x)在(1，2)上必有一个零点，又f(x)在定义域(0，+∞)上是增函数，所以零点只有一个. 反思感悟　判断函数零点个数的四种常用方法 (1)利用方程根，转化为解方程，有几个不同的实数根就有几个零点. (2)画出函数y=f(x)的图象，判定它与x轴的交点个数，从而判定零点的个数. (3)结合单调性，利用函数零点存在定理，可判定y=f(x)在(a，b)上零点的个数. (4)转化成两个函数图象的交点个数问题. 跟踪训练3　证明函数f(x)=log3x+x-5只有一个零点. 证明　函数f(x)的定义域为(0，+∞)，且f(x)在(0，+∞)上的图象是不间断的. 因为f(3)=-1<0，f(4)=log34-1>0， 所以f(x)在区间(3，4)上有零点， 不难证明f(x)=log3x+x-5在定义域(0，+∞)上单调递增， 故f(x)只有一个零点. 1.知识清单： (1)函数的零点定义. (2)函数零点存在定理及其应用. 2.方法归纳：转化法、数形结合法. 3.常见误区： (1)忽视函数零点存在定理的应用条件. (2)不能把函数、方程问题相互灵活转化. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共12分 1.函数y=1+的零点是(　　) A.(-1，0) B.-1 C.1 D.0 答案　B 2.函数f(x)=log3x-8+2x的零点所在的区间是(　　) A.(5，6) B.(3，4) C.(2，3) D.(1，2) 答案　B 解析　f(3)=log33-8+2×3=-1<0， f(4)=log34-8+2×4=log34>0. 因为f(x)在定义域(0，+∞)上为增函数， 所以其零点一定位于区间(3，4)上. 3.已知f(x)为奇函数，且该函数有三个零点，则三个零点之和等于(　　) A.0 B.1 C.-1 D.不能确定 答案　A 解析　因为奇函数的图象关于原点对称， 所以若f(x)有三个零点，其中必有一个零点为0，另外两个零点互为相反数，则其和必为0. 4.已知函数f(x)=则函数f(x)的零点为(　　) A.0 B.-2，0 C. D.0 答案　D 解析　当x≤1时，令2x-1=0，得x=0. 当x>1时，令1+log2x=0，得x=(舍). 综上所述，函数f(x)的零点为0. 5.已知函数f(x)=3x+x-5的零点x0∈(a，b)，且b-a=1，a，b∈N*，则a与b的值分别为(　　) A.1，2 B.2，3 C.3，4 D.4，5 答案　A 解析　因为函数f(x)=3x+x-5， 所以f(1)=31+1-5=-1<0，f(2)=32+2-5=6>0.所以f(1)f(2)<0， 且函数f(x)在R上是增函数， 所以f(x)的零点x0在区间(1，2)上， 所以a=1，b=2. 6.(多选)若函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象为一条不间断的曲线，则下列说法正确的是(　　) A.若f(a)f(b)<0，则存在实数c∈(a，b)，使得f(c)=0 B.若f(a)f(b)>0，则不存在实数c∈(a，b)，使得f(c)=0 C.若对任意的实数c∈[a，b]，f(c)≠0，则f(a)f(b)>0 D.若存在实数c∈(a，b)，f(c)=0，则f(a)f(b)<0 答案　AC 解析　由定理可知，A正确；如图，满足f(a)f(b)>0，且存在实数c∈(a，b)，使得f(c)=0，B错误；因为对任意的实数c∈[a，b]，f(c)≠0，故y=f(x)在[a，b]上的图象与x轴没有交点，故y=f(x)在[a，b]上的图象在x轴上方或在x轴下方，故f(a)f(b)>0，C正确；如图，存在实数c∈(a，b)，f(c)=0，而f(a)f(b)>0，D错误. 7.(5分)函数f(x)=x2-2x在R上的零点个数是　　　　.  答案　3 解析　函数f(x)=x2-2x的零点个数等价于函数y=2x，y=x2的图象交点个数.如图，画出函数y=2x，y=x2的大致图象. 由图象可知有3个交点，即f(x)=x2-2x有3个零点. 8.(5分)若abc≠0，且b2=ac，则函数f(x)=ax2+bx+c的零点个数是　　　　. 答案　0 解析　∵ax2+bx+c=0的根的判别式 Δ=b2-4ac，又b2=ac，且abc≠0， ∴Δ=-3b2<0， ∴方程ax2+bx+c=0无实根. ∴函数f(x)=ax2+bx+c无零点. 9.(10分)判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出其零点. (1)f(x)=-x2+2x-1；(2分) (2)f(x)=x4-x2；(2分) (3)f(x)=4x+5；(3分) (4)f(x)=log3(x+1).(3分) 解　(1)令f(x)=-x2+2x-1=0，解得x1=x2=1， 所以函数f(x)=-x2+2x-1的零点为1. (2)令f(x)=x4-x2=x2(x-1)(x+1)=0， 解得x=0或x=1或x=-1， 故函数f(x)=x4-x2的零点为0，-1和1. (3)因为f(x)=4x+5，4x>0，则f(x)>5， 所以方程4x+5=0无实数解. 所以函数f(x)=4x+5不存在零点. (4)令f(x)=log3(x+1)=0，解得x=0， 所以函数f(x)=log3(x+1)的零点为0. 10.(11分)证明：(1)函数f(x)=x2+6x+4有两个不同的零点；(3分) (2)函数f(x)=x3+3x-1在区间(0，1)上有零点；(4分) (3)函数f(x)=2x+x在R上有零点.(4分) 证明　(1)方法一　令f(x)=x2+6x+4=0， 则Δ=62-4×1×4=36-16=20>0， ∴方程x2+6x+4=0有两个不相等的实数根， ∴原函数有两个不同的零点. 方法二　∵f(x)的图象开口向上，且f(-3)=9-18+4=-5<0， ∴f(x)的图象与x轴有两个不同的交点. ∴原函数有两个不同的零点. (2)∵f(0)=-1<0，f(1)=1+3-1=3>0， 且函数f(x)=x3+3x-1在区间[0，1]上的图象是不间断的， ∴函数f(x)=x3+3x-1在区间(0，1)上有零点. (3)∵f(-1)=2-1-1=-1=-<0，f(0)=20+0=1>0， 且函数f(x)在区间[-1，0]上的图象是不间断的， ∴函数f(x)=2x+x在区间(-1，0)上有零点， ∴函数f(x)=2x+x在R上有零点. 11.函数f(x)=ax2+bx+c，若f(1)>0，f(2)<0，则f(x)在(1，2)上的零点(　　) A.至多有一个 B.有两个 C.有且仅有一个 D.一个也没有 答案　C 解析　若a=0，则f(x)=bx+c是一次函数， 由f(1)f(2)<0得零点只有一个； 若a≠0，则f(x)=ax2+bx+c为二次函数， 若f(x)在(1，2)上有两个零点， 则必有f(1)f(2)>0，与已知矛盾. 若f(x)在(1，2)上没有零点， 则必有f(1)f(2)≥0，与已知矛盾. 故f(x)在(1，2)上有且仅有一个零点. 12.(多选)已知函数f(x)=log2(x+1)+3x+m的零点在区间(0，1]上，则m的可能取值为(　　) A.-4 B.-2 C.0 D.2 答案　AB 解析　因为f(x)=log2(x+1)+3x+m在区间(0，1]上单调递增，且零点在(0，1]内， 所以即 所以-4≤m<0. 结合选项可知m的可能取值为-4，-2. 13.若方程|x2-4x|-a=0有四个不相等的实根，则实数a的取值范围是(　　) A.(0，4] B.[0，4] C.(0，4) D.[0，4) 答案　C 解析　由|x2-4x|-a=0，得a=|x2-4x|， 作出函数y=|x2-4x|的图象，如图所示， 则由图象可知，要使方程|x2-4x|-a=0有四个不相等的实根，则0<a<4. 14.(5分)已知函数f(x)=3x+x，g(x)=log3x+2，h(x)=log3x+x的零点依次为a，b，c，则a，b，c的大小关系是　　　.  答案　a<b<c 解析　画出函数y=3x，y=log3x，y=-x，y=-2的图象，如图所示， 观察图象可知，函数f(x)=3x+x，g(x)=log3x+2，h(x)=log3x+x的零点依次是点A，B，C的横坐标，由图象可知a<b<c. 15.已知x0是函数f(x)=2x+的一个零点，若x1∈(1，x0)，x2∈(x0，+∞)，则(　　) A.f(x1)<0，f(x2)<0 B.f(x1)<0，f(x2)>0 C.f(x1)>0，f(x2)<0 D.f(x1)>0，f(x2)>0 答案　B 解析　由题意得，x0是函数 y=2x与y=的图象交点的横坐标，如图所示. 当x∈(1，x0)时，y=2x的图象在y=图象的下方，即f(x1)<0； 当x∈(x0，+∞)时，y=2x的图象在y=图象的上方，即f(x2)>0. 16.(12分)对于函数y=f(x)，x∈D，若存在非零实数T以及x0∈D，使得f(x0+T)=f(x0)+f(T)，则称函数y=f(x)为“T伴和函数”. (1)设f(x)=x≠0，判断是否存在非零实数T，使得函数y=f(x)为“T伴和函数”？若存在，求出T的取值范围；若不存在，请说明理由；(4分) (2)设f(x)=x2+sin x+1，证明：函数y=f(x)，x∈[0，+∞)为“π伴和函数”；(4分) (3)设f(x)=lg 若函数y=f(x)，x∈[0，+∞)为“1伴和函数”，求实数a的取值范围.(4分) (1)解　假设存在T，使得在(-∞，0)∪(0，+∞)上存在x0满足f(x0+T)=f(x0)+f(T)， 即关于x0的方程=+有解， 整理得+Tx0+T2=0. 该方程的判别式Δ=T2-4T2=-3T2<0， 即方程无解. 因此不存在T，使得函数y=f(x)为“T伴和函数”. (2)证明　考虑关于x的方程f(x+π)=f(x)+f(π)， 即(x+π)2+sin(x+π)+1=x2+sin x+π2+2， 整理得2πx-2sin x-1=0. 记g(x)=2πx-2sin x-1，x∈[0，+∞)， 对于函数y=g(x)，g(0)=-1<0，g=π2-3>0，且其图象是连续曲线， 因此函数y=g(x)在区间上有零点， 从而在[0，+∞)上存在零点. 不妨设其中的一个零点为x0， 则x0满足f(x0+π)=f(x0)+f(π)， 因此函数y=f(x)，x∈[0，+∞)为“π伴和函数”. (3)解　若函数y=f(x)，x∈[0，+∞)为“1伴和函数”，则关于x的方程f(x+1)=f(x)+f(1)在区间[0，+∞)上有解. 即lg =lg +lg 根据对数的运算性质， 方程可以整理为lg =lg 即==1-. 令t=2x+1，x≥0，则t≥1，且x= 于是上式可化为 =1-=1-. 由基本不等式t++2≥2+2=2+2， 当且仅当t=即x=时，等号成立. 则函数y=t++2的值域为[2+2，+∞)， 从而函数y=的值域为. 因此≤<1，解得3-≤a<2. 综上所述，实数a的取值范围为[3-2). 学科网（北京）股份有限公司 $