(讲义)8.1.2 用二分法求方程的近似解-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册(苏教版2019)

8.1.2　用二分法求方程的近似解 1．通过实例理解二分法的概念．(难点) 2．了解二分法是求方程近似解的常用方法． 3．能够借助计算器用二分法求方程的近似解．(重点) 借助二分法的操作步骤与思想，培养逻辑推理、数学建模和数学抽象的核心素养． 通过上一节的学习，利用函数的零点存在定理可以确定函数的零点所在的区间，请利用计算器尝试探求函数f(x)＝ln x＋2x－6零点的近似值(精确到0.1)． 知识点1　二分法的定义 对于在区间[a，b]上的图象连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值，即f(x)＝0的近似解的方法叫作二分法． 1．观察下列函数的图象，判断能用二分法求其零点的是(　　) A　　　　B　 　　C　　　　D [答案]　A 知识点2　用二分法求方程的一个近似解的操作流程 以上操作过程中，如果存在c，使得f(c)＝0，那么c就是方程f(x)＝0的一个精确值． 用“二分法”求方程的近似解时，应通过移项问题转化为求函数的零点近似值．如求f(x)＝g(x)的近似解时可构造函数h(x)＝f(x)－g(x)，将问题转化为求h(x)的零点近似值的问题． 2．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)二分法所求出的方程的解都是近似解． (　　) (2)函数f(x)＝|x|可以用二分法求零点． (　　) (3)用二分法求函数零点的近似值时，每次等分区间后，零点必定在右侧区间内． (　　) (4)用“二分法”求方程的近似解一定可将y＝f(x)在[a，b]内的所有零点得到． (　　) [提示]　四句话都是错的．(1)中，二分法求出的解也有精确解，如f(x)＝x－1在(0,2)上用二分法求解时，中点为x＝1，而f(1)＝0．(2)中， f(x)＝|x|≥0，不能用二分法．(3)中，二分法求零点时，零点可以在等分区间后的右侧，也可以在左侧．(4)中f(x)在[a，b]内的近似解可能有多个，而二分法求解时，只须达到一定的精确度即可，故可能会漏掉一些，另外在等分区间后，中点的函数值与某一端点函数值同号时内部也未必没有零点，故采用“二分法”不一定求出函数的所有零点的近似解． [答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 类型1　“二分法”的概念 【例1】　下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点近以值的是(　　) A　　　　B　　　　C　　　　D D　[根据二分法的基本方法，函数f(x)在区间[a，b]上的图象连续不断，且f(a)·f(b)<0，即函数的零点是变号零点，才能将区间[a，b]一分为二，逐步得到零点的近似值．对各图象分析可知，选项A、B、C都符合条件，而选项D不符合，由于零点左右两侧的函数值不变号，因此不能用二分法求函数零点的近似值．故选D．] 判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点.因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用. 1．已知函数f(x)的图象如图，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为(　　) A．4,4　　　　　 B．3,4 C．5,4 D．4,3 D　[图象与x轴有4个交点，所以零点的个数为4；左右函数值异号的零点有3个，所以用二分法求解的个数为3，故选D．] 2．关于“二分法”求方程的近似解，下列说法正确的是(　　) A．“二分法”求方程的近似解一定可将y＝f(x)在[a，b]内的所有零点得到 B．“二分法”求方程的近似解有可能得不到y＝f(x)在[a，b]内的零点 C．应用“二分法”求方程的近似解，y＝f(x)在[a，b]内有可能无零点 D．“二分法”求方程的近似解可能得到f(x)＝0在[a，b]内的精确解 D　[如果函数在某区间满足二分法，且在区间内存在两个及以上的实根，二分法只可能求出其中的一个，∴A错误；二分法的实施满足零点存在定理，在区间内一定存在零点，∴B错误；C只要限定了近似解的范围就可以得到方程的近似解，∴C错误；“二分法”求方程的近似解，甚至有可能得到函数的精确零点，∴D正确．] 类型2　用“二分法”求方程的近似解 【例2】　利用计算器，求方程ln x＝2－x的近似解(精确到0.1)． [解]　分别画出函数y＝ln x和y＝2－x的图象，如图所示，在两个函数图象的交点处，函数值相等．因此，这个点的横坐标就是方程ln x＝2－x的解．由函数y＝ln x 与y＝2－x的图象可以发现，方程ln x＝2－x有唯一解，且这个解在区间(1,2)内．设f(x)＝ln x＋x－2，则函数f(x)的零点即方程ln x＝2－x的解，记为x0，利用计算器计算得 f(1