第7章 章末复习课 三角函数（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（苏教版）

该高中数学讲义通过知识网络框架图系统构建三角函数单元知识体系，涵盖三角函数式的化简求值、图象与性质及模型应用三大模块，梳理基本关系式、诱导公式等核心知识点，呈现公式正逆用、整体代换等重难点及内在逻辑联系。 讲义亮点在于分层练习设计与方法指导，如例1结合“1的代换”化简求值培养数学运算素养，例2通过整体代换求y=Asin(ωx+φ)单调区间发展逻辑推理能力，例3以潮汐、筒车问题构建模型体现应用意识。跟踪训练兼顾选择填空与解答题，基础学生可掌握方法，优秀学生能深化应用，助力教师精准教学与学生自主复习。

一、三角函数式的化简、求值 1.(1)两个基本关系式sin2α+cos2α=1及=tan α. (2)诱导公式：可概括为k·±α(k∈Z)的各三角函数值的化简公式.记忆规律是：奇变偶不变，符号看象限. 2.化简三角函数式的常用方法有：(1)直接应用公式；(2)切化弦；(3)异角化同角；(4)特殊值与特殊角的三角函数互化；(5)通分、约分；(6)配方去根号. 3.求值一般包括：(1)给角求值；(2)给值求值；(3)给值求角. 4.通过三角函数中公式的正用、逆用及变形应用，提升逻辑推理和数学运算素养. 例1　已知f(α)=. (1)化简f(α)； (2)若f(α)=且<α<求cos α-sin α的值； (3)若α=-求f(α)的值. 解　(1)f(α)==sin α·cos α. (2)由f(α)=sin α·cos α=可知， (cos α-sin α)2=cos2α-2sin α·cos α+sin2α =1-2sin α·cos α=1-2×=. 又∵<α<∴cos α<sin α， 即cos α-sin α<0，∴cos α-sin α=-. (3)∵α=-=-6×2π+ ∴f=cos·sin =cos·sin =cos·sin=×=. 反思感悟　三角函数式的求值、化简的策略 (1)化弦：当三角函数式中含有正弦、余弦及正切函数时，往往把切化为弦，再化简变形. (2)化切：当三角函数式中含有正切及其他三角函数时，有时可将三角函数名称统一为正切，再化简. (3)“1”的代换：在三角函数式中，有时会含有常数1，常数1虽然非常简单，但有些化简却需要利用公式将1代换为三角函数式. 三角函数式化简的实质是灵活地运用公式进行运算，从而得到一个便于观察和研究的结果，在这个过程中，要体现一个“活”字.当然“活”的体现涉及公式的“活”和角的“活”. 跟踪训练1　已知角α的终边上有一点P(1，3)，则的值为(　　) A.1 B.- C.-1 D.-4 答案　A 解析　根据任意角的三角函数定义，可得tan α=3， 所以= =tan α-=-=1. 二、三角函数的图象与性质 1.三角函数的性质包括定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等，在研究性质时，将ωx+φ看成一个整体，利用整体代换思想解题是常见的技巧. 2.函数y=Asin(ωx+φ)的图象 (1)“五点法”作图；(2)图象伸缩、平移变换. 3.借助三角函数的图象和性质，培养直观想象和数学运算素养. 例2　已知函数f(x)=2sin-在x=处取得最值，其中ω∈(0，2). (1)求函数f(x)的最小正周期及增区间； (2)将函数f(x)的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的3倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象.若α为锐角，且g(α)=-求cos的值. 解　(1)∵函数f(x)在x=处取得最值， ∴2ω×-=kπ+k∈Z， 解得ω=2k+k∈Z. 又ω∈(0，2)，∴ω=. ∴f(x)=2sin-. ∴最小正周期T=. 令-+2kπ≤3x-≤+2kπ，k∈Z， 则-+π≤x≤+π，k∈Z， ∴f(x)的增区间为k∈Z. (2)将函数f(x)的图象向左平移个单位长度，得到函数y=2sin- =2sin- 的图象，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的3倍，纵坐标不变， 得到函数y=2sin-的图象， 即g(x)=2sin-. ∵α为锐角，g(α)=2sin-=- ∴sin=. ∴cos==. 反思感悟　三角函数的三条性质 (1)单调性：求形如y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)(A>0，ω>0)的函数的单调区间可以通过解不等式方法去解答，即把ωx+φ视为一个“整体”，分别与正弦函数y=sin x，余弦函数y=cos x的增(减)区间对应解出x，即得所求的增(减)区间. (2)周期性：函数y=Asin(ωx+φ)和y=Acos(ωx+φ)的最小正周期为y=tan(ωx+φ)的最小正周期为. (3)奇偶性：三角函数中奇函数一般可化为y=Asin ωx或y=Atan ωx的形式，而偶函数一般可化为y=Acos ωx+B的形式. 跟踪训练2　已知函数f(x)=sin(ω>0)在上单调，且将函数f(x)的图象向右平移4π个单位长度后与原来的图象重合.当x∈(0，4π)时，使得不等式f(x)≤成立的x的最大值为　　　　.  答案　 解析　因为函数f(x)=sin(ω>0)在上单调，所以≥-= 即T=≥则0<ω≤ 由于函数f(x)的图象向右平移4π个单位长度后与原来的图象重合， 所以4π=nT，n∈Z，则T==n∈Z， 则ω=n∈Z，所以ω= 则f(x)=sin 由于不等式f(x)≤成立， 故-+2kπ≤x+≤+2kπ，k∈Z， 解得-3π+4kπ≤x≤-+4kπ，k∈Z， 由于x∈(0，4π)，当k=1时，π≤x≤ 则不等式f(x)≤成立的x的最大值为. 三、三角函数模型的简单应用 例3　潮汐是发生在沿海地区的一种自然现象，其形成是海水受日月的引力，潮是指海水在一定的时候发生涨落的现象.一般来说，早潮叫潮，晚潮叫汐.某观测站通过长时间的观测，发现潮汐的涨落规律和函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图象基本一致且周期为4π，其中x为时间，f(x)为水深.当x=时，海水上涨至最高5米. (1)作出函数f(x)在[0，4π]内的图象，并求出潮汐涨落的频率和初相位； (2)求海水水深持续加大的时间区间. 解　(1)T==4π，因为ω>0，所以ω= 由题意得A=5，当x=时， sin=1， 又0<φ<所以φ= 故函数f(x)=5sin 频率f==；x=0时，初相位φ= 分别取x=04π， 求出对应的函数值，并描点和绘制，如图所示. (2)求海水水深持续加大的时间区间， 即求f(x)的增区间，令z=x+ 函数y=5sin z的增区间为 k∈Z，即-+2kπ≤x+≤+2kπ⇒-+2kπ≤x≤+2kπ，k∈Z， 即-+4kπ≤x≤+4kπ(k∈Z). 反思感悟　解三角函数应用问题的基本步骤 跟踪训练3　筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用.假设在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动.现将筒车抽象为一个几何图形，如图所示，圆O的半径为4米，且圆O与水平面的距离为2米，P0在水平面上，盛水筒M从点P0处开始运动，2分钟恰好转动1圈，则盛水筒M距离水面的高度H(单位：m.在水面下，则H为负数)与时间t(单位：s)之间的函数关系式是(　　) A.H=4sin+2 B.H=4sin+2 C.H=4sin+2 D.H=4sin+2 答案　D 解析　设距离水面的高度H与时间t的函数关系式为H=Asin(ωt+φ)+B(A>0，ω>0)， ∵周期为120 s，∴ω=== 最高高度为4+2=6，最低高度为-4+2=-2， ∴A+B=6，-A+B=-2，∴A=4，B=2. 当t=0时，H=0，即4sin φ+2=0， ∴sin φ=-∴φ=- ∴H=4sin+2. 学科网（北京）股份有限公司 $