专题8.1 函数的应用（高效培优讲义）数学苏教版2019高一必修第一册

本讲义聚焦函数应用核心知识点，系统梳理二分法求方程近似解的定义与关键步骤，整合一次、二次、分段等函数模型，通过零点区间判断、参数求解、个数确定等10类题型搭建学习支架，配套即学即练与变式练习巩固基础。 资料以分层设计为特色，典例引领结合变式拓展，培养数学抽象与逻辑推理素养。融入经济利润、几何面积等实际问题，引导学生用数学眼光观察现实，解题方法总结助力数学思维形成，课中辅助教学高效推进，课后帮助学生查漏补缺。

专题8.1 函数的应用 教学目标 1.探索用二分法求方程的近似解的思路；能借助计算工具用二分法求方程的近似解. 2.理解直线上升、指数爆炸、对数增长的含义，区分指数函数、对数函数以及幂函数增长速度的差异. 3.会选择适当的函数模型分析和解决一些实际问题. 4.通过本节内容的学习，使学生体会“逐步逼近”的方法，提升学生的数学抽象、逻辑推理、数学运算素养. 教学重难点 1.重点 能够运用已经学过的一次函数、二次函数、分段函数及幂函数建立模型，解决简单的实际问题，体会这些函数在解决实际问题中的作用； 2.难点 运用函数思想理解和处理现实生活和社会中的简单问题；能将实际问题转化为熟悉的模型，建立合适的数学模型解决简单的实际问题. 知识点01 用二分法求方程的近似解 1. 定义： 对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫作二分法. 它是求一元方程近似解的常用方法． 注意：用二分法求函数零点的近似值关键有两点：一是初始区间的选取，符合条件(包括零点)，又要使其长度尽量小；二是进行精确度的判断，以决定是停止计算还是继续计算. 【即学即练】 1．同学用二分法求函数的零点时，用计算器算得部分函数值如下表所示： 则该函数零点的近似值（精确度为0.1）可以是（    ） A．1.2 B．1.21 C．1.27 D．1.32 2．已知函数，利用二分法求的零点的近似值，若零点的初值区间为，精确度为，则可以是（    ） A． B． C． D． 知识点02 函数模型 （1）一次函数模型的应用 一次函数模型：f(x)=kx+b(k,b为常数，k≠0). 一次函数是常见的一种函数模型，在初中就已接触过. （2）二次函数模型的应用 二次函数模型：f(x)=+bx+c(a,b,c为常数,a≠0). 二次函数为生活中常见的一种数学模型，因二次函数可求其最大值(或最小值)，故最优、最省等最值 问题常用到二次函数模型. （3）幂函数模型的应用 幂函数模型应用的求解策略 (1)给出含参数的函数关系式，利用待定系数法求出参数，确定函数关系式. (2)根据题意，直接列出相应的函数关系式. （4）分段函数模型的应用 由于分段函数在不同区间上具有不同的解析式，因此分段函数在研究条件变化前后的实际问题中具有广泛的应用. （5）“对勾”函数模型的应用 对勾函数模型是常考的模型，要牢记此类函数的性质，尤其是单调性：y=ax+(a>0,b>0)，当x>0时，在(0,]上递减，在(,+)上递增.另外，还要注意换元法的运用. 注意点： （1）分段对待：分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当作几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段自变量的取值范围，特别是端点值． （2）原则：构造分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段合理、不重不漏． （3）函数模型应用不当，是常见的解题错误．所以，要理解题意，选择适当的函数模型． （4）要特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域． （5）注意问题反馈，在解决函数模型后，必须验证这个数学模型对实际问题的合理性． 【即学即练】 1．从装满10升纯酒精的容器中倒出2升酒精，然后用水将容器加满，再倒出2升酒精溶液，再用水将容器加满，照这样的方法继续下去，设倒完第次后，前次共倒出纯酒精升，倒完第次后，前次共倒出纯酒精升，则的解析式是（    ） A． B． C． D． 2．边际函数是经济学中一个基本概念，在国防、医学、环保和经济管理等许多领域都有十分广泛的应用，函数的边际函数定义为．某公司每月最多生产75台报警系统装置，生产台的收入函数（单位：元），其成本函数（单位：元），利润是收入与成本之差，设利润函数为，则以下说法正确的有 ①取得最大值时每月产量为台； ②边际利润函数的表达式为 ③利润函数与边际利润函数不具有相同的最大值 ④边际利润函数说明随着产量的增加，每台利润与前一台利润差额在减少. 题型01 判断函数零点所在区间 【典例1】函数的零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 确定函数f(x)零点所在区间的常用方法： (1)解方程法：当对应方程f(x)＝0易解时，可先解方程，再看求得的根是否落在给定区间上． (2)利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若f(a)·f(b)<0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点． (3)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断． 【变式1】函数的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 【变式2】函数 的零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 【变式3】函数的零点所在区间是（    ） A． B． C． D． 题型02 由函数零点所在区间求参数 【典例1】函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知是函数的零点，且，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】函数的零点在区间内，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式3】函数在区间存在零点．则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4】函数在区间内恰有一个零点，则实数a的取值范围为 . 题型03 零点存在性定理的应用 【典例1】已知实数是函数的一个零点，实数满足，且，则（    ） A． B． C． D． 函数零点存在定理应用注意点： 定理要求具备两个条件:①函数在区间上的图象是连续不断的;②.两个条件缺一不可. （1）函数零点存在定理的条件有哪些？定理要求具备两条：①函数在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线；②f(a)·f(b)<0. （2）在函数零点存在定理中，若f(a)·f(b)<0，则函数f(x)在(a，b)内存在零点．则满足f(x)在(a，b)内连续且单调，且f(a)·f(b)<0. 【变式1】已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．在区间内无零点 B．在区间内有且仅有1个零点 C．的所有零点之和为 D．在上有且仅有2个零点 【变式2】方程的根所在区间是（    ） A． B． C． D． 题型04 二分法求函数的零点 【典例1】在用二分法求方程在上的近似解时，构造函数，依次计算得，则该近似解所在的区间是（    ） A． B． C． D． 【变式1】设, 用二分法求方程在区间内近似解的过程中, 计算得到则方程的根落在区间 内 【变式2】已知函数，用二分法求的零点近似值，零点所在大致区间为（    ） A． B． C． D． 题型05 零点的个数问题 【典例1】函数的零点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 判断函数零点个数的六种常用方法： (1)分解因式法：可转化为一元n次方程根的个数问题，一般采用分解因式法来解决． (2)判别式法：可转化为一元二次方程根的问题，通常用判别式法来判断根的个数． (3)利用方程根，转化为解方程，有几个不同的实数根就有几个零点． (4)画出函数y＝f(x)的图象，判定它与x轴的交点个数，从而判定零点的个数． (5)结合单调性，利用函数零点存在定理，可判定y＝f(x)在(a，b)上零点的个数． 【变式1】方程的实数解的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式2】已知函数，则函数的零点个数是（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【变式3】（多选）已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则（    ） A．当时， B．在上单调递增 C．的值域为 D．有2个零点 【变式4】方程解的个数为 . 题型06 已知零点个数求参数范围 【典例1】已知函数，若函数有3个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围的方法： (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，通过解不等式确定参数的取值范围． (2)分离参数法：先将参数分离，然后转化成求函数值域问题加以解决． (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 【变式1】已知函数，若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2】若方程有两个不同的实数根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式3】已知函数，.若有且只有1个零点，则a的取值范围是 . 【变式4】函数只有一个零点，则的取值集合为 题型07 判断函数零点的大小 【典例1】已知，，的零点分别是，，，则，，的大小顺序是（    ） A． B． C． D． 【变式1】设，，，则、、的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知函数的零点分别是，则（    ） A． B． C． D． 【变式3】已知函数的零点分别为，则大小顺序为 .（按由小到大排列） 题型08 求函数零点的和 【典例1】已知定义域为的函数满足，且曲线与曲线有且只有两个交点，则函数的零点之和是（    ） A．2 B．－2 C．4 D．－4 【变式1】函数的所有零点之和为（    ） A．8 B．7 C．5 D．4 【变式2】已知函数，函数满足，若函数恰有2025个零点，则所有零点之和为（    ） A． B． C． D． 【变式3】函数，则函数的所有零点之和为（    ） A．0 B．3 C．10 D．13 题型09 函数与方程综合 【典例1】已知函数. (1)当时，求关于的方程的解； (2)若关于的方程在上有两个不相等的解，求的取值范围. 【变式1】已知函数． (1)若，求函数的单调区间； (2)若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围； (3)若函数在区间上有且仅存一个零点，求实数的取值范围． 【变式2】已知函数． (1)是否存在，使得为定值，若存在，求出m的值；若不存在，说明理由； (2)若，方程有两个根，，且，，求的取值范围． 题型10 函数模型的实际应用 【典例1】某乡镇为全面实施乡村振兴战略，大力发展特色农产业，提升特色农产品的知名度，邀请了一家广告牌制作公司设计一个宽为x米、长为y米的长方形展牌，其中，并要求其面积为平方米． (1)求y关于x的函数； (2)判断在其定义域内的单调性，并用定义证明； (3)如何设计展牌的长和宽，才能使展牌的周长最小？ 解决实际应用问题的一般步骤： ①审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型； ②建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型； ③求模：求解数学模型，得出数学结论； ④还原：将数学问题还原为实际问题． 以上过程用框图表示如图： 【变式1】重庆轻轨九号线发车时间间隔（单位：分钟）满足，，经测算：该路轻轨车载客量与发车时间间隔满足：，其中. (1)求，并说明的实际意义； (2)若该路轻轨车每分钟的净收益（元），问当发车时间间隔为多少时，该路轻轨车每分钟的净收益最大？并求每分钟的最大净收益. 【变式2】如图，设矩形ABCD（AB＞BC）的周长为24，把它沿AC翻折，翻折后交DC于点P，设． (1)用x表示DP，并直接写出x的取值范围 (2)用x表示△ADP的面积，并求△ADP面积的最大值及此时x的值． 【变式3】为落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某市政部门招标一工程队负责在山脚下修建一座水库的土方施工任务.该工程队有两种型号的挖掘机，已知3台型和5台型挖掘机同时施工一小时挖土165立方米；4台型和7台型挖掘机同时施工一小时挖土225立方米.每台型挖掘机一小时的施工费用为300元，每台型挖掘机一小时的施工费用为180元. (1)分别求每台型，型挖掘机一小时挖土多少立方米？ (2)若不同数量的型和型挖掘机共12台同时施工4小时，至少完成1080立方米的挖土量，且总费用不超过12960元.问施工时有哪几种调配方案，并指出哪种调配方案的施工费用最低，最低费用是多少元？ 1．函数的零点所在的一个区间为（    ） A． B． C． D． 2．已知函数的零点在区间内，则整数（    ） A． B． C． D． 3．函数，则“”是“函数在上存在零点”的（    ） A．充分不必要条件 B．充分必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 4．薯条作为一种油炸食品，风味是决定其接受程度的基础.米其林三星餐厅大厨Heston Blumenthal对餐饮门店的不同油炸批次的薯条进行整体品质的感官评价并提出了“油炸质量曲线”（图1），将油炸过程划分为五个阶段：诱导、新鲜、最佳、降解和废弃阶段，以解释食物品质与油炸时间之间的关系.    在特定条件下，薯条品质得分与煎炸时间（单位：min）满足函数关系（a、b、c是常数），图2记录了三次实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳煎炸时间为（    ） A．2.25min B．2.75min C．3.25min D．3.75min 5．已知函数若关于的方程有4个不相等的实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．已知函数，若关于x的方程有7个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 7．（多选）已知函数则（    ） A．， B．函数只有2个零点 C．直线与的图象有3个交点 D．， 8．（多选）已知函数，的零点分别为，，则（    ） A． B． C． D． 9．（多选）已知函数，若有四个不同的解且，则可能的取值为（ ） A． B． C． D． 10．方程在区间上有解，则实数a的取值范围为 ． 11．已知，方程的实根个数为 ． 12．已知函数若关于x的方程恰有5个不同的实根，则实数m的取值范围是 . 13．设函数，其中． (1)当时，求在区间上的最大值和最小值： (2)若在区间上不单调，求的取值范围； (3)若在区间内存在零点，求的取值范围． 14．已知， (1)若方程有两个不等的实数根，比较与1的大小. (2)若关于的方程有且只有一个实根，求的取值范围. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题8.1 函数的应用 教学目标 1.探索用二分法求方程的近似解的思路；能借助计算工具用二分法求方程的近似解. 2.理解直线上升、指数爆炸、对数增长的含义，区分指数函数、对数函数以及幂函数增长速度的差异. 3.会选择适当的函数模型分析和解决一些实际问题. 4.通过本节内容的学习，使学生体会“逐步逼近”的方法，提升学生的数学抽象、逻辑推理、数学运算素养. 教学重难点 1.重点 能够运用已经学过的一次函数、二次函数、分段函数及幂函数建立模型，解决简单的实际问题，体会这些函数在解决实际问题中的作用； 2.难点 运用函数思想理解和处理现实生活和社会中的简单问题；能将实际问题转化为熟悉的模型，建立合适的数学模型解决简单的实际问题. 知识点01 用二分法求方程的近似解 1. 定义： 对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫作二分法. 它是求一元方程近似解的常用方法． 注意：用二分法求函数零点的近似值关键有两点：一是初始区间的选取，符合条件(包括零点)，又要使其长度尽量小；二是进行精确度的判断，以决定是停止计算还是继续计算. 【即学即练】 1．同学用二分法求函数的零点时，用计算器算得部分函数值如下表所示： 则该函数零点的近似值（精确度为0.1）可以是（    ） A．1.2 B．1.21 C．1.27 D．1.32 【答案】C 【分析】观察数据，由零点存在性定理得到区间内存在零点，得到答案. 【解析】，， 由零点存在性定理得，区间内存在零点， 由于，， 故该函数零点的近似值（精确度为0.1）可以是1.27，其他选项不正确. 故选：C 2．已知函数，利用二分法求的零点的近似值，若零点的初值区间为，精确度为，则可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件，计算出，再由零点存在定理和二分法求近似值的方法，即可求解. 【解析】因为，则，， 又，， 由零点存在定理知零点属于区间，且，满足精确度，所以可以是， 故选：C. 知识点02 函数模型 （1）一次函数模型的应用 一次函数模型：f(x)=kx+b(k,b为常数，k≠0). 一次函数是常见的一种函数模型，在初中就已接触过. （2）二次函数模型的应用 二次函数模型：f(x)=+bx+c(a,b,c为常数,a≠0). 二次函数为生活中常见的一种数学模型，因二次函数可求其最大值(或最小值)，故最优、最省等最值 问题常用到二次函数模型. （3）幂函数模型的应用 幂函数模型应用的求解策略 (1)给出含参数的函数关系式，利用待定系数法求出参数，确定函数关系式. (2)根据题意，直接列出相应的函数关系式. （4）分段函数模型的应用 由于分段函数在不同区间上具有不同的解析式，因此分段函数在研究条件变化前后的实际问题中具有广泛的应用. （5）“对勾”函数模型的应用 对勾函数模型是常考的模型，要牢记此类函数的性质，尤其是单调性：y=ax+(a>0,b>0)，当x>0时，在(0,]上递减，在(,+)上递增.另外，还要注意换元法的运用. 注意点： （1）分段对待：分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当作几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段自变量的取值范围，特别是端点值． （2）原则：构造分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段合理、不重不漏． （3）函数模型应用不当，是常见的解题错误．所以，要理解题意，选择适当的函数模型． （4）要特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域． （5）注意问题反馈，在解决函数模型后，必须验证这个数学模型对实际问题的合理性． 【即学即练】 1．从装满10升纯酒精的容器中倒出2升酒精，然后用水将容器加满，再倒出2升酒精溶液，再用水将容器加满，照这样的方法继续下去，设倒完第次后，前次共倒出纯酒精升，倒完第次后，前次共倒出纯酒精升，则的解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】第次时共倒出了纯酒精升， 第次倒出后容器中含纯酒精为升 第次倒出的纯酒精是升 所以倒出第次时，共倒出了纯酒精 故选：C 2．边际函数是经济学中一个基本概念，在国防、医学、环保和经济管理等许多领域都有十分广泛的应用，函数的边际函数定义为．某公司每月最多生产75台报警系统装置，生产台的收入函数（单位：元），其成本函数（单位：元），利润是收入与成本之差，设利润函数为，则以下说法正确的有 ①取得最大值时每月产量为台； ②边际利润函数的表达式为 ③利润函数与边际利润函数不具有相同的最大值 ④边际利润函数说明随着产量的增加，每台利润与前一台利润差额在减少. 【答案】②③④ 【分析】对于①，表达出，根据单调性得到取得最大值时每月产量为台或台；对于②，计算出，②正确；对于③，计算出，；对于④，根据为减函数，得到④正确. 【详解】对于①，， 二次函数的图象开口向下，对称轴为直线， 因为，所以，取得最大值时每月产量为台或台，①错； 对于②， ，②对； 对于③，， 因为函数为减函数，则，③对； 对于④选项，因为函数为减函数， 说明随着产量的增加，每台利润与前一台利润差额在减少，④对. 故答案为：②③④. 题型01 判断函数零点所在区间 【典例1】函数的零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据零点的存在性定理进行判断区间端点处的符合即可． 【解析】函数的定义域为， 函数在上单调递增，函数在上单调递减， 所以在上单调递增． 由，， 所以函数的零点所在的区间是. 故选：B． 确定函数f(x)零点所在区间的常用方法： (1)解方程法：当对应方程f(x)＝0易解时，可先解方程，再看求得的根是否落在给定区间上． (2)利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若f(a)·f(b)<0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点． (3)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断． 【变式1】函数的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据零点的存在性定理进行判断区间端点处的符合即可． 【解析】因为和均是R上的增函数，所以函数是R上的增函数， 又，，， 所以函数的零点所在区间为. 故选：C. 【变式2】函数 的零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据零点的存在性定理进行判断区间端点处的符合即可． 【解析】函数的定义域为， 函数在上单调递增， 又，， 根据零点的存在性定理可知函数零点所在区间为． 故选：B 【变式3】函数的零点所在区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据零点存在性定理判断即可. 【解析】函数的定义域为，且函数在单调递增， 当时，，，， ，， 所以，所以函数在必有一个零点. 故选：D 题型02 由函数零点所在区间求参数 【典例1】函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数单调性，零点存在性定理得到答案. 【解析】和在上是增函数， 在上是增函数， 只需即可，即，解得． 故选：B. 【变式1】已知是函数的零点，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析函数的单调性，结合零点存在定理可得出结果. 【解析】因为函数、在上均为增函数，故函数在为增函数， 因为，，，则， 由零点存在定理可得，又因为，，故. 故选：B. 【变式2】函数的零点在区间内，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由零点存在定理求解． 【解析】易知在上是增函数， 它的零点在区间上， 则，解得， 故选：C． 【变式3】函数在区间存在零点．则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用零点存在性定理列不等式求解即可. 【解析】由在上单调递增，在上单调递增， 得函数在区间上单调递增， 因为函数在区间存在零点， 所以，即，解得， 所以实数m的取值范围是. 故选：B. 【变式4】函数在区间内恰有一个零点，则实数a的取值范围为 . 【答案】 【分析】分类讨论和两种情况，再利用判别式和零点存在性定理列不等式求解即可. 【解析】由题意有：当时，，令得满足题意， 当时，解得，当 时，令得满足题意， 当时，得，只需即可，则，解得， 当时，解得，所以，令得，满足题意， 当时，解得，所以，令解得，满足题意， 综上所述有：. 故答案为：. 题型03 零点存在性定理的应用 【典例1】已知实数是函数的一个零点，实数满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】变形得到，在上的单调递减，结合零点存在性定理得到，从而得到或，故，其他不正确. 【解析】， 其为上的单调递减函数， 其中，， 故只有一个零点， 又，， 又，所以， 或， 若，则， 若，则， 故，D正确，C错误；或，AB错误. 故选：D 函数零点存在定理应用注意点： 定理要求具备两个条件:①函数在区间上的图象是连续不断的;②.两个条件缺一不可. （1）函数零点存在定理的条件有哪些？定理要求具备两条：①函数在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线；②f(a)·f(b)<0. （2）在函数零点存在定理中，若f(a)·f(b)<0，则函数f(x)在(a，b)内存在零点．则满足f(x)在(a，b)内连续且单调，且f(a)·f(b)<0. 【变式1】已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．在区间内无零点 B．在区间内有且仅有1个零点 C．的所有零点之和为 D．在上有且仅有2个零点 【答案】B 【分析】根据零点存在性定理及函数单调性求解判断各选项即可. 【解析】对于A，由， 则，由零点存在性定理，在内有零点，故A错误； 对于B，计算，则， 由零点存在性定理，在内有零点， 任取，则， 因为，， 故，即，所以在内单调递减， 因此在区间内有且仅有1个零点，故B正确； 对于CD，由AB知，，，且， 且函数最多只有3个零点， 由零点存在性定理可知，函数有3个零点，不妨设为，故D错误， 则， 则，故零点之和为0，故C错误. 故选：B 【变式2】方程的根所在区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造函数，判断函数的单调性，然后根据零点存在性定理分析判断即可 【解析】构造函数， 因为和在上单调递减，所以函数在上单调递减， 且函数的图象是一条连续不断的曲线， 因为，，， 由的单调性可知，，则， 故函数的零点所在的区间为， 即方程的根属于区间． 故选：C 题型04 二分法求函数的零点 【典例1】在用二分法求方程在上的近似解时，构造函数，依次计算得，则该近似解所在的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应用二分法及零点存在定理即可判断. 【解析】根据， 则由二分法可得近似解所在的区间为. 故选：C. 【变式1】设, 用二分法求方程在区间内近似解的过程中, 计算得到则方程的根落在区间 内 【答案】 【分析】根据零点存在性定理，结合题设条件即可得解． 【解析】因为，可得方程的根落在区间内． 故答案为：． 【变式2】已知函数，用二分法求的零点近似值，零点所在大致区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二分法的定义和计算方法求解即可. 【解析】由函数的解析式可得函数的定义域为，且函数单调递增， 因为， ， ，， 结合函数零点存在定理可知函数的零点位于的区间为， 故选：B 题型05 零点的个数问题 【典例1】函数的零点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】结合分段函数，在各自的范围判断零点个数即可. 【解析】当时，令，解得：； 当时，在上单调递增， 又，所以， 所以在上有且只有1个零点； 综上，在上有2个零点. 故选：C 判断函数零点个数的六种常用方法： (1)分解因式法：可转化为一元n次方程根的个数问题，一般采用分解因式法来解决． (2)判别式法：可转化为一元二次方程根的问题，通常用判别式法来判断根的个数． (3)利用方程根，转化为解方程，有几个不同的实数根就有几个零点． (4)画出函数y＝f(x)的图象，判定它与x轴的交点个数，从而判定零点的个数． (5)结合单调性，利用函数零点存在定理，可判定y＝f(x)在(a，b)上零点的个数． 【变式1】方程的实数解的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】在同一直角坐标系中画出函数和的图象，研究交点个数，最后结合图象判断即可. 【解析】在同一直角坐标系中画出函数和的图象， 由图象可知：两个函数图象只有一个交点，故方程的实数解的个数为1， 故选：B    【变式2】已知函数，则函数的零点个数是（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【分析】将函数的零点个数转化为方程和根的个数，然后再转化为函数与，图象交点个数，最后结合图象判断即可. 【解析】函数的零点， 即方程和的根，函数的图象，如下图所示： 由图可得方程和的根，共有4个根，即函数有4个零点． 故选：C． 【变式3】（多选）已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则（    ） A．当时， B．在上单调递增 C．的值域为 D．有2个零点 【答案】BCD 【分析】根据给定条件，利用奇函数的定义求出的解析式，再逐项判断即得. 【解析】定义在R上的奇函数，，当时，， 对于A，当时，，则，A错误； 对于B，当时，，则在上单调递增，B正确； 对于C，当时，的取值集合为；； 当时，的取值集合为，因此的值域为，C正确； 对于D，由，得， 当时，，解得； 当时，； 当时，，解得，因此有2个零点，D正确. 故选：BCD 【变式4】方程解的个数为 . 【答案】1 【分析】根据函数零点存在定理，或者函数与方程的思想判断函数图象交点个数即可得出答案. 【解析】解法一：令，则； 在同一平面直角坐标系中分别画出函数与的图象，如图所示.      由图可知函数与的图象只有一个交点， 即函数只有一个零点. 故原方程只有1个解. 解法二：因为，， 所以，说明函数在区间内有零点. 又在区间上是增函数，所以原方程只有一个解. 故答案为：1 题型06 已知零点个数求参数范围 【典例1】已知函数，若函数有3个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】转化为与图象有3个不同的交点，画出两函数图象，数形结合得到答案. 【解析】令，故， 画出与的图象， 函数有3个零点，即与图象有3个不同的交点， 则， 解得. 故选：D 已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围的方法： (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，通过解不等式确定参数的取值范围． (2)分离参数法：先将参数分离，然后转化成求函数值域问题加以解决． (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 【变式1】已知函数，若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，转化为与的图象有两个不同的交点，画出的图象，结合图象，即可求解. 【解析】由有两个不同的零点，即方程有两个不同的解， 即函数与的图象有两个不同的交点， 画出函数的图象，如图所示， 结合图象可得或，解或，即. 故选：B. 【变式2】若方程有两个不同的实数根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令， 由于当时，，，且； 当时，，，且， 作出函数的图象如图所示， 则当时，函数与的图象有两个交点，即方程有两个不同的实数根， 的取值范围是． 故选：C． 【变式3】已知函数，.若有且只有1个零点，则a的取值范围是 . 【答案】 【分析】令，将函数的零点个数问题转化成函数与函数的交点个数问题，然后在同一坐标系中，画出与的函数图象，最后根据图象求解出结果. 【解析】令，则, 在同一坐标系中画出，图象的示意图，如图所示， 若存在2个零点，则的图象与的图象有2个交点，平移的图象可知，当直线过点时，有2个交点，此时，得到， 当在上方，即时，仅有1个交点，符合题意； 当在下方，即时，有2个交点，不符合题意， 综上，a的取值范围为， 故答案为：. 【变式4】函数只有一个零点，则的取值集合为 【答案】 【分析】分和讨论即可. 【解析】（1）若，即时， ①当时，此时，此时没有零点， ②当时，此时，令，解得，符合题意， （2）当时，令， 则，解得或1（舍去）， 综上或，则的取值集合为. 故答案为：. 题型07 判断函数零点的大小 【典例1】已知，，的零点分别是，，，则，，的大小顺序是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将函数的零点，转化为函数的图象分别与函数、、的图象交点的横坐标，利用数形结合法求解． 【解析】解：函数，，的零点， 即为函数分别与函数、、的图象交点的横坐标， 如图所示： 由图可得. 故选：B 【变式1】设，，，则、、的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用零点存在定理计算出、的取值范围，利用对数函数的单调性可得出，即可得出、、的大小关系. 【解析】构造函数，因为函数、在上均为增函数， 所以，函数为上的增函数，且，， 因为，由零点存在定理可知； 构造函数，因为函数、在上均为增函数， 所以，函数为上的增函数，且，， 因为，由零点存在定理可知. 因为，则，因此，. 故选：B. 【变式2】已知函数的零点分别是，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由得，分别计算，由零点存在性定理得的范围，从而比较的大小关系. 【解析】令得，因为，所以即； ，因为，所以，所以， 又在R上单调递减，由零点存在性定理得； ，因为，所以，所以， 又函数在上单调递减，由零点存在性定理得， 所以， 故选：A. 【变式3】已知函数的零点分别为，则大小顺序为 .（按由小到大排列） 【答案】 【分析】根据零点的定义，令，，，据此分别讨论的大致范围，进而得到答案. 【解析】由题意，令，即，得， 由，即，得，则，得， 由，即，得， 所以. 故答案为：. 题型08 求函数零点的和 【典例1】已知定义域为的函数满足，且曲线与曲线有且只有两个交点，则函数的零点之和是（    ） A．2 B．－2 C．4 D．－4 【答案】A 【分析】判断函数和的图象关于点对称，即可判断曲线与曲线有且只有的两个交点关于点对称，结合函数图象交点与函数零点的关系，可得函数的零点之和. 【解析】由题意定义域为的函数满足， 则的图象关于点成中心对称， 函数的图象是由的图象向右平移一个单位得到， 故的图象关于点成中心对称， 又曲线与曲线有且只有两个交点， 则这两个交点关于对称，故这两个交点的横坐标之和为2， 而函数的零点即为曲线与曲线交点的横坐标， 故函数的零点之和是2， 故选：A 【变式1】函数的所有零点之和为（    ） A．8 B．7 C．5 D．4 【答案】B 【分析】根据给定条件，求出函数的零点即可. 【解析】当时，，解得；当时，，解得， 所以函数的零点和为7. 故选：B 【变式2】已知函数，函数满足，若函数恰有2025个零点，则所有零点之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析函数、的性质，确定函数的对称中心，再利用此性质求得答案. 【解析】由，得函数的定义域为R， 又，即函数是奇函数， 函数的图象关于点对称，则函数的图象关于点对称， 由，得函数的图象关于点对称， 因此函数的图象关于点对称，由函数恰有2025个零点， 得函数有一个零点为，其余零点关于对称， 所以所有零点之和为. 故选：A 【变式3】函数，则函数的所有零点之和为（    ） A．0 B．3 C．10 D．13 【答案】D 【分析】令，根据，求得或，再根据和，结合分段函数的解析式，即可求解. 【解析】令， 由得或，所以或， 当时，或， 当时，则或，解得， 所以函数的所有零点之和为. 故选：D. 题型09 函数与方程综合 【典例1】已知函数. (1)当时，求关于的方程的解； (2)若关于的方程在上有两个不相等的解，求的取值范围. 【答案】(1)或;(2) 【分析】（1）将代入，解方程即可 （2）构造函数，利用双勾函数的单调性可得判断的单调性并求出相应的值域，然后结合图形即可得出 【解析】（1）时，，令 解得 令 解得：或 （2）.显然 当时， 记，如图所示 因为在上单调递增，值域为； 根据对勾函数性质知在上单调递减，值域为； 在上单调递增，值域为 综上可知，的取值范围为 【变式1】已知函数． (1)若，求函数的单调区间； (2)若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围； (3)若函数在区间上有且仅存一个零点，求实数的取值范围． 【答案】(1)单调增区间为，单调减区间为;(2);(3) 【分析】（1）确定二次函数对称轴即可求解； （2）由，，三种情况分类讨论即可； （3）通过或，结合判别式及零点存在性定理求解； 【解析】（1）由条件可得，对称轴为：，由开口向上， 所以函数的单调增区间为，单调减区间为； （2）， 当时，，显然在区间上单调递增，符合； 当时，对称轴为：，且开口向上， 若函数在区间上单调递增，需满足：， 解得：， 当时，对称轴为：，且开口向下， 若函数在区间上单调递增，需满足：， 解得：， 综上若函数在区间上单调递增，实数的取值范围； （3）若函数在区间上有且仅存一个零点， 当时，由，解得：，符合； 当，对于，若，即时，方程有一根，符合， 若，① ，因为对称轴为：，又， 若函数在区间上有且仅存一个零点， 需满足：，即，故：； ② ，对称轴为：，， 若函数在区间上有且仅存一个零点， 需满足：，且，即且，解得：； 综上实数的取值范围是 【变式2】已知函数． (1)是否存在，使得为定值，若存在，求出m的值；若不存在，说明理由； (2)若，方程有两个根，，且，，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接计算，则得到关于的方程，解出即可； （2）首先整理得，数形结合得，再表示出，计算之和即可. 【解析】（1） ， 若为定值则应，解得，即. 当时，，当时，. 所以存在符合要求. （2）时，方程即为，整理得，即， 因为方程有两个根，由图象可知，，即， 且，得，同理有，得， 所以， 由，得，所以的取值范围是. 题型10 函数模型的实际应用 【典例1】某乡镇为全面实施乡村振兴战略，大力发展特色农产业，提升特色农产品的知名度，邀请了一家广告牌制作公司设计一个宽为x米、长为y米的长方形展牌，其中，并要求其面积为平方米． (1)求y关于x的函数； (2)判断在其定义域内的单调性，并用定义证明； (3)如何设计展牌的长和宽，才能使展牌的周长最小？ 【答案】(1) (2)判断在其定义域单调递减;证明见解析 (3)设计展牌的长为6和宽为2 【解析】（1）宽为x米、长为y米的长方形展牌，所以面积为：， ， 其中,, 故即. （2）判断在其定义域单调递减， 任取则， 因为所以， 所以在其定义域单调递减. （3）展牌的周长即. 当且仅当，时，等号成立. 此时. 所以设计展牌的长为6和宽为2，才能使展牌的周长最小，最小值为16. 解决实际应用问题的一般步骤： ①审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型； ②建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型； ③求模：求解数学模型，得出数学结论； ④还原：将数学问题还原为实际问题． 以上过程用框图表示如图： 【变式1】重庆轻轨九号线发车时间间隔（单位：分钟）满足，，经测算：该路轻轨车载客量与发车时间间隔满足：，其中. (1)求，并说明的实际意义； (2)若该路轻轨车每分钟的净收益（元），问当发车时间间隔为多少时，该路轻轨车每分钟的净收益最大？并求每分钟的最大净收益. 【答案】(1)，意义见解析；(2)间隔为分钟时，最大净收益为元 【解析】（1）由已知， 的实际意义为当轻轨九号线发车时间间隔为分钟时，轻轨车载客量为； （2）因为， 则当时， ， 当且仅当，即时等号成立； 当时， ， 综上，当发车时间间隔为分钟时，该路轻轨车每分钟的净收益最大，且最大净收益为元. 【变式2】如图，设矩形ABCD（AB＞BC）的周长为24，把它沿AC翻折，翻折后交DC于点P，设． (1)用x表示DP，并直接写出x的取值范围 (2)用x表示△ADP的面积，并求△ADP面积的最大值及此时x的值． 【答案】(1)（）；(2)面积最大值为，此时． 【解析】（1）∵，∴， ∵，∴，解得， 又矩形ABCD（AB＞BC）的周长为24，故，则， 又，∴， ∴由勾股定理得，即， ∴（）． （2），， ∵， ∴， ∴， 当且仅当，即时取等号． ∴当时，△ADP的面积取最大值为． 【变式3】为落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某市政部门招标一工程队负责在山脚下修建一座水库的土方施工任务.该工程队有两种型号的挖掘机，已知3台型和5台型挖掘机同时施工一小时挖土165立方米；4台型和7台型挖掘机同时施工一小时挖土225立方米.每台型挖掘机一小时的施工费用为300元，每台型挖掘机一小时的施工费用为180元. (1)分别求每台型，型挖掘机一小时挖土多少立方米？ (2)若不同数量的型和型挖掘机共12台同时施工4小时，至少完成1080立方米的挖土量，且总费用不超过12960元.问施工时有哪几种调配方案，并指出哪种调配方案的施工费用最低，最低费用是多少元？ 【答案】(1)每台型挖掘机一小时挖土30立方米，每台型挖据机一小时挖土15立方米 (2)型挖掘机7台，型挖掘机5台的施工费用最低，最低费用为12000元 【分析】（1）设每台A型，B型挖据机一小时分别挖土x立方米和y立方米，根据题意列出方程组，解答即可；（2）利用总费用不超过12960元求出方案数量，再利用一次函数增减性求出最低费用． 【详解】（1）设每台型，型挖掘机一小时分别挖土立方米和立方米，根据题意，得 ，解得. 所以，每台型挖掘机一小时挖土30立方米， 每台型挖据机一小时挖土15立方米. （2）设型挖掘机有台，总费用为元，则型挖据机有台.根据题意，得， 因为，解得， 又因为，解得， 所以. 所以，共有三种调配方案. 方案一：当时，，即型挖据机7台，型挖掘机5台； 案二：当时，，即型挖掘机8台，型挖掘机4台； 方案三：当时，，即型挖掘机9台，型挖掘机3台. ，由一次函数的性质可知，随的减小而减小， 当时，， 此时型挖掘机7台，型挖掘机5台的施工费用最低，最低费用为12000元. 1．函数的零点所在的一个区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先判断函数的单调性，然后根据零点存在性定理判断. 【解析】函数定义域为，函数在单调递减， 由，；； ，又，所以； ，又，所以； . 所以，所以函数的零点所在的一个区间为. 故选：B 2．已知函数的零点在区间内，则整数（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数单调性，零点存在性定理得到答案. 【解析】易知函数为增函数，且， 观察可知，，则的零点在区间内， 故. 故选：B 3．函数，则“”是“函数在上存在零点”的（    ） A．充分不必要条件 B．充分必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】首先得出“函数在上存在零点”的充要条件是的取值范围是，进一步结合必要不充分条件的定义即可得解. 【解析】设方程即方程在上存在零点， 令，显然在上单调递减， 而，所以的值域为， 所以函数在上存在零点当且仅当的取值范围是， 所以“”是“函数在上存在零点”的必要不充分条件. 故选：C. 4．薯条作为一种油炸食品，风味是决定其接受程度的基础.米其林三星餐厅大厨Heston Blumenthal对餐饮门店的不同油炸批次的薯条进行整体品质的感官评价并提出了“油炸质量曲线”（图1），将油炸过程划分为五个阶段：诱导、新鲜、最佳、降解和废弃阶段，以解释食物品质与油炸时间之间的关系.    在特定条件下，薯条品质得分与煎炸时间（单位：min）满足函数关系（a、b、c是常数），图2记录了三次实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳煎炸时间为（    ） A．2.25min B．2.75min C．3.25min D．3.75min 【答案】C 【解析】由图2知，解得，，， 所以， 所以当时，取得最大值. 故选：C. 5．已知函数若关于的方程有4个不相等的实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】画出函数图象，设，要使关于的方程恰有4个不相等的实数根，等价为方程有两个不同的根，且，列式求解即可. 【解析】∵， 当时， 在上为减函数，且， 当时，在上为增函数，且， 当时，在上为增函数，且， 作出函数的图象如图所示： 设， 当时，方程有1个解， 当时，方程有2个解， 当时，方程有3个解， 当时，方程有2个解， 当时，方程有1个解， 当时，方程有0个解， 方程等价为，解得， 要使关于的方程恰有4个不相等的实数根，方程有1个解， 所以时，方程有3个解，所以，即得. 故选：A． 6．已知函数，若关于x的方程有7个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】应用一元二次方程解得或，再结合分段函数图象应用7个不相等的实数根得出不等式计算即可求解. 【解析】由可得， 故或，画出函数的图象，如图所示， 要使方程共有7个不相等的实数根， 因为与有3个交点，所以与有4个交点, 所以，即． 故选：D． 7．（多选）已知函数则（    ） A．， B．函数只有2个零点 C．直线与的图象有3个交点 D．， 【答案】ABD 【分析】对于A项，求出函数的值域即可判断；对于BCD项，作出的图象即可依次判断. 【解析】对于A：当时，，当时，， 所以成立，即选项A正确； 作出的图象（如图所示），    由图象，得与的图象关于轴对称，且与有交点， 即，，即选项D正确； 对于C：由图象，得直线与的图象只有2个交点， 即选项C错误； 对于B：的零点个数等于 的图象与的图象的交点个数，由图可知，的图与的图象的交点个数为2，即选项B正确． 故选：ABD 8．（多选）已知函数，的零点分别为，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由指数函数与对数函数、的对称性知与关于直线对称，利用指数幂、对数运算的性质计算依次判断选项即可. 【解析】因为函数与的图象关于直线对称，图象也关于直线对称， 设与图象的交点为A， 与图象的交点为， 则与关于直线对称，则，． 因为，所以，则，即， 因为的图象与直线的交点为， 所以，，，则． 故选：ABD. 9．（多选）已知函数，若有四个不同的解且，则可能的取值为（ ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】作出分段函数的图象，数形结合确定以及，进而可得，构造函数结合函数的单调性即可得解. 【解析】当时，， 当时，，当时，， 作出函数的图象如下，    则由图象可知，的图象与有4个交点，分别为， 因为有四个不同的解且， 所以，且，且，， 又因为 所以即，所以， 所以，且， 构造函数， 因为函数在上都是减函数， 所以函数在上单调递减， 所以，即， 所以. 故选：BC. 10．方程在区间上有解，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据在区间端点的正负列式求解即可. 【解析】考查，因为，且开口向上， 故在区间上最多有一个零点，结合零点存在性定理可得，若方程在区间上有解， 则，即，解得. 故答案为： 11．已知，方程的实根个数为 ． 【答案】2 【分析】在同一直角坐标系中画出函数，的图象，研究交点个数，最后结合图象判断即可. 【解析】由，则， 则令，， 分别作出它们的图象如下图所示，    由图可知，有两个交点，所以方程的实根个数为2． 故答案为：2． 12．已知函数若关于x的方程恰有5个不同的实根，则实数m的取值范围是 . 【答案】 【分析】令，即得，解得或，作出函数的图像，利用数形结合即可求解. 【解析】令，则有，即，所以或， 作出函数的图像： 当时，与有两个不同的交点， 即只需与有3个不同的交点即可， 由图可知：，所以， 故答案为：. 13．设函数，其中． (1)当时，求在区间上的最大值和最小值： (2)若在区间上不单调，求的取值范围； (3)若在区间内存在零点，求的取值范围． 【答案】(1)最小值为3，最大值为7;(2);(3)． 【分析】（1）根据二次函数的性质得出最值； （2）根据函数不单调列不等式计算求参； （3）解法1：分及两种情况分类讨论求零点或结合零点存在定理计算范围；解法2：先计算对称轴为，再分，及，结合零点存在定理计算求解. 【解析】（1）当时，， 所以的对称轴为， 所以在区间上的最小值为，最大值为． （2）由已知，得的对称轴为． 因为在区间上不单调， 所以． 由，解得， 故的取值范围是 （3）由已知，得． 1）当即，或时， 由，得，此时的零点为3，不符合题意： 由，得，此时的零点为，符合题意． 2）当即，或时， ①若，此时的对称轴 且 所以在区间内存在零点，符合题意 ②若，此时的对称轴， 所以在区间内单调递减． 又因为， 所以在区间内存在零点只需满足， 解得． 综上，的取值范围是． 14．已知， (1)若方程有两个不等的实数根，比较与1的大小. (2)若关于的方程有且只有一个实根，求的取值范围. 【答案】(1);(2) 【分析】（1）根据函数图像与解析式，得到，即可比较与1的大小. （2）对分类讨论，分别求出满足关于的方程有且只有一个实根时的取值，即可求出的取值范围. 【解析】（1）   由题意得， 所以， 因为，所以， 所以. （2）若关于的方程有且只有一个实根， 即，且，有且只有一个实根， 若，则，符合； 若，则， 在时只有一个根， 对称轴为，而， 所以符合， 当时，若在时只有一个根， 令，其对称轴为， 时，， 若即，则在单调增， 而，所以不满足在时只有一个根， 若，即时， 在单调递减，在单调递增， 因为，，，且即， 所以在时不可能只有一个根， 综上：. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $