第7章 7.3.3 第2课时 函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质(二)（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（苏教版）

本讲义聚焦函数y=A sin(ωx+φ)的图象与性质，系统梳理由图象确定参数A、ω、φ的方法（逐一定参法、图象变换法），以及该函数的定义域、值域、周期性等性质，搭建从正弦函数基础到复合函数应用的学习支架。 资料以问题驱动探究，通过“确定解析式需哪些参数”等问题培养数学眼光，例1用两种方法求解析式、例2设置条件选择任务发展数学思维，跟踪训练与课时对点练分层设计强化数学语言表达，课中辅助教师高效授课，课后助力学生查漏补缺。

第2课时　函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质(二) 学习目标　掌握函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质，并能解决有关问题. 一、已知图象求函数y=Asin(ωx+φ)的解析式 问题1　确定三角函数y=Asin(ωx+φ)的解析式，需要确定三角函数的哪些参数？ 提示　A，ω，φ的值. 例1　如图是函数y=Asin(ωx+φ)的图象的一部分，求此函数的解析式. 解　方法一　(逐一定参法) 由图象知A=3，T=-=π， ∴ω==2，∴y=3sin(2x+φ). ∵点在函数图象上， ∴-×2+φ=0+2kπ，k∈Z， ∴φ=+2kπ，k∈Z， 又|φ|<∴φ=∴y=3sin. 方法二　(图象变换法) 由图象知A=3，T=π，点在图象上，可知函数图象由y=3sin 2x向左平移个单位长度而得， ∴y=3sin 2即y=3sin. 反思感悟　给出y=Asin(ωx+φ)的图象的一部分，确定A，ω，φ的方法 (1)逐一定参法：如果从图象可直接确定A和ω，则选取“五点法”中的“第一点”的数据代入“ωx+φ=0”(要注意正确判断哪一点是“第一点”)求得φ或选取最大值点时代入公式ωx+φ=+2kπ，k∈Z，选取最小值点时代入公式ωx+φ=+2kπ，k∈Z. (2)图象变换法：运用逆向思维的方法，先确定函数的基本解析式y=Asin ωx，再根据图象平移、伸缩规律确定相关的参数. 跟踪训练1　(1)已知函数y=sin的部分图象如图所示，则(　　) A.ω=1，φ= B.ω=1，φ=- C.ω=2，φ= D.ω=2，φ=- 答案　D 解析　依题意得T==4×=π， 所以ω=2. 又sin=sin=1， 所以+φ=+2kπ，k∈Z， 所以φ=-+2kπ，k∈Z， 由|φ|<得φ=-. (2)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图象与x轴的交点中，相邻两个交点的距离为且图象上一个最低点为M求f(x)的解析式. 解　由最低点M得A=2. 在x轴上两相邻交点之间的距离为 故=即T=π，ω===2. 由点M在图象上得 2sin=-2，即sin=-1， 故+φ=+2kπ，k∈Z， ∴φ=+2kπ，k∈Z，又φ∈ ∴φ=.故f(x)=2sin. 二、函数y=Asin(ωx+φ)性质的综合应用 问题2　你能用正弦函数y=sin x的性质类比三角函数y=Asin(ωx+φ)的性质吗？ 提示　可以，利用整体代换的思想，当A>0，ω>0时，用ωx+φ整体代换正弦函数中的x即可. 知识梳理 函数y=Asin(ωx+φ)，A>0，ω>0的有关性质 函数y=Asin(ωx+φ)，A>0，ω>0 定义域 R 值域 [-A，A] 周期性 T= 对称性 对称中心(k∈Z)； 对称轴x=+(k∈Z) 奇偶性 当φ=kπ(k∈Z)时是奇函数； 当φ=kπ+(k∈Z)时是偶函数 单调性 通过整体代换可求出其单调区间 例2　在下列三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答. ①f(x)的最小正周期为π，且f(x)是偶函数； ②f(x)图象上相邻两个最高点之间的距离为π，且f=0； ③x=0与x=是f(x)图象上相邻的两条对称轴，且f(0)=2. 问题：已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0，0<φ<π)，若　　　　.  (1)求ω，φ的值； (2)将函数y=f(x)的图象向右平移个单位长度后，再将得到的函数图象上各点的横坐标变为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y=g(x)的图象，求g(x)在[0，π]上的减区间. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 解　方案一：选条件①. (1)∵f(x)的最小正周期为π， ∴T==π，∴ω=2.又f(x)是偶函数， ∴f(0)=2sin φ=±2，∴φ=kπ+k∈Z， 又0<φ<π，∴φ=. (2)由(1)知，f(x)=2sin=2cos 2x， 将y=f(x)的图象向右平移个单位长度后，得到y=2cos的图象. 再将横坐标变为原来的4倍，纵坐标不变， 得到g(x)=2cos的图象. 由2kπ≤-≤2kπ+π，k∈Z. 当k=0时≤x≤ ∵0≤x≤π，∴≤x≤π， ∴g(x)在[0，π]上的减区间是. 方案二：选条件②. (1)∵函数f(x)图象上相邻两个最高点之间的距离为π，∴T==π，∴ω=2，又f=0， ∴sin=0，即cos φ=0， ∴φ=kπ+k∈Z.又0<φ<π，∴φ=. (2)同方案一(2). 方案三：选条件③， (1)∵x=0与x=是f(x)图象上相邻的两条对称轴，∴=即T==π. ∴ω=2，又f(0)=2sin φ=2，∴sin φ=1， ∴φ=2kπ+k∈Z.又0<φ<π，∴φ=. (2)同方案一(2). 反思感悟　(1)正弦、余弦型函数奇偶性的判断方法 正弦型函数y=Asin(ωx+φ)和余弦型函数y=Acos(ωx+φ)不一定具备奇偶性.对于函数y=Asin(ωx+φ)，当φ=kπ(k∈Z)时为奇函数，当φ=kπ+(k∈Z)时为偶函数；对于函数y=Acos(ωx+φ)，当φ=kπ(k∈Z)时为偶函数，当φ=kπ+(k∈Z)时为奇函数. (2)与正弦、余弦型函数有关的单调区间的求解技巧 ①结合正弦、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间. ②采用“换元”法整体代换，将ωx+φ看作一个整体，可令“z=ωx+φ”，即通过求y=Asin z的单调区间而求出函数y=Asin(ωx+φ)的单调区间.若ω<0，则可利用诱导公式先将x的系数转变为正数，再求单调区间. 跟踪训练2　(1)(多选)将函数y=sin(2x+φ)的图象沿x轴向左平移个单位长度后，得到一个偶函数的图象，则φ的可能取值为(　　) A. B. C.0 D.- 答案　ABD 解析　将函数y=sin(2x+φ)的图象向左平移个单位长度后，得到y=sin的图象，因为它是偶函数，所以φ+=+kπ，k∈Z，即φ=+kπ，k∈Z，当k=0时，φ=.当k=-1时，φ=-.当k=1时，φ=故选ABD. (2)若f(x)=sin 2ωx+1(ω>0)在区间上单调递增，则ω的最大值为　　　　.  答案　 解析　因为f(x)=sin 2ωx+1(ω>0)在区间上单调递增，可得-·2ω≥-且·2ω≤解得ω≤故ω的最大值为. 1.知识清单： (1)由图象求三角函数的解析式. (2)三角函数的性质的综合应用. 2.方法归纳：特殊点法、数形结合法. 3.常见误区：求φ值时增区间上与x轴的交点和减区间上与x轴的交点的区别. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共24分 1.(多选)若函数f(x)=3sin(ωx+φ)对任意x有f=f则f等于(　　) A.-3 B.-1 C.0 D.3 答案　AD 解析　由于函数f(x)=3sin(ωx+φ)对任意x都有f=f 则函数f(x)的图象关于直线x=对称， 则f是函数f(x)的最大值或最小值， 则f=-3或3. 2.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)的部分图象如图，则其解析式为(　　) A.f(x)=2sin B.f(x)=sin C.f(x)=2sin D.f(x)=2sin 答案　C 解析　由图象知，A=2，T=-=π， 所以ω=2，又函数图象过点 所以2sin=0， 所以-+φ=2kπ，k∈Z， 所以φ=+2kπ，k∈Z，φ可取 所以f(x)=2sin. 3.已知函数f(x)=cos(ω>0)的相邻两条对称轴之间的距离为要得到y=f(x)的图象，只需把y=cos ωx的图象(　　) A.向右平移个单位长度 B.向左平移个单位长度 C.向右平移个单位长度 D.向左平移个单位长度 答案　A 解析　由已知得=2×故ω=2. y=cos 2x的图象向右平移个单位长度可得 y=cos 2=cos的图象. 4.将函数f(x)=sin 4x图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，再将它的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度，得到了一个偶函数的图象，则φ的最小值为(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　将函数f(x)=sin 4x图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)得y=sin 2x，再向左平移φ(φ>0)个单位长度后得y=sin 2(x+φ)=sin(2x+2φ)，该函数为偶函数，则只要2φ=kπ+(k∈Z)，即φ=+(k∈Z)，取k=0，得φ的最小值为. 5.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)在一个周期内，当x=时有最大值2，当x=时有最小值-2，则ω和φ的值分别为(　　) A.4 B.2 C.2 D.1 答案　C 解析　由题意知，T=2×=π， 所以ω==2.又因为当x=时有最大值2， f=2sin=2sin=2， 所以+φ=+2kπ，k∈Z，且|φ|≤ 所以φ=. 6.(多选)函数f(x)=cos(2x+φ)的图象向右平移个单位长度后得到的函数是奇函数，则关于函数f(x)的图象，下列说法不正确的是(　　) A.关于点对称 B.关于直线x=-对称 C.关于点对称 D.关于直线x=对称 答案　ABC 解析　将函数f(x)=cos(2x+φ)的图象向右平移个单位长度后，可得y=cos的图象，根据得到的函数是奇函数，可得-+φ=kπ+k∈Z，又|φ|< 所以φ=-所以f(x)=cos. 令x=-求得f(x)=cos=- 故A不正确. 令x=-求得f(x)=cos=0， 故B不正确. 令x=求得f(x)=cos 0=1，为函数的最大值，故C不正确，D正确. 7.(5分)设函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示，则A+ω+φ=　　　　. 答案　3+ 解析　由图可知A=2=-= 所以T=2π，所以ω=1. 再根据f=2得sin=1， 所以+φ=+2kπ(k∈Z)， 即φ=+2kπ(k∈Z).又因为-<φ< 所以φ=因此A+ω+φ=3+. 8.(5分)已知函数f(x)=sin(2x+φ)，0≤φ<2π，若∀x∈R，f(x)≤f恒成立，则φ=　　　　.  答案　 解析　因为∀x∈R，f(x)≤f恒成立， 所以函数f(x)=sin(2x+φ)在x=时取最大值， 即f=sin=1， 所以2×+φ=+2kπ，k∈Z， 即φ=-+2kπ=-+2kπ，k∈Z， 又因为0≤φ<2π，所以φ=. 9.(10分)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示. (1)求f(x)的解析式；(6分) (2)写出f(x)的增区间.(4分) 解　(1)易知A=T=4×[2-(-2)]=16， 所以ω== 所以f(x)=sin 将点(-2，0)代入得sin=0， 所以-+φ=0+2kπ，k∈Z， 所以φ=+2kπ，k∈Z， 因为-<φ< 所以φ= 所以f(x)=sin. (2)由-+2kπ≤x+≤+2kπ，k∈Z， 解得16k-6≤x≤16k+2，k∈Z， 所以f(x)的增区间为[16k-6，16k+2]，k∈Z. 10.(10分)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的一段图象如图所示. (1)求f(x)的解析式；(5分) (2)至少把f(x)的图象向左平移多少个单位长度，才能使得到的图象对应的函数为偶函数？(5分) 解　(1)由题意知A=3， T===5π， 所以ω=. 由f(x)=3sin的图象过点 得sin=0， 又|φ|<所以φ=- 所以f(x)=3sin. (2)由f(x+m)=3sin =3sin为偶函数(m>0)， 知-=kπ+(k∈Z)， 即m=kπ+(k∈Z). 因为m>0，所以mmin=. 故至少把f(x)的图象向左平移个单位长度，才能使得到的图象对应的函数是偶函数. 11.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)+B的部分图象如图所示，若A>0，ω>0，|φ|<则(　　) A.B=4 B.φ= C.ω=1 D.A=4 答案　B 解析　由函数图象可知 f(x)min=0，f(x)max=4. 所以A==2，B==2. 由周期T==4×=π知ω=2. 由f=4得2sin+2=4， sin=1， 所以+φ=+2kπ，k∈Z， 所以φ=+2kπ，k∈Z， 又|φ|<故φ=. 12.设函数f(x)=sin(ωx+φ)，ω>0.若f(x)在区间上单调，且f=f=-f则f(x)的最小正周期为(　　) A. B.2π C.4π D.π 答案　D 解析　因为f(x)=sin(ωx+φ)在区间上单调，ω>0， 所以-≤== 解得0<ω≤3. 又因为f=f=-f 所以直线x==为f(x)=sin(ωx+φ)的图象的一条对称轴，又= 所以点为f(x)=sin(ωx+φ)的图象的一个对称中心. 因为0<ω≤3，所以直线x=与点为同一周期里相邻的对称轴和对称中心， 所以T=4=π. 13.(多选)函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示，下列说法正确的是(　　) A.f(x)的最小正周期是2π B.f(x)的图象关于直线x=-对称 C.f(x)在上单调递减 D.该函数的图象可由y=2cos x的图象向左平移个单位长度得到 答案　AC 解析　观察图象可得函数f(x)=Asin的最小值为-2，故A=2. 设函数f(x)的最小正周期为T，由图象知T=则T=2π，故ω=1，故A正确； 由f=-2可得-2=2sin又|φ|< 所以φ= 所以f(x)=2sin 因为-+≠kπ+故B错误； 由2kπ+≤x+≤2kπ+k∈Z，可得2kπ+≤x≤2kπ+k∈Z， 所以f(x)的单调递减区间为(k∈Z)， 取k=-1知，函数f(x)在上单调递减， ⊆故C正确； 将y=2cos x的图象向左平移个单位长度后得到y=2cos=2sin=2sin的图象，故D错误. 14.(5分)方程2sin πx=在x∈[-2，1)∪(1，4]内的所有实数解之和为　　　　.  答案　8 解析　作函数y=2sin πx与y=的图象如图所示， 由图可知，在[-2，1)∪(1，4]共有8个公共点， 所以方程有8个实数解. 易知两函数图象都关于点(1，0)中心对称，设8个交点的横坐标从左到右依次为x1，x2，x3，…，x8，则x1+x8=x2+x7=x3+x6=x4+x5=2，从而x1+x2+…+x8=8， 所以原方程在x∈[-2，1)∪(1，4]内的所有实数解之和为8. 15.(多选)已知函数f(x)=Acos(2x+φ)-1(A>0，0<φ<π)，若函数y=|f(x)|的部分图象如图所示，则关于函数g(x)=Asin(Ax-φ)，下列结论正确的是(　　) A.函数g(x)的图象关于直线x=对称 B.函数g(x)的图象关于点对称 C.函数g(x)在上的减区间为 D.函数g(x)的图象可由函数y=f(x)+1的图象向左平移个单位长度得到 答案　ABC 解析　由题意得 所以A=2，所以f(x)=2cos(2x+φ)-1. 由|f(0)|=|2cos φ-1|=2， 得cos φ=(舍去)或cos φ=-. 因为0<φ<π，所以φ= 所以f(x)=2cos-1，g(x)=2sin. 令2x-=+kπ，k∈Z，得x=+k∈Z， 所以当k=-1时，函数g(x)的图象关于直线x=对称，故A正确； 令2x-=k1π，k1∈Z，得x=+k1∈Z， 所以当k1=0时，函数g(x)的图象关于点对称，故B正确； 令-+2k2π≤2x-≤-+2k2π，k2∈Z， 所以-π+k2π≤x≤+k2π，k2∈Z， 所以当k2=0时，g(x)在上单调递减， 所以g(x)在上单调递减，故C正确； f+1=2cos=-2cos 2x≠g(x)，故D错误. 16.(11分)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)在一个周期内的图象如图所示. (1)求函数f(x)的解析式；(4分) (2)求方程f(x)-lg x=0的解的个数.(7分) 解　(1)由题图知A=2，由函数图象过点(0，1)， 得f(0)=1，即sin φ= 又|φ|<所以φ=. 易知点是五点法作图中的第五点， 所以ω+=2π，所以ω=2. 因此所求函数的解析式为f(x)=2sin. (2)在同一平面直角坐标系中作函数y=f(x)和函数y=lg x的图象如图所示. 因为f(x)的最大值为2，令lg x=2，得x=100， 令+kπ<100(k∈Z)，得k≤30(k∈Z). 而+31π>100，且+30π+<100， 所以在区间(0，100]内有31个形如 (k∈Z，0≤k≤30)的区间. 在每个区间上y=f(x)与y=lg x的图象都有两个交点，故这两个函数的图象在上有2×31=62(个)交点. 另外，两函数的图象在上还有一个交点， 所以方程f(x)-lg x=0共有63个实数解. 学科网（北京）股份有限公司 $