第7章 7.3.2 第4课时 正切函数的图象与性质（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（苏教版）

本讲义聚焦正切函数的图象与性质这一核心知识点，承接正弦、余弦函数的学习经验，通过类比迁移引导学生用正切线法绘制图象，系统梳理定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性及对称性等性质，构建完整的三角函数学习支架。 资料以问题驱动设计导语，激发学生用数学眼光发现联系，通过例题分层解析定义域、单调性等问题，培养数学思维中的推理能力，配套跟踪训练与课时对点练，助力课堂教学效果提升，也便于学生课后查漏补缺，强化数学语言表达与应用意识。

第4课时　正切函数的图象与性质 学习目标　1.了解正切函数的画法，理解并掌握正切函数的性质.2.能够利用正切函数的图象与性质解决相关问题. 导语 我们知道，研究一个新的函数，应从函数的定义域、图象、周期性、奇偶性、对称性、单调性、最值(值域)等方面来进行研究.我们已经研究了正弦函数、余弦函数的图象和性质，你能否根据研究正弦函数、余弦函数的图象和性质的经验，以同样的方法研究正切函数的图象与性质呢？ 一、正切函数的图象与性质 问题1　我们采用什么方法画正弦函数图象的？ 提示　采用平移正弦线的方法，先画出一个周期的图象，再向左、右平移得到正弦函数的图象. 问题2　我们能否采用类似的方法画出函数y=tan x的图象呢？ 提示　可以参照画正弦函数的方法，先利用正切线画出y=tan x，x∈的图象，如图；再根据函数的周期性，只要把函数y=tan x，x∈的图象向左、右平移，每次平移π个单位，就可得到正切函数y=tan x的图象. 知识梳理　正切函数的图象与性质 解析式 y=tan x 图象 曲线 正切函数的图象称为正切曲线 定义域 值域 R 最小 正周期 π 奇偶性 奇函数 单调性 每个开区间 (k∈Z)都是函数的增区间 对称性 对称中心(k∈Z) 注意点： (1)研究正切函数时应注意定义域； (2)正切曲线是由被互相平行的直线x=kπ+(k∈Z)隔开的无穷多支曲线组成的. 角度1　定义域、值域 例1　(课本例6)求函数y=tan的定义域. 解　因为y=tan z的定义域为 令z=2x-由2x-≠+kπ， 得x≠+. 所以y=tan的定义域是. 例1　(1)函数y=tan的定义域是(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　由x-≠kπ+k∈Z，得x≠kπ+k∈Z. (2)函数f(x)=tanx∈的值域为　　　　.  答案　[0，1] 解析　令z=x+ ∵x∈∴z∈. ∵函数y=tan z在上单调递增， ∴tan 0≤tan z≤tan即0≤tan z≤1， ∴函数f(x)在上的值域是[0，1]. 反思感悟　(1)求定义域时，要注意正切函数自身的限制条件，另外解不等式时，要充分利用三角函数的图象或三角函数线. (2)处理与正切函数有关的函数值域时，应注意正切函数自身值域为R，将问题转化为某种函数的值域求解. (3)注意换元法的应用. 角度2　奇偶性与周期性 例2　(1)函数f(x)=tan的最小正周期为(　　) A. B. C.π D.2π 答案　A 解析　方法一　T===. 方法二　f(x)=tan=tan =tan=f∴T=. (2)函数f(x)=sin x+tan x的奇偶性为(　　) A.奇函数 B.偶函数 C.非奇非偶函数 D.既是奇函数又是偶函数 答案　A 解析　f(x)的定义域为 关于原点对称，又f(-x)=sin(-x)+tan(-x) =-sin x-tan x=-f(x)， ∴f(x)为奇函数. 反思感悟　与正切函数有关的函数的周期性、奇偶性问题的解决策略 (1)一般地，函数y=Atan(ωx+φ)的最小正周期为T=常常利用此公式来求周期. (2)判断函数的奇偶性要先求函数的定义域，判断其是否关于原点对称，若不对称，则该函数无奇偶性；若对称，再判断f(-x)与f(x)的关系. 角度3　单调性 例3　(1)比较下列两个数的大小(用“>”或“<”填空)： ①tan　　　　tan；  ②tan　　　　tan.  答案　①<　②< 解析　①tan=tan且0<<< 又y=tan x在上单调递增， 所以tan<tan即tan<tan. ②tan=tantan=tan 因为0<<< 又y=tan x在上单调递增， 所以tan<tan 则tan<tan. (2)求函数y=tan的单调区间. 解　∵y=tan x在(k∈Z)上是增函数，∴-+kπ<2x-<+kπ(k∈Z)， 即-+<x<+(k∈Z). ∴函数y=tan的增区间是 (k∈Z)，无减区间. 反思感悟　(1)运用正切函数单调性比较大小的方法 ①运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内. ②运用单调性比较大小关系. (2)求函数y=Atan(ωx+φ)的单调区间的方法 y=Atan(ωx+φ)(ω>0)的单调区间的求法是把ωx+φ看成一个整体，解-+kπ<ωx+φ<+kπ，k∈Z即可.当ω<0时，先用诱导公式把x的系数化为正值再求单调区间. 跟踪训练1　(1)函数f(x)=(　　) A.是奇函数 B.是偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.既不是奇函数也不是偶函数 答案　A 解析　要使f(x)有意义，必须满足 即x≠kπ+且x≠(2k+1)π(k∈Z)， ∴函数f(x)的定义域关于原点对称. 又f(-x)==-=-f(x)， 故f(x)=是奇函数. (2)函数y=3tan的定义域为　　　　　　　　.  答案　 解析　由-≠+kπ，k∈Z， 得x≠--4kπ，k∈Z， ∴函数的定义域为. (3)函数y=3tan的减区间为　　　　　　　　　　　　　　　.  答案　k∈Z 解析　y=3tan可化为 y=-3tan 由kπ-<x-<kπ+k∈Z， 得2kπ-<x<2kπ+k∈Z， 故减区间为k∈Z. 二、正切函数图象与性质的综合应用 例4　设函数f(x)=tan. (1)求函数f(x)的定义域、最小正周期、单调区间及对称中心； (2)求不等式-1≤f(x)≤的解集. 解　(1)由-≠+kπ(k∈Z)， 得x≠+2kπ(k∈Z)， 所以f(x)的定义域是. 因为ω= 所以最小正周期T===2π. 由-+kπ<-<+kπ(k∈Z)， 得-+2kπ<x<+2kπ(k∈Z). 所以函数f(x)的增区间是 (k∈Z)，无减区间. 由-=(k∈Z)，得x=kπ+(k∈Z)， 故函数f(x)的对称中心是(k∈Z). (2)由-1≤tan≤ 得-+kπ≤-≤+kπ(k∈Z)， 解得+2kπ≤x≤+2kπ(k∈Z). 所以不等式-1≤f(x)≤的解集是 . 反思感悟　解答正切函数图象与性质问题的注意点 (1)对称性：正切函数图象的对称中心是(k∈Z)，不存在对称轴. (2)单调性：正切函数在每个开区间(k∈Z)上都是增函数，但不能说其在定义域内是增函数. 跟踪训练2　画出函数y=|tan x|的图象，并根据图象判断其定义域、值域、单调区间、奇偶性、周期性. 解　由y=|tan x|得 y= 其图象如图， 由图象可知，函数y=|tan x|的定义域为值域为[0，+∞)，是偶函数.函数y=|tan x|的周期T=π， 函数y=|tan x|的增区间为k∈Z，减区间为k∈Z. 1.知识清单： (1)正切函数的图象与性质. (2)正切函数图象与性质的综合应用. 2.方法归纳：整体代换、换元法. 3.常见误区：最小正周期T=(ω>0)，在定义域内不单调，对称中心为(k∈Z). 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共6分 1.函数f(x)=-2tan的定义域是(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　由2x+≠+kπ，k∈Z，得x≠+k∈Z. ∴函数f(x)=-2tan的定义域是. 2.函数y=tan的最小正周期为(　　) A.2π B.π C. D. 答案　C 解析　根据周期公式计算得T==. 3.函数f(x)=sin xtan x(　　) A.是奇函数 B.是偶函数 C.是非奇非偶函数 D.既是奇函数又是偶函数 答案　B 解析　f(x)的定义域为关于原点对称，又f(-x)=sin(-x)·tan(-x)=sin x·tan x=f(x)，∴f(x)为偶函数. 4.已知函数y=tan(2x+φ)的图象过点则φ可以是(　　) A.- B. C.- D. 答案　A 解析　因为函数的图象过点 所以tan=0， 所以+φ=kπ，k∈Z， 所以φ=kπ-k∈Z. 5.(多选)与函数y=tan的图象不相交的一条直线是(　　) A.x= B.x=- C.x= D.x=- 答案　AD 解析　令2x-=+kπ，k∈Z， 得x=+k∈Z， ∴直线x=+k∈Z与函数 y=tan的图象不相交， ∴令k=-1，x=-. k=0，x=. 6.下列关于函数y=tan的说法正确的是(　　) A.在区间上单调递增 B.最小正周期是π C.图象关于点对称 D.图象关于直线x=对称 答案　B 解析　令kπ-<x+<kπ+k∈Z，解得kπ-<x<kπ+k∈Z，显然不满足上述关系式，故A错误；易知该函数的最小正周期为π，故B正确；令x+=k∈Z，解得x=-k∈Z，任何k值都不能得到x=故C错误；正切函数没有对称轴，因此函数y=tan的图象也没有对称轴，故D错误. 7.(5分)函数y=tan的增区间是　　　　　　　　　　　　　　　.  答案　k∈Z 解析　令-+kπ<3x+<+kπ，k∈Z， 则-<x<+k∈Z， 所以函数y=tan的增区间是 k∈Z. 8.(5分)函数y=的值域为　　　　　　　　　　　.  答案　(-∞，-1)∪(1，+∞) 解析　当-<x<0时，-1<tan x<0， 所以<-1； 当0<x<时，0<tan x<1， 所以>1. 即当x∈∪时，函数y=的值域是(-∞，-1)∪(1，+∞). 9.(10分)设函数f(x)=tan. (1)求函数f(x)的最小正周期、对称中心；(4分) (2)作出函数f(x)在一个周期内的简图.(6分) 解　(1)∵ω= ∴最小正周期T===3π. 令-=(k∈Z)，得x=π+(k∈Z)， ∴f(x)的对称中心是(k∈Z). (2)令-=0，则x=π； 令-=则x=； 令-=-则x=-. 从而得到函数y=f(x)在一个周期内的简图(如图). 10.(12分)已知函数f(x)=3tan. (1)求f(x)的最小正周期和减区间；(7分) (2)试比较f(π)与f的大小.(5分) 解　(1)因为f(x)=3tan =-3tan 所以T===4π. 由kπ-<-<kπ+(k∈Z)， 得4kπ-<x<4kπ+(k∈Z). 因为y=3tan在(k∈Z)内是增函数， 所以f(x)=-3tan在(k∈Z)内是减函数. 故原函数的最小正周期为4π. 减区间为(k∈Z). (2)f(π)=3tan=3tan=-3tan f=3tan=3tan=-3tan 因为0<<< 且y=tan x 在上单调递增， 所以tan<tan所以f(π)>f. 11.已知函数y=tan ωx在区间内单调递减，则(　　) A.0<ω≤1 B.-1≤ω<0 C.ω≥1 D.ω≤-1 答案　B 解析　∵y=tan ωx在内单调递减， ∴ω<0且T=≥π，∴-1≤ω<0. 12.下列图形分别是①y=|tan x|；②y=tan x；③y=tan(-x)；④y=tan|x|在x∈内的大致图象，那么由a到d对应的函数关系式应是(　　) A.①②③④ B.①③④② C.③②④① D.①②④③ 答案　D 解析　y=tan(-x)=-tan x在上单调递减，只有图象d符合，即d对应③，故选D. 13.(5分)函数y=-tan2x+4tan x+1，x∈的值域为　　　　.  答案　[-4，4] 解析　∵-≤x≤∴-1≤tan x≤1. 令tan x=t，则t∈[-1，1]， ∴y=-t2+4t+1=-(t-2)2+5. ∴当t=-1，即x=-时，ymin=-4， 当t=1，即x=时，ymax=4. 故所求函数的值域为[-4，4]. 14.(5分)已知函数f(x)=asin x+btan x-1(a，b∈R)，若f(-2)=2 025，则f(2)=　　　　.  答案　-2 027 解析　依题意，f(x)的定义域为且定义域关于原点对称， 设g(x)=f(x)+1=asin x+btan x，x≠+kπ，k∈Z， 则g(-x)=asin(-x)+btan(-x) =-(asin x+btan x)=-g(x)， 所以g(x)为奇函数， 则有g(2)+g(-2)=f(2)+1+f(-2)+1=0， 而f(-2)=2 025，所以f(2)=-2 027. 15.若函数f(x)=tan-m在上的最大值为3，最小值为-1，则mn等于(　　) A. B. C.- D.- 答案　D 解析　因为x∈ 所以2x-∈所以2n->- 因为函数f(x)=tan-m在上的最大值为3，最小值为-1， 所以2n-< 令t=2x-则y=tan t-m. 因为y=tan t-m在上单调递增，t=2x-在定义域内单调递增， 所以函数f(x)=tan-m在上单调递增， 所以f=tan-m=-1，解得m=-2， 所以f(n)=tan-m=tan+2=3， 所以tan=. 因为-<2n-<所以2n-=解得n=.故mn=-2×=-. 16.(12分)已知函数f(x)=Atan(ωx+φ)的图象与x轴相交的两相邻点的坐标为和且过点(0，-3). (1)求f(x)的解析式；(6分) (2)求满足f(x)≥的x的取值范围.(6分) 解　(1)由题意可得f(x)的周期为 T=-==所以ω= 得f(x)=Atan它的图象过点 所以tan=0， 即tan=0， 所以+φ=kπ，k∈Z，得φ=kπ-k∈Z， 又|φ|< 所以φ=- 于是f(x)=Atan 它的图象过点(0，-3)， 所以Atan=-3，得A=3. 所以f(x)=3tan. (2)因为3tan≥ 所以tan≥ 得kπ+≤x-<kπ+k∈Z， 解得+≤x<+k∈Z， 所以满足f(x)≥的x的取值范围是k∈Z. 学科网（北京）股份有限公司 $