第7章 7.2.3 第2课时 诱导公式(二)（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（苏教版）

本讲义聚焦诱导公式五、六的推导与应用，在诱导公式一至四基础上，通过单位圆中角的终边对称关系（关于直线y=x、y=-x及x轴对称）构建知识支架，形成完整诱导公式体系，助力学生实现任意角三角函数向锐角三角函数的转化。 该资料以问题链驱动探究，如通过终边对称关系推导公式培养数学眼光，例题与跟踪训练结合提升数学思维（推理与运算），课时对点练分层设计强化数学语言表达。课中辅助教师引导学生主动探究，课后帮助学生巩固知识、查漏补缺，提升应用能力。

第2课时　诱导公式(二) 学习目标　1.在诱导公式一~四的基础上，掌握诱导公式五、六的推导过程.2.能够利用诱导公式解决简单的求值、化简与证明问题. 导语 回顾前面的学习，利用单位圆推出了一组神奇的公式，利用它可以把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，单位圆，这是一个多么美妙的图形！它就像一轮光芒四射的太阳，照耀我们的探究之路，又像一艘轮船，引领我们在知识的海洋里航行，这节课，我们将继续在单位圆中探寻三角函数的奥秘. 一、诱导公式五、六 问题1　角α的终边与角-α的终边是否关于直线y=x对称？ 提示　关于直线y=x对称. 问题2　如图，若角α的终边与角β的终边关于直线y=x对称，设角α，β的终边分别与单位圆交于点P，P'，那么点P与点P'的坐标之间有什么关系？ 提示　根据三角函数的定义，点P的坐标是(cos α，sin α)，点P'的坐标是(cos β，sin β). 又点P和点P'关于直线y=x对称， 则cos α=sin β，sin α=cos β. 问题3　如图，若角α的终边与角γ的终边关于直线y=-x对称，设角α，γ的终边分别与单位圆交于点P，P'，那么点P与点P'的坐标之间有什么关系？若角β与单位圆交于点P″，且β的终边与角γ的终边关于x轴对称，那么点P与点P″的坐标之间有什么关系？ 提示　根据三角函数的定义，点P的坐标为(cos α，sin α)，点P'的坐标为(cos γ，sin γ)，点P″的坐标为(cos β，sin β)， 又角α的终边与角γ的终边关于直线y=-x对称， 则cos γ=-sin α，sin γ=-cos α； 由于角β的终边与角γ的终边关于x轴对称， ∴cos β=cos γ，sin β=-sin γ， 故有cos β=-sin α，sin β=cos α. 知识梳理　诱导公式五、六 终边关系 图示 公式 公式五 角-α与角α的终边关于直线y=x对称 sin=cos α； cos=sin α 公式六 角+α的终边与角-α的终边关于x轴对称，角-α与角α的终边关于直线y=-x对称 sin=cos α； cos=- sin α 注意点： (1)名称发生了变化，实现了正弦和余弦的相互转化； (2)运用公式时，把α“看成锐角”； (3)符号的变化要看把α看成锐角时所在的象限. 二、给角(值)求值 例1　(1)已知cos 31°=m，则sin 239°tan 149°的值是(　　) A. B. C.- D.- 答案　B 解析　sin 239°tan 149° =sin(180°+59°)tan(180°-31°) =-sin 59°(-tan 31°) =-sin(90°-31°)(-tan 31°) =-cos 31°(-tan 31°)=sin 31° ==. (2)(课本例12)已知cos(75°+α)=且-180°<α<-90°，求cos(15°-α)的值. 解　由-180°<α<-90°，得-105°<75°+α<-15°， 则sin(75°+α)<0. 又cos(75°+α)= 所以cos(15°-α)=cos[90°-(75°+α)]=sin(75°+α)=-=-=-. (2)已知sin=则cos的值为　　　　.  答案　 解析　cos=cos =sin=. 延伸探究1　将本例(2)的条件改为sin=求cos的值. 解　cos=cos =-sin=-. 延伸探究2　将本例(2)增加条件“α是第三象限角”，求sin的值. 解　因为α是第三象限角，所以-α是第二象限角，又sin= 所以-α是第二象限角， 所以cos=- 所以sin=sin =-sin=-cos=. 反思感悟　利用诱导公式化简、求值的策略 (1)已知角求值问题，关键是利用诱导公式把任意的三角函数值转化成锐角的三角函数值求解，转化过程中注意口诀“奇变偶不变，符号看象限”的应用. (2)对式子进行化简或求值时，要注意要求的角与已知角之间的关系，并结合诱导公式进行转化，特别要注意角的范围. (3)常见的互余的角：-α与+α+α与-α等，常见的互补的角：+α与-α+α与-α+α与-α等. (4)已知一个角的某种三角函数值，求与之相关的另一个角的三角函数值，常用换元法，将已知角看作一个整体. 跟踪训练1　(1)已知sin=那么cos α等于(　　) A.- B.- C. D. 答案　C 解析　sin=sin =sin=cos α=. (2)已知sin=则cos的值等于(　　) A. B.- C. D.- 答案　D 解析　方法一　∵sin=-sin =-sin=-cos= ∴cos=-. 方法二　设t=α-则α=t+且sin t= ∴cos=cos=cos =cos=-sin t=-. 三、利用公式进行化简、证明 例2　(1)求证：=. 证明　左边= = = == ===右边. 所以原等式成立. (2)化简：- . 解　原式=- =- =-+ =-+==1. 反思感悟　用诱导公式进行化简时的注意点 (1)化简后项数尽可能的少. (2)函数的种类尽可能的少. (3)能求值的一定要求值. (4)含有较高次数的三角函数式，多用因式分解、约分等. 跟踪训练2　化简：. 解　原式= = = ==-=-tan α. 1.知识清单： (1)诱导公式五、六. (2)利用诱导公式进行化简、求值与证明. 2.方法归纳：奇变偶不变，符号看象限. 3.常见误区：函数符号的变化，角与角之间的联系与构造. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共18分 1.已知sin 25.3°=a，则cos 64.7°等于(　　) A.a B.-a C.a2 D. 答案　A 解析　cos 64.7°=cos(90°-25.3°)=sin 25.3°=a. 2.已知sin(π+α)=则cos的值为(　　) A. B.- C. D.- 答案　B 解析　由sin(π+α)=得sin α=- 所以cos=cos=cos =sin α=-. 3.(多选)下列与cos的值相等的是(　　) A.sin(π-θ) B.sin(π+θ) C.cos D.cos 答案　BD 解析　因为cos=-cos=-sin θ， sin(π-θ)=sin θ，sin(π+θ)=-sin θ， cos=sin θ，cos=-sin θ， 所以B，D项与cos的值相等. 4.若sin(180°+α)+cos(90°+α)=-则cos(270°-α)+2sin(360°-α)的值为(　　) A.- B.- C. D. 答案　B 解析　由sin(180°+α)+cos(90°+α) =-2sin α=- 得sin α= cos(270°-α)+2sin(360°-α)=-sin α-2sin α =-3sin α=-. 5.化简：等于(　　) A.-sin θ B.sin θ C.cos θ D.-cos θ 答案　A 解析　原式= ==-sin θ. 6.下列结论错误的是(　　) A.sin=cos B.cos+sin=0 C.sin2(15°-α)+cos2(75°+α)=1 D.sin2(15°-α)+sin2(75°+α)=1 答案　C 解析　A项，sin=sin =cos=cosA正确； B项，因为cos=cos=-sin =-sin=-sin 所以cos+sin=0，B正确； C项，因为sin(15°-α)=sin =cos(75°+α)， 所以sin2(15°-α)+cos2(75°+α) =2cos2(75°+α)≠1，C错误； D项，由C项分析知sin2(15°-α)+sin2(75°+α) =cos2(75°+α)+sin2(75°+α)=1，D正确. 7.(5分)已知cos=则sin=　　　　.  答案　 解析　sin=sin =cos=. 8.(5分)已知cos=-且α为第四象限角，则cos(-3π+α)=　　　　.  答案　- 解析　因为cos=sin α， 所以sin α=-. 又α为第四象限角， 所以cos α== 所以cos(-3π+α)=cos(π+α)=-cos α=-. 9.(10分)已知f(α)=. (1)化简f(α)；(4分) (2)若角A是△ABC的内角，且f(A)=求tan A-sin A的值.(6分) 解　(1)f(α)==cos α. (2)因为f(A)=cos A= 又A为△ABC的内角， 所以sin A== 所以tan A== 所以tan A-sin A=-=. 10.(10分)已知sin α是方程5x2-7x-6=0的根，且α为第三象限角，求·tan2(π-α). 解　方程5x2-7x-6=0的两根为x1=-x2=2， 又α是第三象限角， 所以sin α=-.所以cos α=- tan α== 所以·tan2(π-α) =·tan2α =·tan2α =-tan2α=-. 11.已知sin(π-α)=-2sin则sin αcos α等于(　　) A. B.- C.或- D.- 答案　B 解析　∵sin(π-α)=-2sin 即sin α=-2cos α，∴tan α=-2， ∴sin αcos α===-. 12.(多选)若角A，B，C是锐角△ABC的三个内角，则下列结论中一定成立的是(　　) A.sin(A+B)=sin C B.tan(B+C)=tan A C.cos =sin B D.sin =cos 答案　AD 解析　对于A，sin(A+B)=sin(π-C)=sin C，故A正确； 对于B，tan(B+C)=tan(π-A)=-tan A，故B错误； 对于C，cos =cos=cos=sin 故C错误； 对于D，sin =sin=sin=cos 故D正确. 13.黄金三角形有两种，一种是顶角为36°的等腰三角形，另一种是顶角为108°的等腰三角形，例如，正五角星可以看成是由一个正五边形剪去五个顶角为108°的黄金三角形后得到的图形，如图所示，在黄金三角形ABC中=根据这些信息，可得sin 126°等于(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　∵∠ABC=108°， ∴∠BAC=×(180°-108°)=36°， ∵cos 36°==×= ∴sin 126°=sin(90°+36°)=cos 36°=. 14.(5分)sin21°+sin22°+sin23°+…+sin288°+sin289°+sin290°的值为　　　　.  答案　 解析　因为sin2x°+sin2(90°-x°)=sin2x°+cos2x°=1(1≤x≤44，x∈N)， 所以原式=(sin21°+sin289°)+(sin22°+sin288°)+…+(sin244°+sin246°)+sin290°+sin245°=45+=. 15.(多选)定义：角θ与φ都是任意角，若满足θ+φ=90°，则称θ与φ“广义互余”.已知sin(π+α)=-下列角β中，可能与角α“广义互余”的是(　　) A.sin β= B.cos(π+β)= C.tan β= D.tan β= 答案　AC 解析　因为sin(π+α)=-sin α， 所以sin α= 若α+β=90°，则β=90°-α， 故sin β=sin(90°-α)=cos α=±故A满足； C中tan β= 即sin β=cos β，又sin2β+cos2β=1， 故sin β=±即C满足，而BD不满足. 16.(12分)(1)化简：sin+cos(n∈Z)；(6分) (2)在△ABC中，sin=sin试判断△ABC的形状，并加以证明.(6分) 解　(1)当n为偶数时，设n=2k(k∈Z)，则 原式=sin+cos =sin+cos =-sin+cos =-sin+sin=0； 当n为奇数时，设n=2k+1(k∈Z)，则 原式=sin+cos =sin+cos =sin+cos =sin-cos =sin-cos =sin-sin=0. 综上，sin+cos=0. (2)△ABC为等腰三角形，证明如下： ∵A+B+C=π，∴A+B=π-C，A+C=π-B， ∴由sin=sin 得sin=sin ∴sin=sin ∴cos C=cos B，又B，C∈(0，π)，∴C=B， ∴△ABC为等腰三角形. 学科网（北京）股份有限公司 $