第7章 7.3.3 第1课时 函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质(一)（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（苏教版）

本讲义聚焦高中数学函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质，以正弦函数y=sinx为基础，通过问题驱动逐步探究φ（平移）、A（振幅）、ω（周期）对图象的影响，构建从简单到复杂的知识支架，最终掌握五点法作图及图象变换关系。 资料以“观察-探究-应用”为主线，通过问题1-4引导学生用数学眼光发现图象变换规律，例3结合平移与伸缩变换培养逻辑推理的数学思维，五点法作图训练数学语言表达。课中助教师引导学生主动探究，课后通过分层练习帮助学生巩固知识、查漏补缺。

7.3.3　函数y=Asin(ωx+φ) 第1课时　函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质(一) 学习目标　1.理解y=Asin(ωx+φ)中ω，φ，A对图象的影响.2.掌握y=sin x与y=Asin(ωx+φ)图象间的变换关系，并能正确地指出其变换步骤. 导语 通过前面的学习，我们知道形如y=Asin(ωx+φ)这类函数的性质，与正弦函数的性质有一定的相似性，那么这类函数的图象与正弦曲线是否有关系呢？带着这个问题，我们开始今天的学习. 一、φ对函数y=sin(x+φ)图象的影响 问题1　如图，已给出了函数y=sin x，y=sin(x+1)的图象，这两个函数的图象有什么关系？ 提示　函数y=sin(x+1)的图象上横坐标为t-1的点的纵坐标，与函数y=sin x的图象上横坐标为t的点的纵坐标相同，由于点(t，sin t)在函数y=sin x的图象上，而点(t-1，sin t)在函数y=sin(x+1)的图象上，因此，函数y=sin(x+1)的图象可以看作是将y=sin x的图象上所有的点向左平移1个单位长度而得到的. 知识梳理　φ对函数y=sin(x+φ)图象的影响 例1　函数y=sin的图象可以看作是由y=sin x的图象经过怎样的变换而得到的？ 解　函数y=sin的图象，可以看作是把曲线y=sin x上所有的点向右平移个单位长度而得到的. 延伸探究1　函数y=sin x的图象可以看作是由y=sin的图象经过怎样的变换而得到的？ 解　函数y=sin x的图象，可以看作是由y=sin上所有的点向左平移个单位长度而得到的. 延伸探究2　函数y=sin的图象可以看作是由y=sin(-x)的图象经过怎样的变换而得到的？ 解　因为y=sin=sin故是由y=sin(-x)的图象向右平移个单位长度得到的. 反思感悟　对平移变换应先观察函数名是否相同，若函数名不同，则先化为同名函数，再确定平移的单位长度和方向，方向遵循左加右减. 跟踪训练1　为了得到y=sin的图象只需将函数y=cos x的图象　　　　　　　　　　.  答案　向右平移个单位长度 解析　y=sin=cos =cos=cos 只需把y=cos x的图象向右平移个单位长度即可得到y=sin的图象. 二、A(A >0且A≠1)对函数y=Asin(ωx+φ)图象的影响 问题2　如图已作出函数y=3sin x和y=sin x的图象，这两个函数的图象有什么关系？ 提示　函数y=3sin x的图象上横坐标为t的点的纵坐标等于函数y=sin x的图象上横坐标为t的点的纵坐标的3倍，这表明，点(t，sin t)在函数y=sin x的图象上，而点(t，3sin t)在函数y=3sin x的图象上，因此，函数y=3sin x的图象可以看作是将函数y=sin x的图象上所有点的纵坐标变为原来的3倍(横坐标不变)而得到的. 知识梳理　A(A>0且A≠1)对函数y=Asin(ωx+φ)图象的影响 例2　将函数y=sin图象上所有点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的　　　　倍，会得到函数y=3sin的图象.  答案　3 反思感悟　在研究A(A>0且A≠1)对y=Asin(ωx+φ)图象的影响时，由y=sin(ωx+φ)图象上所有点的纵坐标变成原来的A倍(横坐标不变)，即可得到y=Asin(ωx+φ)的图象. 跟踪训练2　为了得到函数y=cos x的图象，只需把余弦曲线y=cos x上所有点的(　　) A.横坐标变为原来的4倍，纵坐标不变 B.横坐标变为原来的倍，纵坐标不变 C.纵坐标变为原来的4倍，横坐标不变 D.纵坐标变为原来的倍，横坐标不变 答案　D 三、ω(ω >0且ω≠1)对函数y=sin(ωx+φ)图象的影响 问题3　如图，在同一坐标系中，画出了函数y=sin x和y=sin 2x的图象，这两个图象有什么关系？ 提示　函数y=sin 2x图象上横坐标为的点的纵坐标，与函数y=sin x的图象上横坐标为t的点的纵坐标相同，这表明，点(t，sin t)在函数y=sin x的图象上，而点在函数y=sin 2x的图象上，因此，函数y=sin 2x的图象可以看作是将函数y=sin x的图象上所有点的横坐标变为原来的(纵坐标不变)而得到的. 知识梳理　ω(ω >0且ω≠1)对函数y=sin(ωx+φ)图象的影响 例3　(1)为了得到y=sin 4x，x∈R的图象，只需把正弦曲线y=sin x上所有点的(　　) A.横坐标变为原来的4倍，纵坐标不变 B.横坐标变为原来的倍，纵坐标不变 C.纵坐标变为原来的4倍，横坐标不变 D.纵坐标变为原来的倍，横坐标不变 答案　B (2)将函数y=sin x的图象上所有的点向右平移个单位长度，再把各点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是(　　) A.y=sin B.y=sin C.y=sin D.y=sin 答案　C 解析　将y=sin x的图象向右平移个单位长度得到y=sin的图象，再将图象上各点的横坐标变为原来的2倍得到y=sin的图象. 反思感悟　在研究 ω(ω>0且ω≠1)对y=sin(ωx+φ)图象的影响时，由y=sin(x+φ)图象上所有点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)，即可得到y=sin(ωx+φ)的图象. 跟踪训练3　函数y=cos x图象上各点的纵坐标不变，把横坐标变为原来的2倍，得到图象的解析式为y=cos ωx，ω>0，则ω的值为　　　　.  答案　 解析　函数y=cos x y=cosx，所以ω=. 四、“五点法”作函数y=Asin(ωx+φ)的图象 问题4　用“五点法”作函数y=sin x的图象时，找哪五个关键点？ 提示　(0，0)(π，0)(2π，0). 例4　用“五点法”画函数y=2sin在一个周期内的简图. 解　令X=3x+则x=列表如下： X 0 π 2π x - y 0 2 0 -2 0 描点连线，画图如下. 延伸探究3　本例中把“一个周期内”改为“”，又如何作图？ 解　因为x∈所以3x+∈ 列表如下： 3x+ π 2π x 0 y 1 2 0 -2 0 1 描点连线，画图如下. 反思感悟　“五点法”作图的实质 (1)利用“五点法”作函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图象，实质是利用函数的三个零点，两个最值点画出函数在一个周期内的图象. (2)用“五点法”作函数f(x)=Asin(ωx+φ)图象的步骤. 第一步：列表. ωx+φ 0 π 2π x - - - - - f(x) 0 A 0 -A 0 第二步：在同一平面直角坐标系中描出各点. 第三步：用光滑曲线连接这些点，形成图象. (3)在画指定区间上的函数图象时，先由x的第一个取值确定ωx+φ整体取的第一个值，然后再确定ωx+φ整体后面的取值. 1.知识清单： (1)y=Asin(ωx+φ)中ω，φ，A对图象的影响. (2)y=sin x与y=Asin(ωx+φ)图象间的变换关系. 2.方法归纳：数形结合法. 3.常见误区：先平移和先伸缩作图时平移的量不一样. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共12分 1.将函数y=sin 4x的图象向左平移个单位长度，得到函数y=sin(4x+φ)(0<φ<π)的图象，则φ的值为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　将函数y=sin 4x的图象向左平移个单位长度，得y=sin 4=sin所以φ的值为. 2.为了得到函数y=sin的图象，可以将函数y=sin 2x的图象(　　) A.向右平移个单位长度 B.向右平移个单位长度 C.向左平移个单位长度 D.向左平移个单位长度 答案　B 解析　y=sin=sin 2故将函数y=sin 2x的图象向右平移个单位长度，可得y=sin的图象. 3.将函数y=cos x的图象上的每一点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的倍，然后将图象向左平移个单位长度，得到的图象对应的解析式为(　　) A.y=sin 2x B.y=-sin 2x C.y=cos D.y=cos 答案　B 解析　y=cos x的图象上每一点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)得到y=cos 2x的图象；再把y=cos 2x的图象向左平移个单位长度，就得到y=cos 2=cos=-sin 2x的图象. 4.将函数y=sin 2x的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数是(　　) A.奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数 答案　A 解析　y=sin 2xy=sin 2=sin =-sin(π-2x)=-sin 2x. 由于-sin(-2x)=sin 2x，所以是奇函数. 5.(多选)有下列四种变换，其中能使y=sin x的图象变为y=sin的图象的是(　　) A.向左平移个单位长度，再将各点的横坐标变为原来的倍 B.向左平移个单位长度，再将各点的横坐标变为原来的倍 C.各点横坐标变为原来的倍，再向左平移个单位长度 D.各点横坐标变为原来的倍，再向左平移个单位长度 答案　AD 解析　由y=sin x的图象变为y=sin的图象有两种变换方式，第一种：先平移，后伸缩，向左平移个单位长度，再将各点的横坐标变为原来的倍；第二种：先伸缩，后平移，各点横坐标变为原来的倍，再向左平移个单位长度. 6.将函数f(x)=sin ωx(ω>0)的图象向左平移个单位长度，所得图象经过点则ω的最小值是(　　) A. B.2 C.1 D. 答案　C 解析　依题意得，函数f =sin ω(ω>0)的图象过点 于是有f =sin ω =sin ωπ=0(ω>0)， 所以ωπ=kπ，k∈N*，即ω=k，k∈N*， 因此正数ω的最小值是1. 7.(5分)函数y=sin图象上各点的纵坐标不变，将横坐标变为原来的5倍，可得到函数　　　　　　　　　的图象.  答案　y=sin 解析　y=sin的图象y=sin的图象. 8.(5分)将函数f(x)=Asin(ωx+φ)图象上每一点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到y=Asin x的图象，则ω=　　　　，φ=　　　　.  答案　　 解析　y=Asin x的图象向左平移个单位长度，得到y=Asin的图象，再将每一点的横坐标变为原为的2倍(纵坐标不变)， 得到y=Asin的图象， 即为f(x)=Asin(ωx+φ)的图象， 所以f(x)=Asin 所以ω=φ=. 9.(10分)已知函数y=3sin 2x的图象C1，问C1需要经过怎样的变换得到函数y=3cos的图象C2，并且平移路程最短？ 解　易知y=3cos=3sin =3sin=3sin 2 所以将y=3sin 2x的图象C1向右平移个单位长度得到y=3cos的图象C2. 或y=3cos=3sin=3sin=3sin 2 即也可将y=3sin 2x的图象C1向左平移个单位长度得到y=3cos的图象C2. 显然<所以向左平移个单位长度路程最短， 综上，平移路程最短的方法是向左平移个单位长度. 10.(11分)已知函数f(x)=sin. (1)请用“五点法”画出函数f(x)在一个周期的闭区间上的简图；(3分) (2)求函数f(x)的增区间；(4分) (3)试问f(x)是由g(x)=sin x经过怎样变换得到？(4分) 解　(1)列表如下： 2x- 0 π 2π x f(x) 0 1 0 -1 0 描点连线，图象如图所示. (2)令-+2kπ≤2x-≤+2kπ，k∈Z， 解得-+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，所以函数f(x)的增区间是k∈Z. (3)先将g(x)的图象向右平移个单位长度，再将所得函数图象的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)，即可得到f(x)的图象. 11.(多选)将函数y=3sin的图象向右平移个单位长度，所得函数的性质有(　　) A.在上单调递减 B.在上单调递增 C.周期为π D.是一个对称中心 答案　BCD 解析　把函数y=3sin的图象向右平移个单位长度，得到的图象所对应的函数解析式为 y=3sin即y=3sin. 其周期为π是一个对称中心. 由-+2kπ≤2x-≤+2kπ，k∈Z，得+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，取k=0，得≤x≤.故所得图象对应的函数在上单调递增. 12.设ω>0，函数y=sin+2的图象向右平移个单位长度后与原图象重合，则ω的最小值是(　　) A. B. C. D.3 答案　C 解析　y=sin+2 y1=sin+2 =sin+2. 因为y与y1的图象重合， 所以-ω=2kπ(k∈Z)，所以ω=-k(k∈Z). 又因为ω>0，k∈Z， 所以k=-1时，ω取最小值为. 13.(5分)已知函数f(x)=Asin ωx(A>0，ω>0)的最小正周期为π，将y=f(x)的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为y=g(x).若g=则f的值为　　　　.  答案　 解析　∵f(x)的最小正周期为π， ∴=π，∴ω=2，∴f(x)=Asin 2x， 将y=f(x)的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)， 所得图象对应的函数为g(x)=Asin x， ∵g= ∴g=Asin=A= ∴A=2，∴f(x)=2sin 2x， ∴f=2sin=2×=. 14.将函数f(x)=sin的图象向右平移m(m>0)个单位长度，所得函数图象关于y轴对称，则m的最小值为(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　将函数f(x)=sin的图象向右平移m(m>0)个单位长度， 所得函数解析式为y=sin 即y=sin ∵函数y=sin的图象关于y轴对称， ∴函数y=sin为偶函数， ∴-2m+=+kπ，k∈Z，故m=--k∈Z， ∵m>0，∴当k=-1时，mmin=-+=. 15.已知函数f(x)=sin x，函数g(x)的图象可以由函数f(x)的图象先向右平移个单位长度，再将所得函数图象保持纵坐标不变，横坐标变为原来的(ω>0)得到.若函数g(x)在上恰有5个零点，则ω的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　将函数f(x)=sin x的图象向右平移个单位长度，得到y=sin的图象， 再将所得函数图象保持纵坐标不变，横坐标变为原来的(ω>0)，得到g(x)=sin的图象. 若函数g(x)在(0，π)上恰有5个零点， 则ωx-∈所以4π<ωπ-≤5π，得<ω≤. 故ω的取值范围是. 16.(12分)已知函数f(x)=2sin ωx，其中常数ω>0. (1)若y=f(x)在上单调递增，求ω的取值范围；(5分) (2)令ω=2，将函数y=f(x)的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数y=g(x)的图象，区间[a，b](a，b∈R且a<b)满足：y=g(x)的图象在[a，b]上与x轴至少有30个交点，在所有满足上述条件的[a，b]中，求b-a的最小值.(7分) 解　(1)因为ω>0，根据题意有 解得0<ω≤. 所以ω的取值范围是. (2)由f(x)=2sin 2x可得， g(x)=2sin 2+1 =2sin+1， g(x)=0⇒sin=- ⇒x=kπ-或x=kπ-k∈Z，即g(x)的图象与x轴交点相邻间隔依次为和故若y=g(x)的图象在[a，b]上与x轴至少有30个交点， 则b-a的最小值为14×+15×=. 学科网（北京）股份有限公司 $