第7章 7.3.2 第1课时 正弦函数、余弦函数的图象（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（苏教版）

本讲义聚焦高中数学正弦函数、余弦函数的图象这一核心知识点，通过沙摆实验引入，先梳理函数研究的一般步骤，再借助单位圆讲解图象绘制原理，进而掌握五点法作图，最后应用于方程与不等式求解，构建完整的学习支架。 该资料以情境化问题链驱动学习，如通过沙摆实验引导学生用数学眼光观察现实，结合单位圆推理作图培养数学思维，五点法作图及方程求解实例强化数学语言表达。课中助力教师高效授课，课后练习帮助学生查漏补缺，巩固知识。

7.3.2　三角函数的图象与性质 第1课时　正弦函数、余弦函数的图象 学习目标　1.了解正弦函数、余弦函数的图象.2.会用五点法画正弦函数、余弦函数的图象.3.能利用正弦函数、余弦函数的图象解决简单问题. 导语 网上百度一下一个物理实验：“沙摆实验”，就是将一个装满细砂的漏斗挂在一个铁架上做单摆运动时，沙子落在与单摆运动方向垂直的木板上，我们通过实验看看落在木板上的细砂轨迹是什么？这个轨迹与我们今天要学习的正弦函数、余弦函数的图象有关. 一、正弦函数、余弦函数图象的初步认识 问题1　结合之前所学，研究函数的一般步骤是什么？ 提示　先确定函数的定义域，然后画出函数图象，通过图象研究函数的值域、单调性、最值、对称性、奇偶性等函数的性质. 问题2　绘制函数图象，首先要准确绘制其上一点，对于正弦函数，在[0，2π]上任取一个值x0，如何借助单位圆确定正弦函数值sin x0，并画出点T(x0，sin x0)？ 提示　如图，在x轴上任取一点O'，以O'为圆心，单位长为半径作圆.在☉O'中，设的长为x0(即∠AO'P=x0)，则MP=sin x0，所以点S(x0，sin x0)是以的长为横坐标，正弦线MP的数量为纵坐标的点. 问题3　我们已经学会绘制函数图象上的点，接下来，如何画函数y=sin x，x∈[0，2π]的图象？ 提示　在☉O'中，作出对应于…的角及相应的正弦线，相应地，把x轴上从0到2π这一段分成12等份.把角x的正弦线向右平移，使它的起点与x轴上表示数x的点重合，再用光滑曲线把这些正弦线的终点连接起来，就得到正弦函数y=sin x在[0，2π]上的图象，如图所示. 最后我们只要将函数y=sin x，x∈[0，2π]的图象向左、右平移(每次2π个单位)，就可以得到正弦函数y=sin x，x∈R的图象. 问题4　如何画余弦函数的图象呢？ 提示　根据诱导公式sin=cos x，将正弦曲线向左平移个单位，可得到余弦函数的图象. 知识梳理　正弦函数、余弦函数的图象 函数 y=sin x y=cos x 图象 曲线 正弦曲线：正弦函数的图象 余弦曲线：余弦函数的图象 例1　(多选)下列叙述正确的有(　　) A.y=sin x，x∈[0，2π]的图象关于点P(π，0)成中心对称 B.y=cos x，x∈[0，2π]的图象关于直线x=π成轴对称 C.正弦、余弦函数的图象不超过直线y=1和y=-1所夹的范围 D.正弦函数y=sin x(x∈R)的图象关于x轴对称 答案　ABC 解析　分别画出函数y=sin x，x∈[0，2π]和y=cos x，x∈[0，2π]的图象(略)，由图象观察可知A，B，C均正确. 反思感悟　解决正弦、余弦函数图象的注意点 对于正弦、余弦函数的图象问题，要画出正确的正弦曲线、余弦曲线，掌握两者的形状相同，只是在坐标系中的位置不同，可以通过相互平移得到. 跟踪训练1　下列关于正弦函数、余弦函数的图象的描述，不正确的是(　　) A.都可由[0，2π]内的图象向上、向下无限延展得到 B.都是对称图形 C.都与x轴有无数个交点 D.y=sin(-x)的图象与y=sin x的图象关于x轴对称 答案　A 解析　由正弦、余弦函数的图象知，B，C，D正确. 二、“五点法”画函数的图象 “五点法”作图 函数 y=sin x y=cos x 图象画法 五点法 五点法 关键五点 (0，0) (π，0) (2π，0) (0，1) (π，-1) (2π，1) 例2　(课本例3)用“五点法”画出下列函数的简图： (1)y=2cos x，x∈R； (2)y=sin 2x，x∈R. 解　(1)先用“五点法”画一个周期的图象，列表： x 0 π 2π cos x 1 0 -1 0 1 2cos x 2 0 -2 0 2 描点画图，然后由周期性得整个图象如图所示. (2)先用“五点法”画一个周期的图象，列表： x 0 π 2x 0 π 2π sin 2x 0 1 0 -1 0 描点画图，然后由周期性得出整个图象如图所示. 例2　用“五点法”作出下列函数的简图： (1)y=sin x-1，x∈[0，2π]； (2)y=-2cos x+3，x∈[0，2π]. 解　(1)列表： x 0 π 2π sin x 0 1 0 -1 0 sin x-1 -1 0 -1 -2 -1 描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如图所示. (2)列表： x 0 π 2π -2cos x -2 0 2 0 -2 -2cos x+3 1 3 5 3 1 描点、连线得出函数y=-2cos x+3，x∈[0，2π]的图象，如图所示. 反思感悟　作形如y=asin x+b(或y=acos x+b)，x∈[0，2π]的图象的步骤 跟踪训练2　利用“五点法”作出函数y=2+cos x(0≤x≤2π)的简图. 解　列表： x 0 π 2π cos x 1 0 -1 0 1 2+cos x 3 2 1 2 3 描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如图所示. 三、正弦函数、余弦函数图象的应用 例3　方程2sin x-1=0，x∈[0，2π]的解集为　　　　.  答案　 解析　因为2sin x-1=0，所以sin x=. 在同一直角坐标系下，作函数y=sin x，x∈[0，2π]以及y=的图象.又sin =sin =. 所以当x∈[0，2π]时，方程2sin x-1=0的根为和. 延伸探究1　不等式2sin x-1≥0，x∈[0，2π]的解集为(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　因为2sin x-1≥0， 所以sin x≥. 在同一直角坐标系下，作函数y=sin x，x∈[0，2π]以及y=的图象. 又sin =sin =. 所以根据图象可知，sin x≥的解集为. 延伸探究2　在本例中把“x∈[0，2π]”改为“x∈R”，求不等式2sin x-1≥0的解集. 解　在x∈[0，2π]上的解集为. 所以x∈R时，不等式的解集为 . 反思感悟　利用三角函数图象解三角不等式sin x>a(cos x>a)的步骤 (1)作出相应的正弦函数或余弦函数在[0，2π]上的图象. (2)确定在[0，2π]上sin x=a(cos x=a)的x值. (3)写出不等式在区间[0，2π]上的解集. (4)根据公式一写出定义域内的解集. 跟踪训练3　(1)函数y=cos x，x∈[0，2π]的图象与直线y=-的交点有　　　　个；  (2)若函数y=sin x-1，x∈[0，2π]的图象与直线y=a只有一个交点，则a的值为　　　　.  答案　(1)2　(2)0或-2 解析　(1)作出y=cos x，x∈[0，2π]的图象及直线y=-(图略)，知两函数图象有两个交点. (2)画出y=sin x-1，x∈[0，2π]的图象，如图.依题意a=0或a=-2. 1.知识清单： (1)正弦、余弦函数图象的初步认识. (2)五点法作图. (3)正弦、余弦函数图象的应用. 2.方法归纳：数形结合法. 3.常见误区：五点法时选取点错误. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共18分 1.已知余弦函数过点则m的值为(　　) A.0 B.-1 C. D. 答案　C 解析　设余弦函数为y=cos x， 由函数过点 可得m=cos=. 2.(多选)用“五点法”画y=3sin x，x∈[0，2π]的图象时，下列哪个点不是关键点(　　) A. B. C.(π，0) D.(2π，3) 答案　AD 解析　五个关键点的横坐标依次是0π2π.代入计算得B，C是关键点. 3.要得到函数y=-3sin x，x∈[0，2π]的图象，只需将函数y=3sin x，x∈[0，2π]的图象(　　) A.关于原点对称 B.关于x轴对称 C.关于y轴对称 D.关于直线y=x对称 答案　B 解析　要得到函数y=-3sin x，x∈[0，2π]的图象，只需将函数y=3sin x，x∈[0，2π]的图象关于x轴对称即可. 4.函数y=1+sin x，x∈[0，2π]的图象与直线y=交点的个数是(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 答案　C 解析　方法一　由函数y=1+sin x，x∈[0，2π]的图象(如图所示)， 可知其与直线y=有2个交点. 方法二　联立 得sin x=-. 由图象可知y=1+sin x，x∈[0，2π]的图象与直线y=交点的个数为2. 5.在[0，2π]上，函数y=的定义域是(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　依题意得2sin x-≥0，即sin x≥.在同一平面直角坐标系中，作出y=sin x在[0，2π]上的图象及直线y=如图所示.由图象可知，满足sin x≥的x的取值范围是故选B. 6.(多选)下列在(0，2π)上的区间能使cos x>sin x成立的是(　　) A. B. C. D.∪ 答案　AC 解析　在同一平面直角坐标系中，画出正、余弦函数的图象，在(0，2π)上，当cos x=sin x时，x=或x=结合图象可知满足cos x>sin x的是和. 7.(5分)函数f(x)=sin x-1，x∈[0，2π]与x轴交点的坐标为　　　　.  答案　 解析　令f(x)=0，∴sin x=1， 又x∈[0，2π]，∴x=. ∴f(x)与x轴交点的坐标为. 8.(5分)已知函数f(x)=2cos x+1，若f(x)的图象过点则m=　　　　；若f(x)<0，则x的取值集合为　　　　.  答案　1　 解析　当x=时，f(x)=2cos+1=1，∴m=1. f(x)<0，即cos x<- 作出y=cos x在x∈[0，2π]上的图象，如图所示. 由图知x的取值集合为. 9.(10分)用五点法作下列函数的大致图象. (1)y=2-sin x，x∈[0，2π]；(5分) (2)y=cosx∈.(5分) 解　(1)y=2-sin x，x∈[0，2π]，列表如下. x 0 π 2π sin x 0 1 0 -1 0 2-sin x 2 1 2 3 2 描点连线画出图象如图所示. (2)y=cosx∈列表如下. x - x+ 0 π 2π cos 1 0 -1 0 1 描点连线画出图象如图所示. 10.(10分)已知函数y=sin x+|sin x|. (1)画出函数的简图；(6分) (2)此函数是周期函数吗？若是，求其最小正周期.(4分) 解　(1)y=sin x+|sin x| = 图象如图所示. (2)由图象知该函数是周期函数，且最小正周期是2π. 11.图中的曲线对应的函数解析式可以是(　　) A.y=|sin x| B.y=sin|x| C.y=-sin|x| D.y=-|sin x| 答案　C 解析　由函数图象知函数值有正有负，故排除A，D；当x=时，y<0，所以排除B；故选C. 12.(多选)函数y=sin x，x∈的图象与直线y=t(t为常数)的公共点个数可能是(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 答案　ABC 解析　作出y=sin x，x∈的图象(实线部分)， 所以函数y=sin x，x∈的图象与直线y=t(t为常数)的公共点个数可能是0，1，2. 13.方程sin x=的根的个数是(　　) A.7 B.8 C.9 D.10 答案　A 解析　在同一平面直角坐标系内画出y=和y=sin x的图象如图所示. 根据图象可知方程有7个根. 14.(5分)函数y=2cos x，x∈[0，2π]的图象和直线y=2围成的一个封闭的平面图形的面积是　　　　.  答案　4π 解析　如图所示，将余弦函数的图象在x轴下方的部分补到x轴的上方，可得一个矩形，其面积为2π×2=4π. 15.如图，在平面直角坐标系中，角α(0<α<π)的始边为x轴的非负半轴，终边与单位圆的交点为A，将OA绕坐标原点逆时针旋转至OB，过点B作x轴的垂线，垂足为Q.记线段BQ的长为y，则函数y=f(α)的图象大致是(　　) 答案　B 解析　由题可得A(cos α，sin α)，将OA绕坐标原点逆时针旋转至OB， 可得B 即B(-sin α，cos α). 因为线段BQ的长为y， 所以函数y=f(α)=|cos α|，结合选项可知，B项符合题意. 16.(12分)已知函数f(x)= (1)作出该函数的图象；(4分) (2)若f(x)=求x的值；(4分) (3)若a∈R，讨论方程f(x)=a的解的个数.(4分) 解　(1)f(x)的函数图象如下： (2)当-π≤x<0时，f(x)=cos x= 解得x=-； 当0≤x≤π时，f(x)=sin x= 解得x=或x=. 综上，x=-或或. (3)方程f(x)=a的解的个数等价于函数y=f(x)的图象与直线y=a的交点个数， 则由(1)中函数图象可得， 当a>1或a<-1时，解的个数为0； 当-1≤a<0或a=1时，解的个数为1； 当0≤a<1时，解的个数为3. 学科网（北京）股份有限公司 $