7.3.3 函数y＝A sin (ωx＋φ)-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（苏教版）

本讲义聚焦函数y=A sin(ωx+φ)核心知识点，系统梳理从y=sin x到该函数的图象变换（振幅、周期、相位变换），通过五点法作图、两种变换路径（先平移后伸缩/先伸缩后平移），结合由图象求解析式及ω的综合拓展，构建从概念到方法再到应用的完整学习支架。 资料以“数学眼光”解析参数A、ω、φ对图象的影响，“微点拨”强调变换细节；“数学思维”体现在五点法作图步骤和一题多解（如例2两种变换方法）；“数学语言”通过分层练习强化表达。课中例题与总结助教师授课，课后练习与培优拓展帮学生查漏补缺。

7．3.3　函数y＝A sin (ωx＋φ) ► 对应学生用书P155 [课程标准]　1.结合具体实例，了解y＝A sin (ωx＋φ)的实际意义．　2.能借助图象理解参数ω，φ，A的意义，了解参数的变化对函数图象的影响． 一、函数y＝sin x的图象经变换得到y＝A sin (ωx＋φ)的图象的步骤 微点拨：1.参数 A, ω， φ 使函数y＝sin x的图象变换为函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象，分别叫做振幅变换，周期变换和相位变换． 2．左右平移是对x本身而言的，如果x前面的系数不是1，应提取系数，然后进行左右平移． 3．|A|的大小反映了曲线y＝A sin (ωx＋φ)波动幅度的大小． 若A＞0，则函数y＝A sin (ωx＋φ)的值域是[－A，A]，最大值是A，最小值是－A；若A<0，则函数y＝A sin (ωx＋φ)的值域是[A，－A]，最大值是－A，最小值是A. 二、五点法作y＝A sin (ωx＋φ)的图象 1．利用“五点法”作函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)的图象，实质是利用函数的三个零点、两个最值点画出函数在一个周期内的图象． 2．取值时，需令ωx＋φ＝0，，π，，2π，才能得到五个特征点，即两个最值点和三个零点． 【基点小试】 1．(苏教版必修一P199T8改编)(多选)函数y＝3sin 的图象，可由函数y＝sin x的图象经过下列哪项变换而得到(　　) A．向左平移个单位长度，横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标伸长到原来的3倍 B．向左平移个单位长度，横坐标缩短到原来的倍，纵坐标伸长到原来的3倍 C．横坐标缩短到原来的倍，向左平移个单位长度，纵坐标伸长到原来的3倍 D．横坐标缩短到原来的倍，向左平移个单位长度，纵坐标伸长到原来的3倍 解析：选BD.法一　先平移后伸缩 法二　先伸缩后平移 y＝sin ＝sin y＝3sin ， 故BD正确． 2．将函数y＝sin x的图象上所有的点向右平移个单位长度，再把各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是(　　) A．y＝sin B．y＝sin C．y＝sin D．y＝sin 解析：选C.将y＝sin x的图象向右平移个单位长度得到y＝sin 的图象，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍得到y＝sin 的图象． 3．为了得到y＝sin 的图象只需将函数y＝cos x的图象________________________而得到． 解析：y＝sin ＝cos ＝cos ＝cos，只需把y＝cos x的图象向右平移个单位长度即得到y＝sin 的图象． 答案：向右平移个单位长度 4．利用“五点法”作函数y＝sin 2x，x∈[0，2π]的图象时，所取的五点的横坐标为____________________． 答案：0，，，，π 题型一　五点法作函数y＝A sin (ωx＋φ)图象 例1.用“五点法”作出函数y＝2sin (＋)的图象． 解：令t＝＋，列表如下： x － t 0 π 2π y 0 2 0 －2 0 描点连线并向左右两边分别扩展，得到如图所示的函数图象： [总结] 　用“五点法”作函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)图象的步骤 第一步：列表． ωx＋φ 0 π 2π x － － － － － y 0 A 0 －A 0 第二步：在同一坐标系中描出各点． 第三步：用光滑曲线连接这些点，形成图象． 【练一练】 1．用五点法作出函数y＝2sin 的图象，并指出函数的单调区间． 解：(1)列表： x － 2x＋ 0 π 2π y 0 2 0 －2 0 (2)描点． (3)连线．用平滑的曲线顺次连接各点所得图象如图所示为该函数在一个周期内图象，然后将图象左右平移(每次π个单位长度)即可得到该函数在定义域R内的图象． 可见在一个周期内，函数在上递减，又因为函数的周期为π，所以函数的递减区间为(k∈Z). 同理，递增区间为(k∈Z). 题型二　函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象变换 例2.指出将y＝sin x的图象变换为y＝sin 的图象的两种方法． 解：法一(先伸缩后平移)　y＝sin x y＝sin ＝sin . 法二(先平移后伸缩)　y＝sin x y＝sin . [总结] 　由y＝sin x的图象，通过变换可得到函数y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象，其变化途径有两条： (1)y＝sin xy＝sin (x＋φ) y＝sin (ωx＋φ)y＝A sin (ωx＋φ). (2)y＝sin xy＝sin ωxy＝sin ＝sin (ωx＋φ)y＝A sin (ωx＋φ). 【练一练】 2．(2025·宿迁高一期末)为了得到函数y＝3sin (2x＋)的图象，只需把函数y＝3sin x图象上所有的点(　　 ) A．横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得的图象向右平移个单位长度 B．横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)，再将所得的图象向左平移个单位长度 C．横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得的图象向左平移个单位长度 D．横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)，再将所得的图象向右平移个单位长度 解析：选B.把函数y＝3sin x图象上所有的点横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)，得y＝3sin 2x，再将y＝3sin 2x图象向左平移个单位长度，得y＝3sin [2(x＋)]＝3sin (2x＋). 3．将函数y＝2cos 2x的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到的图象对应的函数解析式为(　　) A．y＝cos 2x B．y＝－2cos x C．y＝－2sin 4x D．y＝－2cos 4x 解析：选D.将函数y＝2cos 2x的图象向右平移个单位长度，可得函数y＝2cos ＝2cos (2x－π)＝－2cos 2x的图象，再将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到函数y＝－2cos 4x的图象，故选D. 题型三　由图象求函数解析式 例3.如图是函数y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的图象的一部分，求此函数的解析式． 解：法一(逐一定参法) 由图象知A＝3， T＝－＝π， ∴ω＝＝2， ∴y＝3sin (2x＋φ). ∵点在函数图象上， ∴0＝3sin . ∴－×2＋φ＝kπ，k∈Z，得φ＝＋kπ(k∈Z). ∵|φ|<，∴φ＝. ∴y＝3sin . 法二　待定系数法 由图象知A＝3.∵图象过点和， ∴解得 ∴y＝3sin . 法三　图象变换法 由A＝3，T＝π，点在图象上， 可知函数图象由y＝3sin 2x向左平移个单位长度而得， ∴y＝3sin ，即y＝3sin . [总结] 　确定A，ω，φ的方法 (1)逐一定参法：如果从图象可直接确定A和ω，则选取“五点法”中的“第一零点”的数据代入“ωx＋φ＝0”(要注意正确判断哪一点是“第一零点”)求得φ或选取最值点代入公式ωx＋φ＝kπ＋，k∈Z，求φ. (2)待定系数法：通过若干特殊点代入函数式，可以求得相关待定系数A，ω，φ.这里需要注意的是，要认清所选择的点属于五个点中的哪一点，并能正确代入列式． (3)图象变换法：运用逆向思维的方法，先确定函数的基本解析式y＝A sin ωx，再根据图象平移、伸缩规律确定相关的参数． 【练一练】 4．已知函数y＝A sin (ωx＋φ)(A>0, ω>0，|φ|<)在一个周期内的部分函数图象如图所示．求此函数的解析式． 解：由图象可知A＝2，＝－＝1，∴T＝2，∴T＝＝2，∴ω＝π，∴y＝2sin (πx＋φ). 将代入y＝2sin (πx＋φ)得2sin ＝2， ∴sin ＝1.∵|φ|＜，∴φ＝， ∴y＝2sin . 5．函数y＝A sin (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象如图所示． 求f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 022)的值． 解：由图可知A＝2，φ＝2kπ，k∈Z，T＝8， ∴＝8，即ω＝，∴f(x)＝2sin (x＋2kπ)， ∴f(x)＝2sin x. ∵周期为8，且f(1)＋f(2)＋…＋f(8)＝0， ∴f(1)＋f(2)＋…＋f(2 022)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)＝2sin ＋2sin ＋2sin ＋2sinπ＋2sin ＋2sin ＝. 培优拓展系列(八)·三角函数中有关ω的问题 角度1　利用三角函数的单调性求解 例4.(一题多法)若函数f(x)＝2sin ωx cos ωx＋2sin2ωx＋cos2ωx在区间上单调递增，则正数ω的最大值为(　　) A． B． C． D． 解析：选B.法一　因为f(x)＝2sin ωx cos ωx ＋2sin2ωx＋cos2ωx＝sin 2ωx＋1在区间上单调递增， 所以 解得0<ω≤，所以正数ω的最大值是. 法二　易知f(x)＝sin 2ωx＋1，可得f(x)的最小正周期T＝， 所以 解得0<ω≤，所以正数ω的最大值是. [总结] 　本题中因为指定区间含有0，所以可以直接利用－3ωπ与－的大小关系及3ωπ与的大小关系建立参数所满足的不等式(组)，若指定区间不含0，则需要先求出函数的单调递增区间，再利用子集关系建立参数所满足的不等式(组)求解． 角度2　利用三角函数的最值，对称性求解 例5.(一题多法)已知函数f(x)＝sin (ωx＋φ)，x＝－为f(x)的零点，直线x＝为y＝f(x)图象的对称轴，且f(x)在上单调，则ω的最大值为(　　) A．11 B．9 C．7 D．5 解析：选B.法一　因为x＝－为函数f(x)的零点，直线x＝为y＝f(x)图象的对称轴， 所以－＝＝＋(k∈Z，T为最小正周期)， 化简得T＝(k∈Z)，则ω＝＝2k＋1(k∈Z). 又f(x)在上单调，所以≥－，结合T＝(k∈Z)可得，k≤且k∈Z. 当k＝5时，ω＝11，φ＝－，f(x)在上不单调，满足题意，故ω的最大值为9. 法二　依题意，有解得 又|φ|≤，所以m＋n＝0或m＋n＝－1.由f(x)在上单调，得≥－，所以0<ω≤12. 当m＋n＝0时，ω＝4n＋1，φ＝， 取n＝2，得ω＝9，f(x)＝sin ，符合题意． 当m＋n＝－1时，φ＝－，ω＝4n＋3， 取n＝2，得ω＝11，f(x)＝sin ，此时， 当x∈时，11x－∈，f(x)不单调，不合题意，故ω的最大值为9. [总结] 　利用三角函数的最值与对称轴或周期的关系，可以列出关于ω的等式或不等式，进而求出ω的值或取值范围． 【练一练】 6．(2023·昆明模拟)已知函数f(x)＝sin (ωx－)(ω>0)在(0，2π)上有且仅有两个零点，则ω的取值范围是____________． 解析：令ωx－＝φ，∵0<x<2π，ω>0， ∴－<ωx－<2ωπ－，即－<φ<2ωπ－，由题意知y＝sin φ在上有且仅有两个零点，则 ∴<ω≤. 答案： [课后分层练(四十五)]　函数y=Asin（ωx+φ） （单选题、填空题每题5分，多选题每题6分，解答题每题15分） 【基础巩固题组】 1．为了得到函数y＝sin 的图象，可以将函数y＝sin 2x的图象(　　) A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 解析：选B.y＝sin ＝sin 2，故将函数y＝sin 2x的图象向右平移个单位长度，可得y＝sin 的图象． 2．将函数y＝sin 2x的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数是(　　) A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数 解析：选A.y＝sin 2x y＝sin ＝sin ＝－sin (π－2x)＝－sin 2x. 由于－sin (－2x)＝sin 2x，所以是奇函数． 3．(2025·丹阳高一上期末)若将函数y＝sin x的图象上各点的横坐标扩大为原来的2倍，再将图象向右平移个长度单位，则所得到的曲线的解析式为(　　 ) A．y＝sin (x－) B．y＝－sin 2x C．y＝－cos x D．y＝－cos 2x 解析：选A.函数y＝sin x的图象上各点的横坐标变为原来的2倍得到y＝sin x，再将图象向右平移个长度单位得到y＝sin [(x－)]＝sin (x－). 4．要得到函数y＝cos 的图象，只需将函数y＝sin 2x的图象(　　) A.向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 解析：选A.y＝cos ＝sin [＋]＝sin ＝sin .由题意知，要得到y＝sin 的图象，只需将y＝sin 2x的图象向左平移个单位长度． 5．为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针位置P(x，y).若初始位置为P0(，)，当秒针从P0(注：此时t＝0)开始走时，点P的纵坐标y与时间t的函数解析式为(　　) A．y＝sin ，t∈[0，＋∞) B．y＝sin ，t∈[0，＋∞) C．y＝sin ，t∈[0，＋∞) D．y＝sin ，t∈[0，＋∞) 解析：选C.由题意可得函数初相为，排除B、D.又T＝60(秒)且秒针按顺时针旋转，即T＝＝60，所以|ω|＝，即ω＝－.故选C. 6．如果两个函数的图象经过平移后能够重合，那么这两个函数称为“和谐”函数．下列函数中与g(x)＝sin 能构成“和谐”函数的是(　　) A．f(x)＝sin B．f(x)＝2sin C．f(x)＝sin D．f(x)＝sin ＋2 解析：选D.将函数g(x)图象上的所有的点向上平移2个单位长度，即得到函数f(x)＝sin ＋2的图象，故选D. 7．将函数y＝sin 4x的图象向左平移个单位长度，得到函数y＝sin (4x＋φ)(0<φ<π)的图象，则φ的值为________． 解析：将函数y＝sin 4x的图象向左平移个单位长度，得y＝sin ＝sin (4x＋)，所以φ的值为. 答案： 8．已知函数f(x)＝sin (ωx＋φ)(ω＞0)的图象如图所示，则ω＝________． 解析：由题意设函数周期为T，则＝π－＝，故T＝π.∴ω＝＝. 答案： 9．已知函数f(x)＝2sin (ωx＋φ)(ω>0)的图象如图所示，则f＝________． 解析：由图象知T＝π，∴T＝，A＝2， 又∵T＝，∴ω＝3，将点代入y＝2sin (3x＋φ)得sin ＝0，取φ＝－π.∴f(x)＝2sin ， ∴f＝2sin ＝2sin π＝0. 答案：0 10．要得到y＝sin 的图象，只需将y＝sin 的图象向______平移____个单位长度． 解析：∵y＝sin ＝sin ， ∴要得到y＝sin 的图象，只需将y＝sin 的图象向右平移个单位长度． 答案：右　 11．已知函数y＝sin ，x∈R.用五点法作出它在一个周期内的简图． 解：列表： 2x＋ 0 π 2π x － y 0 0 － 0 描点、连线，如图所示． 12．已知函数f(x)＝3sin (2x＋φ)，其图象向左平移个单位长度后，关于y轴对称． (1)求函数f(x)的解析式； (2)说明其图象是由y＝sin x的图象经过怎样的变换得到的． 解：(1)将函数f(x)＝3sin (2x＋φ)图象上的所有点向左平移个单位长度后，所得图象的函数解析式为y＝3sin ＝3sin . 因为图象平移后关于y轴对称， 所以2×0＋＋φ＝kπ＋(k∈Z)， 所以φ＝kπ＋(k∈Z)， 因为φ∈，所以φ＝. 所以f(x)＝3sin . (2)将函数y＝sin x的图象上的所有点向左平移个单位长度，所得图象的函数解析式为y＝sin ，再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变)，得函数y＝sin 的图象，再把图象上各点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)，即得函数y＝3sin 的图象． 【能力提升题组】 13．已知函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)＋B的一部分图象如图所示，若A>0，ω>0，|φ|<，则(　　) A．B＝4 B．φ＝ C．ω＝1 D．A＝4 解析：选B.由函数图象可知f(x)min＝0，f(x)max＝4. 所以A＝＝2，B＝＝2. 由周期T＝＝4知ω＝2. 由f＝4得2sin ＋2＝4， sin ＝1， 又|φ|<，故φ＝. 14．函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(其中A>0，|φ|<)的图象如图所示，为了得到g(x)＝cos 2x的图象，只要将f(x)的图象(　　) A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 解析：选D.由图可知，A＝1，＝－＝，∴T＝π，∴ω＝＝2.∴f(x)＝sin (2x＋φ).又f＝sin ＝0，|φ|<，∴＋φ＝π，即φ＝.∴f(x)＝sin .因此，只需把f(x)的图象向左平移个单位长度便可得到g(x)＝sin ＝cos 2x的图象． 15．(多选)下列有四种变换，其中能使y＝sin x的图象变为y＝sin 的图象的是(　　) A．向左平移个单位长度，再将各点的横坐标缩短为原来的 B．向左平移个单位长度，再将各点的横坐标缩短为原来的 C．各点横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位长度 D．各点横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位长度 解析：选AD.由y＝sin x的图象变为y＝sin 的图象有两种变换方式，第一种：先平移，后伸缩，向左平移个单位长度，再将各点的横坐标缩短为原来的；第二种：先伸缩，后平移，各点横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位长度． 16．(多选)将函数y＝sin (2x＋φ)的图象沿x轴向左平移个单位长度后，得到一个偶函数的图象，则φ的可能取值为(　　) A． B． C．0 D．－ 解析：选ABD.将函数y＝sin (2x＋φ)的图象向左平移个单位长度后，得到y＝sin 的图象，因为它是偶函数，所以φ＋＝＋kπ，k∈Z，即φ＝＋kπ，k∈Z，当k＝0时，φ＝.当k＝－1时，φ＝－.当k＝1时，φ＝π，故选ABD. 17．将函数f(x)＝sin ωx(其中ω＞0)的图象向右平移个单位长度，所得图象经过点，则ω的最小值是________． 解析：函数f(x)＝sin ωx(其中ω>0)的图象向右平移个单位长度得到函数f(x)＝sin (其中ω＞0)，将代入得sin ＝0，所以＝kπ(k∈Z)，解得ω＝2k(k∈Z)，故得ω的最小值是2. 答案：2 18．将函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到y＝A sin x的图象，则ω＝________，φ＝________． 解析：y＝A sin x的图象向左平移个单位长度，得到y＝A sin 的图象，再将每一点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到y＝A sin (x＋)的图象，即为f(x)＝A sin (ωx＋φ)的图象，所以f(x)＝A sin ，所以ω＝，φ＝. 答案：　 19．将自行车支起来，使后轮能平稳地匀速转动，观察后轮气针的运动规律，若将后轮放入如图所示坐标系中，轮胎以角速度ω rad/s做圆周运动，P0是气针的初始位置，气针(看作一个点P)到原点(O)的距离为r. (1)求气针(P)的纵坐标y关于时间t的函数关系，并求出P的运动周期； (2)当φ＝，r＝ω＝1时，作出其图象． 解：(1)过P作x轴的垂线，设垂足为M，则MP就是正弦线．∴y＝r sin [π－(ωt＋φ)] ∴y＝r sin (ωt＋φ)，因此T＝. (2)当φ＝，r＝ω＝1时，y＝sin ， 如图，其图象是将y＝sin t的图象向左平移个单位长度得到． 20．已知函数f(x)＝2sin ωx，其中常数ω>0. (1)若y＝f(x)在上单调递增，求ω的取值范围； (2)令ω＝2，将函数y＝f(x)的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数y＝g(x)的图象，区间[a，b](a，b∈R，且a<b)满足y＝g(x)在[a，b]上至少含有30个零点，在所有满足上述条件的[a，b]中，求b－a的最小值． 解：(1)因为ω>0，根据题意有 ⇒0<ω≤. 所以ω的取值范围为. (2)f(x)＝2sin 2x，g(x)＝2sin ＋1＝2sin ＋1， g(x)＝0⇒sin ＝－， 解得x＝kπ－或x＝kπ－π，k∈Z， 即g(x)的零点相离间隔依次为和， 故若y＝g(x)在[a，b]上至少含有30个零点，则b－a的最小值为14×＋15×＝. 学科网（北京）股份有限公司 $