第7章 7.2.3 第1课时 诱导公式(一)（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（苏教版）

本讲义聚焦三角函数诱导公式（一）核心知识点，从初中锐角三角函数扩展到任意角，通过圆的对称性推导公式一至四，构建“负化正、大化小、小化锐”的转化支架，系统梳理公式应用于求值、化简与证明的脉络。 该资料以问题链驱动公式推导，借助单位圆对称性培养几何直观（数学眼光），例题分层设计发展推理能力（数学思维），结合质点运动情境体现数学语言应用。课中助力教师引导探究，课后课时对点练帮助学生巩固，有效查漏补缺。

7.2.3　三角函数的诱导公式 第1课时　诱导公式(一) 学习目标　1.借助圆的对称性理解诱导公式一、二、三、四的推导过程.2.掌握诱导公式一~四并能运用诱导公式进行求值、化简与证明. 导语 在初中我们学习了一些锐角的三角函数值，现在我们把角扩展到了任意角，我们是否可以把任意角的三角函数值转化为求0°~360°角的三角函数值？对于90°~360°角的三角函数值，我们能否进一步把它们转化到锐角范围内来求解，这是我们今天要解决的内容. 一、诱导公式一~四 问题1　若角α的终边与角β的终边相同，那么角α与角β的正弦值相等吗？余弦值相等吗？正切值相等吗？ 提示　sin β=sin α；cos β=cos α；tan β=tan α. 问题2　如果角α的终边与角β的终边关于x轴对称，那么α与β的三角函数值之间有什么关系？ 提示　设角α，β的终边分别与单位圆交于点P，P'，则点P和点P'关于x轴对称. 又根据三角函数的定义，点P的坐标是(cos α，sin α)， 点P'的坐标是(cos β，sin β)， 则有sin β=-sin α，cos β=cos α. 由同角三角函数关系得tan β===-tan α. 问题3　如果角α的终边与角β的终边关于y轴对称，那么α与β的三角函数值之间有什么关系？ 提示　若角α的终边与角β的终边关于y轴对称， 同理可得sin β=sin α， cos β=-cos α，tan β=-tan α. 问题4　如果角α的终边与角β的终边关于原点对称，那么α与β的三角函数值之间有什么关系？ 提示　若角α的终边与角β的终边关于原点O对称， 同理可得sin β=-sin α， cos β=-cos α，tan β=tan α. 知识梳理　公式一~四 终边关系 图示 公式 公式一 角2kπ+α与角α的终边相同 sin(α+2kπ)=sin α， cos(α+2kπ)= cos α， tan(α+2kπ)=tan α， 其中，k∈Z 公式二 角-α与角α的终边关于x轴对称 sin(-α)=-sin α， cos(-α)=cos α， tan(-α)=-tan α 公式三 角π-α与角α的终边关于y轴对称 sin(π-α)=sin α， cos(π-α)=-cos α， tan(π-α)=-tan α 公式四 角π+α与角α的终边关于原点对称 sin(π+α)=-sin α， cos(π+α)=-cos α， tan(π+α)=tan α 注意点： (1)函数名称不变； (2)运用公式时把α“看成”锐角； (3)诱导公式中角α可以是任意角，要注意正切函数中要求α≠kπ+k∈Z. 二、给角(值)求值 角度1　给角求值 例1　(课本例9)求值：(1)sin； (2)cos； (3)tan(-1 560°). 解　(1)sin=sin=-sin=-. (2)cos=cos=cos =cos=-cos=-. (3)tan(-1 560°)=-tan 1 560°=-tan(4×360°+120°)=-tan 120°=-tan(180°-60°)=tan 60°=. 例1　求下列三角函数值： (1)cos(-480°)+sin 210°； (2)sin·cos·tan. 解　(1)原式=cos 480°+sin(180°+30°) =cos(360°+120°)-sin 30°=cos 120°- =cos(180°-60°)- =-cos 60°-=--=-1. (2)原式=sin·cos·tan =sin·cos·tan =sin·cos·tan =-sin·cos·tan =-××=-. 反思感悟　利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤 (1)“负化正”——用公式一或二来转化. (2)“大化小”——用公式一将角化为0°到360°间的角. (3)“小化锐”——用公式三或四将大于90°的角转化为锐角. (4)“锐求值”——得到锐角三角函数后求值. 角度2　给值求值 例2　(1)(多选)已知cos(π-α)=-则sin(-2π-α)的值是(　　) A. B.- C.- D. 答案　AB 解析　因为cos(π-α)=-cos α=- 所以cos α= 所以α为第一或第四象限角， 所以sin α=±=± 所以sin(-2π-α)=sin(-α)=-sin α=±. (2)已知cos=则cos=　　　　.  答案　- 解析　cos=cos =-cos=-. 延伸探究1　若本例(2)中的条件不变，如何求cos？ 解　cos=cos =cos =cos=. 延伸探究2　若本例(2)条件不变，求cos-sin2的值. 解　因为cos=cos =-cos=- sin2=sin2 =1-cos2 =1-= 所以cos-sin2=-- =-. 反思感悟　解决条件求值问题的策略 (1)解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系，用已知角表示待求角. (2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化. 跟踪训练1　(1)sin+tan-cos=　　　　.  答案　0 解析　原式=sin+tan-cos =sin+tan-cos =sin-tan+cos =-1+=0. (2)已知sin(π+α)=且α是第四象限角，则cos(α-2π)的值是(　　) A.- B. C.± D. 答案　B 解析　由sin(π+α)=得sin α=- 而cos(α-2π)=cos α，且α是第四象限角， 所以cos α==. 三、利用公式进行化简 例3　化简：(1)； (2). 解　(1)= ===1. (2)原式= ===-1. 反思感悟　三角函数式化简的常用方法 (1)利用诱导公式，将任意角的三角函数转化为锐角三角函数. (2)切化弦：一般需将表达式中的正切函数转化为正弦、余弦函数. (3)注意“1”的代换：1=sin2α+cos2α=tan. 跟踪训练2　tan(5π+α)=m，则的值为(　　) A. B. C.-1 D.1 答案　A 解析　因为tan(5π+α)=tan α=m， 所以原式=====. 1.知识清单： (1)特殊关系角的终边对称性. (2)诱导公式一~四及其应用. 2.方法归纳：函数名不变，符号看象限. 3.常见误区：诱导公式中函数前面符号的确定. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共18分 1.sin 240°+cos(-150°)的值为(　　) A.- B.-1 C.1 D. 答案　A 解析　原式=sin(180°+60°)+cos 150° =-sin 60°+cos(180°-30°) =-sin 60°-cos 30° =--=-. 2.在△ABC中，cos(A+B)的值等于(　　) A.cos C B.-cos C C.sin C D.-sin C 答案　B 解析　由于A+B+C=π， 所以A+B=π-C. 所以cos(A+B)=cos(π-C)=-cos C. 3.(多选)已知sin(π-α)=则cos(α-2 025π)的值可能为(　　) A. B.- C. D.- 答案　AB 解析　sin(π-α)=∴sin α= cos(α-2 025π)=-cos α=± =±. 4.(多选)已知tan θ=3sin(θ-π)，则cos θ可等于(　　) A.-1 B.- C. D.1 答案　ABD 解析　∵tan θ=3sin(θ-π)，∴=-3sin θ， 若sin θ=0，则cos θ=1或-1， 若sin θ≠0，则cos θ=-. 5.已知cos(508°-α)=则cos(212°+α)等于(　　) A.- B. C.- D. 答案　B 解析　方法一　因为cos(508°-α) =cos(360°+148°-α)=cos(148°-α)= 所以cos(212°+α)=cos(360°+α-148°) =cos(α-148°)=cos(148°-α)=. 方法二　cos(212°+α)=cos[720°-(508°-α)] =cos(508°-α)=. 6.已知sin(-π-α)=且α为第二象限角，则等于(　　) A.- B. C. D.- 答案　A 解析　∵sin(-π-α)= ∴-sin(π+α)=∴sin α= ∵α为第二象限角，∴cos α=- ==cos α=-. 7.(5分)计算：sincos=　　　　.  答案　 解析　原式=-sincos =-sin=sin·cos=. 8.(5分)已知sin=则sin=　　　　，cos·cos=　　　　.  答案　-　 解析　sin=sin =-sin=- cos·cos =cos·cos =cos2=1-sin2=. 9.(10分)化简：(1)；(5分) (2).(5分) 解　(1) = ==-cos2α. (2) ==-cos α. 10.(10分)已知f(α)=. (1)化简f(α)；(3分) (2)若α是第三象限角，且sin(α-π)=求f(α)的值；(3分) (3)若α=-求f(α)的值.(4分) 解　(1)f(α)=-=-cos α. (2)∵sin(α-π)=-sin α= ∴sin α=-. 又α是第三象限角， ∴cos α=-∴f(α)=. (3)∵-=-6×2π+ ∴f=-cos =-cos=-cos=-. 11.质点P在以坐标原点为圆心的单位圆上沿顺时针方向做匀速圆周运动，其角速度大小为 rad/s，起点为射线y=x(x≤0)与单位圆的交点，20 s后点P的纵坐标为(　　) A.- B. C.- D. 答案　A 解析　20 s后点P顺时针方向转了×20==2π+ 因为起点为射线y=x(x≤0)与单位圆的交点， 所以质点P在起点的纵坐标为sin 所以20 s后点P的纵坐标为sin=sin=sin=-sin=-. 12.已知函数f(x)=为奇函数，则a等于(　　) A.-1 B. C.- D.1 答案　D 解析　函数的定义域为{x|x≠-1且x≠a}. 因为f(x)=为奇函数，所以定义域关于原点对称，则a=1， 所以f(x)== 因为f(-x)===-f(x)，满足f(x)为奇函数，所以a=1. 13.(多选)已知A=+(k∈Z)，则A的值是(　　) A.-1 B.-2 C.1 D.2 答案　BD 解析　当k=2n，n∈Z时， A=+ =+=2， 当k=2n+1，n∈Z时， A=+ =+ =-2. 14.(5分)设函数f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx+β)，其中a，b，α，β都是非零实数，且满足f(2 024)=-1，则f(2 025)的值为　　　　.  答案　1 解析　∵f(2 024)=asin(2 024π+α)+bcos(2 024π+β)=-1， ∴f(2 025)=asin(2 025π+α)+bcos(2 025π+β) =asin [π+(2 024π+α)]+bcos [π+(2 024π+β)] =-[asin(2 024π+α)+bcos(2 024π+β)]=1. 15.质点P和Q在以坐标原点O为圆心，半径为1的圆O上逆时针做匀速圆周运动，同时出发.P的角速度大小为2 rad/s，起点为圆O与x轴正半轴的交点，Q的角速度大小为5 rad/s，起点为角-的终边与圆O的交点，则当Q与P重合时，Q的坐标不可以为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　设点Q的初始位置为Q1，则锐角∠Q1OP= 设经过t s两点重合，则5t-2t=+2kπ(k∈N)， 即t=+(k∈N)， 此时点Q 即Q(k∈N)， 当k=0时，Q故A正确； 当k=1时，Q又cos=cos=-cossin=sin=-sin所以Q故C正确； 当k=2时，Q 又cos=cos=-cossin=sin=sin所以Q故D正确. 16.(12分)在△ABC中，若sin(2π-A)=-sin(π-B)cos A=-cos(π-B)，求△ABC的三个内角. 解　由题意得sin A=sin B， cos A=cos B， 平方相加得2cos2A=1，cos A=± 又因为A∈(0，π)， 所以A=或. 当A=时，cos B=-<0，所以B∈ 所以A，B均为钝角，不符合题意，舍去. 所以A=cos B= 所以B=所以C=. 综上所述，A=B=C=. 学科网（北京）股份有限公司 $