第7章 7.3.1 三角函数的周期性（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（苏教版）

本讲义聚焦高中数学三角函数的周期性核心知识点，从生活周期现象（如月亮圆缺、四季变化）引入，通过单位圆三角函数线抽象出周期函数定义及最小正周期概念，系统梳理正余弦函数（2π）、正切函数（π）的周期，推导y=Asin(ωx+φ)等形式的周期公式，构建从现象到概念再到应用的完整学习支架。 该资料以生活情境为切入点，引导学生用数学眼光观察现实世界中的周期规律。通过定义法与公式法结合的例题（如求cos2x、|sinx|的周期），培养数学思维中的推理与运算能力。实际应用案例（钟摆高度、单摆位移）助力学生用数学语言表达周期现象，课中例题与跟踪训练提升教学效率，课后课时对点练帮助学生查漏补缺，强化知识掌握。

7.3.1　三角函数的周期性 学习目标　1.理解周期函数，最小正周期的定义.2.会求正、余弦函数和正切函数的周期.3.能够判断实际问题中的周期. 导语 生活中，大家知道月亮圆了又缺，缺了又圆，这一周而复始的自然现象，有诗为证：“昨夜圆非今夜圆，却疑圆处减婵娟，一年十二度圆缺，能得几多时少年”，从诗中，我们能领悟到光阴无情、岁月短暂的道理，告诫人们要珍惜时光，努力学习.我们知道，从角到角的三角函数值都有周而复始的现象，你知道这一现象反映的是函数的什么性质吗？有了前面的三角函数的图象，今天我们来一起探究三角函数的一些性质. 一、周期函数的概念 问题　单摆运动、时钟的圆周运动、四季变化等，都具有周期性变化的规律，对于正弦、余弦函数是否也具有周期性？ 提示　由单位圆中的三角函数线可知，正弦、余弦函数值的变化呈现出周期现象.每当角增加(或减少)2π，所得角的终边与原来角的终边相同，故两角的正弦、余弦函数值也分别相同.即有sin(x+2π)=sin x，cos(x+2π)=cos x，故正弦函数、余弦函数也具有周期性.同样，正切函数也具有类似性质，即tan(x+π)=tan x. 知识梳理 1.函数的周期性 设函数y=f(x)的定义域为A，如果存在一个非零的常数T，使得对于任意的x∈A，都有x+T∈A，并且f(x+T)=f(x)，那么函数f(x)就叫作周期函数.非零常数T叫作这个函数的周期. 2.最小正周期 对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么，这个最小的正数就叫作f(x)的最小正周期. 3.正弦函数和余弦函数的最小正周期为2π，正切函数的最小正周期为π. 函数y=Asin(ωx+φ)及y=Acos(ωx+φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω>0)的周期为函数y=Atan(ωx+φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω>0)的周期为. 注意点： (1)关键词“任意的x”体现了对定义域中每一个值都得成立； (2)周期函数的周期不唯一，任何T的非零整数倍都是函数的周期； (3)三角函数的周期是函数的整体性质，我们在研究函数时，只需研究一个周期上的图象和性质即可； (4)若不加特殊说明，一般求三角函数的周期的问题，求的是函数的最小正周期. 二、求三角函数的周期 例1　(课本例2)求函数f(x)=cos 2x的周期. 解　设f(x)周期为T，则f(x+T)=f(x)，即cos 2(x+T)=cos 2x对任意实数x都成立.也就是cos(u+2T)=cos u对任意实数u都成立 ，其中u=2x. 由y=cos u的周期为2π，可知使得cos(u+2T)=cos u对任意实数u都成立的2T的最小正值为2π，可知2T=2π，即T=π. 所以f(x)=cos 2x的周期为π. 例1　求下列函数的周期： (1)f(x)=cos； (2)f(x)=|sin x|； (3)f(x)=tan 5x. 解　(1)方法一　(定义法) ∵f(x)=cos=cos =cos=f(x+π)， 即f(x+π)=f(x)， ∴函数f(x)=cos的最小正周期T=π. 方法二　(公式法) ∵f(x)=cos∴ω=2. 又T===π. ∴函数f(x)=cos的最小正周期T=π. (2)利用周期函数的定义， ∵f(x)=|sin x|， ∴f(x+π)=|sin(x+π)|=|sin x|=f(x)， ∴f(x)的最小正周期为π. (3)方法一　(定义法) ∵f(x)=tan 5x=tan(5x+π)=tan 5=f 即f=f(x)， ∴函数f(x)=tan 5x的最小正周期T=. 方法二　(公式法) ∵f(x)=tan 5x，∴ω=5， 又T== ∴函数f(x)=tan 5x的最小正周期T=. 反思感悟　求三角函数周期的方法 (1)定义法：利用周期函数的定义求解. (2)公式法：①对形如y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)(A，ω，φ是常数，A≠0，ω>0)的函数，T=. ②对形如y=Atan(ωx+φ)(A，ω，φ是常数，A≠0，ω>0)的函数，T=. 跟踪训练1　(1)(多选)下列函数中，周期为4π的是(　　) A.y=sin B.y=tan C.y= D.y=2cos x 答案　AD 解析　由周期公式知A，D中的函数周期为 T===4π. B中，T==. C中，∵y=sin 的周期为T==4π， ∴y=的周期为T=2π. (2)函数y=tan的最小正周期不小于3，求正整数k的最大值. 解　由周期公式知T==≥3，∴k≤ 又k∈N*，∴k的最大值为2. 三、周期函数在实际问题中的应用 例2　(课本例1)已知作周期性运动的钟摆的高度h(单位：mm)与时间t(单位：s)之间的函数关系如图所示. (1)求该函数的周期； (2)求t=10 s时钟摆的高度. 解　(1)由图象可知，该函数的周期为1.5 s. (2)设h=f(t)，由函数f(t)的周期为1.5 s， 可知f(10)=f(1+6×1.5)=f(1)=20. 所以t=10 s时钟摆的高度为20 mm. 例2　若单摆中小球相对静止位置的位移x(cm)随时间t(s)的变化而周期性地变化，如图所示，请回答下列问题： (1)单摆运动的周期是多少？ (2)从O点算起，到曲线上的哪一点表示完成了一次往复运动？如从A点算起呢？ (3)当t=11 s时，单摆小球相对于静止位置的位移是多少？ 解　(1)从图象可以看出，单摆运动的周期是0.4 s. (2)若从O点算起，到曲线上的D点表示完成了一次往复运动；若从A点算起，则到曲线上的E点表示完成了一次往复运动. (3)11=0.2+0.4×27，所以小球经过11 s相对于静止位置的位移是0 cm. 反思感悟　根据函数关系对应的图象，首先确定函数的周期，然后再利用周期解决问题. 跟踪训练2　一机械振动中，某质点离开平衡位置的位移x(cm)与时间t(s)之间的函数关系，如图所示. (1)求该函数的周期； (2)求当t=25.5 s时，该质点离开平衡位置的位移. 解　(1)由函数图象可知，该函数的周期T=4.5-0.5=4(s). (2)设x=f(t)，∵函数f(t)的周期为4 s， ∴f(25.5)=f(6×4+1.5)=f(1.5)=-3. ∴当t=25.5 s时，质点离开平衡位置的位移为-3 cm. 1.知识清单： (1)周期函数的概念. (2)三角函数的周期. (3)周期函数的实际应用. 2.方法归纳：数形结合法. 3.常见误区：忽视定义域内x的任意性. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共12分 1.函数f(x)=2cos x，x∈R的最小正周期为(　　) A. B.1 C.2 D.4 答案　D 解析　由题意T==4. 2.函数f(x)=tan与函数g(x)=sin的最小正周期相同，则ω等于(　　) A.±1 B.1 C.±2 D.2 答案　A 解析　因为函数f(x)=tan与函数g(x)=sin的最小正周期相同，因此=所以ω=±1. 3.设函数f(x)(x∈R)满足f(-x)=f(x)，f(x+2)=f(x)，则函数y=f(x)的图象可能是(　　) 答案　B 解析　由f(-x)=f(x)，则f(x)是偶函数，图象关于y轴对称. 由f(x+2)=f(x)， 则f(x)的周期为2. 4.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示，则ω的值为(　　) A. B.2 C.π D.2π 答案　B 解析　由题图可知T=-=π， 故=π，ω=2. 5.(多选)下列函数中最小正周期为π的是(　　) A.y=|cos x| B.y=sin 6x C.y=cos D.y=tan 答案　AC 解析　A中，由y=|cos x|的图象知，y=|cos x|的最小正周期为π，所以A正确； B中，函数y=sin 6x的最小正周期为所以B不正确； C中，y=cos=-cos 2x的最小正周期为π，所以C正确； D中，函数y=tan的最小正周期为2π，所以D不正确. 6.设f(x)是定义域为R，最小正周期为的函数，若f(x)=则f的值为(　　) A.1 B. C.0 D.- 答案　B 解析　f=f =f=sin =. 7.(5分)写出一个最小正周期为3的函数　　　　　　　　　　.  答案　f(x)=sinx(答案不唯一) 解析　由正弦型函数的最小正周期T==3， 得|ω|= 所以这个函数可以是f(x)=sinx.(注：其他答案合理均可.) 8.(5分)已知函数y=sin(A>0)的最小正周期为3π，则函数y=3cos[(2A-1)x-π]的最小正周期为　　　　.  答案　π 解析　由题意知2π·A=3π， ∴A=∴2A-1=2. ∴y=3cos[(2A-1)x-π]=3cos(2x-π)的最小正周期T=π. 9.(10分)求下列函数的周期： (1)f(x)=2sinx∈R；(5分) (2)f(x)=1-2cosx，x∈R.(5分) 解　(1)方法一　设f(x)的周期为T， 则2sin=2sin 即2sin=2sin对任意的x均成立. 即2sin=2sin u，其中u=x+. ∵y=2sin u的周期为2π，∴=2π，∴T=4π， ∴f(x)=2sin的周期为4π. 方法二　∵T==4π， ∴f(x)=2sin的周期为4π. (2)f(x)=1-2cosx的周期为T==4. 10.(11分)已知弹簧振子相对平衡位置的位移x(单位：cm)与时间t(单位：s)之间的函数关系如图所示. (1)求该函数的周期；(4分) (2)求t=10.5 s时弹簧振子相对平衡位置的位移.(7分) 解　(1)由图象可知，该函数的周期为4 s. (2)设位移与时间的函数关系为x=f(t)， 因为T=4， 所以f(10.5)=f(2.5+2×4)=f(2.5)=-8(cm). 故t=10.5 s时，弹簧振子相对平衡位置的位移为-8 cm. 11.函数y=cos(k>0)的最小正周期不大于2，则正整数k的最小值应是(　　) A.10 B.11 C.12 D.13 答案　D 解析　因为T==≤2，所以k≥4π， 又k∈N*，所以正整数k的最小值为13. 12.(多选)下列命题中不正确的有(　　) A.存在函数f(x)定义域中的某个自变量x0，使f(x0+T)=f(x0)，则f(x)为周期函数 B.存在常数T，使得对f(x)定义域内任意x，都满足f(x+T)=f(x)，则f(x)为周期函数 C.周期函数可能没有最小正周期 D.周期函数的周期是唯一的 答案　ABD 解析　由周期函数的定义，可知f(x+T)=f(x)对定义域内的任意一个x都成立，且T≠0，故A，B不正确；如常数函数f(x)=1，x∈R，显然是周期函数，但它没有最小正周期，故C正确；若T为函数f(x)的周期，则f(x+2T)=f((x+T)+T)=f(x+T)=f(x)，所以2T也是周期，故D不正确. 13.设f(x)是周期为2的奇函数，当0<x<1时，f(x)=sin x+x，则当1<x<2时，f(x)等于(　　) A.sin x+x B.sin(x-2)+x-2 C.sin(x+2)+x+2 D.sin(x+2)+x-2 答案　B 解析　当1<x<2时，-2<-x<-1， 则0<2-x<1， 因为当0<x<1时，f(x)=sin x+x， 所以f(2-x)=sin(2-x)+2-x. 因为f(x)是周期为2的奇函数， 所以f(x)=-f(-x)=-f(2-x)=-sin(2-x)+x-2=sin(x-2)+x-2. 14.(5分)若f(x)=sinx，则f(-2)=　　　　；f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 025)=　　　.  答案　-　 解析　由f(x)=sinx， 得f(-2)=sin=- 函数f(x)=sinx的周期为=6. ∵f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6) =sin+sin+sin π+sin+sin+sin 2π =0， ∴f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 025) =337×[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)]+f(1)+f(2)+f(3) =337×0+sin+sin+sin π=. 15.干支纪年历法(农历)，是屹立于世界民族之林的科学历法之一，与国际公历历法并存.黄帝时期，就有了使用六十花甲子的干支纪年历法.干支是天干和地支的总称，把干支顺序相配正好六十为一周期，周而复始，循环记录.甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸十个符号叫天干；子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥十二个符号叫地支.受此周期律的启发，可以求得函数f(x)=sin+cos 3x的最小正周期为(　　) A.15π B.12π C.6π D.4π 答案　C 解析　由天干为10个，地支为12个，其周期为其公倍数60，故可得y=sin的周期T1=3π，y=cos 3x的周期T2=π，T1，T2的最小公倍数为6π，故f(x)的最小正周期为6π. 16.(12分)设函数f(x)=3sinω>0且最小正周期为. (1)求f(x)的解析式；(6分) (2)已知f=求sin α的值.(6分) 解　(1)∵f(x)=3sinω>0且最小正周期为∴=即ω=4， ∴f(x)=3sin. (2)∵f(x)=3sin ∴f=3sin=3cos α= ∴cos α= ∴sin α=±. 学科网（北京）股份有限公司 $