7.3.1&7.3.2：三角函数的周期性和图象与性质【十二大题型】讲义-2025-2026学年高一上学期数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列（苏教版必修第一册）

本讲义聚焦三角函数的周期性、图象与性质核心知识点，先通过知识梳理构建“五点法”作图框架及正弦、余弦、正切函数性质对比表格，再以十二类题型（含图象、定义域、性质等）为学习支架，形成从基础概念到综合应用的递进脉络。 资料特色在于以“五点法”作图培养几何直观（数学眼光），题型分类与变式训练强化逻辑推理（数学思维），表格对比与综合问题提升数学表达（数学语言）。例如五点法作图题要求作图痕迹与值域求解，课中辅助教师系统授课，课后助力学生分层练习、查漏补缺。

7.3.1&7.3.2：三角函数的周期性和图象与性质 【考点归纳】 【知识梳理】 知识点一、用“五点法”作正弦函数和余弦函数的简图 (1)在正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)． (2)在余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)． 知识点二、正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z) 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 定义域 R R 值域 [－1,1] [－1,1] R 周期性 2π 2π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 递增区间 [2kπ－π，2kπ] 递减区间 [2kπ，2kπ＋π] 对称中心 (kπ，0) 对称轴方程 x＝kπ＋ x＝kπ 【题型归纳】 题型一、正弦三角函数的图像问题 【例1】．（24-25高一下·江西南昌·月考）已知 (1)用五点法画出在上简图（要有作图痕迹）； (2)求函数在上的值域。 【答案】(1)作图见解析 (2) 【分析】（1）根据五点法．列出区间的两端点及区间内的最大值和最小值点及零点，列表描点，连线可得． （2）由（1）中函数图象结合函数单调性可得结论． 【详解】（1）令，利用的图象取点法画图；列表如下    作在上的图如下： （2）由函数在上单调递增，在上单调递减，而，，得值域为. 【变式1】．（24-25高一下·北京·期中）已知函数. (1)填写表格，并用“五点作图法”在平面直角坐标系上作出函数在上的图象； 0 x 1 0 (2)直接写出它的对称轴和对称中心； (3)设，求不等式的解集. 【答案】(1)填表见解析，作图见解析 (2)对称轴为，，对称中心为，. (3)， 【详解】（1）因为， 0 0 1 0 0 画出函数在上的图象如下所示： （2）因为， 令，，则，， 所以的对称轴为，， 令，，则，， 所以的对称中心为，； （3）由，可得，， 解得，， 故不等式的解集为，. 【变式2】．（24-25高一下·辽宁大连·月考）已知函数． (1)用“五点法”填表并作出函数在一个周期上的图象； x    (2)解不等式． 【答案】(1)答案见解析； (2). 【分析】（1）利用＂五点作图法＂即可得解； （2）利用整体代入法，结合正弦函数的性质即可得解． 【详解】（1）列表： 0 0 1 0 -1 0 又当时，，当时，， 描点作图，如图所示：    （2）因为， 所以， 解得， 故不等式的解集为． 题型二、余弦三角函数的图像问题 【例2】．（24-25高一下·江西南昌·月考）已知函数. (1)用“五点法”在所给的直角坐标系中画出函数的图象； (2)写出此函数的单调递增区间. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）根据五点法，列表、描点、连线. （2）由余弦函数的单调性可得. 【详解】（1）按五个关键点列表如下: x 0 1 0 0 1 5 3 1 3 5 描点、连线画出图象（如图）. （2）令，则; 因为函数是增函数，所以当时，函数单调递增，也是单调递增的. 所以，函数的单调递增区间为. 【变式1】．（24-25高一下·四川自贡·开学考试）已知函数， (1)用五点法在平面直角坐标系中画出在上的图象； (2)求函数的值域； (3)求不等式的解集． 【答案】(1)答案见解析 (2) (3) 【分析】（1）用五点作图法即可画出在上的图象. （2）根据，即可求得结果. （3）先求出不等式在一个周期内的解集，进而求出整个实数域上的解集. 【详解】（1）由函数，可得完成表格如下： 0 1 0 0 1 可得在的大致图象：如下图 （2）由，可得得值域为． （3）由，可得，即，当时，由，得． 又由函数的最小正周期为， 所以原不等式的解集为． 【变式2】．（24-25高一上·陕西西安·期末）已知函数. (1)求的单调递减区间； (2)用“五点法”作出在一个周期内的简图的过程如下，请先补全表格，然后在下图的坐标系中作出在一个周期内的简图. 列表： 画图： 【答案】(1). (2)答案见解析. 【分析】（1）利用余弦函数的单调性可得单调递减区间； （2）填写表格，画出函数图像得到答案. 【详解】（1）令，，，， ，， 即的单调递减区间为. （2） 0 题型三、正弦三角函数定义域 值域和最值问题 【例3】．（25-26高一上·全国·课前预习）函数在区间上的最大值为 ． 【答案】4 【分析】先求的范围，结合正弦函数的性质和范围可得答案. 【详解】当时，， 所以函数在，即时取得最大值，最大值为． 故答案为：4 【变式1】．（2025高一·全国·专题练习）已知函数，则该函数的值域为 ． 【答案】 【分析】因为，从而利用三角代换可求值域. 【详解】由于， 则可令，其中， 则， 而，， 所以函数的值域为． 故答案为：． 【变式2】．（24-25高一上·广西柳州·期末）函数在上的值域为 . 【答案】 【分析】令，将问题转化成函数的值域来解决． 【详解】 令，又，则， 函数可化为：， 由二次函数的性质可得：当时，，当时，. 所以函数在上的值域为. 故答案为：. 题型四、余弦三角函数定义域 值域和最值问题 【例4】．（2025高一·全国·专题练习）函数，，最小值为 ． 【答案】 【分析】利用换元法，令，则，然后利用二次函数的性质可求出最小值. 【详解】令，则， 所以． 因为在上是减函数， 所以当，即时，， 即最小值为. 故答案为：. 【变式1】．（24-25高一下·全国·课堂例题）函数的值域是 ． 【答案】 【分析】由余弦函数可得最值 【详解】∵，∴， ∴． ∴，即值域为． 故答案为：． 【变式2】．（24-25高一上·云南昆明·期末）函数，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】利用同角三角函数关系得到，结合和余弦图象，求出最小值. 【详解】， 因为，所以，， ，故最小值为. 故答案为： 题型五、正弦三角函数的性质 【例5】．（25-26高一上·湖南邵阳·月考）已知函数． (1)求的周期及单调减区间； (2)求在区间上的值域． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）， 由得， 则的单调减区间为； （2）当时，， 则，故． 【变式1】．（25-26高一上·江苏南通·月考）已知函数 (1)求函数的最小正周期及对称中心坐标； (2)求函数的最值及取得最值时的的取值集合； (3)求函数的单调递减区间. 【答案】(1)； (2)最大值，；最小值，； (3) 【详解】（1）因为，故， 即函数的最小正周期为； 令，解得：， 所以函数的对称中心坐标为：. （2）当，即时，取最大值， 故取最大值时的集合是； 当，即时，取最小值， 故取最小值时的集合是. （3）由，解得， 故的单调递减区间为 【变式2】．（25-26高一上·吉林·期中）已知函数． (1)求的最小正周期和对称中心： (2)求在区间内的单调递增区间； (3)当时，求的最大及最小值． 【答案】(1)最小正周期为；对称中心为(2)(3)最大值为，最小值为. 【详解】（1）解：由函数，可得函数的最小正周期为， 令，解得， 所以函数的对称中心为. （2）解：由，可得， 令，可得；令，可得， 所以函数的单调递增区间为. （3）解：由，可得， 当时，即时，函数取得最小值，最小值为； 当时，即时，函数取得最大值，最大值为， 所以函数在上的最大值为，最小值为. 题型六、余弦三角函数的性质 【例6】．（25-26高三上·辽宁·期中）已知函数． (1)求函数的单调递减区间； (2)求函数在上的值域； (3)求在上的解集． 【答案】(1)，． (2) (3) 【分析】（1）根据余弦函数的减区间即可列不等式求解； （2）求出的范围，根据余弦函数的性质即可求解； （3）求出的范围，根据余弦函数的性质求出范围，即可求出不等式的解集． 【详解】（1），令，， 解得，， ∴函数的单调递减区间为，； （2），∵，∴， 可得， 则， 即函数在上的值域为； （3）由题得，即， ∵，∴， ∴，可得， ∴该不等式的解集为． 【变式1】．（25-26高一上·全国·课前预习）已知． (1)求图象的对称中心； (2)若在上单调递减，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用整体思想，根据余弦函数的对称中心，建立方程，可得答案； （2）利用整体思想，由题给定区间，写出整体取值范围，根据余弦函数的单调性，建立不等式，可得答案. 【详解】（1）令，解得，所以的对称中心为． （2）令，当时，， 因为的一个单调递减区间为， 所以，即，又，则的取值范围为． 【变式2】．（24-25高一下·四川自贡·期末）已知函数 (1)求函数的单调递减区间； (2)函数在上的值域； (3)求在的解集． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1），令 解得， 所以函数的单调递减区间为． （2），因为，所以， 可得，则， 即函数在上的值域为． （3）由题设，即 因为，所以， 所以，可得． 所以不等式解集为． 题型七、正切三角函数定义域 值域和最值问题 【例7】．（24-25高一下·山东聊城·月考）已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的个数是（    ） ①；②； ③的图象与y轴的交点坐标为；④函数的图象关于直线对称 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据图象求周期，然后可判断①；根据正切函数定义域可判断②；代入验证可判断③；判断关于点对称，然后由图象的对称变换可判断④. 【详解】对①，由图可知，的最小正周期，则，故①正确； 对②，由图象可知时，函数无意义，故 由，得，即，故②错误； 对③，由，故③正确； 对④，由，则的图象关于点对称， 由图象对称变换可得函数的图象关于直线对称，故④正确． 故选：C. 【变式1】．（24-25高三上·山东聊城·月考）已知函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正切函数的周期性和对称性来求得正确答案. 【详解】由图可知，的最小正周期， ， 根据对称性可知， 则，由于，所以， 所以. 故选：C 【变式2】．（23-24高一下·北京昌平·期末）函数的部分图象如图所示，则 （    ） A．1 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】根据图象，求得，即可求出结果. 【详解】由图知，得到，又由图知， 由，得到，又，所以， 由，得到，所以， 得到， 故选：C. 题型八：正切三角函数的图像问题 【例8】．（25-26高一上·全国·课后作业）（1）函数的定义域为 . （2）函数的定义域为 . 【答案】 【分析】（1）利用正切函数的定义域可列式子解出答案， （2）利用正切函数与对数函数的定义域可列式子得出答案. 【详解】（1）由，得， 所以函数的定义域为. （2）由题意知，解得. 所以函数的定义域为. 故答案为：，. 【变式1】．（25-26高一上·全国·课后作业）函数的值域是 . 【答案】 【分析】由题意，令，再根据正切函数的单调性，即可求出结果. 【详解】函数. ，令. 函数在上单调递增， ，即， ， 函数的值域为. 故答案为： 【变式2】．（24-25高一上·山东烟台·期末）函数的定义域为 . 【答案】 【分析】由题意，，解不等式得出结论. 【详解】由题意，，所以，， 所以，， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 题型九、正切三角函数的性质 【例9】．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数的图象过点． (1)求的单调递增区间； (2)求不等式的解集． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据图象过点，结合，可得，再利用正切型函数的单调性代入求解即可； （2）根据正切型函数的单调性解不等式即可. 【详解】（1）∵的图象过点， ∴，∵，∴，∴． 令，得， 即． ∴函数的单调递增区间为． （2）由（1）知，．由， 得，即． ∴不等式的解集为. 【变式1】．（24-25高一下·辽宁沈阳·期中）函数中，，最小正周期为，． (1)求； (2)求函数在上的值域； (3)求不等式组的解集． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）先由周期求出，再结合可得； （2）通过的范围求出的范围，进而求出的值域； （3）根据正切函数的图象解不等式即可. 【详解】（1）∵最小正周期为，∴，又∵，∴， 又∵，∴． （2）∵，∴当时，， ∴函数在上的值域为. （3）∵，∴， ∴，其中，∴， 即不等式的解集为． 【变式2】．（24-25高一下·河南驻马店·月考）已知函数在区间上单调． (1)求的最大值； (2)若曲线在区间上至少有两个对称中心，求的取值范围． 【答案】(1)最大值为1 (2) 【分析】（1）根据题意，得到，结合在区间上单调，列出不等式组，即可求解； （2）求得函数的对称中心满足，根据题意，得到图象在区间上至少有两个对称中心，确定的值，即可求解. 【详解】（1）当时，可得， 因为函数在区间上单调， 则满足，解得，故的最大值为1． （2）由函数， 可得图象的对称中心满足，整理得， 其图象在区间上至少有两个对称中心，则， 因为在区间上至少有两个不同的解，所以至少存在两个值使， 所以至少有两个取值，所以， 综上可得，的取值范围为． 题型十：三角函数的周期问题 【例10】．（2025高一·全国·专题练习）下列函数，最小正周期为的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对于A、B直接由正弦函数的周期公式求出即可判断；对于C、D求出不带绝对值的函数的周期，再减半，即可判断. 【详解】函数的最小正周期为，故A不符合； 函数，其最小正周期为，故B不符合； 因为函数的最小正周期为，所以函数的最小正周期为，故C符合； 因为函数的最小正周期为，所以函数的最小正周期为，故D不符合. 故选：C. 【变式1】．（2025·河南郑州·一模）若，是函数两个相邻的最值点，则等于（      ） A．2 B． C．1 D． 【答案】A 【分析】根据题意得到函数的最小正周期，再用最小正周期公式可解. 【详解】由，是函数两个相邻的最值点， ， 所以，即. 故选：A. 【变式2】．（25-26高一上·全国·课后作业）下列函数中，以为最小正周期的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对于AD，根据图象变换和周期公式分析判断，对于BC，根据周期公式分析判断. 【详解】对于A，的图象是由把轴下方的图象翻折上去、轴上方的图象保持不变得到的， 则最小正周期为，故A错误； 对于B，的最小正周期为，故B错误； 对于C，的最小正周期为，故C错误； 对于D，的图象是由把轴下方的图象翻折上去、轴上方的图象保持不变得到的， 则最小正周期为，故D正确． 故选：D． 题型十一：三角函数的性质求参数问题 【例11】．（2025·陕西西安·二模）已知函数在上单调，则的最大值为（    ） A． B．3 C．2 D． 【答案】B 【分析】法一：由，求得单调增区间，再结合集合包含关系即可求解，法二：由得到，再结合集合包含关系即可求解. 【详解】方法一：由正弦函数的单调性，令， 解得， 又在单调， 所以当时，，即， 解得，所以的最大值为3. 方法二：在单调， 故， 所以的最大值为3. 故选：B 【变式1】．（25-26高一上·天津武清·月考）已知函数的最小正周期为，则在区间上的最小值是（    ） A． B． C．0 D． 【答案】D 【分析】根据三角函数的最小正周期为，求出值，从而得到的解析式，再根据自变量所在区间和正弦函数的单调性判断即可. 【详解】因为函数的最小正周期为，所以周期，解得， 所以，因为，所以， 所以当，即时，函数在区间上取得最小值. 故选：D. 【变式2】．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数的图象经过点，若在上有且只有两个最值点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题设可得，即，再由及区间最值、余弦型函数的图象列不等式求参数范围. 【详解】由函数的图象经过点， 所以，由于，则，则． 由，可得， 因为在上有且只有两个最值点，则， 所以. 故选：A 题型十二：三角函数的图像和性质综合问题 【例12】．（2025高一上·湖北·专题练习）已知函数相邻两个零点间的距离为，函数为奇函数. (1)求的解析式； (2)若函数在区间上有两个零点，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，求得，得到的值，再结合函数为奇函数，求出的值，即可求得函数的解析式； （2）设，由，得到，作出函数在的图象与直线的图象，求得，代入即可求解. 【详解】（1）由函数相邻两个零点间的距离为，可得函数的最小正周期， 因为，可得， 所以，可得， 又因为为奇函数，可得，解得， 因为，所以，所以. （2）由（1）知，函数， 设，因为，可得， 函数在区间上的大致图象，如图所示， 函数在区间上有两个零点， 即函数的图象与直线在区间内有两个交点，且两交点的横坐标分别为. 结合图象，可得，整理得， 所以. 【变式1】．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数，且函数为奇函数． (1)求的解析式； (2)求在上的值域； (3)若在上的图象与直线有且仅有1个公共点，求m的取值范围． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）因为函数，所以， 又函数为奇函数，所以，则， 又，所以，所以． （2）当时，， 由正弦函数的性质，可知，． 故在上的值域为． （3）由，得， 由，得， 得或． 因为在上的图象与直线有且仅有1个公共点， 所以，得，即m的取值范围为． 【变式2】．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数为偶函数，． (1)求图象的对称轴方程； (2)若，求的值域； (3)当时，函数的图象与直线有2个交点，求实数m的取值范围． 【答案】(1)，．(2)(3) 【详解】（1）方法一  因为函数为偶函数， 所以，，， 又，所以．故， 令，解得， 即图象的对称轴方程为， 方法二  函数为偶函数， 则，即，所以， 又，所以，经检验，符合题意． （2）当时，，所以， 所以，所以的值域为． （3）画出函数在上的图象与直线 当时，函数的图象与直线有2个交点，作图如下： 由图可知，故m的取值范围为． 【高分达标】 一、单选题 1．（23-24高一上·全国·课后作业）下列函数，最小正周期为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角函数的性质即可确定最小正周期. 【详解】函数的最小正周期为，故A不符合； 函数，其最小正周期为，故B不符合； 因为函数的最小正周期为，所以函数的最小正周期为，故C符合； 因为函数的最小正周期为，所以函数的最小正周期为，故D不符合. 故选：C. 2．（22-23高一上·浙江宁波·期末）下列选项中满足最小正周期为，且在上单调递增的函数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用周期排除A， B，再利用复合函数单调性在C ，D中可得到正确答案. 【详解】对选项A， B其周期为，选项C ，D其周期为，故排除选项A， B； 对于C：在上为单调递减，则在上为单调递增，故C正确； 对于D：在上为单调递增，则在上为单调递减，故D错误. 故选：C 3．（2025·四川内江·一模）已知函数在处取最大值，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正弦函数的最值求解即可. 【详解】因为函数在处取最大值， 所以，即， 当时，. 故选：B 4．（25-26高三上·云南昆明·期中）若函数的最小正周期为，则的单调区间为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据周期求出，整体代换求单调区间. 【详解】由已知可得，解得，所以函数， 由，解得， 所以的单调区间为， 故选：B. 5．（2025·湖南·模拟预测）已知函数的最小正周期为T，且，函数为奇函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正弦型最小正周期公式，结合奇函数的性质进行求解即可. 【详解】由， 因为函数为奇函数， 所以有，则， 所以， 故选：B 6．（2025·湖南·一模）下列函数中，为周期函数，且在区间上单调递减的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由在区间上的单调性可排除ABD，根据函数的周期性和在区间上的单调性即可确定C正确. 【详解】对于A：当时，，函数在上显然单调递增，故A错误； 对于B：当时，，则在上显然单调递增，故B错误 ； 对于D：时，，则，.该函数在单调递增，故D错误； 对于C：时，，则在上单调递减，且为最小正周期是的周期函数，故C正确. 故选：C. 7．（2025·江苏镇江·模拟预测）已知点在函数的图象上，若恒成立，且在区间上单调，则（    ） A．3 B．6 C．12 D． 【答案】A 【分析】由题可得在上单调递增，且，得，得解. 【详解】因为点在函数的图象上，所以， 由，则，且在上单调递减， 所以在上单调递增，由余弦型函数的对称性易知， 所以，即，故. 故选：A. 二、多选题 8．（25-26高一上·湖南长沙·月考）下面关于函数叙述中正确的是（　　） A．的图象关于直线对称 B．的图象关于点对称 C．在上的最大值为 D．不等式的解集为 【答案】ACD 【分析】根据正弦型函数的单调性、对称性、最值性质，结合代入法逐一判断即可. 【详解】对于A，所以的图象关于直线对称，故A正确； 对于B：因为的图象关于点对称，故B错误； 对于C：由，得，当，即时，，C正确； 对于D：又，即， 所以，所以D正确． 故选：ACD 9．（25-26高一上·宁夏·月考）下列函数中，周期为的偶函数有（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据正弦函数和余弦函数的性质，即可判断选项. 【详解】A.函数的最小正周期为，且是偶函数，故A正确； B.函数的最小正周期为，故B错误； C.函数的最小正周期为，且是偶函数，故C正确； D.函数的最小正周期为，为奇函数，故D错误. 故选：AC 10．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数，下列结论正确的是（    ） A．函数的最小正周期为 B．函数在区间上是增函数 C．函数的图象关于直线对称 D．函数是偶函数 【答案】CD 【分析】对于A，易得不是的周期；对于B，时，，根据单调性即可判断B；对于C，判断是否成立即可；对于D，根据定义法判断奇偶性即可. 【详解】A错，由于，，因此， 即的最小正周期不是． B错，当时，，则函数在区间上是减函数． C对，， 因此函数的图象关于直线对称． D对，易知的定义域关于原点对称，由于， 因此函数是偶函数． 故选：CD. 11．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数，则下列叙述中，正确的是（    ） A．函数的图象关于点对称 B．函数在上单调递增 C．函数的最小正周期为 D．函数是偶函数 【答案】AB 【分析】由正切函数的性质可判断AB，利用特殊值及周期性，奇偶性的定义判断CD. 【详解】对于A，由于，即的图象关于点对称．故A正确； 对于B，当时，，因此在上单调递增．故B正确； 对于C、D，但不存在，故的最小正周期不是，也不是偶函数．故C、D不正确； 故选：AB 12．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数的图象关于直线对称，则（    ） A．的最小正周期为 B．在区间上有且仅有2个零点 C．是奇函数 D．当时， 【答案】AC 【分析】根据余弦函数的对称性结合求得，进而得到周期可判断A；通过求在区间上的零点可判断B；求出的解析式，根据正弦函数的性质判断C；在区间上单调性求得的范围可判断D. 【详解】对于A，函数的图象关于直线对称，则， 即，，因为，所以取，则， 则的最小正周期为．故A正确； 对于B，，令，得，，所以， 当时，；当时，；当时，． 所以在区间，上只有1个零点．故B不正确； 对于C，因为， 所以为奇函数．故C正确； 对于D，当时，，所以在区间上单调递减， 又，所以．故D不正确. 故选：AC. 13．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数的图象关于点中心对称，则（    ） A．函数在上的单调递减区间为 B．在区间上有且仅有两个零点 C．是奇函数 D．当时， 【答案】AC 【分析】结合题意得到函数关于点对称，可得，整体代入求出单调递减区间判断A即可；利用单调性判断在区间上零点个数判断B即可；求出并结合奇偶性的定义确定奇偶性判断C即可；求出时，的值域判断D即可. 【详解】对于A，由题意得函数的图象关于点中心对称， 则，即， 因为，所以取，则，则. 令，则， 又，所以取，则，故A正确， 对于B，因为在单调递减， 所以在区间上至多一个零点，故B错误， 对于C，因为， 所以由正弦函数性质得为奇函数．故C正确， 对于D，当时，， 因为在上单调递减， 所以在区间上单调递减，得到，故D错误. 故选：AC. 三、填空题 14．（25-26高一上·浙江嘉兴·月考）函数的单调递减区间为 . 【答案】 【分析】利用变量代换，令， 求解. 【详解】因为函数的单调递减区间为，， 令， ， 解得：， ， 所以函数的单调递减区间为， 故答案为：. 15．（25-26高一上·北京朝阳·月考）函数在区间上单调递增，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】由题意确定当时，，再结合余弦函数的单调性，列出相应不等式，即可求得答案. 【详解】当时，， 由于余弦函数在上单调递增，在上单调递减， 故函数在区间上单调递增，需满足， 即，即的取值范围是， 故答案为： 16．（25-26高一上·贵州·期末）函数的图象： ①关于点对称；②关于直线对称；③关于点对称；④关于直线对称． 正确的序号为 ． 【答案】①④ 【分析】由条件根据正弦函数的图象的对称性，得出结论． 【详解】关于函数的图象， 令，求得，可得它的图象关于点对称，故①正确； 令，求得，不是最值，故它的图象不关于直线对称，故②不正确； 令，求得，可得它的图象不关于点对称，故③不正确； 令，求得，可得它的图象关于直线对称，故④正确， 故答案为：①④． 17．（25-26高三上·山东·月考）若函数在上有最小值而没有最大值，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】先求的取值范围，进而结合的图象列不等式组求解. 【详解】由，得. 因为，所以, 作出在上的图象，如图所示，    因为函数在上有最小值而没有最大值， 所以，解得. 故答案为： 18．（25-26高一上·全国·课前预习）已知函数在单调递增，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据给定的区间，结合正切函数的单调区间来确定的取值范围即可. 【详解】当时，，又因为在上单调递增，结合正切函数的单调性得，解得， 的取值范围为． 故答案为：. 四、解答题 19．（25-26高一上·河南安阳·期中）已知函数. (1)求函数的单调递增区间； (2)求函数在上的值域； (3)求在上的解集. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由求出，即可得解； （2）令，则.利用函数在上的单调性，得到，即可得解； （3）令，则.由解得或，再求出，即可得解； 【详解】（1）由 解得. 所以函数的单调递增区间为. （2）令，则. 因为在上单调递增，在上单调递减， 且，， 所以，即， 所以函数在上的值域为； （3）令，则. 由，即， 解得或， 即或， 解得或. 所以在上的解集为. 20．（25-26高一上·江苏泰州·月考）已知函数，． (1)请用“五点法”画出函数在一个周期上的图象（先在所给的表格中填上所需的数字，再画图）； (2)求函数的对称轴和对称中心； (3)解不等式． 【答案】(1)答案见解析，作图见解析 (2)对称轴为；对称中心为； (3) 【分析】（1）分别令、、、、，解出的值，然后列表、描点、连线，可作出函数在一个周期内的图象； （2）利用函数的对称性可求得函数的对称轴方程和对称中心的坐标； （3）由可得，即可解得原不等式的解集. 【详解】（1）分别令、、、、得： 画出函数在一个周期的图象，如图， ·· （2）令，解得， 所以函数的对称轴方程为， 令，解得， 所以函数的对称中心为. （3）因为，即， 所以，解得． 故不等式的解集为. 21．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数的最小正周期为． (1)求函数图象的对称中心； (2)解不等式：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据周期得到，再利用整体代换法求对称中心就可； （2）利用正切函数的性质解不等式即可. 【详解】（1），故，解得， 故． 由，得， 所以函数图象的对称中心为 （2），即，故， 则， 解得． 22．（24-25高一下·辽宁朝阳·月考）设函数. (1)求函数的最小正周期，及对称轴，对称中心. (2)求函数在区间上的值域. (3)求函数时，x的取值范围？ 【答案】(1)最小正周期为，对称轴方程为，对称中心为， (2) (3) 【分析】（1）利用整体法即可求解对称，由周期的公式求解最小正周期， （2）利用整体法，即可求解， （3）将问题转化为，即可利用整体法求解. 【详解】（1）的最小正周期为， 令，解得，故对称轴方程为， 令，解得，故对称中心为， （2），则，故， 因此，故值域为 （3）由可得，继而， 所以，解得， 故时，. 23．（24-25高一上·安徽淮北·期末）设函数. (1)求函数的定义域； (2)求函数的单调递增区间； (3)求不等式的解集. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用整体代入法，根据正切函数的定义域，即可求出结果； （2）利用整体代入法，根据正切函数的单调性，即可求出结果； （3）由题意可得，结合函数图象与性质可知，解不等式即可求出结果. 【详解】（1）函数中， 令，，解得，， 所以函数的定义域为； （2）由， 所以函数的单调递增区间为 ， （3）不等式可化为， 解得，， 即，； 所以不等式的解集为， 24．（24-25高一下·贵州毕节·月考）已知函数. (1)求函数的最小正周期和单调递减区间； (2)求函数在区间上的最小值和最大值，并求出取得最值时的值. 【答案】(1) (2)最大值为；最小值为. 【分析】（1）根据周期公式可求出函数的最小正周期，由可求出函数的减区间； （2）先由求出的范围，然后根据正弦函数的性质可求出其最值. 【详解】（1）函数的最小正周期， 由， 解得：， 所以函数的单调递减区间是. （2）由，得， 则当，即时， 当，即时， ， 所以函数在上的最大值为，此时； 最小值为，此时. 25．（24-25高一下·辽宁·期末）已知函数. (1)若，求的最小正周期； (2)若在区间上有定义. （i）求的最大值； （ⅱ）若曲线至少有两个对称中心在区间上，求的取值范围. 【答案】(1) (2)（i）（ⅱ） 【详解】（1）当时，， 易得的最小正周期； （2）（i）当时，，， 若函数在区间上有定义，则， 解得，故的最大值为； （ii）函数的对称中心满足，， 解得，， 其图象至少有两个对称中心在区间上， 则在区间上至少有两解， 故至少存在两个值使， 故至少有，两个取值， 所以，综上，的取值范围为. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.3.1&7.3.2：三角函数的周期性和图象与性质 【考点归纳】 【知识梳理】 知识点一、用“五点法”作正弦函数和余弦函数的简图 (1)在正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)． (2)在余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)． 知识点二、正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z) 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 定义域 R R 值域 [－1,1] [－1,1] R 周期性 2π 2π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 递增区间 [2kπ－π，2kπ] 递减区间 [2kπ，2kπ＋π] 对称中心 (kπ，0) 对称轴方程 x＝kπ＋ x＝kπ 【题型归纳】 题型一、正弦三角函数的图像问题 【例1】．（24-25高一下·江西南昌·月考）已知 (1)用五点法画出在上简图（要有作图痕迹）； (2)求函数在上的值域。 【变式1】．（24-25高一下·北京·期中）已知函数. (1)填写表格，并用“五点作图法”在平面直角坐标系上作出函数在上的图象； 0 x 1 0 (2)直接写出它的对称轴和对称中心； (3)设，求不等式的解集. 【变式2】．（24-25高一下·辽宁大连·月考）已知函数． (1)用“五点法”填表并作出函数在一个周期上的图象； x    (2)解不等式． 题型二、余弦三角函数的图像问题 【例2】．（24-25高一下·江西南昌·月考）已知函数. (1)用“五点法”在所给的直角坐标系中画出函数的图象； (2)写出此函数的单调递增区间. 【变式1】．（24-25高一下·四川自贡·开学考试）已知函数， (1)用五点法在平面直角坐标系中画出在上的图象； (2)求函数的值域； (3)求不等式的解集． 【变式2】．（24-25高一上·陕西西安·期末）已知函数. (1)求的单调递减区间； (2)用“五点法”作出在一个周期内的简图的过程如下，请先补全表格，然后在下图的坐标系中作出在一个周期内的简图. 列表： 画图： 题型三、正弦三角函数定义域 值域和最值问题 【例3】．（25-26高一上·全国·课前预习）函数在区间上的最大值为 ． 【变式1】．（2025高一·全国·专题练习）已知函数，则该函数的值域为 ． 【变式2】．（24-25高一上·广西柳州·期末）函数在上的值域为 . 题型四、余弦三角函数定义域 值域和最值问题 【例4】．（2025高一·全国·专题练习）函数，，最小值为 ． 【变式1】．（24-25高一下·全国·课堂例题）函数的值域是 ． 【变式2】．（24-25高一上·云南昆明·期末）函数，则的最小值为 ． 题型五、正弦三角函数的性质 【例5】．（25-26高一上·湖南邵阳·月考）已知函数． (1)求的周期及单调减区间； (2)求在区间上的值域． 【变式1】．（25-26高一上·江苏南通·月考）已知函数 (1)求函数的最小正周期及对称中心坐标； (2)求函数的最值及取得最值时的的取值集合； (3)求函数的单调递减区间. 【变式2】．（25-26高一上·吉林·期中）已知函数． (1)求的最小正周期和对称中心： (2)求在区间内的单调递增区间； (3)当时，求的最大及最小值． 题型六、余弦三角函数的性质 【例6】．（25-26高三上·辽宁·期中）已知函数． (1)求函数的单调递减区间； (2)求函数在上的值域； (3)求在上的解集． 【变式1】．（25-26高一上·全国）已知． (1)求图象的对称中心； (2)若在上单调递减，求的取值范围． 【变式2】．（24-25高一下·四川自贡·期末）已知函数 (1)求函数的单调递减区间； (2)函数在上的值域； (3)求在的解集． 题型七、正切三角函数定义域 值域和最值问题 【例7】．（24-25高一下·山东聊城·月考）已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的个数是（    ） ①；②； ③的图象与y轴的交点坐标为；④函数的图象关于直线对称 A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1】．（24-25高三上·山东聊城·月考）已知函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（23-24高一下·北京昌平·期末）函数的部分图象如图所示，则 （    ） A．1 B． C．3 D． 题型八：正切三角函数的图像问题 【例8】．（25-26高一上·全国·课后作业）（1）函数的定义域为 . （2）函数的定义域为 . 【变式1】．（25-26高一上·全国·课后作业）函数的值域是 . 【变式2】．（24-25高一上·山东烟台·期末）函数的定义域为 . 题型九、正切三角函数的性质 【例9】．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数的图象过点． (1)求的单调递增区间； (2)求不等式的解集． 【变式1】．（24-25高一下·辽宁沈阳·期中）函数中，，最小正周期为，． (1)求； (2)求函数在上的值域； (3)求不等式组的解集． 【变式2】．（24-25高一下·河南驻马店·月考）已知函数在区间上单调． (1)求的最大值； (2)若曲线在区间上至少有两个对称中心，求的取值范围． 题型十：三角函数的周期问题 【例10】．（2025高一·全国·专题练习）下列函数，最小正周期为的是（ ） A． B． C． D． 【变式1】．（2025·河南郑州·一模）若，是函数两个相邻的最值点，则等于（      ） A．2 B． C．1 D． 【变式2】．（25-26高一上·全国·课后作业）下列函数中，以为最小正周期的是（    ） A． B． C． D． 题型十一：三角函数的性质求参数问题 【例11】．（2025·陕西西安·二模）已知函数在上单调，则的最大值为（    ） A． B．3 C．2 D． 【变式1】．（25-26高一上·天津武清·月考）已知函数的最小正周期为，则在区间上的最小值是（    ） A． B． C．0 D． 【变式2】．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数的图象经过点，若在上有且只有两个最值点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型十二：三角函数的图像和性质综合问题 【例12】．（2025高一上·湖北·专题练习）已知函数相邻两个零点间的距离为，函数为奇函数. (1)求的解析式； (2)若函数在区间上有两个零点，求的值. 【变式1】．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数，且函数为奇函数． (1)求的解析式； (2)求在上的值域； (3)若在上的图象与直线有且仅有1个公共点，求m的取值范围． 【变式2】．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数为偶函数，． (1)求图象的对称轴方程； (2)若，求的值域； (3)当时，函数的图象与直线有2个交点，求实数m的取值范围． 【高分达标】 一、单选题 1．（23-24高一上·全国·课后作业）下列函数，最小正周期为的是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高一上·浙江宁波·期末）下列选项中满足最小正周期为，且在上单调递增的函数为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·四川内江·一模）已知函数在处取最大值，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·云南昆明·期中）若函数的最小正周期为，则的单调区间为（   ） A．， B．， C．， D．， 5．（2025·湖南·模拟预测）已知函数的最小正周期为T，且，函数为奇函数，则（   ） A． B． C． D． 6．（2025·湖南·一模）下列函数中，为周期函数，且在区间上单调递减的是（　　） A． B． C． D． 7．（2025·江苏镇江·模拟预测）已知点在函数的图象上，若恒成立，且在区间上单调，则（    ） A．3 B．6 C．12 D． 二、多选题 8．（25-26高一上·湖南长沙·月考）下面关于函数叙述中正确的是（　　） A．的图象关于直线对称 B．的图象关于点对称 C．在上的最大值为 D．不等式的解集为 9．（25-26高一上·宁夏·月考）下列函数中，周期为的偶函数有（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数，下列结论正确的是（    ） A．函数的最小正周期为 B．函数在区间上是增函数 C．函数的图象关于直线对称 D．函数是偶函数 11．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数，则下列叙述中，正确的是（    ） A．函数的图象关于点对称 B．函数在上单调递增 C．函数的最小正周期为 D．函数是偶函数 12．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数的图象关于直线对称，则（    ） A．的最小正周期为 B．在区间上有且仅有2个零点 C．是奇函数 D．当时， 13．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数的图象关于点中心对称，则（    ） A．函数在上的单调递减区间为 B．在区间上有且仅有两个零点 C．是奇函数 D．当时， 三、填空题 14．（25-26高一上·浙江嘉兴·月考）函数的单调递减区间为 . 15．（25-26高一上·北京朝阳·月考）函数在区间上单调递增，则的取值范围是 . 16．（25-26高一上·贵州·期末）函数的图象： ①关于点对称；②关于直线对称；③关于点对称；④关于直线对称． 正确的序号为 ． 17．（25-26高三上·山东·月考）若函数在上有最小值而没有最大值，则的取值范围是 . 18．（25-26高一上·全国·课前预习）已知函数在单调递增，则的取值范围为 ． 四、解答题 19．（25-26高一上·河南安阳·期中）已知函数. (1)求函数的单调递增区间； (2)求函数在上的值域； (3)求在上的解集. 20．（25-26高一上·江苏泰州·月考）已知函数，． (1)请用“五点法”画出函数在一个周期上的图象（先在所给的表格中填上所需的数字，再画图）； (2)求函数的对称轴和对称中心； (3)解不等式． 21．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数的最小正周期为． (1)求函数图象的对称中心； (2)解不等式：． 22．（24-25高一下·辽宁朝阳·月考）设函数. (1)求函数的最小正周期，及对称轴，对称中心. (2)求函数在区间上的值域. (3)求函数时，x的取值范围？ 23．（24-25高一上·安徽淮北·期末）设函数. (1)求函数的定义域； (2)求函数的单调递增区间； (3)求不等式的解集. 24．（24-25高一下·贵州毕节·月考）已知函数. (1)求函数的最小正周期和单调递减区间； (2)求函数在区间上的最小值和最大值，并求出取得最值时的值. 25．（24-25高一下·辽宁·期末）已知函数. (1)若，求的最小正周期； (2)若在区间上有定义. （i）求的最大值； （ⅱ）若曲线至少有两个对称中心在区间上，求的取值范围. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $