第7章 7.2.1 第1课时 任意角的三角函数（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（苏教版）

本讲义聚焦高中数学“任意角的三角函数”核心知识点，从锐角三角函数复习切入，通过摩天轮现实情境引出任意角问题，抽象出终边上点坐标与距离的比值定义，结合例题应用，推导特殊角三角函数值，归纳各象限符号规律，构建完整知识链。 该资料以摩天轮实例激发兴趣，体现“用数学眼光观察现实世界”。通过问题链引导学生用相似三角形分析比值与点位置无关，培养“数学思维”推理能力。符号口诀等“数学语言”精准表达，课中例题强化理解，课后对点练助力查漏补缺，提升学习效果。

7.2.1　任意角的三角函数 第1课时　任意角的三角函数 学习目标　1.理解三角函数的概念，会求给定角的三角函数值.2.熟记特殊角的三角函数值.3.掌握任意角的三角函数值在各个象限的符号. 导语 游乐园是人们常去的地方，各种神奇的游乐器械吸引着人们去玩耍，尤其是那高大的摩天轮，带着人们在空中旋转，既好玩又刺激，我们假设一摩天轮的中心离地面h米，它的半径为r米，按逆时针方向匀速转动，转动一周需要360秒，我们建立如图所示的直角坐标系，假设你现在的位置在A处，经过30秒，你离地面有多高？经过210秒呢？经过570秒呢？带着这些问题，开始我们今天的新课. 一、三角函数的定义及应用 问题1　当α为锐角时，如图，x，y，r，α之间有什么关系？ 提示　sin α=cos α=tan α=其中r=>0. 问题2　当α为任意角时，如图，比值与点P在角α终边上的位置有关吗？与角α有关吗？ 提示　由相似三角形知识可知，比值与点P在角α终边上的位置无关，只与角α有关. 知识梳理　任意角的三角函数的定义 条件 如图，α为任意角，它的终边上异于原点的任一点P(x，y)与原点的距离r=此时点P是角α的终边与半径为r的圆的交点 定义 正弦 比值叫作α的正弦，记作sin α，即sin α= 余弦 比值叫作α的余弦，记作cos α，即cos α= 正切 比值(x≠0)叫作α的正切，记作tan α，即tan α= 注意点： 三角函数值是比值，是一个实数，它的大小与点P在终边上的位置无关，只与角α的终边位置有关，即三角函数值的大小只与角有关. 例1　(课本例1)如图，已知角α的终边经过点P(2，-3)，求α的正弦、余弦、正切值. 解　因为x=2，y=-3， 所以r==， 从而sin α===-， cos α===， tan α==-. 例1　(1)已知角α的终边与单位圆的交点为P(y<0)，则tan α=　　　　.  答案　- 解析　因为点P(y<0)在单位圆上， 则由勾股定理得+y2=1， 所以y=-所以tan α=-. (2)(多选)若角α的终边经过点P(x，-3)且sin α=-则x的值为(　　) A.- B.-1 C.1 D. 答案　BC 解析　OP= ∵sin α===- 解得x2=1，∴x=±1. 延伸探究　在本例(2)中，将“sin α=-”改为“cos α=-”求x的值. 解　OP= ∴cos α===- 解得x2=1，又x<0，∴x=-1. 反思感悟　利用三角函数的定义求一个角的三角函数值有以下几种情况 (1)若已知角，则只需确定出该角的终边与单位圆的交点坐标，即可求出各三角函数值. (2)若已知角α终边上一点P(x，y)(x≠0)是单位圆上一点，则sin α=y，cos α=x，tan α=. (3)若已知角α终边上一点P(x，y)不是单位圆上一点，则先求r=再求sin α=cos α=tan α=(x≠0). (4)若已知角α终边上的点的坐标含参数，则需进行分类讨论. 跟踪训练1　已知角α的终边过点P(-3a，4a)(a≠0)，求2sin α+cos α的值. 解　r==5|a|， ①若a>0，则r=5a，角α在第二象限. sin α===cos α===- 所以2sin α+cos α=-=1. ②若a<0，则r=-5a，角α在第四象限， sin α==-cos α==. 所以2sin α+cos α=-+=-1. 二、特殊角的三角函数值 例2　(课本例2)(1)当α=时，求sin α，cos α，tan α的值； (2)当α=时，求sin α，cos α，tan α的值. 解　(1)当α=时，设α的终边与单位圆的交点P的坐标为(x，y)(x>0，y>0). 根据直角三角形中锐角的对边是斜边的一半，可知y=如图所示. 又由勾股定理得x2+=1，解得x=.所以点P的坐标为. 因此sin== cos==tan==. (2)当α=时，设α的终边与单位圆的交点为P'，根据点P'与(1)中点P关于y轴对称可知，点P'的坐标为如图所示. 因此sin==cos==- tan==-. 例2　利用定义求的正弦、余弦和正切值. 解　如图所示的终边与单位圆的交点为P， 过点P作PB⊥x轴于点B， 在Rt△OPB中，OP=1，∠POB= 则PB=OB=则P.r=OP=1， 所以sin =cos =-tan ==-. 反思感悟　先在单位圆中找到角的终边与单位圆的交点的坐标，然后利用定义，即可得到特殊角的三角函数值. 跟踪训练2　的正弦、余弦和正切值分别为　　　　.  答案　-- 解析　在平面直角坐标系中，作∠AOB=如图，易知∠AOB的终边与单位圆的交点坐标为r=1， 所以sin =-cos =tan =-. 三、三角函数符号的判断 问题3　下表中给出了用定义求出的[0，2π]上的特殊角α的正弦值，并且在平面直角坐标系中描出了点(α，sin α)，据此你认为sin α是关于α(0≤α≤2π)的函数吗？ α 0 π 2π sin α 0 1 0 - - -1 - - 0 提示　对于[0，2π]中的任一个值α，在[-1，1]中都有唯一确定的值sin α与它对应，sin α是关于α(0≤α≤2π)的函数. 问题4　利用角α正弦的定义，你能判定正弦函数的值在各象限的符号吗？ 提示　设P(x，y)为角α终边上任一点(不是原点)， 则sin α=(r=>0)， ∴当α的终边在第一、二象限时，sin α>0； 当α的终边在第三、四象限时，sin α<0. 知识梳理 1.三角函数 正弦函数y=sin α，α∈R；  余弦函数y=cos α，α∈R；  正切函数y=tan α，α∈.  注意点： (1)上述三角函数的自变量是α； (2)若把α记为x，则y=sin x，x∈R；y=cos x，x∈R；y=tan x，x∈R且x≠kπ+(k∈Z). 2.正弦、余弦、正切函数的值在各象限内的符号 记忆口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”. 例3　(1)(课本例4)确定下列正弦、余弦、正切值的符号： ①sin； ②cos(-465°)； ③tan. 解　①因为是第二象限角，所以sin>0. ②因为-465°=-2×360°+255°，即-465°是第三象限角，所以cos(-465°)<0. ③因为=2π+即是第四象限角，所以tan<0. 例3　(1)(多选)下列选项中，符号为负的是(　　) A.sin(-100°) B.cos(-220°) C.tan 10 D.cos π 答案　ABD 解析　-100°在第三象限，故sin(-100°)<0；-220°在第二象限，故cos(-220°)<0；10∈在第三象限，故tan 10>0；cos π=-1<0. (2)若sin αtan α<0，且<0，则角α是(　　) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 答案　C 解析　由sin αtan α<0可知sin α，tan α异号，从而α是第二或第三象限角. 由<0可知cos α，tan α异号，从而α是第三或第四象限角. 综上可知，α是第三象限角. 反思感悟　判断三角函数值符号的两个步骤 (1)定象限：确定角α所在的象限. (2)定符号：利用三角函数值的符号规律，即“一全正，二正弦，三正切，四余弦”来判断. 跟踪训练3　已知点P(sin α，cos α)在第三象限，则角α的终边在(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案　C 解析　∵点P(sin α，cos α)在第三象限， ∴∴α为第三象限角. 1.知识清单： (1)三角函数的定义及求法. (2)特殊角的三角函数值. (3)三角函数值在各象限内的符号. 2.方法归纳：转化与化归、分类讨论. 3.常见误区：三角函数值的大小只与角的大小有关，与终边上的点无关；正切函数的定义域为. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共18分 1.点A(x，y)是60°角的终边与单位圆的交点，则的值为(　　) A. B.- C. D.- 答案　A 解析　由三角函数定义知=tan 60°=. 2.已知点P(1，-2)是角α终边上一点，则sin α+cos α等于(　　) A. B. C.- D.- 答案　D 解析　因为点P(1，-2)是角α终边上一点， 所以sin α=-cos α= 所以sin α+cos α=-. 3.若cos α=-且角α的终边经过点P(x，2)，则P点的横坐标x是(　　) A.2 B.±2 C.-2 D.-2 答案　D 解析　因为cos α=-<0，所以x<0， 又r=由题意得=- 所以x=-2. 4.(多选)下列三角函数值的符号判断正确的是(　　) A.cos 80°<0 B.sin 140°>0 C.tan>0 D.tan>0 答案　BCD 解析　∵0°<80°<90°，∴cos 80°>0； ∵90°<140°<180°，∴sin 140°>0； ∵∈∴tan>0； ∵∈∴tan>0. 5.已知sin θcos θ<0，且|cos θ|=cos θ，则角θ是(　　) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 答案　D 解析　∵sin θcos θ<0，∴sin θ，cos θ是一正一负， 又|cos θ|=cos θ，∴cos θ≥0， 综上有sin θ<0，cos θ>0， 即θ为第四象限角. 6.(多选)已知点P(m，-2m)(m≠0)是角α终边上一点，则(　　) A.tan α=-2 B.cos α= C.sin αcos α<0 D.sin αcos α>0 答案　AC 解析　因为点P是角α终边上一点， 则r==|m|， 于是得tan α==-2，A正确； cos α=当m>0时，cos α=当m<0时，cos α=-B不正确； 又sin α=则sin αcos α==-<0，C正确，D不正确. 7.(5分)点P(tan 2 025°，cos 2 025°)位于第　　　　　象限.  答案　四 解析　因为2 025°=5×360°+225°， 所以2 025°的终边与225°的终边相同， 又225°是第三象限角， 所以tan 2 025°>0，cos 2 025°<0， 即点P位于第四象限. 8.(5分)已知角α的终边经过点(3a-9，a+2)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a的取值范围是　　　　.  答案　(-2，3] 解析　由cos α≤0，sin α>0可知 解得-2<a≤3. 9.(10分)已知角α的终边在直线y=x上，求sin α+cos α的值. 解　在角α的终边上任取一点P(x，y)， 则y=x. 当x>0时，r==x， sin α+cos α=+=+=； 当x<0时，r==-x， sin α+cos α=+=--=-. 10.(10分)设α是三角形的一个内角，在sin α，cos α，tan α，tan中，哪些有可能取负值？ 解　因为α是三角形的一个内角， 所以0<α<π，则0<<则sin α>0，tan>0. 当<α<π时，cos α<0，tan α<0. 故有可能取负值的是cos α和tan α. 11.函数y=+的定义域是(　　) A.{x|2kπ<x<2kπ+π，k∈Z} B. C. D.{x|2kπ≤x≤2kπ+π，k∈Z} 答案　B 解析　由sin x≥0，-cos x≥0，得x为第二象限角或y轴正半轴上的角或x轴负半轴上的角， 所以2kπ+≤x≤2kπ+π，k∈Z. 12.已知α是第二象限角，且=-cos 则sin (　　) A.为负 B.为正 C.可正可负 D.不确定 答案　A 解析　因为α是第二象限角， 所以2kπ+<α<2kπ+π，k∈Z. 所以kπ+<<kπ+k∈Z. 所以为第一、三象限角. 又因为=-cos 所以cos <0. 所以为第三象限角.所以sin <0. 13.在△ABC中，若sin Acos Btan C<0，则△ABC是(　　) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.锐角三角形或钝角三角形 答案　C 解析　在△ABC中，A，B，C∈(0，π)， ∵sin A>0，∴cos B·tan C<0， ∴B，C一个为锐角，另一个为钝角， ∴△ABC为钝角三角形. 14.(5分)函数y=++的值域是　　　　.  答案　{-1，3} 解析　依题意，角x的终边不在坐标轴上， 当x为第一象限角时，y=1+1+1=3， 当x为第二象限角时，y=1-1-1=-1， 当x为第三象限角时，y=-1-1+1=-1， 当x为第四象限角时，y=-1+1-1=-1， 综上有值域为{-1，3}. 15.(多选)已知α是第一象限角，则下列结论中正确的是(　　) A.sin 2α>0 B.cos 2α>0 C.cos>0 D.tan>0 答案　AD 解析　由α是第一象限角，2kπ<α<+2kπ，k∈Z，得4kπ<2α<π+4kπ，k∈Z，2α的终边在x轴上方，则sin 2α>0.cos 2α的正负不确定；又因为kπ<<+kπ，k∈Z，所以是第一或第三象限角，则tan>0，cos的正负不确定. 16.(12分)已知=-且lg(cos α)有意义. (1)试判断角α所在的象限；(5分) (2)若角α的终边上一点是M且OM=1(O为坐标原点)，求m的值及sin α的值.(7分) 解　(1)由=-可知sin α<0，由lg(cos α)有意义可知cos α>0，∴角α位于第四象限. (2)∵OM=1，∴+m2=1，解得m=±. 又α是第四象限角，故m<0，从而m=-.由正弦函数的定义可知sin α====-. 学科网（北京）股份有限公司 $