第7章 7.2.1 第2课时 三角函数线（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（苏教版）

本讲义聚焦三角函数线核心知识点，系统阐述正弦线（MP）、余弦线（OM）、正切线（AT）的概念及画法，承接任意角三角函数的比值定义，为比较三角函数值大小、解三角不等式提供几何直观学习支架。 资料以单位圆为载体，通过有向线段将抽象三角函数值转化为直观图形，培养几何直观（数学眼光）。设计问题链引导探究，结合例题与跟踪训练提升推理能力（数学思维），课中助教师直观教学，课后课时对点练帮助学生巩固应用，落实数形结合（数学语言）。

第2课时　三角函数线 学习目标　1.会用三角函数线分别表示任意角的正弦、余弦、正切函数值.2.理解三角函数线的画法，掌握三角函数值的规律.3.能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题. 导语 角是一个图形概念，也是一个数量概念(弧度数).作为角的函数——三角函数是一个数量概念(比值)，但它是否也是一个图形概念呢？能否用几何方式来表示三角函数呢？ 一、三角函数线 问题1　当α为第一象限角时，你能分别用一条线段表示角α的正弦值和余弦值吗？tan α=怎样表示？ 提示　如图，过角α的终边与单位圆的交点P(x，y)向x轴作垂线，垂足为M，则MP=y=sin α，OM=x=cos α；过点A(1，0)作单位圆的切线，这条切线必然平行于y轴，设它与α的终边交于点T，根据正切函数的定义与相似三角形的知识，借助有向线段OA，AT，有tan α=AT=. 问题2　当α为第二、三、四象限角时，如何用一条线段表示角α的正弦值和余弦值呢？tan α=怎样表示呢？ 提示　用类似的方法过点P分别向x轴作垂线及过点A(1，0)作单位圆的切线，则有向线段MP，OM，AT就分别等于sin α，cos α，tan α. 知识梳理　三角函数线 (1)有向线段 规定了方向(即规定了起点和终点)的线段称为有向线段；对于有向线段AB，分别把它的长度添上正号或负号，这样所得的数，叫作有向线段的数量，记为AB. (2)三角函数线 设角α的终边与单位圆的交点为P(x，y)，过点P作x轴的垂线，垂足为M，则有向线段MP，OM分别叫作角α的正弦线、余弦线，即MP=y=sin α，OM=x=cos α.如图.过点A(1，0)作单位圆的切线，设这条切线与角α的终边(或终边的反向延长线)交于点T，则有向线段AT叫作角α的正切线，即tan α=AT=.如图. 注意点： (1)当角α的终边与x轴重合时，正弦线、正切线分别变成一个点，此时角α的正弦值和正切值都为0； (2)当角α的终边与y轴重合时，余弦线变成一个点，正切线不存在，此时角α的余弦值为0，正切值不存在. (3)当三角函数线与x轴(或y轴)正方向方向相同时，其数量为正；方向相反时，其数量为负. 例1　作出下列各角的正弦线、余弦线与正切线： (1)π；(2)-π. 解　如图.有向线段MP，OM，AT分别表示各角的正弦线、余弦线、正切线. 反思感悟　作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点作x轴的垂线，得到垂足，从而得正弦线和余弦线；作正切线时，应从点A(1，0)引单位圆的切线，交角的终边或终边的反向延长线于点T，即可得到正切线AT. 跟踪训练1　如图，在单位圆中，下列关于角α的正弦线、正切线的说法正确的是(　　) A.正弦线为PM，正切线为A'T' B.正弦线为MP，正切线为A'T' C.正弦线为MP，正切线为AT D.正弦线为PM，正切线为AT 答案　C 解析　α为第三象限角，故正弦线为MP，正切线为AT，C正确. 二、利用三角函数线比较大小 例2　利用三角函数线比较：sin 和sin cos 和cos tan 和tan 的大小. 解　如图， sin =MP， cos =OM，tan =AT，sin =M'P'， cos =OM'，tan =AT'. ∴sin >sin cos >cos tan <tan . 反思感悟　利用三角函数线比较三角函数值的大小时，一般分三步 (1)角的位置要“对号入座”. (2)比较三角函数线的长度. (3)确定有向线段的正负. 跟踪训练2　(多选)依据三角函数线作出如下四个判断，其中判断正确的有(　　) A.sin =sin B.cos=cos C.tan >tan D.sin >sin 答案　BD 解析　分别作出各角的三角函数线(图略)， 可知sin =-sin cos=cos tan <tan sin >sin 所以BD正确. 三、利用三角函数线解不等式(组) 例3　在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围，并由此写出角α的集合. (1)sin α≥； (2)cos α≤-. 解　(1)作直线y=交单位圆于A，B两点，连接OA，OB，则OA与OB围成的区域(如图(1)所示的阴影部分，包括边界)，即为角α的终边的范围. 故满足要求的角α的集合为 . (2)作直线x=-交单位圆于C，D两点，连接OC与OD，则OC与OD围成的区域(如图(2)所示的阴 影部分，包括边界)，即为角α的终边的范围.故满足条件的角α的集合为 . 反思感悟　利用单位圆中三角函数线，可以非常直观方便地求出形如sin x≥m或sin x≤m的三角函数的角的范围，起到“以形助数”的作用. 跟踪训练3　已知点P(sin α-cos α，tan α)在第一象限，在[0，2π)内，求α的取值范围. 解　由题意知 如图，由三角函数线可得 ∴<α<或π<α<π. 1.知识清单： (1)三角函数线的概念. (2)利用三角函数线比较大小. (3)利用三角函数线解不等式(组). 2.方法归纳：数形结合. 3.常见误区：三角函数线是用有向线段表示的，是有方向的. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共12分 1.若MP和OM分别是角的正弦线和余弦线，则(　　) A.MP<OM<0 B.OM>0>MP C.OM<MP<0 D.MP>0>OM 答案　C 解析　在单位圆中画出角的正弦线MP和余弦线OM，如图所示，则OM<MP<0. 2.(多选)下列说法错误的有(　　) A.正弦线MP也可写成PM B.三角函数线表示的值都只能是非负值 C.当角α的终边在y轴上时，余弦线变成一个点，正切线不存在 D.当角α的终边在x轴上时，正弦线、正切线都变成点 答案　AB 解析　三角函数线是有向线段，端点字母不可颠倒，三角函数线表示的值也可取正值、负值、0. 3.设a=cosb=sinc=tan则(　　) A.a<c<b B.a<b<c C.b<c<a D.b<a<c 答案　B 解析　作出角的三角函数线如图所示， 由图象知cos<sin<tan∴a<b<c. 4.(多选)在[-π，π]上，满足sin x≤的x的值可能是(　　) A.-π B. C. D.π 答案　ACD 解析　如图所示，因为 sin=sin= 所以满足sin x≤的x的取值范围为∪. 5.使sin x≤cos x成立的x的一个区间是(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　当x的终边落在如图所示的阴影部分时，满足sin x≤cos x.所以使sin x≤cos x成立的x的一个区间为. 6.如果<α<那么下列不等式成立的是(　　) A.cos α<sin α<tan α B.tan α<sin α<cos α C.sin α<cos α<tan α D.cos α<tan α<sin α 答案　A 解析　如图所示，在单位圆中分别作出α的正弦线MP、余弦线OM、正切线AT，很容易地观察出OM<MP<AT， 即cos α<sin α<tan α. 7.(5分)若角α(0<α<2π)的正弦、余弦线的长度相等，且正弦、余弦符号相异，那么α的值为　　　　.  答案　或 解析　由角α的正弦线和余弦线是方向相反、长度相等的有向线段，得α的终边在第二、四象限的角平分线上.又0<α<2π， ∴α=或. 8.(5分)不等式tan α+>0的解集是　　　　　　　　　　　　　　.  答案　 解析　不等式的解集如图所示(阴影部分)， ∴所求解集为. 9.(10分)已知-≤cos θ<利用单位圆中的三角函数线，确定角θ的取值范围. 解　图中阴影部分就是满足条件的角θ的范围，即. 10.(11分)设α是第一象限角，作α的正弦线、余弦线和正切线，由图证明下列各等式. (1)sin2α+cos2α=1；(2)tan α=. 如果α是第二、三、四象限角，以上等式仍然成立吗？ 证明　如图，α是第一象限角，其正弦线、余弦线、正切线分别是MP，OM，AT. (1)在Rt△PMO中， MP2+OM2=1， 即sin2α+cos2α=1. (2)∵△PMO∽△TAO， ∴= 即tan α=. 若α是第二、三、四象限角，以上等式仍成立. 11.给出下列四个命题，其中错误的是(　　) A.当α一定时，单位圆中的正弦线一定 B.在单位圆中，有相同正弦线的角相等 C.α和α+π有相同的正切线且 D.具有相同正切线的两个角的终边在同一条直线上 答案　B 解析　由三角函数线的定义知ACD正确，B错误. 12.根据三角函数线写出正弦函数在[0，π]上的值域为(　　) A.R B.[0，1] C.[-1，1] D.[-1，0] 答案　B 解析　利用三角函数线可以得到正弦函数在[0，π]上的值域为[0，1]. 13.sin 4，cos 4，tan 4的大小关系是(　　) A.sin 4<tan 4<cos 4 B.tan 4<sin 4<cos 4 C.cos 4<sin 4<tan 4 D.sin 4<cos 4<tan 4 答案　D 解析　作出4弧度角的正弦线、余弦线和正切线如图所示，则MP=sin α，OM=cos α，AT=tan α，其中虚线表示的是角的终边， ∵4>则MP<OM<0<AT， 即sin 4<cos 4<tan 4. 14.已知A是△ABC的一个内角，且tan A-≥0，则sin A的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　由tan A-≥0， 得tan A≥ 又0<A<π，由tan A= 得A=. 作出的正切线AT， 如图所示. 由图可得，当≤A<时，tan A≥ 此时≤sin A<1， 故sin A的取值范围是. 15.(5分)把sin sin cos tan 由小到大排列为　　　　　　　　.  答案　cos <sin <sin <tan 解析　如图可知，sin =M1P1>0， sin =M2P2>0， tan =AT>0， cos =OM3<0. 而0<M1P1<M2P2<AT， ∴0<sin <sin <tan ∴cos <sin <sin <tan . 16.(12分)设α是锐角，利用单位圆证明下列不等式： (1)sin α+cos α>1；(6分) (2)sin α<α<tan α.(6分) 证明　(1)在单位圆中，A(1，0)，∠AOP=α，∠AOP的终边交单位圆于点P，作PM⊥x轴于点M，如图所示. 令P(x，y)，因为α为锐角，则x>0，y>0，由三角函数定义得sin α=y=PM，cos α=x=OM， 在Rt△OPM中，PM+OM>OP=1， 所以sin α+cos α>1. (2)过点A作单位圆的切线交直线OP于点T，则tan α=AT，显然劣弧AP的长l=α×1=α， 由(1)知sin α=y=PM， 所以△AOP的面积S1=OA·PM=sin α， 扇形AOP的面积S2=l·OA=α， △AOT的面积S3=OA·AT=tan α， 由图形得S1<S2<S3，即sin α<α<tan α， 所以sin α<α<tan α. 学科网（北京）股份有限公司 $