第7章 7.2.2 同角三角函数关系（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（苏教版）

本讲义聚焦高中数学同角三角函数关系核心知识点，通过观察特殊角三角函数值表格发现规律，结合单位圆上点的坐标推导平方关系（sin²α+cos²α=1）和商数关系（tanα=sinα/cosα），构建从探究到应用的学习支架，涵盖求值、化简与证明等内容。 该资料以问题驱动探究，如通过表格观察与单位圆推导培养数学眼光，反思感悟总结“知一求二”等方法发展数学思维，分层例题（如不同象限求值、sinθ±cosθ型问题）训练数学语言表达。课中辅助教师引导学生构建知识，课后课时对点练帮助学生查漏补缺。

7.2.2　同角三角函数关系 学习目标　1.理解并掌握同角三角函数基本关系式的推导及应用.2.会利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明. 导语 哲学家认为事物是存在普遍联系的.我们前面学习的角的正弦、余弦和正切也存在着一定的关系，这节就让我们一起来探寻它们之间的关系吧！ 一、利用同角三角函数的关系求值 问题1　观察下表，你能发现什么？ α 0 sin α 0 1 cos α 1 0 tan α 0 1 不存在 提示　对于表格中的几个角，同一个角的正弦与余弦的比值等于正切(cos α≠0)，正弦与余弦的平方和等于1. 问题2　若P(x，y)是角α的终边与单位圆的交点，则角α的三个三角函数值之间有什么联系？ 提示　若余弦不为0，则正切等于正弦比余弦；因为点P在单位圆上，则由勾股定理得x2+y2=1. 知识梳理　同角三角函数的基本关系 关系式 文字表述 平方关系 sin2α+cos2α=1 同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1 商数关系 tan α= 同一个角α的正弦、余弦的商等于角α的正切 例1　(1)(课本例5)已知sin α=且α是第二象限角，求cos α，tan α的值. 解　因为sin2α+cos2α=1，所以cos2α=1-sin2α=1-=. 又α是第二象限角，则cos α<0，所以cos α=-tan α==×=-. 例1　(1)已知α∈tan α=2，则cos α=　　　　.  答案　- 解析　由已知得 由①得sin α=2cos α， 代入②得4cos2α+cos2α=1， 所以cos2α= 又α∈所以cos α<0， 所以cos α=-. (2)已知tan α=3，则=　　　　.  答案　- 解析　原式== =-. 反思感悟　(1)已知sin θ(或cos θ)求tan θ常用以下方式求解 (2)若没有给出角α是第几象限角，则应分类讨论，先由已知三角函数的值推出α的终边可能在的象限，再分类求解. (3)已知tan α=m，可以求 的值，将分子分母同除以cos α(或cos2α)，化成关于tan α的式子，从而达到求值的目的. (4)对于asin2α+bsin αcos α+ccos2α的求值，可看成分母是1，利用1=sin2α+cos2α进行代替后分子分母同时除以cos2α，得到关于tan α的式子，从而可以求值. 跟踪训练1　(1)已知sin α+3cos α=0，求sin α，cos α的值. 解　∵sin α+3cos α=0， ∴sin α=-3cos α. 又sin2α+cos2α=1， ∴(-3cos α)2+cos2α=1， 即10cos2α=1， ∴cos α=±. 又由sin α=-3cos α，可知sin α与cos α异号， ∴角α的终边在第二或第四象限. 当角α的终边在第二象限时， cos α=-sin α=； 当角α的终边在第四象限时， cos α=sin α=-. (2)已知tan α=求的值. 解　方法一　(代入法) ∵tan α=∴= ∴sin α=cos α， ∴原式===-. 方法二　(弦化切)= ==-. 二、sin θ±cos θ型求值 例2　已知sin θ+cos θ=(0<θ<π)，求sin θcos θ和sin θ-cos θ的值. 解　因为sin θ+cos θ=(0<θ<π)， 所以(sin θ+cos θ)2= 即sin2θ+2sin θcos θ+cos2θ= 所以sin θcos θ=- 所以sin θ>0，cos θ<0，所以sin θ-cos θ>0， 所以sin θ-cos θ = ==. 反思感悟　sin θ±cos θ与sin θcos θ之间的关系 (1)(sin θ+cos θ)2=1+2sin θcos θ； (sin θ-cos θ)2=1-2sin θcos θ； (sin θ+cos θ)2+(sin θ-cos θ)2=2； (sin θ-cos θ)2=(sin θ+cos θ)2-4sin θcos θ， 利用该公式，已知其中一个，能求另外二个，即“知一求二”. (2)求sin θ+cos θ或sin θ-cos θ的值，要注意判断它们的符号. 跟踪训练2　若sin θ-cos θ=则tan θ+=　　　　.  答案　-2 解析　由已知得(sin θ-cos θ)2=2， ∴sin θcos θ=-. ∴tan θ+=+ ==-2. 三、利用同角三角函数的基本关系化简和证明 问题3　你能发现同角三角函数的哪些变形形式？ 提示　sin2α+cos2α=1 ⇒ tan α=⇒ 例3　(1)(课本例7)化简tan α其中α是第二象限角. 解　因为α是第二象限角，所以sin α>0，cos α<0. 于是tan α=tan α=tan α===-1. (2)(课本例8)求证：=. 证明　方法一　因为-==0， 所以=. 方法二　因为(1+cos α)(1-cos α)=1-cos2α=sin 2α，又1+cos α≠0，sin α≠0， 所以=. 例3　(1)化简：； (2)证明：=. (1)解　原式= = ==±1. (2)证明　方法一　 右边= = = = = =左边， 所以原等式成立. 方法二　左边= = 右边== = == 所以左边=右边，原等式成立. 反思感悟　(1)利用同角三角函数基本关系化简的常用方法 ①化切为弦，减少函数名称. ②对含根号的，应先把被开方式化为完全平方式，再去掉根号. ③对含有高次的三角函数式，可借助于因式分解，或构造平方关系，以降幂化简. (2)证明三角恒等式常用的方法 ①从左向右推导或从右向左推导. ②左右归一法，即证明左右两边都等于同一个式子. ③化异为同法，即针对题设与结论间的差异，有针对地变形，以消除差异. ④变更命题法，如证明=可证ad=bc或证=. ⑤比较法，即证明“左边-右边=0”或“=1”. 跟踪训练3　(1)化简：+(1+tan2α)cos2α； (2)若<α<2π，求证：+=-. (1)解　原式=+cos2α =+·cos2α =1+1=2. (2)证明　∵<α<2π，∴sin α<0. 左边=+ =+ =+ =--=-=右边. ∴原等式成立. 1.知识清单： (1)同角三角函数的基本关系式. (2)sin θ±cos θ型求值. (3)利用同角三角函数的基本关系式进行化简和证明. 2.方法归纳：由部分到整体、整体代换法. 3.常见误区：忽视对θ所在的象限进行分类讨论. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共12分 1.若α是第四象限角，tan α =-则sin α等于(　　) A. B.- C. D.- 答案　D 解析　因为tan α==- sin2α+cos2α=1，所以sin α=±. 因为α是第四象限角，所以sin α=-. 2.如果α是第二象限角，下列各式中成立的是(　　) A.tan α=- B.cos α=- C.sin α=- D.tan α= 答案　B 解析　因为tan α=故A，D均不正确；当α为第二象限角时，cos α<0，sin α>0，故B正确，C不正确. 3.化简sin2α+cos4α+sin2αcos2α的结果是(　　) A. B. C.1 D. 答案　C 解析　原式=sin2α+cos2α(cos2α+sin2α)=sin2α+cos2α=1. 4.已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上一点A(2sin α，3)，则cos α等于(　　) A. B.- C. D.- 答案　A 解析　由三角函数定义得tan α=即=得3cos α=2sin2α=2(1-cos2α)，解得cos α=或cos α=-2(舍去). 5.已知=则tan α等于(　　) A.0 B.1 C.- D.-3 答案　C 解析　方法一　上下同时除以cos α得 = 解得tan α=-. 方法二　= 即16(sin α+2cos α)=5(5cos α-sin α)， 整理得21sin α=-7cos α，∴tan α=-. 6.(多选)已知θ∈(0，π)，sin θ+cos θ=-则下列结论正确的是(　　) A.θ∈ B.cos θ=- C.tan θ=- D.sin θ-cos θ= 答案　CD 解析　因为θ∈(0，π)，则sin θ>0， 又因为sin θ+cos θ=-<0， 则cos θ<0，可知θ∈故A错误； 因为(sin θ+cos θ)2=1+2sin θcos θ= 可得sin θcos θ=- 则(sin θ-cos θ)2=1-2sin θcos θ=且sin θ-cos θ>0， 所以sin θ-cos θ=故D正确； 联立 解得故B错误； 所以tan θ==-故C正确. 7.(5分)若0<θ<π，sin θcos θ=-则sin θ-cos θ=　　　　.  答案　 解析　∵0<θ<π，sin θcos θ=-<0， ∴sin θ>0，cos θ<0. ∴sin θ-cos θ>0. ∴sin θ-cos θ= == ==. 8.(5分)已知α为第二象限角，则cos α·+sin α·=　　　　.  答案　0 解析　原式=cos α·+sin α· =cos α·+sin α·. 因为α是第二象限角， 所以sin α>0，cos α<0， 所以原式=-1+1=0. 9.(10分)已知tan α=求下列各式的值： (1)+；(5分) (2).(5分) 解　(1)+ =+ =+=. (2)= ==. 10.(11分)(1)化简：tan α (其中α为第二象限角)；(5分) (2)求证：=1.(6分) (1)解　因为α是第二象限角， 所以sin α>0，cos α<0. 原式=tan α =tan α =tan α ===-1. (2)证明　 = = ===1. 11.已知α是三角形的一个内角，且sin α+cos α=那么这个三角形的形状为(　　) A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 答案　B 解析　∵sin α+cos α= ∴(sin α+cos α)2= 即1+2sin αcos α= ∴sin αcos α=-<0， ∵α是三角形的内角， ∴α∈即三角形为钝角三角形. 12.若=-则的值是(　　) A. B.- C. D.- 答案　D 解析　由sin2α+cos2α=1，得1-cos2α=sin2α， ∴=. ∵=-∴=- 即=-. 13.(多选)已知角α是锐角，若sin α，cos α是关于x的方程x2+mx+n=0的两个实数根，则下列关于实数m，n的判断正确的是(　　) A.m2-2n-1=0 B.mn>0 C.m+n+1>0 D.m2-4n<0 答案　AC 解析　因为sin α，cos α是关于x的方程x2+mx+n=0的两个实数根， 所以sin α+cos α=-m，sin αcos α=n， 因为角α是锐角，所以m<0，n>0，则mn<0，故B错误； 又(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α=m2>1， 即1+2n=m2，m<-1， 所以m2-2n-1=0，故A正确； 而m+n+1=m++1=>0，故C正确； 因为方程有两个实数根，所以m2-4n≥0，故D错误. 14.(5分)化简：=　　　　.  答案　sin2α 解析　原式= = = ==sin2α. 15.(5分)若α∈则+的最小值为　　　　. 答案　16 解析　∵sin2α+cos2α=1， ∴+=(sin2α+cos2α) =10++≥10+2=16， ∵α∈∴当且仅当sin α=cos α时，等号成立，∴+的最小值是16. 16.(12分)设α是第三象限角，问是否存在实数m，使得sin α，cos α是关于x的方程8x2+6mx+2m+1=0的两个根？若存在，求出实数m；若不存在，请说明理由. 解　假设存在实数m满足条件，由题设得， Δ=36m2-32(2m+1)≥0， ① ∵sin α<0，cos α<0， ∴sin α+cos α=-m<0， ② sin αcos α=>0. ③ 又sin2α+cos2α=1， ∴(sin α+cos α)2-2sin αcos α=1. 把②③代入上式得-2×=1， 即9m2-8m-20=0， 解得m1=2，m2=-. ∵m1=2不满足条件①，舍去； m2=-不满足条件③，舍去. 故满足题意的实数m不存在. 学科网（北京）股份有限公司 $