7.2.3 三角函数的诱导公式-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第一册教用word（苏教版）

本讲义聚焦三角函数诱导公式一至六，通过单位圆对称性（终边相同、坐标轴对称、原点对称等）推导公式，结合思考问题、知识梳理表格、例题解析等学习支架，构建从公式推导到求值化简证明的完整学习脉络。 以南京眼等现实对称美导入，培养用数学眼光观察现实世界的意识，通过单位圆交点坐标关系推导公式发展推理思维，口诀记忆与分层检测提升应用能力，课中辅助教师授课，课后帮助学生查漏补缺。

7.2.3 三角函数的诱导公式 新课导入 南京眼和辽宁的生命之环均利用完美的对称展现自己的和谐之美.而三角函数与单位圆是紧密联系的，它的基本性质是单位圆的几何性质的代数表示，例如，同角三角函数的基本关系表明了单位圆中的某些线段之间的关系.单位圆有很好的对称性：以圆心为对称中心的中心对称图形；以任意直径所在直线为对称轴的轴对称图形. 你能否利用这种对称性，借助单位圆中的三角函数线，探究终边具有特殊对称（坐标轴、原点）的两角的三角函数之间有什么本质的规律吗？ 学习目标 1.理解诱导公式一～四的推导过程. 2.能利用诱导公式进行三角函数式的求值、化简和证明. 3.掌握诱导公式五、六的推导过程. 4.能利用诱导公式解决简单的三角函数式求值、化简与证明问题. 第1课时 诱导公式一、二、三、四 新知学习 探究 一 诱导公式一～四 思考1．我们是如何定义三角函数的？ 提示 三角函数定义的核心是角的终边与单位圆的交点的坐标，终边相同的角的三角函数值相等. 思考2．如图，设角 ， ， ， 的终边与单位圆的交点分别为，，，，则与，与，与的坐标有怎样的关系？ 提示 点与的纵坐标、横坐标都互为相反数；与的横坐标相同，纵坐标互为相反数；与的横坐标互为相反数，纵坐标相同. ［知识梳理］ 类别 终边关系 图示 公式 公式一 角与角 的终边相同 , ， ,其中 公式二 角 与角 的终边关于①_ _ _ _ _ _ 轴对称 ②_ _ _ _ _ _ _ _ , ③_ _ _ _ _ _ _ _ , ④_ _ _ _ _ _ _ _ 公式三 角 与角 的终边关于⑤_ _ _ _ _ _ 轴对称 ⑥_ _ _ _ _ _ _ _ , ⑦_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ , ⑧_ _ _ _ _ _ _ _ 公式四 角 与角 的终边关于⑨_ _ _ _ _ _ _ _ 对称 ⑩_ _ _ _ _ _ _ _ ,⑪_ _ _ _ _ _ _ _ , ⑫_ _ _ _ _ _ _ _ 【答案】； ； ； ； ； ； ； ； 原点； ； ； 点拨 诱导公式的记忆方法与口诀 （1）记忆方法：， ， 的三角函数值等于 的同名函数值，前面加上一个把 看成锐角时原函数值的符号. （2）记忆口诀：“函数名不变，符号看象限”. “口诀”的正确理解：“函数名不变”是指等式两边的三角函数同名；“符号”是指等号右边是正号还是负号；“看象限”是指假设 是锐角，要看原函数名在本公式中角的终边所在象限是取正值还是负值，如,若 看成锐角，则 在第三象限，正弦在第三象限取负值，故 ［例1］ （对接教材例9）求下列三角函数值： （1） ； （2） ； （3） ； （4） . 【答案】（1） 【解】 . （2） . （3） . （4） 原式. 利用诱导公式解决给角求值问题的步骤 ［跟踪训练1］．（多选）下列各式中，值为 的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】选，符合题意；，符合题意；，不符合题意；，不符合题意.故选. 二 条件求值问题 ［例2］ （1） 若，且,，则的值为（ ） A. B. C. D. （2） 已知 为锐角，若，则_ _ _ _ _ _ . 【答案】（1） C （2） 【解析】 （1） 由，得，而,， 于是 ， 所以.故选. （2） 因为， 所以. 母题探究．本例（2）条件不变，求_ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】因为 为锐角， 且，所以 也是锐角， 所以 . . 解决条件求值问题的策略 （1）解决条件求值问题,首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系. （2）可以将已知式变形向所求式转化,或将所求式变形向已知式转化. ［跟踪训练2］． （1） 已知，则的值为_ _ _ _ _ _ . （2） 点在角 终边上，则_ _ _ _ _ _ . 【答案】（1） （2） 【解析】 （1） . （2） , 由题设，并根据三角函数定义得，则. 三 化简求值问题 ［例3］ 化简下列各式： （1） ； （2） . 【答案】 （1） 【解】 原式 . （2） 原式 . 三角函数式化简的常用方法 （1）利用诱导公式,将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数. （2）切化弦：一般需将表达式中的正切函数转化为正、余弦函数. （3）注意“1”的应用：. ［跟踪训练3］．已知,则的值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】选.因为, 所以原式 . 课堂巩固 自测 1． （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】选. 2．[（2025·连云港月考）]（多选）设，,，以下正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】选.因为，,， 所以 ， 所以.故选. 3．已知角 的顶点为坐标原点，始边与轴正半轴重合，终边经过点，则_ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】由题可得，根据三角函数的定义，可得，又由. 4．的值为_ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】原式 . 1.已学习：（1）特殊关系角的终边对称性. （2）诱导公式一～四及其应用. 2.须贯通：利用诱导公式求值化简的三个步骤:负化正 大化小 化成锐角是终了. 3.应注意：公式要根据口诀理解记忆,切记不要搞错符号. 课后达标 检测 A 基础达标 1．的值是（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】选. 2．已知 为锐角，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】选.因为 为锐角，且，所以 也是锐角， 所以. . 3．已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】选. 4．已知角 的终边与单位圆的交点为，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】选.因为角 的终边与单位圆的交点为，，所以，，则.故选. 5．（多选）已知角 和 的终边关于轴对称，则（ ） A. , B. C. D. 【答案】AC 【解析】选.因为角 和 的终边关于 轴对称，可得 ,. ，，正确； ,，，错误.故选. 6．（多选）已知，，则下列不等关系成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】选.因为， 所以，错误，正确； 因为， 所以，错误，正确，故选. 7．若是角 终边上一点，则的值为_ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】由题意知， 原式 . 8．若， ，则_ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】由，得，由 ，则，故. 9．[（2025·无锡期末）]已知函数，且，则_ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】因为， 可得， 所以 ，即. 10．（13分）化简下列各式. （1） ；（6分） （2） .（7分） 【答案】 （1） 解：原式 . （2） 原式 . B 能力提升 11．（多选）已知，则的值是（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】BD 【解析】选.当,时， ； 当,时， . 12．已知函数则的值为_ _ _ _ . 【答案】3 【解析】，， 所以. 13．（15分）已知. （1） 化简;（5分） （2） 若 是第三象限角，且,求的值；（5分） （3） 若 ，求的值.（5分） 【答案】（1） 解： . （2） 因为， 所以.又 是第三象限角， 所以.所以. （3） 因为 , 所以 . 14．（15分）在中，若，，求的三个内角． 解：由题意得， ， 平方相加得，所以， 又因为，所以 或. 当 时，， 所以，， 所以，均为钝角，不合题意，舍去． 所以，， 所以，所以. 综上所述，，，. C 素养拓展 15．如图，单位圆被点，，， ，平均分成12份，以轴的正半轴为始边，为终边的角记为，则_ _ _ _ ，_ _ _ _ _ _ .（说明： 是一个连加符号，） 【答案】0； 【解析】由题意得，所以，所以. 单位圆 被平均分成12份，则 , , , ， , , ，所以. 第2课时 诱导公式五、六 新知学习 探究 一 诱导公式五、六 我们容易计算像0，，这样的角的三角函数值，对于求 与 的三角函数值，能否化为 的三角函数值计算？ 思考． （1） 与 的终边有什么关系？ （2） 如何求 的三角函数值？ 【答案】（1） 提示 角 的终边与 的终边关于对称. （2） ， ［知识梳理］ 点拨 公式五、六的记忆方法与口诀:①记忆方法: 的正弦（余弦）函数值,分别等于 的余弦（正弦）函数值,前面加上一个把 看成锐角时原函数值的符号;②记忆口诀:“函数名改变,符号看象限”或“正变余,余变正,符号象限定”. ［例1］ （1） 已知，则（ ） A. B. C. D. （2） （对接教材例）已知，,，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】（1） B （2） D 【解析】 （1） . （2） 因为,，故,， 则由，可得， 故. （1）利用诱导公式进行化简求值时，要特别注意函数名称和符号的确定. （2）解题的主要步骤：去负—脱周—化锐. ［跟踪训练1］． （1） 若，则（ ） A. B. C. D. （2） 已知 是第二象限角，且，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】（1） A （2） A 【解析】 （1） 选.因为，所以. （2） 选.由 是第二象限角，得 ,，，则 ,，，又，所以， 所以. 二 利用诱导公式进行化简证明 ［例2］ （1） 化简： ； （2） 求证： . 【答案】（1） 【解】原式 . （2） 证明：左边 . 右边. 所以左边 右边. 故原等式成立. 利用诱导公式化简、证明的策略 （1）注意口诀“奇变偶不变，符号看象限”的应用. （2）对式子进行化简或证明时，要注意要求的角与已知角之间的关系，并结合诱导公式进行转化，特别要注意角的范围. ［跟踪训练2］．化简：. 解：原式 . 三 诱导公式的综合应用 ［例3］ 已知． （1） 化简； （2） 若 是第三象限角，且，求的值． 【答案】（1） 【解】 ． （2） 因为 ，， 所以，又因为 是第三象限角， 所以 为第三象限角，所以，故． 诱导公式综合应用要“三看” 一看角：化大为小；看角与角之间的联系，可通过相加、相减分析两角的关系. 二看函数名称：一般是弦切互化. 三看式子结构：通过分析式子，选择合适的方法，如分式可对分子分母同乘一个式子变形，平方和差、立方和差公式等. ［跟踪训练3］．在平面直角坐标系中，角 的顶点为坐标原点，始边为轴正半轴，终边经过点,. （1） 求的值和 ； （2） 化简求值. 【答案】 （1） 解：终边经过点，故， 解得，. （2） . 课堂巩固 自测 1．已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】选.因为， 且， 所以， 则. 2．已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】选.因为， 所以 . 3．（多选）（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】选，错误； ，正确； ，错误； ，正确.故选. 4．[（2025·宿迁月考）]已知角，，为的三个内角，求证：. 证明：在 中， ，则.所以 ， 故原等式得证. 1.已学习：（1）诱导公式五、六:函数名改变,符号看象限;（2）利用诱导公式进行化简、求值与证明. 2.须贯通：诱导公式中的角可以是任意角，应用时要灵活探寻角与角之间的联系与构造. 3.应注意：搞清诱导公式的函数名称及符号变换规律. 课后达标 检测 A 基础达标 1．已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】选. 2．化简：（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】选 .故选. 3．已知，则（ ） A. B. C. 1 D. 3 【答案】A 【解析】选.由诱导公式可得，将 代入计算，可得原式. 4．已知 为第三象限角，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】选.因为， 所以，又 为第三象限角，所以， 所以. 5．已知，则的值为 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】选.因为 ， 所以， 所以， 所以. 6．[（2025·南京月考）]（多选）下列化简正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】选 ，故 正确； ，故 错误； ，故 正确； ，故 错误.故选. 7．已知，则_ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】因为，所以， 又因为， 所以. 8．化简：_ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】原式 . 9．已知，且，则_ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】由于，所以，而，所以， 所以. 10．（13分）已知 是第四象限角，且.求： （1） 的值；（6分） （2） 的值.（7分） 【答案】 （1） 解：因为 是第四象限角，且， 所以. （2） , 由（1）可知，， 所以原式的值为. B 能力提升 11．[（2025·徐州期末）]（多选）若角,,是的三个内角，则下列结论中一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】选.对于，，故 正确；对于，，故 错误；对于,，故 错误；对于,，故 正确. 12．已知函数，若，则_ _ _ _ . 【答案】6 【解析】由题意， ,解得. 13．（15分）在；这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解决该问题. 已知  ． （1） 求的值；（7分） （2） 当 为第三象限角时，求的值．（8分） 注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】 （1） 解：若选，则 ，即; 若选，则 ， 即 ，则. 因为， 将 代入，原式. （2） 由（1）得，即 ， 由，则，解得， 因为 为第三象限角，所以，则， . 14．（15分）是否存在角,角,使等式,同时成立？若存在,求出 , 的值；若不存在,请说明理由. 解：由题意得 ,得, 所以,. 又,所以 或. 将 代入②,得, 又,所以,代入①可知符合条件, 将 代入②,得, 又,所以,代入①可知不符合条件. 综上可知,存在,满足条件. C 素养拓展 15．在平面直角坐标系中，已知角 的终边经过点，若角 的终边与角 的终边关于轴对称，则_ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】已知角 的终边经过点，则,. 若角 的终边与角 的终边关于 轴对称， 则，, 则. 学科网（北京）股份有限公司 $