第7章 7.1.2 弧度制（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（苏教版）

本讲义聚焦高中数学“弧度制”核心知识点，从引入必要性出发，系统构建弧度制概念、角度与弧度互化方法、角的范围表示及扇形弧长面积公式的学习支架，衔接角度制与实数集对应关系，形成完整知识脉络。 通过类比长度质量单位制培养数学眼光，对比推导互化公式发展数学思维，以扇形计算实例强化数学语言表达。例1互化练习、例3扇形问题及课时对点练，助力课中教学实施与课后学生查漏补缺，提升知识应用能力。

7.1.2　弧度制 学习目标　1.理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的转换.2.体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集的一一对应关系.3.掌握并能应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式. 导语 度量长度可以用米、英尺、码等不同的单位制，度量质量可以用千克、磅等不同的单位制.不同的单位制能给解决问题带来方便.角的度量是否也能用不同的单位制呢？能否像度量长度那样，用十进制的实数来度量角的大小呢？ 一、弧度制的概念及角度制与弧度制的相互转化 1.弧度制的概念 (1)度量角的两种制度 角度制 定义 用度作为单位来度量角的单位制 1度的角 1度的角等于周角的 弧度制 定义 用弧度作为角的单位来度量角的单位制 1弧度的角 长度等于半径长的圆弧所对的圆心角 (2)弧度数的计算 2.角度与弧度的互化 角度化弧度 弧度化角度 360°=2π rad 2π rad=360° 180°=π rad π rad=180° 1°= rad≈0.017 45 rad 1 rad=°≈57.30° 度数×=弧度数 弧度数×°=度数 注意点： (1)一定大小的圆心角α所对应的弧长和半径的比值是唯一确定的，与半径大小无关； (2)①弧度单位rad可以省略； ②在同一个题目中，弧度与角度不能混用. 例1　(1)(课本例3)把下列各角从弧度化为度： ①；②3.5. 解　① rad=×=108°. ②3.5 rad=3.5×≈200.54°. (2)(课本例4)把下列各角从度化为弧度： ①252°；②11°15'. 解　①252°=252×rad= rad. ②11°15'=11.25°=11.25× rad= rad. 例1　把下列角度化成弧度或弧度化成角度： (1)37°30'；(2)-300°；(3)2；(4)-. 解　(1)37°30'=37.5°=°=×=. (2)-300°=-300×=-. (3)2=2×°=°. (4)-=-°=-40°. 反思感悟　角度与弧度互化技巧 在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式π rad=180°是关键，由它可以得到：度数×=弧度数，弧度数×°=度数. 跟踪训练1　已知α=15°，β=γ=1，θ=105°，φ=试比较α，β，γ，θ，φ的大小. 解　α=15°=15×= θ=105°=105×= ∵<<1< ∴α<β<γ<θ=φ. 二、用弧度制表示角的范围 例2　将-1 125°写成α+2kπ(k∈Z)的形式，其中0≤α<2π，并判断它是第几象限角？ 解　-1 125°=-1 125×=-=-8π+ 其中<<2π， 所以是第四象限角， 所以-1 125°是第四象限角. 延伸探究　若在本例的条件下，在[-4π，4π]范围内找出与α终边相同的角的集合. 解　依题意得，与α终边相同的角为+2kπ，k∈Z，由-4π≤+2kπ≤4π，k∈Z， 知k=-2，-1，0，1， 所以所求角的集合为. 反思感悟　用弧度制表示终边相同的角2kπ+α(k∈Z)时，其中2kπ是π的偶数倍，而不是整数倍. 跟踪训练2　(1)用弧度制表示与150°角终边相同的角的集合为(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　150°=150×=故与150°角终边相同的角的集合为. (2)用弧度制表示终边落在如图所示阴影部分内(包含边界)的角的集合. 解　终边落在射线OA上的角为θ=k·360°+135°，k∈Z， 即θ=+2kπ，k∈Z. 终边落在射线OB上的角为θ=k·360°-30°，k∈Z， 即θ=2kπ-k∈Z， 故终边落在阴影部分内(包含边界)的角的集合为. 三、弧度制下的扇形的弧长与面积公式 问题　我们初中所学扇形的弧长和面积公式是什么？ 提示　圆心角为n°，半径为R的扇形的弧长公式和面积公式分别为l=S=. 知识梳理　弧度制下的弧长与扇形面积公式 设扇形的半径为r，弧长为l，α(|α|≤2π)为其圆心角，则 (1)弧长公式：l=|α|r. (2)扇形面积公式：S=rl=|α|r2. 例3　(课本例5)已知扇形的周长为8 cm，圆心角为2 rad，求该扇形的面积. 解　设扇形的半径为r，弧长为l，则有 解得 故扇形的面积为S=rl=4(cm2). 例3　(1)已知一扇形的圆心角是72°，半径为20，求扇形的面积. 解　设扇形弧长为l， 因为圆心角72°=72×= rad， 所以扇形弧长l=|α|·r=×20=8π， 于是，扇形的面积S=l·r=×8π×20=80π. (2)已知扇形的周长为10 cm，面积为4 cm2，求扇形圆心角的弧度数. 解　设扇形圆心角为θ(|θ|≤2π)，弧长为l cm，半径为r cm，依题意有 ①代入②得r2-5r+4=0，解得r1=1，r2=4. 当r=1时，l=8，此时，|θ|=8 rad>2π rad，舍去. 当r=4时，l=2，此时，|θ|== rad. 综上可知，扇形圆心角的弧度数为 rad. 反思感悟　扇形的弧长和面积的求解策略 (1)记公式：弧度制下扇形的面积公式是S=lr=|α|r2(其中l是扇形的弧长，r是扇形的半径，α是扇形圆心角，|α|≤2π). (2)找关键：涉及扇形的半径、周长、弧长、圆心角、面积等的计算问题，关键是分析题目中已知哪些量、求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解. 跟踪训练3　若扇形的圆心角为216°，弧长为30π，求扇形的半径及面积. 解　设扇形的半径为r，弧长为l，面积为S， ∵216°=216×= ∴l=|α|·r=r=30π，解得r=25， ∴S=lr=×30π×25=375π. 1.知识清单： (1)弧度制的概念. (2)弧度与角度的相互转化. (3)扇形的弧长与面积的计算. 2.方法归纳：消元法. 3.常见误区：弧度与角度混用. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共18分 1.角终边所在的象限是(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案　A 解析　=2π+是第一象限角，故是第一象限角. 2.时针经过一小时，转过了(　　) A. rad B.- rad C. rad D.- rad 答案　B 解析　时针经过一小时，转过-30°， -30°=- rad. 3.若一个扇形的半径变为原来的2倍，而弧长也变为原来的2倍，则(　　) A.扇形的面积不变 B.扇形的圆心角不变 C.扇形的面积增大到原来的2倍 D.扇形的圆心角增大到原来的2倍 答案　B 解析　∵|α|=. ∴当r，l均变为原来的2倍时，|α|不变. 而S=|α|r2中， ∵|α|不变，∴S变为原来的4倍. 4.集合中角所表示的范围(阴影部分)是(　　) 答案　C 解析　当k为偶数时，集合对应的区域为第一象限内直线y=x左上部分(包含边界)；当k为奇数时，集合对应的区域为第三象限内直线y=x的右下部分(包含边界). 5.(多选)下列与的终边相同的角的表达式中，正确的是(　　) A.2kπ+45°(k∈Z) B.k·360°+(k∈Z) C.k·360°-315°(k∈Z) D.2kπ+(k∈Z) 答案　CD 解析　A，B中弧度与角度混用，不正确； =2π+所以与终边相同. -315°=-360°+45°， 所以-315°也与45°终边相同，即与终边相同. 6.(多选)圆的一条弦的长等于半径，则这条弦所对的圆周角的弧度数为(　　) A. B. C. D. 答案　AD 解析　设该弦所对的圆周角为α， 则其圆心角为2α或2π-2α， 由于弦长等于半径， 所以可得2α=或2π-2α= 解得α=或α=. 7.(5分)-135°化为弧度为　　　　　化为角度为　　　　　.  答案　-　660° 解析　-135°=-135×=-； =×180°=660°. 8.(5分)终边落在如图所示阴影部分内(不包括边界)的角的集合为　　　　(用弧度制表示).  答案　 解析　由题意可知，30°=210°=则终边在直线AB上的角为α=kπ+k∈Z.又终边在y轴上的角为β=kπ+k∈Z，故终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合为. 9.(10分)已知角α=1 200°. (1)将α改写成β+2kπ(k∈Z，0≤β<2π)的形式，并指出α是第几象限的角；(5分) (2)在区间[-4π，0]上找出与α终边相同的角.(5分) 解　(1)因为α=1 200°=1 200×= =3×2π+ 所以角α与的终边相同， 又<<π， 所以角α是第二象限的角. (2)因为与角α终边相同的角(含角α在内)为 2kπ+k∈Z， 所以由-4π≤2kπ+≤0，得-≤k≤-. 因为k∈Z，所以k=-2或k=-1.故在区间[-4π，0]上与角α终边相同的角是--. 10.(10分)已知半径为10的圆O中，弦AB的长为10. (1)求弦AB所对的圆心角α的大小；(4分) (2)求α所在的扇形的弧长l及弧所在的弓形的面积S.(6分) 解　(1)由☉O的半径r=10=AB， 知△AOB是等边三角形， ∴α=∠AOB=60°=. (2)由(1)可知α=r=10， ∴弧长l=|α|·r=×10= ∴S扇形=lr=××10= 而S△AOB=·AB·AB=×10×5 =25 ∴S=S扇形-S△AOB=25. 11.(多选)下列表示中正确的是(　　) A.终边在x轴上角的集合是{α|α=kπ，k∈Z} B.终边在第二象限角的集合为 C.终边在坐标轴上角的集合是 D.终边在直线y=x上角的集合是 答案　ABC 解析　A，B显然正确. 对于C，终边在x轴上的角的集合为{α|α=kπ，k∈Z}，终边在y轴上的角的集合为 其并集为故C正确； 对于D，终边在直线y=x上的角的集合为或 其并集为故D不正确. 12.《掷铁饼者》取材于希腊的现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间.现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的 “弓”，掷铁饼者的手臂长约米，肩宽约为米，“弓”所在圆的半径约为1.25米，你估测一下掷铁饼者双手之间的距离约为(参考数据：≈1.414≈1.732)(　　) A.1.012米 B.2.043米 C.1.768米 D.2.945米 答案　C 解析　弓形所在的扇形如图所示，则“弓”所在弧长为++=故扇形的圆心角为= 故AB=×≈×1.414=1.767 5≈1.768. 13.若角α与角x+有相同的终边，角β与角x-有相同的终边，那么α与β间的关系为(　　) A.α+β=0 B.α-β=0 C.α+β=2kπ(k∈Z) D.α-β=2kπ+(k∈Z) 答案　D 解析　因为α=x++2k1π(k1∈Z)， β=x-+2k2π(k2∈Z)， 所以α-β=+2(k1-k2)π(k1∈Z，k2∈Z). 因为k1∈Z，k2∈Z，所以k1-k2∈Z. 所以α-β=+2kπ(k∈Z). 14.(5分)勒洛三角形是一种特殊三角形，指分别以正三角形的三个顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形.如图，勒洛三角形ABC的周长为π，则该勒洛三角形ABC的面积为　　　　　. 答案　 解析　因为勒洛三角形ABC的周长为π，所以每段圆弧长为l=r=解得r=1， 即正三角形ABC的边长为1.由题意可得勒洛三角形ABC的面积S=3S扇形CAB-2S△ABC =3×××1-2××12=. 15.(5分)如图，动点P，Q从点A(4，0)出发，沿圆周运动，点P按逆时针方向每秒钟转弧度，点Q按顺时针方向每秒钟转弧度，则P，Q第一次相遇时P点走过的弧长为　　　　.  答案　 解析　如图，设P，Q第一次相遇时所用的时间是t秒， 则t·+t·=2π，所以t=4， 即P，Q第一次相遇时所用的时间为4秒. 所以P点走过的弧长为×4=. 16.(12分)如图，有一个扇环形花圃ABCD，外圆弧的半径是内圆弧半径的两倍，周长为定值2l，圆心角为α(0<α<π). (1)当α为多少弧度时，扇环面积最大，并求出最大面积；(6分) (2)当α=2时，求弧BC的中点E到弦BC的距离.(6分) 解　(1)设内圆弧半径为r， 则AB=CD=OA=OD=r， 所以=rα=2rα， 所以rα+2rα+2r=2l， 则r= 所以S扇环=S扇形OBC-S扇形OAD =×2rα×2r-×rα×r=αr2 =≤= 当且仅当9α=即α=时，S扇环取得最大值. (2)连接OE交BC于F， 则由垂径定理得OE⊥BC， ∠BOE=∠BOC=1， 由(1)知，r=== 所以OF=cos 1， 所以EF=OE-OF=2r-cos 1=(1-cos 1). 学科网（北京）股份有限公司 $