第7章 7.1.1 任意角（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（苏教版）

本讲义聚焦高中数学“任意角”核心知识点，从初中0°~360°角扩展到任意角，通过旋转方向定义正角、负角、零角，构建终边相同角的集合表示{β|β=k·360°+α,k∈Z}，结合坐标系学习象限角与区域角判定，形成知识递进支架。 该资料以体操旋转等实例导入，引导学生用数学眼光观察现实，通过问题驱动（如“终边相同角是否相等”）培养数学思维，例题与跟踪训练结合数形结合（如终边在直线y=-x上的角的集合），用集合语言精准表达，课中助教师授课，课后通过对点练帮助学生查漏补缺。

7.1.1　任意角 学习目标　1.了解任意角的概念，区分正角、负角与零角.2.了解象限角的概念.3.理解并掌握终边相同的角的概念，能写出终边相同的角所组成的集合. 导语 我们已经学习过一些角，如锐角、直角、钝角、平角、周角，利用这些角，能够表示圆周上某些点P.但要表示圆周上周而复始地运动着的点，仅有这些角是不够的.例如：点P绕圆心旋转一周半，所在位置怎样用角来表示？又如在体操、花样游泳、跳水等项目中，常常听到“前空翻转体540度”“后空翻转体720度”等这样的解说，我们应怎样理解呢？为了解决这些问题，今天我们来学习任意角. 一、任意角的概念 问题1　在初中是如何定义角的？角的范围是多少？ 提示　角可以看成从同一顶点出发的两条射线所成的图形，角的范围是0°~360°. 知识梳理　任意角 (1)角的概念： 一个角可以看作平面内一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形. (2)角的表示： 如图所示，角α可记为“α”或“∠α”或“∠AOB”，始边：OA，终边：OB，顶点：O. (3)角的分类： 名称 定义 图示 正角 一条射线绕其端点按逆时针方向旋转所形成的角 负角 一条射线绕其端点按顺时针方向旋转所形成的角 零角 一条射线没有作任何旋转形成的角 (4)角的加法与减法 设α，β是任意两个角，-α为角α的相反角. ①α+β：把角α的终边旋转角β. ②α-β：α-β=α+(-β). 例1　(1)若手表时针走过4小时，则时针转过的角度为(　　) A.120° B.-120° C.-60° D.60° 答案　B 解析　由于时针是顺时针旋转，故时针转过的角度为负数，即为-×360°=-120°. (2)运动员顺时针旋转两圈半所形成的角的度数是　　　　，逆时针旋转两圈半所形成的角的度数是　　　　.  答案　-900°　900° 解析　顺时针旋转两圈半所形成的角的度数是-(2×360°+180°)=-900°，则逆时针旋转两圈半所形成的角的度数是900°. 反思感悟　理解与角的概念有关问题的关键 正确理解锐角、直角、钝角、平角、周角等概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小.另外需要掌握判断结论正确与否的技巧，判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需举一个反例即可. 跟踪训练1　如图(1)，∠AOC=　　　　；如图(2)，∠AOC=　　　　.  答案　110°　-70° 二、终边相同的角 问题2　给定一个角，它的终边是否唯一？若两角的终边相同，那么这两个角相等吗？ 提示　给定一个角，它的终边唯一；两角终边相同，这两个角不一定相等，比如30°的终边和390°的终边相同，它们正好相差了360°. 知识梳理　终边相同的角 一般地，与角α终边相同的角的集合为{β|β=k·360°+α，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和. 例2　(1)已知α=-1 845°，在与α终边相同的角中，求满足下列条件的角. ①最小的正角； ②最大的负角； ③-360°~720°之间的角. 解　因为-1 845°=-45°+(-5)×360°， 即-1 845°角与-45°角的终边相同， 所以与角α终边相同的角的集合是 {β|β=-45°+k·360°，k∈Z}， ①最小的正角为315°. ②最大的负角为-45°. ③-360°~720°之间的角分别是-45°，315°，675°. (2)写出终边在直线y=-x上的角的集合. 解　终边在y=-x(x<0)上的角的集合是S1={α|α=120°+k1·360°，k1∈Z}； 终边在y=-x(x≥0)上的角的集合是S2={α|α=300°+k2·360°，k2∈Z}. 因此，终边在直线y=-x上的角的集合是S=S1∪S2={α|α=120°+k1·360°，k1∈Z}∪{α|α=300°+k2·360°，k2∈Z}， 即S={α|α=120°+2k1·180°，k1∈Z}∪{α|α=120°+(2k2+1)·180°，k2∈Z}={α|α=120°+n·180°，n∈Z}. 故终边在直线y=-x上的角的集合是S={α|α=120°+n·180°，n∈Z}. 反思感悟　终边相同的角的表示 (1)与角α终边相同的角都可以表示成α+k·360°(k∈Z)的形式. (2)终边相同的角相差360°的整数倍. (3)终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍. (4)终边相同的角的表示形式不唯一，如{x|x=k·360°-90°，k∈Z}与{x|x=k·360°+270°，k∈Z}均表示终边在y轴的非正半轴上的角的集合. 跟踪训练2　下列角的终边与37°角的终边在同一直线上的是(　　) A.-37° B.143° C.379° D.-143° 答案　D 解析　与37°角的终边在同一直线上的角可表示为k·180°+37°，k∈Z，当k=-1时，37°-180°=-143°. 三、象限角、区域角 象限角 以角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴正半轴，建立平面直角坐标系，这样，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，称这个角为轴线角. 注意点： (1)锐角是第一象限角，第一象限角未必是锐角；钝角是第二象限角，第二象限角未必是钝角；直角的终边在坐标轴上，它不属于任何象限. (2)每一个象限都有正角和负角. (3)无法比较两个象限角的大小. 例3　(1)(课本例1)在0°到360°的范围内，找出与下列各角终边相同的角，并分别判断它们是第几象限角： ①650°；②-150°；③-990°15'. 解　①因为650°=360°+290°，所以650°的角与290°的角终边相同，是第四象限角. ②因为-150°=-360°+210°，所以-150°的角与210°的角终边相同，是第三象限角. ③因为-990°15'=-3×360°+89°45'，所以-990°15'的角与89°45'的角终边相同，是第一象限角. (2)(课本例2)已知α与240°角的终边相同，判断是第几象限角. 解　由α=k·360°+240°(k∈Z)，可得=k·180°+120°(k∈Z). 若k为偶数，设k=2n，n∈Z，则=n·360°+120°(n∈Z)， 从而与120°角的终边相同，是第二象限角； 若k为奇数，设k=2n+1，n∈Z，则=n·360°+300°(n∈Z)， 从而与300°角的终边相同，是第四象限角. 因此是第二或第四象限角. 例3　(1)(多选)下列四个角为第二象限角的是(　　) A.-200° B.100° C.220° D.420° 答案　AB 解析　-200°=-360°+160°，在0°~360°范围内，与-200°终边相同的角为160°，它是第二象限角，同理100°为第二象限角，220°为第三象限角，420°为第一象限角. (2)如果α与120°角的终边相同，那么2α是第几象限角？是第几象限角？ 解　由题意得α=120°+k·360°(k∈Z)， 所以2α=240°+2k·360°(k∈Z)， 所以2α与240°角的终边相同，是第三象限角. 又=60°+k·180°(k∈Z). ①若k=2n(n∈Z)，则=n·360°+60°(n∈Z)， 故与60°角的终边相同，是第一象限角； ②若k=2n+1(n∈Z)，则=n·360°+240°(n∈Z)，故与240°角的终边相同，是第三象限角. 综上是第一或第三象限角. (3)如图所示. ①写出终边落在射线OA，OB上的角的集合； ②写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合. 解　①终边落在射线OA上的角的集合是 {α|α=k·360°+210°，k∈Z}. 终边落在射线OB上的角的集合是 {α|α=k·360°+300°，k∈Z}. ②终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是 {α|k·360°+210°≤α≤k·360°+300°，k∈Z}. 反思感悟　(1)象限角的判定方法 ①根据图象判定.利用图象实际操作时，依据是终边相同的角的思想，因为0°~360°之间的角与坐标系中的射线可建立一一对应的关系. ②将角转化到0°~360°范围内.在直角坐标平面内，在0°~360°之间没有两个角终边是相同的. (2)表示区域角的三个步骤 第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界(实线含边界，虚线不含边界). 第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的0°~360°范围内的角α和β，写出最简集合{x|α<x<β}，其中β-α<360°. 第三步：起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区域角的集合. 1.知识清单： (1)任意角的概念. (2)终边相同的角. (3)象限角、区域角的表示. 2.方法归纳：数形结合、分类讨论. 3.常见误区：锐角与小于90°角的区别，终边相同角的表示中漏掉k∈Z. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共6分 1.与-30°终边相同的角是(　　) A.-330° B.150° C.30° D.330° 答案　D 解析　因为所有与-30°终边相同的角都可以表示为α=k·360°+(-30°)，k∈Z，取k=1，得α=330°. 2.如果角α的终边上有一点P(0，-3)，那么α(　　) A.是第三象限角 B.是第四象限角 C.是第三或第四象限角 D.不是象限角 答案　D 解析　点P(0，-3)在y轴负半轴上，故α的终边为y轴的非正半轴，不是象限角. 3.在平面直角坐标系中，下列结论正确的是(　　) A.小于90°的角一定是锐角 B.终边与始边重合的角是零角 C.始边相同且相等的角的终边一定重合 D.始边相同且终边重合的角一定相等 答案　C 解析　小于90°的角不一定是锐角，如负角和零角均小于90°，但不是锐角，故A错误； 终边与始边重合的角还有360°角，720°角等，故B错误； 始边相同且相等的角的终边一定重合，故C正确； 始边相同且终边重合的角不一定相等，可以相差360°的整数倍，故D错误. 4.(多选)下列四个角中，属于第二象限角的是(　　) A.160° B.480° C.-960° D.1 530° 答案　ABC 解析　160°是第二象限角； 480°=120°+360°是第二象限角； -960°=-3×360°+120°是第二象限角； 1 530°=4×360°+90°不是第二象限角. 5.如图，终边在阴影部分(含边界)的角的集合是(　　) A.{α|-45°≤α≤120°} B.{α|120°≤α≤315°} C.{α|k·360°-45°≤α≤k·360°+120°，k∈Z} D.{α|k·360°+120°≤α≤k·360°+315°，k∈Z} 答案　C 解析　如题图，终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是{α|k·360°-45°≤α≤k·360°+120°，k∈Z}. 6.将角α的终边绕坐标原点O逆时针旋转60°后与130°角的终边重合，则与角α终边相同的角的集合为(　　) A.{β|β=k×180°+90°，k∈Z} B.{β|β=k×360°+90°，k∈Z} C.{β|β=k×180°+150°，k∈Z} D.{β|β=k×360°+70°，k∈Z} 答案　D 解析　由题意，知α+60°=k×360°+130°，k∈Z， 解得α=k×360°+70°，k∈Z， 所以与角α终边相同的角的集合为{β|β=k×360°+70°，k∈Z}. 7.(5分)终边落在x轴非正半轴上的角α的集合为　　　　　　　　.  答案　{α|α=k·360°+180°，k∈Z} 解析　根据终边相同角的表示方法，可得终边落在x轴非正半轴上的角α的集合为{α|α=k·360°+180°，k∈Z}. 8.(5分)在0°~360°范围内，与角-60°的终边在同一条直线上的角为　　　　.  答案　120°，300° 解析　与角-60°的终边在同一条直线上的角可表示为β=k·180°-60°，k∈Z. ∵所求角在0°~360°范围内，∴0°≤k·180°-60°<360°，解得≤k<k∈Z，∴k=1或2， 当k=1时，β=120°，当k=2时，β=300°. 9.(10分)已知α=-1 910°. (1)把α写成k·360°+β(k∈Z，0°≤β<360°)的形式，并指出它是第几象限角；(4分) (2)求θ，使θ与α的终边相同，且-720°≤θ<0°.(6分) 解　(1)α=-1 910°=-6×360°+250°，它是第三象限角. (2)令θ=n·360°+250°(n∈Z)， 取n=-1，-2就得到符合-720°≤θ<0°的角. 250°-360°=-110°，250°-720°=-470°. 故θ=-110°或θ=-470°. 10.(12分)写出终边在下列各图所示阴影部分内的角的集合. 解　先写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角，则得 (1){α|k·360°+30°≤α≤k·360°+150°，k∈Z}. (2){α|k·360°-210°≤α≤k·360°+30°，k∈Z}. 11.若α是第一象限角，则下列各角中属于第四象限角的是(　　) A.90°-α B.90°+α C.360°-α D.180°+α 答案　C 解析　方法一　特例法，取α=30°，可知C正确. 方法二　因为α是第一象限角，所以k·360°<α<k·360°+90°(k∈Z)，所以270°-k·360°<360°-α<360°-k·360°(k∈Z)，故360°-α是第四象限角. 12.终边与坐标轴重合的角α的集合是(　　) A.{α|α=k·360°，k∈Z} B.{α|α=k·180°+90°，k∈Z} C.{α|α=k·180°，k∈Z} D.{α|α=k·90°，k∈Z} 答案　D 解析　终边在坐标轴上的角大小为90°的整数倍， 所以终边与坐标轴重合的角的集合为{α|α=k·90°，k∈Z}. 13.已知α为第三象限角，则是(　　) A.第一或第二象限角 B.第二或第三象限角 C.第一或第三象限角 D.第二或第四象限角 答案　D 解析　方法一　如图所示，将每个象限二等分，标号Ⅲ所在的区域即为所在的区域，故为第二或第四象限角. 方法二　∵180°+k·360°<α<270°+k·360°，k∈Z， ∴90°+k· 180°<<135°+k·180°，k∈Z. 当k=2n(n∈Z)时，90°+n·360°<<135°+n·360°， ∴为第二象限角； 当k=2n+1(n∈Z)时，270°+n·360°<<315°+n·360°， ∴为第四象限角. 综上为第二或第四象限角. 14.(5分)如图1是某小区的圆形公园，它外围有一圆形跑道，并有4个出口A，B，C，D(视为点)，并四等分圆弧(如图2).小明从A点出发，在圆形跑道上按逆时针方向作匀速圆周运动，假设他每分钟转过的圆心角为θ(0°<θ<180°)，3分钟第一次到达劣弧CD之间(不包括C，D点)，15分钟时回到出发点A，则θ的值为　　　　.  答案　72° 解析　依题意知，小明3分钟转过3θ的圆心角，且180°<3θ<270°， 所以60°<θ<90°，又15分钟时回到出发点A， 所以15θ=k·360°，k∈N，所以θ=72°. 15.(5分)(1)若角α与135°角的终边关于x轴对称，且-360°<α<360°，则α=　　　　　　；  (2)若锐角α与角9α的终边关于y轴对称，则α=　　　　　　；  (3)若角α为正角，角β为负角，且α与β的终边关于原点对称，则α-β=　　　　　　　　　　.  答案　(1)-135°或225°　(2)18°或54°　(3)(2k+1)·180°，k∈N 解析　(1)由题意得α=-135°+k·360°(k∈Z). 由-360°<-135°+k·360°<360°， 得-<k<又k∈Z， 所以k=0或1，所以α=-135°或225°. (2)由题意得9α+k·360°=180°-α，k∈Z，则α=18°-k·36°，k∈Z，又0°<α<90°， 所以当k=0时，α=18°； 当k=-1时，α=54°，所以α=18°或54°. (3)由题意得α与β的终边在同一条直线上， 又角α为正角，角β为负角， 所以α-β=180°+k·360°=(2k+1)·180°(k∈N). 16.(12分)已知α，β都是锐角，且α+β的终边与-280°角的终边相同，α-β的终边与670°角的终边相同，求角α，β的大小. 解　由题意可知α+β=-280°+k·360°，k∈Z. ∵α，β为锐角，∴0°<α+β<180°. 取k=1，得α+β=80°， ① α-β=670°+k·360°，k∈Z. ∵α，β为锐角，∴-90°<α-β<90°. 取k=-2，得α-β=-50°， ② 由①②得α=15°，β=65°. 学科网（北京）股份有限公司 $