7.2.2 同角三角函数关系-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第一册教用word（苏教版）

本讲义聚焦高中数学同角三角函数关系核心知识点，从三角函数定义（单位圆交点坐标）切入，通过特殊角函数值观察、单位圆几何验证，构建平方关系（sin²α + cos²α = 1）与商数关系（tanα = sinα/cosα），形成“定义-探究-应用”学习支架，为三角恒等变换奠定基础。 资料以探究式设计为主线，通过特殊角表格观察与单位圆验证，引导学生用数学眼光抽象数量关系，培养几何直观。例题分类聚焦求值（象限讨论）、化简（公式变形）、证明（多法推理），提升数学思维中的运算与推理能力。分层检测满足不同需求，课中助力教师授课，课后便于学生巩固查漏。

7.2.2 同角三角函数关系 新课导入 设角 的终边与单位圆交于点，根据三角函数的定义知 ， ， .能否根据，的关系得到 ， ， 间的联系？它们之间到底有什么样的联系，就让我们一起去探索发现！ 学习目标 1.理解同角三角函数基本关系式. 2.能正确运用同角三角函数的基本关系进行求值、化简和证明. 新知学习 探究 一 同角三角函数的基本关系 思考1．观察下表，你能发现什么？ 0 0 1 1 0 0 1 不存在 提示 对于表格中的几个角，同一个角的正弦与余弦的比值等于正切，正弦与余弦的平方和等于1. 思考2．如图,设点是角 的终边与单位圆的交点.你能验证思考1的猜想吗？ 提示 若余弦不为0，则正切等于正弦比余弦，即； 因为点在单位圆上，则由勾股定理得，即. ［知识梳理］ 类别 关系式 文字表述 平方关系 同一个角 的正弦、余弦的①_ _ _ _ _ _ 等于1 商数关系 , 同一个角 的正弦、余弦的②_ _ _ _ 等于角 的③_ _ _ _ 【答案】平方和； 商； 正切 点拨 基本关系式的变形公式 ［例1］ （对接教材例5、例6） （1） 已知，并且 是第二象限角，求 和 ; （2） 已知，求 和 的值． 【答案】 （1） 【解】 ， 又 是第二象限角， 所以，. （2） 由，可得 . 又，故，解得. 又由，知 是第一或第三象限角． 当 是第一象限角时，则，；当 是第三象限角时，则，. 求三角函数值的方法 （1）已知 或 ,求 常用以下方法求解： （2）已知 ,求 或 常用以下方法求解： （3）在 ， ， 三个式子中，已知其中一个，可以求其他两个，即“知一求二”，它们之间的关系为 . ［跟踪训练1］． （1） （多选）已知，，则下列等式正确的是 （ ） A. B. C. D. （2） 若，，则_ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】（1） ABD （2） 【解析】 （1） 选.因为，则. 对于，，可得，正确； 对于，由 选项可知，，则，所以，则，正确； 对于，联立 可得 则，不正确； 对于，，正确.故选. （2） 由题意可得， 解得,又，所以，所以,,因此，故. 二 利用同角三角函数的关系式化简 ［例2］ （对接教材例7）化简下列各式： （1） ; （2） . 【答案】（1） 【解】原式. （2） 原式 . 三角函数式的化简技巧 （1）化切为弦,即把正切函数都化为正弦、余弦函数,从而减少函数名称,达到化简的目的. （2）对于含有根号的,常把根号里面的部分化成完全平方式,然后去根号,达到化简的目的. （3）对于化简含高次的三角函数式,往往借助于因式分解,或构造,以降低函数次数,达到化简的目的. ［跟踪训练2］．若 为第二象限角，则 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】因为 为第二象限角，所以， 原式 . 三 利用同角三角函数关系证明 ［例3］ 求证：. 【证明】 方法一： 左边, 右边. 因为, 所以, 所以左边 右边. 所以原等式成立. 方法二：因为右边 左边, 所以原等式成立. 证明三角恒等式常用的方法 （1）从一边开始,证得它等于另一边,一般是由比较复杂的一边开始化简到另一边,其依据是相等关系的传递性. （2）左右归一法：即证明左右两边都等于同一个式子,其依据是等于同一个量的两个量相等. （3）比较法：即证左边-右边或证. （4）综合法：即由一个已知成立的等式（如公式等）恒等变形得到所要证明的等式,其依据是等价转化的思想. ［跟踪训练3］．求证：. 证明：左边 右边. 所以原等式成立. 课堂巩固 自测 1．已知，,，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】选.因为,，故，则. 2．已知 是第三象限角，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】选.因为,所以,即,又,解得.又 是第三象限角,所以,所以.故选. 3．化简_ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】原式 . 4．已知，,则_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】由 得， ， 解得； 由 得，, 又因为,且, 所以,,即, 所以, 则. 1.已学习：同角三角函数基本关系式. 2.须贯通：同角三角函数关系的应用：化简、求值和证明. 3.应注意：若角 的范围无法确定，则一定要对 所在象限分类讨论. 课后达标 检测 A 基础达标 1．已知，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】选.因为，,， 所以，所以. 2．已知，则（ ） A. B. C. D. 3 【答案】C 【解析】选.依题意有，解得. 3．已知 是第二象限角，则（ ） A. 1 B. C. 1或 D. 2 【答案】B 【解析】选.因为 是第二象限角，则， 所以原式. 4．若,，,则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】选.因为，故，即 ，所以，因为,，故，.故. 5．化简（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】选.原式. 6．[（2025·徐州月考）]（多选）已知，，则下列结论正确的是（ ） A. 为第二象限角 B. 是第一象限或第三象限角 C. D. 【答案】AD 【解析】选.因为，，所以 ， 为第二象限角，正确；由上知，，是第一象限角，错误；因为，，所以，所以，错误；由上知，，正确.故选. 7．若 是第三象限角且,则_ _ _ _ _ _ ,_ _ _ _ . 【答案】； 【解析】因为 是第三象限角且, 所以, 所以. 8．若，，则_ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】0或 【解析】由已知可得，， 所以，整理可得，解得 或. 当 时，，，；当 时，，，. 综上所述，或. 9．已知，则_ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】因，， 则原式 . 10．（13分）在平面直角坐标系中，已知角 的终边经过点，其中. （1） 求 的值；（6分） （2） 若 为第二象限角，求的值.（7分） 【答案】 （1） 解：因为,,所以 为坐标原点，当 时，； 当 时，， 综上，当 时，； 当 时，. （2） 因为 为第二象限角，所以，， 则， 所以. B 能力提升 11．（多选）下列计算或化简，结果正确的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】选.对于，，故 正确； 对于， ，故 正确； 对于，若，则，故 错误； 对于，若，则，故 正确.故选. 12．已知，则_ _ _ _ _ _ ，_ _ _ _ _ _ . 【答案】； 【解析】， . 13．（15分） （1） 证明： ;（7分） （2） 化简：.（8分） 【答案】 （1） 证明：左边 右边. 即原式成立. （2） 解：原式 . 14．[（2025·常州月考）]（15分）已知 ， 是关于的一元二次方程的两根. （1） 求 的值；（4分） （2） 求的值；（5分） （3） 若 ，求 的值.（6分） 【答案】 （1） 解：因为 ， 是关于 的一元二次方程 的两根， 所以. （2） 由（1）得，，且， 所以， 所以，得，满足， 所以. （3） 由（2）可得， ， 因为 ，所以,， 所以 . C 素养拓展 15．1626年，阿贝尔特格洛德最早推出简写的三角符号：、、（正割），1675年，英国人奥屈特最早推出余下的简写三角符号：、、（余割），但直到1748年，经过数学家欧拉的引用后，才逐渐通用起来，其中，，若,，且，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】选.由题意, ,且,可得,两边平方，可得 , 即，可得 ，解得. 学科网（北京）股份有限公司 $