7.1.2 弧度制-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第一册教用word（苏教版）

本讲义聚焦弧度制核心知识点，从生活中弧度现象导入，通过思考1度角规定、弧长与半径比值关系等问题，逐步构建弧度制概念，系统梳理角度与弧度互化方法、用弧度制表示终边相同的角及扇形弧长与面积公式，形成完整知识支架。 资料特色鲜明，导入联系海浪、嘴角弧度等生活实例，引导学生用数学眼光观察现实世界。通过探究弧长与半径比值关系培养推理能力，体现数学思维，例题与跟踪训练结合，分层检测助力巩固，课中辅助教学，课后帮助学生查漏补缺，提升用数学语言表达和解决问题的能力。

7.1.2 弧度制 新课导入 弧度是非常简单的形状，也正是因为有了弧度，世界才完美，比如：海浪因弧度而活跃；嘴角因弧度而美丽；月有阴晴圆缺，正因有弧度而富有神韵……而在我们数学中，正是因为弧度的引入，给数学学科带来了巨大的改变． 学习目标 1.理解弧度制的概念，掌握角度与弧度之间的互化. 2.能用弧度制表示终边相同的角. 3.掌握弧度制下扇形的弧长与面积公式. 新知学习 探究 一 弧度制 思考1．在初中学过的角度中，1度的角是如何规定的？ 提示 1度的角等于周角的. 思考2．射线绕端点旋转到形成角 ，在旋转过程中，射线上的两点，（不同于点）形成的轨迹的长度为，，其中，，在旋转过程中，弧长与半径的比值和弧长与半径的比值有何关系？ 提示 相等.设 ，因为，所以.同理，故. ［知识梳理］ 1．度量角的两种制度 角度制 定义 用度作为单位来度量角的单位制 1度的角 周角的①_ _ _ _ _ _ _ _ 为1度的角,记作 弧度制 定义 用弧度作为角的单位来度量角的单位制 1弧度的角 长度等于②_ _ _ _ _ _ 的弧所对的圆心角叫作1弧度的角,记作（可省略不写） 【答案】； 半径长 2.弧度数的计算 3．角度与弧度的互化 角度化弧度 弧度化角度 ③_ _ _ _ ④_ _ _ _ _ _ _ _ ⑤_ _ _ _ ⑥_ _ _ _ _ _ _ _ 度 度数弧度数 弧度数度数 【答案】； ； ； ［例1］ （1） 下列说法中不正确的是（ ） A. 度与弧度是度量角的两种不同的度量单位 B. 的角是周角的,的角是周角的 C. 根据弧度的定义, 一定等于 弧度 D. 不论是用角度制还是用弧度制度量角,它们均与圆的半径长短有关 （2） （对接教材例3、例4）将下列角度与弧度进行互化： ① ； ② ； ③ ； ④ . 【答案】（1） D （2） ① 【解】. ② . ③ . ④ . 【解析】 （1） 选.根据角度制和弧度制的定义,可知无论是角度制还是弧度制,角的大小与圆的半径长短无关,只与弧长与半径的比值有关,故 不正确. （1）圆心角 所对的弧长与半径的比值与圆的半径无关,只与角 的大小有关,可用这个比值来度量圆心角. （2）角度制与弧度制的互化原则和方法 原则：牢记,充分利用和进行换算. 方法：设一个角的弧度数为 ,角度数为,则；. 注意 在表示角的时候,角的单位要统一,角度制与弧度制不能混用. ［跟踪训练1］． （1） 在大小不同的圆中,的圆心角所对的（ ） A. 弦长相等 B. 弧长相等 C. 弦长等于所在圆的半径 D. 弧长等于所在圆的半径 （2） 已知 ，，, ,,则 ， ， , , 的大小关系依次为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】（1） D （2） 【解析】 （1） 选.由弧度制的定义,1弧度的角就是所对弧长与半径之比等于1的角,所以 的圆心角所对的弧长等于所在圆的半径.故选. （2） 方法一（角度化为弧度），,因为,所以 . 方法二（弧度化为角度） ， , ,因为 ,所以 . 二 用弧度制表示角 ［例2］ 用弧度制写出终边在阴影部分的角的集合： （1） （2） 【答案】 （1） 【解】边界对应射线所在终边的角分别为，，, 所以终边在阴影部分的角的集合为 . （2） 边界对应射线所在终边的角分别为 ，， ，，, 所以终边在阴影部分的角的集合为 . 根据已知图形写出区域角的集合的步骤： （1）仔细观察图形； （2）写出区域边界作为终边时角的表示； （3）用不等式表示区域范围内的角； （4）按逆时针方向书写. ［跟踪训练2］． （1） 用弧度制表示与 角终边相同的角 的集合为（ ） A. B. C. D. （2） 用弧度表示顶点在原点，始边与轴正半轴重合，终边在图中阴影部分（包括边界）的角 的集合为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】（1） D （2） , 【解析】 （1） 选.,故与 角终边相同的角 的集合为. （2） 化成弧度为， 化成弧度为，所以终边落在阴影部分（包括边界）的角 的集合为 ,. 三 扇形的弧长与面积公式 ［知识梳理］ （是扇形所在圆的半径,为扇形的圆心角） 公式 度量制 弧长公式 扇形面积公式 角度制 弧度制 ①_ _ _ _ _ _ _ _ ②_ _ _ _ _ _ _ _ ③_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 【答案】； ； ［例3］ 已知一扇形的圆心角为 ，半径为，弧长为． （1） 若 ,,求扇形的弧长； （2） 已知扇形的周长为，面积是，求扇形的圆心角. 【答案】（1） 【解】由题意知，所以弧长． （2） 由题意得 解得 （舍去）或 故扇形的圆心角为． 母题探究．若扇形的周长为，当扇形的圆心角 为多少弧度时，这个扇形的面积最大？ 解：由题意知， 所以， 所以当 时，取得最大值，最大值为，此时，． 扇形的弧长和面积的求解策略 （1）记公式：弧度制下扇形的面积公式是（其中是扇形的弧长,是扇形的半径, 是扇形圆心角的弧度数,）. （2）找关键：涉及扇形的半径、周长、弧长、圆心角、面积等的计算问题,关键是分析题目中已知哪些量、求哪些量,然后灵活运用扇形的弧长公式、面积公式直接求解或列方程（组）求解. ［跟踪训练3 ］．已知扇形的圆心角为，半径为． （1） 若,,求扇形的周长和面积； （2） 若扇形的面积是定值，求扇形的周长最小时，圆心角 的值． 【答案】（1） 解：由题意可得扇形的周长，面积． （2） 由题意可得，则，则扇形周长为， 当且仅当，即 时等号成立， 此时． 即扇形的周长取最小值 时，． 课堂巩固 自测 1．与 终边相同的角可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】选.选项,中角的表示混合用到了角度制和弧度制,不符合要求；选项 错误,故选. 2．（多选）下列转化结果正确的是（ ） A. 化成弧度是 B. 化成角度是 C. 化成弧度是 D. 化成角度是 【答案】ACD 【解析】选. 化成弧度是，选项正确； 化成角度是 ，选项错误； 化成弧度是，选项正确； 化成角度是 ，选项正确．故选. 3．用弧度制表示终边落在轴上方的角 的集合为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】若角 的终边落在 轴上方,则. 4．[（2025·常州期末）]工艺扇面是中国书画的一种常见表现形式.如图所示，已知扇面展开后形成一个中心角为的扇环，其中扇环的外圆半径为，内圆半径为，某同学准备用布料制作这样一个扇面，若不计损耗，则需要布料_ _ _ _ _ _ ． 【答案】 【解析】由题意可知，扇环的面积为． 1.已学习：（1）弧度制的概念.（2）弧度与角度的相互转化.（3）扇形的弧长与面积的计算. 2.须贯通：能灵活进行角度与弧度的互化，使用弧度制表示角与角的集合. 3.应注意：（1）弧度与角度不能混用. （2）弧长和扇形面积公式使用的前提条件是在弧度制下. 课后达标 检测 A 基础达标 1．已知扇形的圆心角为，其弧长为 ，则此扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】选.由弧度制定义，该扇形的半径为，所以该扇形的面积为 . 2．角的终边所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】选，是第一象限角，故 是第一象限角. 3．集合中的角所表示的范围（阴影部分）是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】选.当 为偶数时，集合对应的区域为第一象限内直线 左上部分（包含边界）；当 为奇数时，集合对应的区域为第三象限内直线 的右下部分（包含边界）. 4．如图所示的时钟显示的时刻为，此时时针与分针的夹角为.若一个扇形的圆心角为 ，弧长为10，则该扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】选.由题图可知，，又已知扇形的弧长，则该扇形的半径,故扇形的面积. 5．半径为，面积为的扇形的圆心角为 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】选.设扇形的圆心角为， 由题意可知，，即，解得，所以半径为，面积为 的扇形的圆心角为. 6．[（2025·淮安月考）]（多选）若角 的终边与角的终边关于轴对称，且，则 的值可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】选.因为角 的终边与角 的终边关于 轴对称，所以 ,， 又因为，所以当 时,；当 时，．故选． 7． 化为弧度为_ _ _ _ _ _ _ _ ，化为度为_ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】； 【解析】 ； . 8．已知扇形的面积为，圆心角为 ，则该扇形的弧长为_ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】设扇形的半径为，弧长为，圆心角为，由题意可得，所以，，解得. 9．分别以边长为1的正方形的顶点，为圆心，1为半径作圆弧，交于点，则曲边三角形的周长为_ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】如图，连接,，得 为正三角形，所以. 又， 所以曲边三角形 的周长为. 10．（13分）如图，用弧度表示顶点在原点，始边重合于轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合（不包括边界）． （1） （2） 【答案】（1） 解：以 为终边的角为；以 为终边的角为，所以题图1中阴影部分内的角的集合为 ，. （2） 以 为终边的角为；以 为终边的角为． 不妨设题图2中右边阴影部分所表示的集合为，左边阴影部分所表示的集合为， 则 ，， ，． 所以题图2中阴影部分内的角的集合为 或 ，. B 能力提升 11．如图所示，已知的一条劣弧的长等于该圆内接正三角形的边长，则从顺时针旋转到所形成的角 的弧度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】选.设 的半径为，劣弧 的长为,过圆心 作 于点，则 为 边的中点． 因为， ,， 所以边长， 所以劣弧 的长． 又 是负角， 所以.故选. 12．（多选）下列说法正确的是（ ） A. 终边在轴上的角的集合是 ,} B. 终边在第二象限的角的集合为 , C. 终边在轴上的角的集合是, D. 终边在直线上的角的集合是, 【答案】ABC 【解析】选 显然正确； 对于，，终边在 轴上的角的集合为 ,},终边在 轴上的角的集合为，故，正确； 对于，终边在直线 上的角的集合为 或， 其并集为，故 不正确. 13．（13分）已知角 ． （1） 将 改写成的形式，并指出 是第几象限角；（6分） （2） 在区间上找出与 终边相同的角．（7分） 【答案】 （1） 解：， 又 ，所以 ， 所以 与 的终边相同，又， 因此 是第三象限角． （2） 与 终边相同的角可以写成 ,，又， 所以当 时， ； 当 时， ； 当 时， . 所以在区间 上与 终边相同的角为 , , . 14．（15分）如图，动点，从点出发，沿圆周运动，点按逆时针方向每秒钟转，点按顺时针方向每秒钟转，求，第一次相遇时所用的时间及，点各自走过的弧长. 解：如图，设，第一次在 点相遇，相遇时所用的时间是 秒，则 ，解得, 即，第一次相遇时所用的时间为4秒. P点走过的弧长为， Q点走过的弧长为. C 素养拓展 15．密位制是度量角的一种方法.把一周角等分为6 000份，每一份叫做1密位的角.以密位作为角的度量单位，这种度量角的单位制，叫做角的密位制.在角的密位制中，采用四个数码表示角的大小，单位名称密位二字可以省略不写.密位的写法是在百位数字与十位数字之间画一条短线，如7密位写成“”，478密位写成“”，1周角等于6 000密位，记作1周角，1直角，如果一个半径为3的扇形的面积为 ，则其圆心角用密位制表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】选.依题意，设扇形的圆心角为 ， 所对的密位为， 则 ，解得 ， 由题意可得， 解得， 因此该扇形圆心角用密位制表示为． 学科网（北京）股份有限公司 $