第6章 章末复习课 幂函数、指数函数和对数函数（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（苏教版）

该高中数学单元复习讲义通过知识网络框架图系统构建了幂函数、指数函数与对数函数的知识体系，按“图象特征-性质应用-综合解题”逻辑梳理要点，清晰呈现各函数图象与单调性、奇偶性等性质的内在联系及重难点分布。 讲义亮点在于“例题-反思-跟踪”的分层练习设计，如例1通过幂函数图象特征求参数值，例3结合对数函数性质比较大小，培养直观想象与逻辑推理素养。反思感悟总结比较大小的构造函数法等技巧，基础学生可掌握方法，优秀学生能深化思维，助力教师实施精准复习教学。

一、幂函数 幂函数的图象及应用是考查重点，主要应用有两方面：一是识图或用图，二是单调性的应用，渗透直观想象与逻辑推理的核心素养. 例1　(1)若函数y=(m∈Z)的图象如图所示，则m的值为　　　　. 答案　1 解析　由图象可知，m2-2m-3为负偶数， 且m∈Z，所以m=1. (2)实数1.0.0.的大小关系是　　　　　　　　　　.  答案　0.<0.<1. 解析　∵y=是增函数， 而0.=0.7<<1.7， ∴0.<0.<1.. 反思感悟　幂函数y=xα的图象与性质由于α的值不同而比较复杂，一般从两个方面考查 (1)α的正负：当α>0时，图象过原点和(1，1)，在第一象限的图象上升；当α<0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立. (2)比较大小的基本题型，关键在于构造适当的函数，若指数相同而底数不同，则考虑幂函数；若指数不同底数相同，则考虑指数函数；若底数不同，指数也不同，则需引入中间量.可以利用幂函数与指数函数的单调性，也可以借助幂函数与指数函数的图象进行判断. 跟踪训练1　已知函数f(x)=在(-∞，0)上单调递增，在(0，+∞)上单调递减，则最小的正整数a=　　　　.  答案　3 解析　∵f(x)在(0，+∞)上是单调递减， ∴<0，∴a>1. 又∵f(x)在(-∞，0)上单调递增，且在(0，+∞)上单调递减，∴f(x)为偶函数，∴1-a为负偶数， ∴a为奇数，∴最小的正整数a=3. 二、指数函数、对数函数的图象及其应用 1.指数函数、对数函数的图象及应用有两个方面：一是已知函数解析式求作函数图象，即“知式求图”；二是判断方程的根的个数时，通常不具体解方程，而是转化为判断指数函数、对数函数等图象的交点个数问题. 2.掌握指数函数、对数函数图象的作法以及简单的图象平移翻折变换，提升直观想象和逻辑推理素养. 例2　(1)已知a>0且a≠1，则函数f(x)=ax和g(x)=loga的图象只可能是(　　) 答案　C 解析　函数g(x)的定义域是(-∞，0)，排除A，B， 若0<a<1，则f(x)=ax是减函数， 此时g(x)=loga是减函数，C，D都不满足；若a>1，则f(x)=ax是增函数， 此时g(x)=loga是增函数，C满足. (2)已知函数f(x)=若方程f(x)-k=0有3个根，则实数k的取值范围是(　　) A.[0，1] B.(0，1) C.(0，1] D.[1，+∞) 答案　C 解析　方程f(x)-k=0有3个根，即函数f(x)的图象与直线y=k有3个不同的交点.作出函数f(x)的图象，如图所示.根据图象可得，当0<k≤1时，函数f(x)的图象与直线y=k有3个不同的交点，所以实数k的取值范围是(0，1]. 反思感悟　指数函数、对数函数图象既是直接考查的对象，又是数形结合求交点、最值、解不等式的工具，所以要能熟练画出这两类函数图象，并会进行平移、对称、翻折等变换. 跟踪训练2　若函数f(x)=loga(x+b)(a>0且a≠1，b∈R)的大致图象如图，则函数g(x)=a-x-b的大致图象是(　　) 答案　C 解析　由题意，根据函数f(x)=loga(x+b)的图象，可得0<a<1，0<b<1， 则g(x)=a-x-b在R上单调递增，又g(0)=1-b∈(0，1)，只有选项C符合. 三、指数函数、对数函数的性质及其应用 1.以函数的性质为依托，结合运算考查函数的图象性质，以及利用性质进行大小比较、方程和不等式求解，解决与指数、对数函数有关的复合函数等问题. 2.掌握指数函数、对数函数的图象及性质，重点提升数学运算和逻辑推理素养. 例3　(1)设a=log2π，b=loπ，c=π-2，则(　　) A.a>b>c B.b>a>c C.a>c>b D.c>b>a 答案　C 解析　∵a=log2π>log22=1， b=loπ<lo1=0， c=π-2=即0<c<1，∴a>c>b. (2)已知函数f(x)=log2(a∈R)是奇函数. ①求a的值； ②对任意的x∈(-∞，0)，不等式f(2x+1)>log2(m-2x)恒成立，求实数m的取值范围. 解　①方法一　令+1>0，则>0. ∴x<-a-1或x>-a. ∵f(x)是奇函数， ∴其定义域关于原点对称，∴-a-1-a=0， ∴a=-. 验证当a=-时，f(x)=log2 则f(-x)=log2=log2=-f(x)， ∴f(x)是奇函数，综上，a=-. 方法二　f(x)=log2=log2 则>0， 解得f(x)的定义域为 A= ∵f(x)是奇函数， 故∀x∈A，f(-x)+f(x)=0， 即log2+log2 =log2=0， ∴=1， 即(a+1)2-x2=a2-x2，解得a=- 则定义域A=∪关于原点对称， ∴f(x)是奇函数，符合题意，∴a=-. ②由①得f(2x+1)>log2(m-2x)， 即log2>log2(m-2x)， 整理得m<2x+++ 令u=2x+x∈(-∞，0)， ∴u∈令g(u)=u++. 易知g(u)≥当且仅当u= 即u=1时取等号，∴m< 又由m-2x>0，得m>2x，故m≥1， ∴实数m的取值范围是. 反思感悟　要熟练掌握指数函数、对数函数的图象和性质.方程、不等式的求解可利用单调性进行转化，大小比较问题可直接利用单调性和中间值解决；研究复合函数的奇偶性、单调性时勿忘定义域. 跟踪训练3　(1)若0<x<y<1，则(　　) A.3y<3x B.logx3<logy3 C.log4x<log4y D.< 答案　C 解析　因为0<x<y<1，则 对于A，函数y=3x是增函数，故3x<3y， A错误； 对于B，根据底数a对对数函数y=logax的影响：当0<a<1时，在x∈(1，+∞)上“底小图高”.因为0<x<y<1，所以logx3>logy3，B错误； 对于C，函数y=log4x在(0，+∞)上单调递增，故log4x<log4y，C正确； 对于D，函数y=是减函数， 故>D错误. (2)已知a>0，a≠1且loga3>loga2，若函数f(x)=logax在区间[a，3a]上的最大值与最小值之差为1. ①求a的值； ②若1≤x≤3，求函数y=(logax)2-loga+2的值域. 解　①因为loga3>loga2，所以a>1， 所以f(x)=logax在[a，3a]上单调递增.又f(x)在[a，3a]上的最大值与最小值之差为1， 所以loga(3a)-logaa=1， 即loga3=1，所以a=3. ②函数y=(log3x)2-log3+2 =(log3x)2-log3x+2=+. 令t=log3x， 因为1≤x≤3， 所以0≤log3x≤1，即0≤t≤1. 所以y=+∈ 所以所求函数的值域为. 学科网（北京）股份有限公司 $