第6章 培优课 与指数函数、对数函数有关的复合函数（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（苏教版）

本讲义聚焦高中数学中与指数、对数函数有关的复合函数，系统梳理其单调性判断、值域与最值求解、奇偶性判定等核心知识点，通过换元法将复杂复合函数转化为简单初等函数，构建从基础函数性质到复合函数综合应用的学习支架。 资料以例题解析为核心，搭配跟踪训练与课时对点练，注重引导学生用数学眼光抽象问题本质，用数学思维推理判断（如单调性分析中强调定义域与“同增异减”原则），用数学语言规范表达解题过程。课中辅助教师高效授课，课后助力学生巩固提升，有效弥补知识盲点。

培优课　与指数函数、对数函数有关的复合函数 与指数函数、对数函数有关的复合函数，主要是指数函数、对数函数与一次函数、二次函数复合成的新函数，求新函数的单调性、奇偶性、最值、值域等问题，一般采用换元思想，把复杂的复合函数化成简单的初等函数. 一、复合函数单调性的判断与应用 例1　(1)讨论函数f(x)=loga(3x2-2x-1)的单调性. 解　由3x2-2x-1>0得函数的定义域为 . 则当a>1时， 若x>1，则u=3x2-2x-1是增函数， ∴f(x)=loga(3x2-2x-1)是增函数； 若x<-则u=3x2-2x-1是减函数， ∴f(x)=loga(3x2-2x-1)是减函数. 当0<a<1时， 若x>1，则f(x)=loga(3x2-2x-1)是减函数； 若x<-则f(x)=loga(3x2-2x-1)是增函数. 综上所述，当a>1时，函数f(x)在(1，+∞)上单调递增，在上单调递减；当0<a<1时，函数f(x)在(1，+∞)上单调递减，在上单调递增. (2)已知函数y=lo(x2-ax+a)在区间(-∞)上是增函数，求实数a的取值范围. 解　令g(x)=x2-ax+a， 则g(x)在上单调递减， ∵0<<1， ∴y=log(x)是关于g(x)的减函数. 而已知复合函数y=lo(x2-ax+a)在区间(-∞)上单调递增， ∴只要g(x)在(-∞)上单调递减， 且g(x)>0在x∈(-∞)上恒成立， 即 ∴2≤a≤2+2， 故实数a的取值范围是[22+2]. 反思感悟　(1)形如函数y=logaf(x)的单调性判断 首先要求定义域，在定义域内，当a>1时，y=logaf(x)的单调性与y=f(x)的单调性保持一致；当0<a<1时，y=logaf(x)的单调性与y=f(x)的单调性相反. (2)已知复合函数的单调性求参数的取值范围要注意 ①函数的定义域. ②遵循“同增异减”原则. ③区别“在区间[a，b]上单调递增(减)”与“增(减)区间是[a，b]”. (3)对数型复合函数一般可分为两类：一类是对数函数为外函数，即y=logaf(x)(a>0，a≠1)型；另一类是对数函数为内函数，即y=f(logax)(a>0，a≠1)型. 跟踪训练1　(1)函数y=lo(-x2+2x+3)的增区间是(　　) A.(-1，1] B.(-∞，1) C.[1，3) D.(1，+∞) 答案　C 解析　由题意得，要使函数y=lo(-x2+2x+3)有意义，则要满足-x2+2x+3>0， 解得-1<x<3， 即函数的定义域为(-1，3)， 令g(x)=-x2+2x+3，则g(x)在区间(-1，1]上单调递增，在区间[1，3)上单调递减， 又由函数y=log(x)在定义域上单调递减， 所以y=lo(-x2+2x+3)的增区间为[1，3). (2)已知函数f(x)=e|x-a|(a为常数)，若f(x)在区间(-∞，1]上单调递减，则a的取值范围是　　　　.  答案　[1，+∞) 解析　由函数f(x)=e|x-a|(a为常数)， 且f(x)在区间(-∞，1]上单调递减， 得t=|x-a|在区间(-∞，1]上单调递减， 又函数t=|x-a|在区间(-∞，a]上单调递减， 所以(-∞，1]⊆(-∞，a]，故有a≥1. 即a的取值范围为[1，+∞). 二、复合函数的值域与最值问题 例2　(1)求函数y=lo(3+2x-x2)的值域. 解　设u=3+2x-x2=-(x-1)2+4≤4. ∵u>0，∴0<u≤4. 又y=lou在(0，4]上单调递减， ∴lou≥lo4=-2， ∴y=lo(3+2x-x2)的值域为[-2，+∞). (2)求函数y=(lox)2-lox+5在区间[2，4]上的最大值和最小值. 解　因为2≤x≤4，所以lo4≤lox≤lo2， 即-2≤lox≤-1. 设t=lox，则-2≤t≤-1. 所以y=t2-t+5，其图象的对称轴为直线t=所以当t=-2时，ymax=10； 当t=-1时，ymin=. 反思感悟　求复合函数的最值 (1)首先恰当地把复合函数分解为两个或多个基本函数. (2)然后按照“由内到外”的原则，利用函数的性质求最值. 跟踪训练2　(1)函数y=的值域为　　　　.  答案　(0，2] 解析　∵1-x2≤1， ∴≤21=2， ∴0<y≤2，故y=的值域为(0，2]. (2)函数f(x)=log3(x2+2x+4)的最小值为　　　　.  答案　1 解析　令u=x2+2x+4， 则u=(x+1)2+3≥3， 所以log3(x2+2x+4)≥log33=1， 即函数f(x)=log3(x2+2x+4)的最小值为1. 三、判断复合函数的奇偶性 例3　(1)判断函数f(x)=loga(x+)(a>0且a≠1)的奇偶性，并说明理由. 解　函数f(x)=loga(x+)为奇函数，理由如下： 由题意得，x+>0恒成立，故f(x)的定义域为R，关于原点对称， f(-x)+f(x) =loga(-x+)+loga(x+) =loga(x2+1-x2)=loga1=0， 即f(-x)=-f(x)，故f(x)是奇函数. (2)若函数f(x)=2x+为偶函数，则a=　　　　.  答案　1 解析　函数的定义域为R，关于原点对称.任取x∈R，f(-x)=2-x+=+a·2x.因为f(x)是偶函数，所以f(x)=f(-x)，则有a=1. 反思感悟　本题考查函数奇偶性的应用，以及不等式恒成立问题，将恒成立问题转化为最值问题是关键，另外要注意对数的真数部分也要恒大于零. 跟踪训练3　(1)若a>0且a≠1，则函数f(x)=+是(　　) A.奇函数 B.偶函数 C.不是奇函数也不是偶函数 D.奇偶性与a的具体取值有关 答案　B 解析　函数f(x)的定义域为{x|x≠0}，f(-x)=-=-=-=+=f(x)，故函数f(x)为偶函数. (2)已知函数f(x)=ln是奇函数，则k的值为　　　　.  答案　1 解析　因为函数f(x)=ln是奇函数， 所以f(x)+f(-x)=ln+ln =ln=ln=0， 所以=1，即k2x2-1=x2-1， 即(k2-1)x2=0， 所以k2=1，解得k=±1. 当k=-1时=-1，不符合题意， 当k=1时，f(x)=ln 定义域为(-∞，-1)∪(1，+∞)，关于原点对称，f(x)为奇函数，故k的值为1. 1.知识清单： (1)指数、对数型函数的单调性. (2)指数、对数型函数的值域和最值问题. (3)指数、对数型函数的奇偶性. 2.方法归纳：换元法. 3.常见误区：求对数型函数的单调性易忽视定义域. 课时对点练 [分值：80分] 一、单项选择题(每小题5分，共25分) 1.若函数f(x)=3(2a-1)x+3是减函数，则实数a的取值范围为(　　) A. B. C.∪(1，+∞) D. 答案　B 解析　令u=(2a-1)x+3，由于函数f(x)=3(2a-1)x+3是减函数，函数y=3u是增函数，则函数u=(2a-1)x+3为减函数，所以2a-1<0，解得a<. 2.函数f(x)=-+1在[-1，2]上的最小值是(　　) A.1 B. C. D.3 答案　C 解析　由题意，得函数f(x)=-+1=-+1， 设t=因为x∈[-1，2]， 所以t=∈ 则函数y=t2-t+1=+ 当t=时，ymin=. 3.对于函数f(x)=下列描述正确的选项是(　　) A.是减函数且值域为(-1，1) B.是增函数且值域为(-1，1) C.是减函数且值域为(-∞，1) D.是增函数且值域为(-∞，1) 答案　B 解析　函数f(x)==1- 因为函数y=3x>0且是增函数， 所以y=是减函数， 所以f(x)为增函数， 又3x∈(0，+∞)， 所以3x+1∈(1，+∞)∈(0，2)，所以f(x)=1-∈(-1，1)，即f(x)的值域为(-1，1). 4.函数f(x)=(log2x)2-log2x3+4，x∈(1，4]的值域为(　　) A.[2，4) B. C. D. 答案　C 解析　令t=log2x， 则t∈(0，2]， ∴原函数化为y=t2-3t+4，t∈(0，2]， 其对称轴方程为t=∴当t=时， ymin=-3×+4=； 当t=0时，ymax=4，但取不到. ∴f(x)的值域为. 5.已知偶函数f(x)在区间[0，+∞)上单调递增，则满足f(log2x)>f(2)的x的取值范围是(　　) A.(-4，4) B.∪(4，+∞) C. D.∪(4，+∞) 答案　B 解析　由于函数y=f(x)是偶函数， 由f(log2x)>f(2)，得f(|log2x|)>f(2)， 又∵函数y=f(x)在区间[0，+∞)上单调递增， ∴|log2x|>2， 即log2x<-2或log2x>2， 解得0<x<或x>4. 因此，所求x的取值范围是∪(4，+∞). 二、多项选择题(每小题6分，共18分) 6.如果函数f(x)=loga|x-1|在(0，1)上单调递减，那么(　　) A.f(x)在(1，+∞)上单调递增且无最大值 B.f(x)在(1，+∞)上单调递减且无最小值 C.f(x)在定义域内是偶函数 D.f(x)的图象关于直线x=1对称 答案　AD 解析　由|x-1|>0得， 函数y=loga|x-1|的定义域为{x|x≠1}. 设g(x)=|x-1|= 则g(x)在(-∞，1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增，且g(x)的图象关于直线x=1对称， 所以f(x)的图象关于直线x=1对称，D正确； 因为f(x)=loga|x-1|在(0，1)上单调递减， 所以a>1， 所以f(x)=loga|x-1|在(1，+∞)上单调递增且无最大值，A正确，B错误； 又f(-x)=loga|-x-1|=loga|x+1|≠f(x)， 所以C错误. 7.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y=[x]称为高斯函数，例如：[-3.5]=-4，[2.1]=2.已知函数f(x)=-则关于函数g(x)=[f(x)]的叙述中正确的是(　　) A.g(x)是偶函数 B.f(x)是奇函数 C.f(x)是增函数 D.g(x)的值域是{-1，0，1} 答案　BC 解析　∵g(1)=[f(1)]==0， g(-1)=[f(-1)]==-1， ∴g(-1)≠g(1)，则g(x)不是偶函数， 故A错误； ∵f(x)=-的定义域为R， f(-x)+f(x)=+-1=+-1=-1=0， ∴f(x)为奇函数，故B正确； ∵f(x)=-=-=- 又y=2x是增函数， ∴f(x)=-是增函数， 故C正确； ∵2x>0，∴1+2x>1， 则0<<1， 可得-<-<. 即-<f(x)< ∴g(x)的值域是{-1，0}，故D错误. 8.已知函数f(x)=ln|1+x|-ln|1-x|，则下列有关该函数叙述正确的有(　　) A.f(x)是偶函数 B.f(x)是奇函数 C.f(x)在(-1，1)上单调递增 D.f(x)在(-∞，-1)和(1，+∞)上单调递减 答案　BCD 解析　函数f(x)=ln|1+x|-ln|1-x|，由解得x≠±1， 因此f(x)的定义域为(-∞，-1)∪(-1，1)∪(1，+∞)，关于原点对称， 则f(-x)=ln|1-x|-ln|1+x|=-f(x)， 所以函数f(x)是奇函数，不是偶函数，A错误，B正确； 函数f(x)=ln=ln 当-1<x<1时，f(x)=ln函数y=-1在(-1，1)上单调递增， 于是f(x)在(-1，1)上单调递增，C正确； 当x<-1或x>1时，f(x)=ln函数y=1+在(-∞，-1)和(1，+∞)上单调递减，于是f(x)在(-∞，-1)和(1，+∞)上单调递减，D正确. 三、填空题(每小题5分，共10分) 9.设函数f(x)=-若f(2m-1)+f(m-2)<0，则实数m的取值范围是　　　　.  答案　(1，+∞) 解析　∵函数的定义域为R， f(-x)=-=-=-=-+=-f(x)， ∴f(x)为奇函数，又f(x)为减函数， 由f(2m-1)+f(m-2)<0， 得f(2m-1)<-f(m-2)=f(2-m)， ∴2m-1>2-m，解得m>1. 10.函数f(x)=log2(-x2+ax+2)在(1，2)上单调递减，则实数a的取值范围是　　　　　　.  答案　[1，2] 解析　令t=-x2+ax+2，而y=log2t为增函数， 所以f(x)=log2(-x2+ax+2)在(1，2)上单调递减等价于t=-x2+ax+2在(1，2)上单调递减，且t=-x2+ax+2>0恒成立， 即解得1≤a≤2. 四、解答题(共27分) 11.(13分)已知函数f(x)=log2. (1)判断函数f(x)的奇偶性；(4分) (2)讨论f(x)的单调性；(4分) (3)解不等式f(2x)>f(1-x).(5分) 解　(1)由>0得-1<x<1，所以函数f(x)的定义域为(-1，1)，关于原点对称， 又因为f(-x)=log2=log2 =-log2=-f(x)， 故函数f(x)为奇函数. (2)设任意x1，x2∈(-1，1)，x1<x2， 则1-x2>0，1+x1>0， f(x1)-f(x2)=log2-log2 =log2 又(1+x1)(1-x2)-(1-x1)(1+x2)=2(x1-x2)<0，(1+x1)(1-x2)>0， 则0<(1+x1)(1-x2)<(1-x1)(1+x2)， 则0<<1， 即log2<0， 即f(x1)<f(x2)，故f(x)在(-1，1)上单调递增. (3)由(2)知，函数f(x)在(-1，1)上单调递增， 所以由f(2x)>f(1-x)，可得 解得<x< 所以不等式的解集为. 12.(14分)已知函数f(x)=ln(ax2+2x+1). (1)若f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围；(7分) (2)若f(x)的值域为R，求实数a的取值范围.(7分) 解　(1)由f(x)的定义域为R， 得ax2+2x+1>0恒成立， 当a=0时，由2x+1>0， 解得x>-不符合题意； 当a≠0时， 由得a>1. 即实数a的取值范围为(1，+∞). (2)因为f(x)的值域为R， 所以{y|y=ax2+2x+1}⊇(0，+∞)， (也可以说y=ax2+2x+1取遍一切正数) ①当a=0时，y=2x+1可以取遍一切正数，符合题意； ②当a≠0时，需 即0<a≤1. 综上，实数a的取值范围为[0，1]. 学科网（北京）股份有限公司 $