第6章 §6.2 第2课时 指数函数图象与性质的综合应用（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（苏教版）

本讲义聚焦指数函数图象与性质的综合应用，系统梳理图象变换（平移、对称、翻折）、指数型函数单调性（复合函数分解与判断）、实际应用（复利、增长率模型）等核心知识点，构建“图象变换—性质应用—实际建模”的递进学习支架。 通过“例题解析—反思感悟—跟踪训练”三层设计，以例1表格对比培养数学眼光，例2复合函数推理发展数学思维，例3储蓄问题建模强化数学语言。课中助力教师分层教学，课后学生可借课时对点练巩固，有效查漏补缺。

第2课时　指数函数图象与性质的综合应用 学习目标　1.掌握与指数函数有关的图象变换.2.会判断指数型函数的单调性.3.掌握指数函数的实际应用. 一、与指数函数有关的图象变换 例1　(课本例3)说明下列函数的图象与指数函数y=2x的图象的关系，并画出它们的示意图： (1)y=2x-2； (2)y=2x+2. 解　比较函数y=2x与函数y=2x-2，y=2x+2的取值关系，如表所示. x y=2x-2 y=2x y=2x+2 ︙ ︙ ︙ ︙ -4 2-6 2-4 2-2 -3 2-5 2-3 2-1 -2 2-4 2-2 20 -1 2-3 2-1 21 0 2-2 20 22 1 2-1 21 23 2 20 22 24 ︙ ︙ ︙ ︙ 一般地，因为函数y=2x-2中x=a+2对应的y值与函数y=2x中x=a对应的y值相等，所以将指数函数y=2x的图象向右平移2个单位长度，就得到函数y=2x-2的图象. 同样的，因为函数y=2x+2中x=a-2对应的y值与函数y=2x中x=a对应的y值相等，所以将指数函数y=2x的图象向左平移2个单位长度，就得到函数y=2x+2的图象. 这些函数的图象如图所示. 例1　利用函数f(x)=的图象，作出下列各函数的图象：①f(x-1)；②f(x)+1；③-f(x)；④f(-x)；⑤-f(-x)；⑥f(|x|)；⑦|f(x)-1|. 解　 反思感悟　图形变换 (1)平移变换 y=f(x)y=f(x+a)， y=f(x)y=f(x)+k. (2)对称变换 y=f(x)y=-f(x)， y=f(x)y=f(-x)， y=f(x)y=-f(-x). (3)翻折变换 y=f(x)y=|f(x)|， y=f(x)y=f(|x|). 跟踪训练1　已知函数y=3x的图象，怎样变换得到y=+2的图象？并画出相应图象. 解　y=+2 =3-(x+1)+2. 作函数y=3x关于y轴的对称图象，得函数y=3-x的图象，再向左平移1个单位长度就得到函数y=3-(x+1)的图象，最后再向上平移2个单位长度就得到函数y=3-(x+1)+2=+2的图象，如图所示. 二、指数型函数的单调性 例2　(1)求函数f(x)=的单调区间； (2)求函数f(x)=的增区间. 解　(1)设t=-x2+2x+2=-(x-1)2+3， 则f(x)=y=2t. 当x∈(-∞，1)时，t=-x2+2x+2单调递增； 当x∈(1，+∞)时，t=-x2+2x+2单调递减. 因为函数y=2t为R上的增函数， 所以函数f(x)=的减区间为(1，+∞)，增区间为(-∞，1). (2) 令x2-2x≥0，解得x≥2或x≤0， ∴f(x)的定义域为(-∞，0]∪[2，+∞). 令t=-1，则其在(-∞，0]上单调递减，在[2，+∞)上单调递增， 又y=为减函数， 故f(x)的增区间为(-∞，0]. 反思感悟　函数y=af(x)(a>0，a≠1)的单调性的处理技巧 (1)关于指数型函数y=af(x)(a>0，a≠1)的单调性由两点决定，一是底数a>1还是0<a<1；二是f(x)的单调性；它由两个函数y=au，u=f(x)复合而成. (2)求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y=φ(u)，u=f(x)，先求出φ(u)和f(x)的单调性，再求出y=φ(f(x))的单调性. 跟踪训练2　判断f(x)=的单调性，并求其值域. 解　令u=x2-4x，则原函数变为y= ∵u=x2-4x=(x-2)2-4在(-∞，2]上单调递减，在[2，+∞)上单调递增， y=在(-∞，+∞)上单调递减， ∴y=在(-∞，2]上单调递增，在[2，+∞)上单调递减， ∵u=x2-4x≥-4，∴y=u≥-4， ∴0<≤=16， ∴原函数的值域为(0，16]. 三、指数函数的实际应用 例3　(课本例5)某种储蓄按复利计算利息，若本金为a元，每期利率为r，设存期是x(x∈N*)，本利和(本金加上利息)为y元. (1)写出本利和y随存期x变化的函数关系式； (2)已知存入本金1 000元，每期利率为2.25%，试计算5期后的本利和. 解　(1)已知本金为a元，利率为r，则1期后的本利和为y=a+ar=a(1+r)， 2期后的本利和为y=a(1+r)+a(1+r)r=a(1+r)2， 3期后的本利和为y=a(1+r)3， …… x期后的本利和为y=a(1+r)x，x∈N*， 即本利和y随存期x变化的函数关系式为y=a(1+r)x，x∈N*. (2)将a=1 000(元)，r=2.25%，x=5代入上式，得y=1 000×(1+2.25%)5=1 000×1.022 55≈1 117.68(元)，即5期后的本利和约为1 117.68元. 例3　某林区2024年木材蓄积量为200万立方米，由于采取了封山育林、严禁采伐等措施，使木材蓄积量的年平均递增率能达到5%. (1)若经过x年后，该林区的木材蓄积量为y万立方米，求y=f(x)的表达式，并写出此函数的定义域； (2)求经过多少年后，林区的木材蓄积量能达到300万立方米. 解　(1)现有木材蓄积量为200万立方米，经过1年后木材蓄积量为200+200×5%=200(1+5%)； 经过2年后木材蓄积量为200(1+5%)+200(1+5%)×5%=200×(1+5%)2； 所以经过x年后木材蓄积量为200(1+5%)x. 所以y=f(x)=200(1+5%)x，x∈N*. (2)作函数y=f(x)=200(1+5%)x(x≥0)图象如图. 由图象可知，直线y=300与函数y=200(1+5%)x的图象交于A(x0，300)，点A的横坐标x0的值就是函数值y=300(木材蓄积量为300万立方米)时所经过的时间x年的值. 由图可知8<x0<9，则取x=9(计划留有余地，取过剩近似值)，即经过9年后，林区的木材蓄积量能达到300万立方米. 反思感悟　解决有关增长(衰减)率问题的关键和措施 (1)解决这类问题的关键是理解增长(衰减)率的意义：增长(衰减)率是所研究的对象在“单位时间”内比它在“前单位时间”内的增长(衰减)率，切记并不总是只和开始单位时间内作比较. (2)分析具体问题时，应严格计算并写出前3~4个单位时间的具体值，通过观察、归纳出规律后，再抽象为数学问题，最后求解数学问题即可. (3)在实际问题中，有关人口增长、银行复利、细胞分裂等增长率问题常可以用指数函数模型表示，通常可以表示为y=N(1+p)x(其中N为基础数，p为增长率，x为时间)的形式. 跟踪训练3　某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过0.1%，若初始溶液含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少. (1)写出杂质含量y与过滤次数n的函数关系式； (2)过滤7次后的杂质含量是多少？过滤8次后的杂质含量是多少？至少应过滤几次才能使溶液达到市场要求？ 解　(1)由题意可知，过滤1次后的杂质含量为×=×； 过滤2次后的杂质含量为×=×； 过滤3次后的杂质含量为×=×； … 过滤n次后的杂质含量为×(n∈N*). 故y与n的函数关系式为y=×(n∈N*). (2)由(1)知当n=7时，y=×=> 当n=8时，y=×=< 所以至少应过滤8次才能使溶液达到市场要求. 1.知识清单： (1)与指数函数有关的图象变换. (2)指数型函数的单调性及实际应用. 2.方法归纳：数形结合法. 3.常见误区：混淆|f(x)|与f(|x|)两种变换. 课时对点练 [分值：90分] 单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共12分 1.函数y=的图象是(　　) 答案　B 解析　当x>0时，y=∴函数在(0，+∞)上单调递减，当x<0时，y=又∵y=的图象与y=的图象关于y轴对称， ∴B选项正确. 2.为改善环境，某城市对污水处理系统进行改造.三年后，城市污水排放量由原来每年排放125万吨降到27万吨，那么污水排放量平均每年降低的百分率是(　　) A.50% B.40% C.30% D.20% 答案　B 解析　设污水排放量平均每年降低的百分率为p，则有125(1-p)3=27，故p==0.4=40%. 3.若函数f(x)=a|2x-4|(a>0，a≠1)满足f(1)=则f(x)的减区间是(　　) A.(-∞，2] B.[2，+∞) C.[-2，+∞) D.(-∞，-2] 答案　B 解析　由f(1)=得a2=又a>0，a≠1，所以a=因此f(x)=.令t=|2x-4|， t=|2x-4|在[2，+∞)上单调递增，在(-∞，2]上单调递减，又y=为减函数， 所以f(x)的减区间是[2，+∞). 4.随着我国经济的不断发展，2018年年底某偏远地区农民人均年收入为3 000元，预计该地区今后农民的人均年收入将以每年6%的年平均增长率增长，那么2025年年底该地区的农民人均年收入为(　　) A.3 000×1.06×7元 B.3 000×1.067元 C.3 000×1.06×8元 D.3 000×1.068元 答案　B 解析　设经过x年，该地区的农民人均年收入为y元，根据题意可得y=3 000×1.06x，从2018年到2025年共经过了7年，2025年年底该地区的农民人均年收入为3 000×1.067元. 5.要得到函数y=23-x的图象，只需将函数y=的图象(　　) A.向右平移3个单位长度 B.向左平移3个单位长度 C.向右平移8个单位长度 D.向左平移8个单位长度 答案　A 解析　∵y=23-x=∴将y=的图象向右平移3个单位长度得到y=的图象，即得到y=23-x的图象. 6.(多选)若函数 f(x)= 的图象经过点(3，1)， 则(　　) A.a=-2 B.f(x)的值域为R C.f(x)的最大值为 81 D.f(x)的最小值为 答案　AC 解析　由题意得f(3)==1， 得a=-2，故A正确； 令u=x2-2x-3=(x-1)2-4， 则u≥-4，y=的值域为(0，81]，故B错误； f(x)max=f(1)=81，f(x)无最小值，故C正确，D错误. 7.(5分)若函数f(x)=2|x-1|且f(x)在[m，+∞)上单调递增，则实数m的最小值等于　　　　.  答案　1 解析　函数f(x)=2|x-1|= 则函数f(x)的单调递增区间为[1，+∞)， 若函数f(x)=2|x-1|在[m，+∞)上单调递增， 则[m，+∞)⊆[1，+∞)，即m≥1， 即实数m的最小值等于1. 8.(5分)函数y=的减区间为　　　，值域为　　　.  答案　[-1，0]　 解析　令u=x∈[-1，1]，u=在[-1，0]上单调递增，在[0，1]上单调递减，又y=是减函数，∴y=在[-1，0]上单调递减，在[0，1]上单调递增，∵u=∈[0，1]，∴∈∴所求函数的值域为. 9.(10分)有一种树栽植5年后可成材.在栽植后5年内，该种树的产量年增长率为20%，如果不砍伐，从第6年到第10年，该种树的产量年增长率为10%，现有两种砍伐方案： 甲方案：栽植5年内不砍伐，等到第10年砍伐. 乙方案：栽植第5年砍伐重栽，然后过5年再砍伐一次. 请计算后回答：第10年哪一个方案可以得到较多的木材？(结果保留两位小数，参考数据：1.15≈1.61，1.25≈2.49) 解　设该种树的最初栽植量为a(a>0)，甲方案在第10年的木材产量为y1=a(1+20%)5(1+10%)5=a(1.2×1.1)5≈4.01a. 乙方案在第10年的木材产量为 y2=2a(1+20%)5=2a×1.25≈4.98a. ∵a>0，∴4.98a>4.01a，即y2>y1， ∴第10年乙方案能获得更多的木材. 10.(13分)已知函数f(x)=ax+b(a>0，a≠1). (1)若f(x)的图象如图①所示，求a，b的值；(4分) (2)若f(x)的图象如图②所示，求a，b的取值范围；(4分) (3)在(1)中，若|f(x)|=m有且仅有一个实数根，求m的取值范围.(5分) 解　(1)由图①知f(x)的图象过点(2，0)，(0，-2)， 所以 又因为a>0，且a≠1，所以a=b=-3. (2)由图②知f(x)是减函数，所以0<a<1， 又f(0)<0，即a0+b<0，所以b<-1. 故a的取值范围为(0，1)，b的取值范围为(-∞，-1). (3)由(1)知f(x)=()x-3， 则画出|f(x)|=|()x-3|的图象，如图所示，要使|f(x)|=m有且仅有一个实数根， 则m=0或m≥3.故m的取值范围为[3，+∞)∪{0}. 11.(多选)某池塘野生水葫芦的覆盖面积与时间的函数关系图象如图所示.假设其函数关系为指数函数，其中说法正确的是(　　) A.此指数函数的底数为2 B.在第5个月时，野生水葫芦的覆盖面积会超过30 m2 C.野生水葫芦从4 m2蔓延到12 m2只需1.5个月 D.设野生水葫芦蔓延至2 m2，3 m2，6 m2所需的时间分别为x1，x2，x3，则有x1+x2=x3 答案　ABD 解析　设f(x)=ax(a>1)，将(2，4)代入，得a2=4，解得a=2，A正确； 由A选项知f(x)=2x(x≥0)， 故f(5)=25=32>30，B正确； f(2)=4，令f(m)=2m=12，解得m=log212，则log212-2=log23>log22= 所以野生水葫芦从4 m2蔓延到12 m2大于1.5个月，C错误； =2=3=6，故=即=则有x1+x2=x3，D正确. 12.已知+>+则下列关系式正确的是(　　) A.x<y B.x>y C.x<-y D.x>-y 答案　A 解析　不等式可变为->-. 令f(x)=-则f(x)>f(y)，因为y=y=-为减函数，则f(x)在R上单调递减，所以必有x<y. 13.(5分)已知函数f(x)=-2x，若f(1-m)+f(2m+1)≤0，则实数m的取值范围是　　　　.  答案　[-2，+∞) 解析　因为函数y=y=-2x均是减函数，∴f(x)=-2x是减函数，又f(x)=-2x定义域为R，f(-x)=-f(x)，∴f(x)为奇函数，∵f(1-m)+f(2m+1)≤0，∴f(1-m)≤-f(2m+1)=f(-2m-1)，∴1-m≥-2m-1，∴m≥-2. 14.(5分)某地铁站每天都对站内进行消毒工作，设在药物释放过程中(如图)，站内空气中的含药量y(毫克/立方米)与时间x(小时)成正比.药物释放完毕后，y与x满足关系y=9b-x.据测定，空气中每立方米的含药量降低到毫克以下时，乘客方可进站，则地铁站应安排工作人员至少提前进行消毒工作的时间为　　　　分钟. 答案　50 解析　由于函数y=9b-x的图象过点 则=1，可得b=故当x≥时，y= 由y==<3-1，可得-2x<-1，解得x> 故地铁站应安排工作人员至少提前×60=50(分钟)进行消毒工作. 15.(5分)已知函数f(x)=若2f(x)-a=0有三个不同的实数根，则实数a的取值范围是　　　　　. 答案　(0，2) 解析　若2f(x)-a=0有三个不同的实数根，即=f(x)有三个不同的实数根， 也就是直线y=与函数f(x)的图象有3个交点. 在同一坐标系下画出两函数的图象如下， 数形结合可知，当∈(0，1)，即a∈(0，2)时， 直线y=与函数f(x)的图象有3个交点， 即2f(x)-a=0有三个不同的实数根. 学科网（北京）股份有限公司 $