第6章 §6.3 第1课时 对数函数的概念与图象（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（苏教版）

本讲义聚焦对数函数的概念、图象与性质及简单应用，从指数函数引入，通过问题链构建概念认知，再经列表描点作图象，对比不同底数函数特征归纳性质，最终应用于比较大小和解不等式，形成完整学习支架。 资料以问题驱动引导学生用数学眼光发现指数与对数联系，通过作图分析培养数学思维中的推理能力，结合例题、跟踪训练及分层练习提升数学语言表达。课中助力教师引导探究，课后学生可借资料回顾知识、强化练习，有效查漏补缺。

第1课时　对数函数的概念与图象 学习目标　1.理解对数函数的概念，会求与对数函数有关的定义域问题.2.掌握对数函数的图象和性质.3.掌握对数函数的图象和性质的简单应用. 导语 我们知道“对数源于指数”，前面学习了指数函数，这节课我们来学习对数函数. 一、对数函数的概念 问题1　指数函数y=2x部分函数值如下表： x 1 2 3 … ？ ？ y 2 4 8 … 1 024 2 048 你能求出函数值为1 024和2 048时x的值吗？ 提示　根据指数与对数的相互转化，我们知道y=2x可以化为x=log2y，根据对数的运算，我们便可得到x=10和x=11. 知识梳理　对数函数的概念 一般地，函数y=logax(a>0，a≠1)叫作对数函数，它的定义域是(0，+∞). 注意点： (1)对数函数的系数为1； (2)真数只能是一个x； (3)底数是a>0，且a≠1的常数. 例1　(1)(多选)下列函数中不是对数函数的有(　　) A.y=log2x2 B.y=log6x C.y=logx5 D.y=log2x+1 答案　ACD 解析　A中，函数的定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，不是对数函数. B中，符合对数函数的结构形式，是对数函数. C中，自变量在底数位置上，不是对数函数. D中，对数式log2x后又加上1，不是对数函数. (2)函数y=的定义域为(　　) A.(0，1) B.[0，1) C.(0，1] D.[0，1] 答案　A 解析　因为y=所以 解得0<x<1. (3)已知对数函数f(x)的图象过点P(8，3)，则f=　　　　.  答案　-5 解析　设对数函数f(x)=logax(a>0，a≠1)， ∵f(x)的图象过点P(8，3)， ∴3=loga8， ∴a3=8，a=2.∴f(x)=log2x， f=log2=log22-5=-5. 反思感悟　(1)判断一个函数是否为对数函数的方法 ①系数：对数符号前面的系数为1； ②底数：对数的底数是不等于1的正常数； ③真数：对数的真数仅有自变量x. ①②③同时成立的函数为对数函数. (2)求与对数函数有关的函数的定义域时应遵循的原则 ①真数大于0. ②底数大于0且不等于1. ③对数在分母上时，真数除了大于0，还不能等于1. 跟踪训练1　(1)若函数f(x)=a2+a-6+logax是对数函数，则a=　　　　.  答案　2 解析　由题意得a2+a-6=0， 解得a=-3或a=2. 又a>0且a≠1，所以a=2. (2)函数f(x)=的定义域为　　　　　　　　　　.  答案　(-∞，-3)∪(-3，3)∪(3，4) 解析　由 得x<4且x≠±3， 故所求定义域为(-∞，-3)∪(-3，3)∪(3，4). (3)已知函数f(x)是对数函数，且f=-则f(2)=　　　　.  答案　 解析　设f(x)=logax(a>0，a≠1)， 因为f=-所以a=2，f(x)=log2x， 所以f(2)=. 二、对数函数的图象与性质 问题2　请同学们按照列表、描点、连线的画图步骤，先完成下列表格，再在同一坐标系下画出对数函数y=log2x和y=x的函数图象. x 0.25 0.5 1 2 4 y=log2x y=x 提示　(1)-2　-1　0　1　2 2　1　0　-1　-2 (2)描点、连线，作出图象如图所示. 问题3　为了更好地研究对数函数的性质，我们特别选取了底数a分别为3，4的对数函数，在同一坐标系下分别作出它们的函数图象，观察这些图象的位置和变化趋势. 提示　作出图象如图所示. 观察图象可知，当a>1时，函数为增函数，当0<a<1时，函数为减函数，且当底数互为倒数时，两函数图象关于x轴对称. 知识梳理　对数函数的图象和性质 y=logax(a>0，a≠1) 底数 a>1 0<a<1 图象 定义域 (0，+∞) 值域 R 单调性 增函数 减函数 最值 无最大、最小值 奇偶性 非奇非偶函数 共点性 图象过定点(1，0)，即x=1时，y=0 函数 值特点 当0<x<1时，y<0； 当x>1时，y>0 当0<x<1时，y>0； 当x>1时，y<0 对称性 函数y=logax与y=x的图象关于x轴对称 注意点： (1)函数图象只出现在y轴右侧； (2)对任意底数a，当x=1时，y=0，故函数图象过定点(1，0)； (3)当0<a<1时，底数越小，图象越靠近x轴； (4)当a>1时，底数越大，图象越靠近x轴； (5)任意底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x轴对称. 例2　(1)如图，若C1，C2分别为函数y=logax和y=logbx的图象，则(　　) A.0<a<b<1 B.0<b<a<1 C.a>b>1 D.b>a>1 答案　B 解析　作直线y=1(图略)，则直线与C1，C2的交点的横坐标分别为a，b，易知0<b<a<1. (2)若函数y=loga(x+b)+c(a>0，a≠1)的图象恒过定点(3，2)，则实数b=　　　　，c=　　　　.  答案　-2　2 解析　∵函数的图象恒过定点(3，2)， ∴将(3，2)代入y=loga(x+b)+c， 得2=loga(3+b)+c. 又当a>0，且a≠1时，loga1=0恒成立， ∴c=2，3+b=1，∴b=-2，c=2. 反思感悟　对数函数图象的特点 (1)当0<a<1时，底数越小，图象越靠近x轴. (2)当a>1时，底数越大，图象越靠近x轴. 跟踪训练2　(1)函数y=logax，y=logbx，y=logcx，y=logdx的图象如图所示，则a，b，c，d的大小顺序是(　　) A.1<d<c<a<b B.c<d<1<a<b C.c<d<1<b<a D.d<c<1<a<b 答案　B 解析　令函数y=logax，y=logbx，y=logcx，y=logdx取同样的函数值1，得到的自变量的值恰好分别是a，b，c，d.直线y=1从左到右依次与上述四个函数的图象交于(c，1)，(d，1)，(a，1)，(b，1)四点，从而得出c<d<a<b.又a>1，b>1，d<1，c<1，所以c<d<1<a<b. (2)函数y=1+lo(x-1)的图象恒过定点(　　) A.(1，1) B.(1，0) C.(2，1) D.(2，0) 答案　C 解析　令x-1=1，得x=2，此时y=1，故函数y=1+lo(x-1)的图象恒过定点(2，1). 三、对数函数图象与性质的应用 例3　(1)(课本例2)比较下列各组数中两个数的大小： ①log23.4，log23.8； ②log0.51.8，log0.52.1； ③log75，log67. 解　①考察对数函数y=log2x. 因为2>1，所以y=log2x在区间(0，+∞)上是增函数. 又因为0<3.4<3.8， 所以log23.4<log23.8. ②考察对数函数y=log0.5x. 因为0<0.5<1， 所以y=log0.5x在区间(0，+∞)上是减函数. 又因为0<1.8<2.1， 所以log0.51.8>log0.52.1. ③考察对数函数y=log7x. 因为7>1， 所以y=log7x在区间(0，+∞)上是增函数. 又因为0<5<7， 所以log75<log77=1. 同理log67>log66=1， 所以log75<log67. 例3　(1)比较大小：log3π，log2log3. 解　∵log2=log23，又1<log23<2， ∴<log2<1. 又log3=log32<log3π>1， ∴log3π>log2>log3. (2)求关于x的不等式loga(2x-5)>loga(x-1)的解集. 解　当a>1时， 原不等式等价于解得x>4； 当0<a<1时，原不等式等价于 解得<x<4.综上所述，当a>1时，原不等式的解集为{x|x>4}；当0<a<1时，原不等式的解集为. 反思感悟　(1)比较对数值大小时常用的四种方法 ①同底数的利用对数函数的单调性. ②同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化. ③底数和真数都不同，找中间量. ④若底数为同一参数，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论. (2)对数不等式的解法 对数不等式一般需化为同底，利用函数单调性解不等式，同时注意函数的定义域. 跟踪训练3　(1)若a=log23，b=log32，c=log46，则下列结论正确的是(　　) A.b<a<c B.a<b<c C.c<b<a D.b<c<a 答案　D 解析　因为函数y=log4x在(0，+∞)上单调递增，a=log23=log49>log46>1，log32<1， 所以b<c<a. (2)已知log0.7(2x)<log0.7(x-1)，求x的取值范围. 解　∵函数y=log0.7x在(0，+∞)上单调递减， ∴由log0.7(2x)<log0.7(x-1)，得 解得x>1.∴x的取值范围是(1，+∞). 1.知识清单： (1)对数函数的概念. (2)对数函数的图象及性质. (3)对数函数的图象及性质的简单应用. 2.方法归纳：分类讨论、数形结合. 3.常见误区：易忽视对数函数底数有限制条件，忽视函数定义域. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共12分 1.给出下列函数，其中是对数函数的为(　　) A.y=lox2 B.y=log3(x-1) C.y=log(x+1)x D.y=logπx 答案　D 解析　因为A，B项中对数的真数不是仅有自变量x，故A，B不是对数函数；因为C项中对数的底数不是常数，故C不是对数函数；显然D是对数函数. 2.与函数y=10lg(x-1)是同一个函数是(　　) A.y= B.y=|x-1| C.y=x-1 D.y= 答案　A 解析　y=10lg(x-1)=x-1(x>1)， 而y==x-1(x>1). 3.在函数y=log(x-3)(7-x)中，函数的定义域是(　　) A.(-∞，7) B.(3，7) C.(3，4)∪(4，7) D.(3，+∞) 答案　C 解析　由得3<x<7且x≠4， 故函数的定义域为(3，4)∪(4，7). 4.ln x>0是x2>1的(　　) A.充分且不必要条件 B.必要且不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 答案　A 解析　因为ln x>0，所以x>1，因为x2>1，所以x>1或x<-1，所以ln x>0是x2>1的充分且不必要条件. 5.下列式子中成立的是(　　) A.log0.44<log0.46 B.1.013.4>1.013.5 C.3.50.3<3.40.3 D.log76<log67 答案　D 解析　因为y=log0.4x为减函数，所以log0.44>log0.46，故A错；因为y=1.01x为增函数，所以1.013.4<1.013.5，故B错；由幂函数的性质知，3.50.3>3.40.3，故C错；log76<1<log67，D正确. 6.(多选)在同一坐标系中，f(x)=kx+b与g(x)=logbx的图象如图，则下列关系不正确的是(　　) A.k<0，0<b<1 B.k>0，b>1 C.f>0(x>0)，g(x)>0(x>0) D.x>1时，f(x)-g(x)>0 答案　ABC 解析　由图象可知k>0，0<b<1，所以A，B选项错误；当x>1时，g(x)<0，所以C选项错误； 当x>1时，f(x)>0，g(x)<0， 所以f(x)-g(x)>0，所以D选项正确. 7.(5分)若函数f(x)=loga(x+a2-2a-3)为对数函数，则a=　　　　，f(9)=　　　.  答案　3　2 解析　由题意得解得a=3. ∴f(x)=log3x，∴f(9)=log39=2. 8.(5分)函数y=loga(x-4)+2(a>0且a≠1)的图象恒过定点　　　　.  答案　(5，2) 解析　令x-4=1得x=5，此时y=loga1+2=2， 所以函数y=loga(x-4)+2的图象恒过定点(5，2). 9.(10分)已知函数f(x)=loga(3-x)，其中a>0且a≠1. (1)求函数f(x)的定义域；(4分) (2)比较f(-1)与f(1)的大小.(6分) 解　(1)由3-x>0，得x<3， 所以函数f(x)的定义域为(-∞，3). (2)f(-1)=loga[3-(-1)]=loga4， f(1)=loga(3-1)=loga2， 当a>1时，函数y=logax是增函数， 所以loga4>loga2，即f(-1)>f(1)； 当0<a<1时，函数y=logax是减函数， 所以loga4<loga2，即f(-1)<f(1). 10.(11分)解下列关于x的不等式： (1)lox>lo(4-x)；(5分) (2)logx>1.(6分) 解　(1)由题意可得解得0<x<2. 所以原不等式的解集为{x|0<x<2}. (2)当x>1时，logx>logxx， 所以x<无解； 当0<x<1时，logx>logxx，所以<x<1. 综上，原不等式的解集为. 11.若-1<loga<1(a>0，a≠1)，则实数a的取值范围为(　　) A. B. C.∪ D.∪ 答案　D 解析　由-1<loga<1，得loga<loga<logaa，又由对数函数的单调性可知， 当a>1时，原不等式可化为<<a，得a>； 当0<a<1时，原不等式可化为>>a，得0<a<所以实数a的取值范围为∪. 12.已知函数f(x)=ln x，g(x)=lg x，h(x)=log3x，直线y=a(a<0)与这三个函数的交点的横坐标分别为x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系是(　　) A.x2<x3<x1 B.x1<x3<x2 C.x1<x2<x3 D.x3<x2<x1 答案　A 解析　分别作出三个函数的大致图象，如图所示. 由图可知，x2<x3<x1. 13.(多选)已知a>0，且a≠1，把底数相同的指数函数f(x)=ax与对数函数g(x)=logax图象的公共点称为f(x)(或g(x))的“亮点”，当a=时，在下列四个点中，能成为f(x)“亮点”的有(　　) A.(1，1) B. C. D. 答案　CD 解析　由题意得f(x)=g(x)=lox， 由于f (1)=≠1，所以点(1，1)不在函数f(x)的图象上，所以点(1，1)不是“亮点”； 由于f=≠所以点不在函数f(x)的图象上，所以点不是“亮点”； 由于f=g=所以点在函数f(x)和g(x)的图象上，所以点是“亮点”； 由于f=g=所以点在函数f(x)和g(x)的图象上，所以点是“亮点”. 14.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)在(-∞，0)上单调递增，又f(-2)=0，则不等式f(log2x-1)>0的解集为(　　) A. B.(8，+∞) C.∪(8，+∞) D.∪(2，+∞) 答案　C 解析　由已知条件画出f(x)的大致图象，如图， 则当f(log2x-1)>0时， -2<log2x-1<0或 log2x-1>2， 解得x∈∪(8，+∞). 15.(5分)已知函数y=f(x)，若在定义域内存在实数x，使得f(-x)=-f(x)，则称函数y=f(x)为定义域上的局部奇函数.若函数f(x)=log3(x+m)是[-2，2]上的局部奇函数，则实数m的取值范围是　　　　.  答案　(2] 解析　因为f(x)=log3(x+m)是[-2，2]上的局部奇函数， 所以x+m>0在[-2，2]上恒成立， 所以m-2>0，即m>2， 由局部奇函数的定义，存在x∈[-2，2]， 使得log3(-x+m)=-log3(x+m)， 即log3(-x+m)+log3(x+m)=log3(m2-x2)=0，所以存在x∈[-2，2]， 使得m2-x2=1，即m2=x2+1， 又因为x∈[-2，2]，所以x2+1∈[1，5]， 所以m2∈[1，5]， 即m∈[--1]∪[1]， 综上，m∈(2]. 16.(12分)若不等式x2-logmx<0在内恒成立，求实数m的取值范围. 解　由x2-logmx<0，得x2<logmx，在同一坐标系中作y=x2和y=logmx的草图，如图所示.要使x2<logmx在内恒成立， 只要y=logmx在内的图象在y=x2图象的上方，于是0<m<1. ∵当x=时，y=x2= ∴只要当x=时，y=logm≥=logm ∴≤即≤m. 又0<m<1，∴≤m<1. 即实数m的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $