第5章 §5.1 第1课时 函数的概念（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（苏教版）

本讲义聚焦函数的概念及构成要素这一核心知识点，从初中变量对应关系引入，通过列车路程、空气质量指数等实例抽象出集合间的对应定义，系统梳理定义域、对应关系、值域三要素，逐步过渡到函数相等判断及抽象函数定义域求解，搭建完整学习支架。 资料以问题链驱动探究，如通过“正方形周长与边长关系是否为同一函数”等问题培养数学眼光，例题分层设计（如判断函数对应关系、求定义域值域）训练数学思维，知识梳理表格与反思感悟助力数学语言表达。课中辅助教师引导学生深化理解，课后通过跟踪训练和课时对点练帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

第1课时　函数的概念 学习目标　1.理解函数的概念，了解构成函数的三要素.2.会判断两个函数是否相等.3.会求简单函数的定义域与值域. 导语 在初中我们已经接触过函数的概念，知道函数是刻画变量之间对应关系的数学模型和工具.例如，正方形的周长l与边长x的对应关系是l=4x，而且对于每一个确定的x都有唯一的l与之对应，所以l是x的函数.这个函数与正比例函数y=4x相同吗？又如，你能用已有的函数知识判断y=x与y=是否相同吗？要解决这些问题，就需要进一步学习函数的概念. 一、函数的概念的理解 问题1　你还记得初中所学函数的概念吗？ 提示　在一个变化过程中的两个变量，记为x和y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么称y是x的函数，x是自变量. 问题2　下面三个例子所给出的两个变量是函数关系吗？ (1)某高速列车提速到350 km/h后保持匀速运行半小时，这半小时内，列车行进的路程s与运行时间t的关系是函数关系吗？ (2)如图是某市某日的空气质量指数变化图.你认为这里的空气质量指数I是时刻t的函数吗？ (3)国际上常用恩格尔系数r 反映一个地区人们生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高. 年份y 2011 2012 2013 2014 2015 恩格尔 系数r(%) 33.53 33.87 29.89 29.35 28.57 如表是我国某省城镇居民恩格尔系数的变化情况.你认为该表给出的对应关系，恩格尔系数r是年份y的函数吗？ 提示　(1)中s是t的函数；(2)中I是t的函数；(3)中r是y的函数. 问题3　上述例子中的函数有哪些共同特征？ 提示　每个例子中都含有两个变量，当一个变量的取值确定后，另一个变量的值随之唯一确定.每一个例子都涉及一个确定的函数. 知识梳理 概念 给定两个非空实数集合A和B，如果按照某种对应关系f，对于集合A中的每一个实数x，在集合B中都有唯一的实数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 对应关系 y=f(x)，x∈A 对应关系相同，定义域相同的两个函数就是同一个函数 定义域 集合A(自变量x的取值范围) 值域 若A是函数y=f(x)的定义域，则对于A中的每一个x(输入值)，都有一个y(输出值)与之对应.我们将所有输出值y组成的集合{y|y=f(x)，x∈A}称为函数的值域 注意点： (1)A，B是非空的实数集，定义域是数集A，函数的值域是集合B的子集. (2)函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性. (3)函数符号“y=f(x)”是一个整体，不表示y等于f与x的乘积. (4)函数三要素：定义域，对应关系与值域. 例1　(1)(课本例1)判断下列对应是否为函数： (1)x→x≠0，x∈R； (2)x→y，这是y2=x，x∈N，y∈R； (3)当x为有理数时，x→1；当x为无理数时，x→0. 解　(1)对于任意一个非零实数x由x唯一确定，所以当x≠0时x→是函数，这个函数也可以表示为f(x)=(x≠0). (2)考虑输入值为4，即当x=4时输出值y由y2=4给出，得y=2和y=-2.这里一个输入值与两个输出值对应，所以，x→y(y2=x，x∈N，y∈R)不是函数. (3)由题意知，对于任意的有理数x，总有唯一的元素1与之对应；对于任意的无理数x，总有唯一的元素0与之对应.因此，根据函数的定义，可知这个对应是函数，可以表示为 y= 例1　(1)(多选)下列集合A到集合B的对应是函数的是(　　) A.A={-1，0，1}，B={0，1}，对任意的x∈A，x→x2 B.A={0，1}，B={-1，0，1}，对任意的x∈A，x→ C.A=Z，B=Q，对任意的x∈A，x→ D.A=R，B={x|x≥0}，对任意的x∈A，x→|x| 答案　ABD 解析　A，B，D中，符合函数定义中一个自变量的值对应唯一的函数值的要求；选项C中，集合A中的元素0取倒数没有意义，因此不符合函数定义中集合A中任意元素都对应着唯一的函数值的要求. (2)下列各组函数中表示同一个函数的是(　　) A.f(x)=2x+1与g(x)= B.f(x)=|x2-1|与g(t)= C.f(x)=2x+1与g(x)=2x-1 D.f(x)=|x|与g(x)= 答案　B 解析　对于A，f(x)的定义域是R，g(x)的定义域是{x|x≠0}，定义域不同，不是同一个函数； 对于B，f(x)=|x2-1|，g(t)=|t2-1|，虽然表示自变量的字母不同，但定义域与对应关系都相同，是同一个函数； 对于C，f(x)与g(x)的定义域都是R，但对应关系不同，不是同一个函数； 对于D，g(x)==x，与f(x)的对应关系不同，故不是同一个函数. 反思感悟　(1)判断一个对应关系是否为函数的方法 (2)根据图形判断是否为函数的方法 ①任取一条垂直于x轴的直线l； ②在定义域内平行移动直线l； ③若l与图形始终有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或者有两个或两个以上的交点，则不是函数. 跟踪训练1　(1)(多选)设M={x|0≤x≤2}，N={y|0≤y≤2}，给出下列四个选项，不能表示从集合M到集合N的函数关系的是(　　) 答案　ACD 解析　A中，因为在集合M中当1<x≤2时，在N中无元素与之对应，所以A不是； B中，对于集合M中的任意一个数x，在N中都有唯一的数与之对应，所以B是； C中，x=2对应元素y=3∉N，所以C不是； D中，当x=1时，在N中有两个元素与之对应，所以D不是. (2)下列各组函数中表示同一个函数的是(　　) A.f(x)=g(x)=x+2 B.f(x)=x2-3x，g(t)=t2-3t C.f(x)=g(x)=x D.f(x)=g(x)=x 答案　B 解析　A中，f(x)=的定义域为{x|x≠0}，g(x)=x+2的定义域为R，故不是同一个函数； B中，f(x)=x2-3x与g(t)=t2-3t定义域都为R，且解析式相同，故是同一个函数； C中，f(x)=的定义域为{x|x≥0}，g(x)=x的定义域为R，故不是同一个函数； D中，f(x)==|x|与g(x)=x解析式不同，故不是同一个函数. 二、函数的定义域 问题4　初中我们学习过哪些函数？ 提示　一次函数、二次函数和反比例函数. 问题5　你能说一说问题4中的几个函数的定义域、对应关系和值域分别是什么吗？ 提示　一次函数的定义域是R，值域也是R，对应关系实际上就是f(x)=ax+b(a≠0)；二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的定义域是R，当a>0时，它的值域是；当a<0时，它的值域是对应关系实际上就是f(x)=ax2+bx+c(a≠0)；反比例函数f(x)=(k≠0)的定义域是{x|x≠0}，值域是{y|y≠0}，对应关系是f(x)=(k≠0). 例2　(课本例2)求下列函数的定义域： (1)f(x)=； (2)g(x)=. 解　(1)当x-1≥0，即x≥1时在实数范围内有意义；当x-1<0，即x<1时在实数范围内没有意义.因此，这个函数的定义域是{x|x≥1}. (2)当x+1≠0，即x≠-1时有意义；当x+1=0时，即x=-1时没有意义. 因此，这个函数的定义域是{x|x≠-1，且x∈R}. 例2　求下列函数的定义域： (1)y=3-x；(2)y=； (3)y=；(4)y=. 解　(1)函数y=3-x的定义域为R. (2)由于0的零次幂无意义，故x+1≠0， 即x≠-1.又x+2>0，即x>-2， 所以函数y=的定义域为{x|x>-2，且x≠-1}. (3)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足 解得x≤5，且x≠±3，所以函数y=的定义域为{x|x≤5，且x≠±3}. (4)要使函数有意义， 则即 解不等式组得-1≤x<1.因此函数y=的定义域为{x|-1≤x<1}. 反思感悟　求函数的定义域应关注四点 (1)要明确使各函数表达式有意义的条件，函数有意义的准则一般有：①分式的分母不为0；②偶次根式的被开方数非负；③y=x0要求x≠0. (2)不对解析式化简变形，以免定义域变化. (3)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合. (4)若f(x)是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义. 跟踪训练2　求下列函数的定义域： (1)y=-； (2)y=+. 解　(1)由得 所以函数的定义域为{x|x≤1，且x≠-1}. (2)由 得x≤-或2≤x<4， 所以函数的定义域为. 三、求函数值或函数的值域 例3　已知f(x)=x2-4x+2. (1)求f(2)，f(a)，f(a+1)的值； (2)求f(x)的值域； (3)若g(x)=x+1，求f(g(3))的值. 解　(1)f(2)=22-4×2+2=-2， f(a)=a2-4a+2， f(a+1)=(a+1)2-4(a+1)+2=a2-2a-1. (2)f(x)=x2-4x+2=(x-2)2-2≥-2， ∴f(x)的值域为[-2，+∞). (3)g(3)=3+1=4， ∴f(g(3))=f(4)=42-4×4+2=2. 反思感悟　(1)函数值f(a)就是a在对应关系f下的对应值，因此由函数关系求函数值，只需将f(x)中的x用对应的值(包括值在定义域内的代数式)代入即得. (2)求f(g(a))时，一般要遵循由里到外逐层计算的原则. (3)配方法是一种常用的求值域的方法，主要解决“二次函数型”的函数求值域. 跟踪训练3　(课本例3)求下列函数的值域： (1)f(x)=(x-1)2+1，x∈{-1，0，1，2，3}； (2)f(x)=(x-1)2+1. 解　(1)函数的定义域为{-1，0，1，2，3}. 因为f(-1)=[(-1)-1]2+1=5，f(0)=2，f(1)=1，f(2)=2，f(3)=5， 所以这个函数的值域为{1，2，5}. (2)函数的定义域为R. 因为(x-1)2+1≥1， 所以这个函数的值域为{y|y≥1}. 跟踪训练3　求下列函数的值域： (1)f(x)=-x2+2x-3，x∈{-1，0，1，2}； (2)f(x)=-x2+2x-3. 解　(1)∵函数的定义域为{-1，0，1，2}， f(x)=-x2+2x-3. ∴f(-1)=-6，f(0)=-3，f(1)=-2，f(2)=-3， ∴函数f(x)的值域为{-2，-3，-6}. (2)f(x)=-x2+2x-3=-(x-1)2-2， ∵(x-1)2≥0，∴-(x-1)2-2≤-2， ∴f(x)的值域为(-∞，-2]. 四、抽象函数的定义域 例4　(1)已知函数f(x)的定义域为[-1，3]，则函数f(3x-2)的定义域为(　　) A. B. C.[-3，1] D. 答案　A 解析　∵f(x)的定义域为[-1，3]， ∴-1≤3x-2≤3，∴≤x≤ ∴f(3x-2)的定义域为. (2)已知函数f(x2)的定义域为(1，2)，则f(2x+1)的定义域为　　　　　　　.  答案　 解析　∵f(x2)的定义域为(1，2)，即1<x<2， ∴1<x2<4，∴在f(2x+1)中，1<2x+1<4，∴0<x<.∴f(2x+1)的定义域为. 反思感悟　求抽象函数的定义域 (1)若y=f(x)的定义域为(a，b)，则解不等式a<g(x)<b即可求出y=f(g(x))的定义域. (2)若y=f(g(x))的定义域为(a，b)，则求出g(x)在(a，b)上的值域即得f(x)的定义域. 跟踪训练4　已知函数f(x)的定义域为(-2，2)，则函数g(x)=的定义域为(　　) A.(-2，0)∪(0，2) B.(-1，3) C.(-3，0)∪(0，1) D.(-1，0)∪(0，3) 答案　C 解析　函数g(x)的定义域需满足解得-3<x<1且x≠0， 所以函数g(x)的定义域是(-3，0)∪(0，1). 1.知识清单： (1)函数的概念. (2)函数的定义域. (3)函数值或函数的值域. (4)抽象函数的定义域. 2.方法归纳：定义法. 3.常见误区：理解函数的概念要紧扣函数的定义. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共18分 1.(多选)下列四种说法中，正确的有(　　) A.在函数值域中的每一个数，在定义域中都至少有一个数与之对应 B.函数的定义域和值域一定是无限集合 C.定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了 D.若函数的定义域中只含有一个元素，则值域中也只含有一个元素 答案　ACD 解析　由函数定义知，A，C，D正确，B不正确. 2.设函数f(x)=3x2-1，则f(a)-f(-a)的值是(　　) A.0 B.3a2-1 C.6a2-2 D.6a2 答案　A 解析　f(a)-f(-a)=3a2-1-[3(-a)2-1]=0. 3.若A={x|0≤x≤2}，B={y|1≤y≤2}，下列图形中能表示以A为定义域，B为值域的函数的是(　　) 答案　B 解析　A中值域为{y|0≤y≤2}，故错误；C，D中值域为{1，2}，故错误. 4.如图，f：A→B表示从集合A到集合B的函数，若f(a)=2，则a的值为(　　) A.1 B.2 C.1或2 D.3 答案　C 解析　由图可知，若f(a)=2，则a=1或2. 5.函数f(x)=的定义域为(　　) A. B.{x|x>1} C. D. 答案　C 解析　要使函数有意义，自变量x的取值必须满足解得 即函数的定义域为. 6.(多选)下列各组函数是同一个函数的是(　　) A.f(x)=与g(x)=x B.f(x)=x-1与g(x)= C.f(x)=x0与g(x)= D.f(x)=x2-2x-1与g(t)=t2-2t-1 答案　CD 解析　A项，f(x)==-x与g(x)=x的对应关系不同，故不是同一个函数. B项，两个函数的定义域不同，故不是同一个函数. C项，f(x)=x0与g(x)=都可化为y=1且定义域是{x|x≠0}，故是同一个函数. D项，f(x)=x2-2x-1与g(t)=t2-2t-1的定义域都是R，对应关系也相同，故是同一个函数. 7.(5分)若f(x)=x∈{1，2}，则函数的值域为　　　　.  答案　 解析　∵函数的定义域为{1，2}， ∴f(1)==f(2)=== ∴函数的值域为. 8.(5分)已知函数f(x)=x+则f(2)=　　　；当a≠-1时，f(a+1)=　　　　　　.  答案　　a+1+ 解析　f(2)=2+=. 当a≠-1时，a+1≠0， 所以f(a+1)=a+1+. 9.(10分)求下列函数的定义域： (1)f(x)=++4；(5分) (2)f(x)=.(5分) 解　(1)要使函数式有意义，必须满足 即所以≤x≤ 所以函数的定义域为. (2)要使函数式有意义，必须满足 即解得 所以函数的定义域为{x|x<0，且x≠-3}. 10.(10分)已知f(x)=3x2-1，g(x)=. (1)求f(1)，g(1)的值；(2分) (2)求f(g(1))，g(f(1))的值；(4分) (3)求f(x)，g(x)的值域.(4分) 解　(1)f(1)=3×12-1=2，g(1)==. (2)f(g(1))=f =3×-1=- g(f(1))=g(2)=. (3)因为x2≥0，所以f(x)=3x2-1≥-1， 所以f(x)的值域是[-1，+∞)， g(x)=≠0， 所以g(x)的值域是(-∞，0)∪(0，+∞). 11.已知≈1.414 21，如果对应关系f将n对应到的小数点后第n位上的数字，则f(2)+f(4)等于(　　) A.5 B.6 C.3 D.2 答案　C 解析　由题意f(2)=1，f(4)=2， 所以f(2)+f(4)=3. 12.下列函数中，对于定义域内的任意x，f(x+1)=f(x)+1恒成立的为(　　) A.f(x)=x+1 B.f(x)=-x2 C.f(x)= D.f(x)=|x| 答案　A 解析　对于A选项， f(x+1)=(x+1)+1=f(x)+1，成立. 对于B选项，f(x+1)=-(x+1)2， f(x)+1=-x2+1，不成立. 对于C选项，f(x+1)=f(x)+1=+1，不成立. 对于D选项，f(x+1)=|x+1|， f(x)+1=|x|+1，不成立. 13.(5分)若对任意实数x恒有2f(x)-f(-x)=3x+1，则f(1)=　　　　，f(-1)=　　　　.  答案　2　0 解析　对任意x∈R，2f(x)-f(-x)=3x+1， 令x=1，则2f(1)-f(-1)=4， ① 令x=-1，则2f(-1)-f(1)=-2. ② 由①②解得f(1)=2，f(-1)=0. 14.(5分)已知函数f(x)的定义域为(-1，1)，则函数g(x)=f +f(x-1)的定义域是　　　　.  答案　{x|0<x<2} 解析　由题意知 即解得0<x<2， 于是函数g(x)的定义域为{x|0<x<2}. 15.(多选)函数f(x)=[x]的函数值表示不超过x的最大整数，当-≤x≤时，下列函数中，其值域与f(x)的值域相同的函数为(　　) A.y=x，x∈{-1，0，1，2，3} B.y=2x，x∈ C.y=x∈ D.y=x2-1，x∈{0，12} 答案　ABD 解析　当x∈时，f(x)=-1， 当x∈[0，1)时，f(x)=0， 当x∈[1，2)时，f(x)=1， 当x∈[2，3)时，f(x)=2， 当x∈时，f(x)=3， 所以当x∈时，f(x)的值域为{-1，0，1，2，3}. y=x，x∈{-1，0，1，2，3}，该函数的值域为{-1，0，1，2，3}，故A正确； y=2x，x∈该函数的值域为{-1，0，1，2，3}，故B正确； y=x∈该函数的值域为{-1，1，2，3，4}，故C错误； y=x2-1，x∈{0，12}，该函数的值域为{-1，0，1，2，3}，故D正确. 16.(12分)已知函数f(x)=(m∈R). (1)若f(2)=2，求实数m及f(f(5)+1)；(4分) (2)若m=10，求f(x)的定义域；(4分) (3)若f(x)的定义域为(1，+∞)，求实数m的取值范围.(4分) 解　(1)由f(2)==2，解得m=-6， 所以f(x)=则f(5)==2， 所以f(f(5)+1)=f(3)==. (2)当m=10时，f(x)=要使f(x)有意义，则 解得x≥5，所以f(x)的定义域为[5，+∞). (3)因为f(x)的定义域为(1，+∞)， 所以y=x2-3x-m=--m≥0在(1，+∞)上恒成立， 所以当x=时，y=x2-3x-m取得最小值，且ymin=--m≥0，解得m≤- 所以实数m的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $