专题6.2 指数函数（高效培优讲义）数学苏教版2019高一必修第一册

本讲义聚焦指数函数核心知识点，系统梳理从定义（含结构特征、定义域）到图象性质（0<a<1与a>1的对比分析），再到复合函数性质、图象变换及实际应用的脉络，构建“定义-性质-应用”的学习支架。 资料亮点在于题型丰富（12类题型含典例与变式），融入分类讨论等数学思想，通过植物生长、核酸检测等实例培养数学眼光，典例变式训练数学思维，课中辅助教师高效授课，课后助力学生查漏补缺。

专题6.2 指数函数 教学目标 1.了解指数函数模型的实际背景，认识学习指数函数的必要性,理解指数函数的含义; 2.能借助计算器或计算机画出指数函数的图象，探索并理解指数函数的性质及应用; 3.了解多个指数函数图像的关系及简单函数图象的平移变换和对称变换,会进行指数函数图象的变换; 4.进一步理解与指数函数有关的复合函数的性质,会利用指数函数解决简单的应用题,体会分类讨论、数形结合及等价转化思想的应用． 教学重难点 1.重点 指数函数的图象与性质以及指数函数图象的变换及应用； 2.难点 指数函数有关的复合函数的性质及应用. 知识点01 指数函数的定义 1. 偶函数和奇函数的定义： 指数函数的定义 (1)一般地，函数y=ax(a>0,且a≠1)叫做___________，其中指数x是___________，定义域是___________. (2)指数函数y=ax(a>0,且a≠1)解析式的结构特征： ①ax的系数为1； ②底数a是大于0且不等于1的___________ 【即学即练】 1．下列各函数中，是指数函数的是（  ） A． B． C． D． 2．下列函数是指数函数的是（  ） A． B． C． D． 知识点02 指数函数的图象与性质 指数函数的图象与性质 0<a<1 a>1 图象 性质 定义域 值域 过定点 单调性 函数值的变化范围 【即学即练】 1．，，，都是不等于1的正数，函数在同一直角坐标系中的图象如图所示，则，，，的大小关系是（  ）    A． B． C． D． 2．已知函数，则（  ） A．是奇函数，且在R上是增函数 B．是偶函数，且在上是增函数 C．是奇函数，且在R上是减函数 D．是偶函数，且在上是减函数 题型01 指数函数的概念辨析 【典例1】下列各函数中，是指数函数的是（  ） A． B． C． D．（，且） 判断一个函数是不是指数函数的方法： (1)看形式：只需判断其解析式是否符合y＝ax(a＞0，且a≠1)这一结构特征． (2)明特征：看是否具备指数函数解析式具有的三个特征．只要有一个特征不具备，则该函数不是指数函数． 【变式1】下列函数是指数函数的是（  ） A． B． C． D． 【变式2】(多选)下列命题是真命题的是（  ） A．是幂函数 B．不是指数函数 C．不是幂函数 D．是指数函数 题型02 利用指数函数概念求参 【典例1】若函数是指数函数，则等于（  ） A．或 B． C． D． 【变式1】函数是指数函数，则有（  ） A．或 B． C． D．，且 【变式2】函数是指数函数，则实数的取值范围为（  ） A． B． C． D． 【变式3】若函数是指数函数，则的值为____________ 题型03 求指数函数的解析式或求值 【典例1】已知函数的图象过点，则（  ） A． B． C． D． 【变式1】若指数函数的图象过点，则的解析式为（  ） A． B． C． D． 【变式2】已知函数，则（  ） A．4 B．8 C．16 D．32 【变式3】已知函数，则的值为（  ） A．2 B．4 C．6 D．8 【变式4】已知指数函数的图像经过点，则_____________ 【变式5】设函数，若，则 . 题型04 指数型函数的定义域、值域问题 【典例1】（1）设函数，则函数的定义域为（  ） A． B． C． D． （2）函数的值域为（  ） A． B． C． D． y＝af(x)型函数的定义域、值域的求法 (1)形如y＝af(x)的函数的定义域就是f(x)的定义域． (2)形如y＝af(x)的函数的值域，先求出u＝f(x)的值域，再结合y＝au的单调性求出y＝af(x)的值域．若a的取值范围不确定，则需对a进行分类讨论． 【变式1】函数的定义域是（  ） A． B． C． D． 【变式2】已知函数若的值域为,则实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【变式3】函数的定义域是 ． 【变式3】定义运算：，则函数的值域为 ． 【变式4】已知函数，则函数的值域为 ． 题型05 指数型函数的恒过定点问题 【典例1】函数 的图象恒过定点（  ） A． B． C． D． 指数函数图象过定点问题： 指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象过定点(0，1)，据此，可解决形如y＝k·ax＋c＋b(k≠0，a>0，且a≠1)的函数图象过定点的问题，即令x＝－c，得y＝k＋b，函数图象过定点(－c，k＋b)． 【变式1】幂函数在上单调递增，则的图象过定点（  ） A． B． C． D． 【变式2】对于任意且 ，函数 的图象恒过定点 . 若 的图象也过点，则 . 题型06 比较指数幂的大小 【典例1】已知，，，则三个数的大小关系是（  ） A． B． C． D． 比较指数幂的大小的方法： 比较指数幂的大小的方法（分三种情况）： (1)底数相同，指数不同：利用指数函数的单调性来判断； (2)底数不同，指数相同：利用底数不同的指数函数的图象变化规律来判断； (3)底数不同，指数不同：通过中间量来比较，一般引入中间量“1”. 【变式1】已知实数满足不等式，且，则的大小关系为（  ） A． B． C． D． 【变式2】设，则大小关系是 . 【变式3】已知，，，则a，b，c按从小到大排列为 ． 题型07 指数函数图像的识别及应用 【典例1】（1）函数在上的大致图象为（  ） A． B． C． D． （2）已知函数，，且，则（  ） A．，， B．，， C． D． 解决指数函数图象问题的注意点： (1)熟记当底数a>1和0<a<1时，图象的大体形状． (2)在y轴右侧，指数函数的图象“底大图高”． 【变式1】指数函数与的图象如图所示，则（  ） A． B． C． D． 【变式2】已知函数是定义在上的奇函数，当时，的图象如图所示，那么满足不等式的的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【变式3】已知函数，若方程有且仅有个实数根，则实数的取值范围是 . 【变式4】已知函数的图象不过第二象限，则实数的取值范围是 . 题型08 求指数型函数的单调区间 【典例1】函数的单调递增区间为（  ） A． B． C． D． 研究型的复合函数的单调性用复合法，比用定义法要简便些，一般地有：即当时，的单调性与的单调性相同；当时，的单调与的单调性相反． 【变式1】若函数（，且）满足，则的单调递减区间是（  ） A． B． C． D． 【变式2】计算：函数的单调递减区间为 . 【变式3】函数的单调递增区间为 . 题型09 指数型函数的单调性的应用 【典例1】（1）若，则的取值范围为（  ） A． B． C． D． （2）若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． 将不等式两边化为同底构造对应的指数函数再利用指数函数的单调性求解． 【变式1】 若，则实数的取值范围是（  ） A． B． C． D．全不对 【变式2】设函数在上单调递减，则a的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【变式3】已知函数，若，则实数a的取值范围是_______________ 【变式4】若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是_____________ 【变式4】若函数是定义在上的增函数，则实数的取值范围为________ 题型10 指数型函数的单调性与奇偶性结合的应用 【典例1】已知函数． (1)试确定的奇偶性； (2)求证：函数在上是减函数； (3)若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围． 【变式1】已知，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且满足．若恒成立，则实数的取值范围为（  ） A． B． C． D． 【变式2】已知函数为偶函数，为奇函数，且满足.若对任意的，均有不等式恒成立，则实数的最大值为（  ） A． B． C． D． 题型11 指数型函数的恒成立和存在问题 【典例1】若对任意的，都有恒成立，则的取值范围为（  ） A． B． C． D． 【变式1】已知函数，若不等式对恒成立，则实数的取值范围为（  ） A． B． C． D． 【变式2】已知函数，若对任意、、，总有、、为某一个三角形的边长，则实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【变式3】设，若在区间上，关于x的不等式有意义且能恒成立，则t的取值范围为 ． 题型12 指数函数的实际应用问题 【典例1】某学校一个课外实验小组研究某种植物在一定条件下的生长规律，根据实验数据可知，在相同条件下，这种植物每天以的增长率生长，8天后，该植物的长度是原来的倍，则24天后该植物的长度是原来的（  ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 【变式1】已知某种果蔬的有效保鲜时间（单位：小时）与储藏温度（单位：℃）近似满足函数关系（a，b为常数，e为自然对数底数），若该果蔬在7℃的保鲜时间为216小时，在28℃的有效保鲜时间为8小时，那么在14℃时，该果蔬的有效保鲜时间大约为（  ）小时. A．36 B．72 C．81 D．90 【变式2】核酸检测在新冠疫情防控核中起到了重要作用，是重要依据之一，核酸检测是用荧光定量PCR法进行的，通过化学物质的荧光信号，对在PCR扩增过程中的靶标DNA进行实时检测．已知被标靶的DNA在PCR扩增期间，每扩增一次，DNA的数量就增加．若被测标本DNA扩增5次后，数量变为原来的10倍，则p的值约为（  ）（参考数据：，） A．36.9 B．41.5 C．58.5 D．63.1 1．在①；②；③；④；⑤中，y是关于x的指数函数的个数是（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．若函数（且）在上的值域为，则（  ） A．3或 B．或 C．或 D．或 3．已知函数，且恒过定点，且满足，其中是正实数，则的最小值是（  ） A．16 B．6 C． D． 4．已知函数（，且）与函数（，且）的图象如图所示，则（  ） A． B． C． D． 5．下列式子正确的是（  ） A． B． C． D． 6．已知，则关于的不等式的解集为（  ） A． B． C． D． 7．（多选）已知函数，则下列结论正确的是（  ） A．函数的定义域为 B．函数的值域为 C．函数的图象关于轴对称 D．函数在上单调递增 8．（多选）已知函数，则正确的是（  ） A．的值域为 B．的解集为 C．的图象与的图象关于轴对称 D．函数是偶函数 9．（多选）函数为奇函数，函数（  ） A．实数的值的值为2 B．函数为上的单调递增函数 C．不等式的解集为 D．若对，总，使得成立，则实数的取值范围是 10．设函数，则 ． 11．若直线y＝2a与函数y＝|ax－1|＋1(a＞0，且a≠1)的图象有两个公共点，则a的取值范围是 ． 12．已知函数，，若函数有6个零点，则实数的取值范围为 . 13．已知函数. (1)在如图所示的平面直角坐标系中画出的大致图象，并写出的单调区间及值域； (2)若函数的图象与轴有两个不同的交点，求实数的取值范围. 14．已知函数. (1)判断的单调性，并用函数单调性的定义证明； (2)判断的奇偶性，并用函数奇偶性的定义证明； (3)若不等式对任意恒成立，求的取值范围. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题6.2 指数函数 教学目标 1.了解指数函数模型的实际背景，认识学习指数函数的必要性,理解指数函数的含义; 2.能借助计算器或计算机画出指数函数的图象，探索并理解指数函数的性质及应用; 3.了解多个指数函数图像的关系及简单函数图象的平移变换和对称变换,会进行指数函数图象的变换; 4.进一步理解与指数函数有关的复合函数的性质,会利用指数函数解决简单的应用题,体会分类讨论、数形结合及等价转化思想的应用． 教学重难点 1.重点 指数函数的图象与性质以及指数函数图象的变换及应用； 2.难点 指数函数有关的复合函数的性质及应用. 知识点01 指数函数的定义 1. 偶函数和奇函数的定义： 指数函数的定义 (1)一般地，函数y=ax(a>0,且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R. (2)指数函数y=ax(a>0,且a≠1)解析式的结构特征： ①ax的系数为1； ②底数a是大于0且不等于1的常数. 【即学即练】 1．下列各函数中，是指数函数的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数定义即可判断. 【解析】根据指数函数的定义形如且为指数函数判断： 对于A：为幂函数，故A错误； 对于B：中不能作为底数，故B错误； 对于C：中系数不为1，故C错误； 对于D：是指数函数，故D正确； 故选：D. 2．下列函数是指数函数的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由指数函数的定义即可判断. 【解析】由指数函数的定义可知，带有常数项，A错误； 与的系数都不为1，B错误，D错误； ，符合题意，C正确. 故选：C. 知识点02 指数函数的图象与性质 指数函数的图象与性质 0<a<1 a>1 图象 性质 定义域 R 值域 过定点 图象过定点(0,1)，即当x=0时，y=1 单调性 在上是减函数 在上是增函数 函数值的变化范围 当x<0时，y>1 当x<0时，0<y<1 当x=0时，y=1 当x=0时，y=1 当x>0时，0<y<1 当x>0时，y>1 【即学即练】 1．，，，都是不等于1的正数，函数在同一直角坐标系中的图象如图所示，则，，，的大小关系是（  ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据指数函数的单调性，确定，，，与的关系，再由时，函数值的大小判断. 【解析】因为当底数大于时，指数函数是定义域上的增函数， 当底数大于且小于时，指数函数是定义域上的减函数， 所以，大于，，大于且小于， 由图知： ，即， ，即， 所以. 故选：B 2．已知函数，则（  ） A．是奇函数，且在R上是增函数 B．是偶函数，且在上是增函数 C．是奇函数，且在R上是减函数 D．是偶函数，且在上是减函数 【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性定义，即可判断奇偶性，根据函数单调性的定义，即可判断函数的增减性. 【解析】函数的定义域为， ，所以函数是奇函数， 且是增函数，是减函数，所以函数在上是增函数. 故选：A 题型01 指数函数的概念辨析 【典例1】下列各函数中，是指数函数的是（  ） A． B． C． D．（，且） 【答案】D 【分析】由指数函数定义可判断选项正误. 【解析】指数函数是指形如且的函数. 则四个选项中，只有D满足条件. 故选：D. 判断一个函数是不是指数函数的方法： (1)看形式：只需判断其解析式是否符合y＝ax(a＞0，且a≠1)这一结构特征． (2)明特征：看是否具备指数函数解析式具有的三个特征．只要有一个特征不具备，则该函数不是指数函数． 【变式1】下列函数是指数函数的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数的定义，结合选项判断即可. 【解析】根据指数函数的定义：形如（且）的函数叫做指数函数，结合选项从而可判断选项D正确． 故选：D． 【变式2】(多选)下列命题是真命题的是（  ） A．是幂函数 B．不是指数函数 C．不是幂函数 D．是指数函数 【答案】ACD 【分析】由指数函数定义可判断选项正误. 【解析】由幂函数的定义可知：是幂函数，不是幂函数，即A、C正确； 因为， 所以由指数函数的定义可知：都是指数函数，即B错误，D正确． 故选：ACD 题型02 利用指数函数概念求参 【典例1】若函数是指数函数，则等于（  ） A．或 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数函数的定义求解即可. 【解析】因为函数是指数函数， 所以. 故选：C 【变式1】函数是指数函数，则有（  ） A．或 B． C． D．，且 【答案】B 【分析】根据指数函数的定义求解即可. 【解析】由指数函数的概念，得且，解得． 故选：B 【变式2】函数是指数函数，则实数的取值范围为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由指数函数的定义列出限制条件，求解不等式组可得答案. 【解析】由指数函数的定义得解得，且，故的取值范围是． 故选：C. 【变式3】若函数是指数函数，则的值为____________ 【答案】 【分析】由指数函数的定义可得且，，解方程验证可得． 【解析】因为函数是指数函数， 且，， 由解得或， ， 故答案为： 题型03 求指数函数的解析式或求值 【典例1】已知函数的图象过点，则（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将点代入解析式，求出解析式即可求解. 【解析】由题意可知，所以， 故选：C. 【变式1】若指数函数的图象过点，则的解析式为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设出解析式，将点代入，求出解析式. 【解析】设（且），则， 解得，故. 故选：D. 【变式2】已知函数，则（  ） A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】C 【分析】先求出，再求出. 【解析】， 故选：C． 【变式3】已知函数，则的值为（  ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【分析】由分段函数解析式及指数运算求函数值即可. 【解析】由题设，则. 故选：A 【变式4】已知指数函数的图像经过点，则_____________ 【答案】4 【分析】将点代入解析式，求出解析式即可求解. 【解析】由指数函数的图象经过点， 可得，解得，所以， 故答案为：4 【变式5】设函数，若，则 . 【答案】 【分析】先求出，然后再代入函数列方程可求出 【解析】因为， 所以， 所以，得， 所以，， 所以，得， 故答案为： 题型04 指数型函数的定义域、值域问题 【典例1】（1）设函数，则函数的定义域为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出的定义域后可求的定义域， 【解析】因为，所以，故， 故的定义域为， 令，则，故的定义域为. 故选：D. （2）函数的值域为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，求出的范围，根据指数函数的单调性即可求解. 【解析】依题意， 令，则， 因为单调递减，且 所以， 所以. 故选：A. y＝af(x)型函数的定义域、值域的求法 (1)形如y＝af(x)的函数的定义域就是f(x)的定义域． (2)形如y＝af(x)的函数的值域，先求出u＝f(x)的值域，再结合y＝au的单调性求出y＝af(x)的值域．若a的取值范围不确定，则需对a进行分类讨论． 【变式1】函数的定义域是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由二次根式的被开方数非负和分式的分母不为零，即可求得结果. 【解析】由题意得， 解得且， 所以函数的定义域为， 故选：C. 【变式2】已知函数若的值域为,则实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别画出分段函数对应的两个函数图象，再对实数的取值进行分类讨论即可. 【解析】根据题意可得，在同一坐标系下分别画出函数和的图象如下图所示： 由图可知，当或时，两图象相交， 若的值域是，以实数为分界点，可进行如下分类讨论： 当时，显然两图象之间不连续，即值域不为； 同理当,值域也不是； 当时，两图象相接或者有重合的部分，此时值域是； 综上可知，实数的取值范围是. 故选：B 【变式3】函数的定义域是 ． 【答案】且 【分析】根据题意得到求解即可. 【解析】由题知：且. 故答案为：且. 【变式3】定义运算：，则函数的值域为 ． 【答案】 【分析】根据指数函数的单调性即可求解. 【解析】当时，，当时，， 所以， 当时，，当时，， 所以函数的值域是. 故答案为： 【变式4】已知函数，则函数的值域为 ． 【答案】 【分析】设，则，此时，利用二次函数的性质即可求解． 【解析】设，则，此时， 当时，即 ，函数取得最小值，此时最小值为； 当时，即 ，函数取得最大值，此时最大值为． 故答案为：. 题型05 指数型函数的恒过定点问题 【典例1】函数 的图象恒过定点（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过令即可求出定点. 【解析】对于函数（），令，即. 当时，. 所以函数（）的图象恒过定点. 故选：D. 指数函数图象过定点问题： 指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象过定点(0，1)，据此，可解决形如y＝k·ax＋c＋b(k≠0，a>0，且a≠1)的函数图象过定点的问题，即令x＝－c，得y＝k＋b，函数图象过定点(－c，k＋b)． 【变式1】幂函数在上单调递增，则的图象过定点（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过幂函数的性质确定，进而得到即可求解. 【解析】因为幂函数在上单调递增， 所以，解得， 所以， 令得， 所以， 所以的图象过定点. 故选：D. 【变式2】对于任意且 ，函数 的图象恒过定点 . 若 的图象也过点，则 . 【答案】 【分析】由题意首先得，然后代入得，由此即可得解. 【解析】因为函数 的图象恒过定点，所以，所以， 所以， 又的图象也过点， 所以，又，解得， 所以. 故答案为：. 题型06 比较指数幂的大小 【典例1】已知，，，则三个数的大小关系是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用指数函数性质比较大小即得. 【解析】依题意，，，， 所以. 故选：A. 比较指数幂的大小的方法： 比较指数幂的大小的方法（分三种情况）： (1)底数相同，指数不同：利用指数函数的单调性来判断； (2)底数不同，指数相同：利用底数不同的指数函数的图象变化规律来判断； (3)底数不同，指数不同：通过中间量来比较，一般引入中间量“1”. 【变式1】已知实数满足不等式，且，则的大小关系为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用指数函数性质比较大小即得. 【解析】易知定义域上单调递增， 在上分别为单调递减、单调递增函数. 所以，故A正确. 故选：A 【变式2】设，则大小关系是 . 【答案】 【分析】抓住同底与同指构造函数，利用单调性比较大小. 【解析】因为在单调增， 所以，即， 因为在单调减， 所以，即 综上，. 故答案为：. 【变式3】已知，，，则a，b，c按从小到大排列为 ． 【答案】 【分析】根据指数函数性质比较大小． 【解析】，， 所以． 故答案为：． 题型07 指数函数图像的识别及应用 【典例1】（1）函数在上的大致图象为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定的函数，利用其奇偶性，结合的值的情况判断作答. 【解析】函数定义域为R，，即函数是奇函数，其图象关于原点对称，排除B； 而，排除D，又，排除A，选项C符合题意. 故选：C （2）已知函数，，且，则（  ） A．，， B．，， C． D． 【答案】D 【分析】画出的图象，根据以及的大小关系确定正确答案. 【解析】令，解得， 画出的图象如下图所示， 由于，且， 由图可知：，，的值可正可负也可为，所以AB选项错误. 当时，， 满足，，所以C选项错误. ， ，所以，D选项正确. 故选：D 解决指数函数图象问题的注意点： (1)熟记当底数a>1和0<a<1时，图象的大体形状． (2)在y轴右侧，指数函数的图象“底大图高”． 【变式1】指数函数与的图象如图所示，则（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数函数的性质即可得答案. 【解析】因为函数的图象是下降的，所以； 又因为函数的图象是上升的，所以. 故选：C. 【变式2】已知函数是定义在上的奇函数，当时，的图象如图所示，那么满足不等式的的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据当时，的图象，利用奇函数的性质确定正确答案. 【解析】函数是定义在上的奇函数，则函数的图象关于原点对称， 作出函数在上的图象，并在此坐标系中作出函数的图象，如图， 函数的图象与函数的图象交于点， 观察图象知，当或时，函数的图象不在函数的图象下方， 即当或时，不等式成立， 所以不等式的的取值范围是. 故选：B 【变式3】已知函数，若方程有且仅有个实数根，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据分段函数的解析式作出函数图象，将方程有且仅有个实数根转化为函数，有两个交点，由数形结合即可求解. 【解析】 方程有且仅有个实数根，即函数的图象与直线有且仅有个交点，所以由数形结合可得，的取值范围是. 故答案为：. 【变式4】已知函数的图象不过第二象限，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用指数函数图象性质可知至少向下平移个单位长度才能满足题意，即可求得. 【解析】由已知可知在上单调递增，已知函数的图象如下图所示： 故若要符合题意需满足，可得 故答案为：. 题型08 求指数型函数的单调区间 【典例1】函数的单调递增区间为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据判断复合函数的单调性的方法同增异减可得答案. 【解析】令，则，因为为单调递减函数， 且函数是开口向上对称轴为轴的抛物线， 所以的单调递减区间为， 所以函数的单调递增区间为. 故选：A. 研究型的复合函数的单调性用复合法，比用定义法要简便些，一般地有：即当时，的单调性与的单调性相同；当时，的单调与的单调性相反． 【变式1】若函数（，且）满足，则的单调递减区间是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复合函数单调性“同增异减”的原则可确定选项. 【解析】因为， 所以，即，解得或（舍）， 所以， 令，则， 由于在上单调递减，在上单调递增， 由指数函数知，在定义域上单调递减， 所以在上单调递增，在上单调递减. 故选：B. 【变式2】计算：函数的单调递减区间为 . 【答案】 【分析】根据复合函数单调性“同增异减”的原则可确定选项. 【解析】，的定义域为， 根据“同增异减”法则：求函数的单调递减区间，即求的单调递减区间， 而要求函数的单调递减区间，即要求函数的单调递增区间， 的对称轴为，的单调递增区间为， 故的单调递减区间为. 故答案为：. 【变式3】函数的单调递增区间为 . 【答案】 【分析】利用换元法，结合复合函数单调性的关系进行转化求解即可. 【解析】设，则， 对称轴为，当，即， 即，即时，为减函数， 函数为增函数， 则为减函数， 即函数单调减区间为； 当，即， 即，即时，为减函数， 函数为减函数， 则为增函数， 即函数单调增区间为. 故答案为： 题型09 指数型函数的单调性的应用 【典例1】（1）若，则的取值范围为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用指数函数的单调性解不等式即可得出结果． 【解析】因，则， 即，解得， 所以的取值范围为． 故选：B． （2）若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】是由与复合而成，先分析外层函数单调性，再根据复合函数单调性确定内层函数单调性，进而求出的取值范围. 【解析】是由与复合而成， 在中，，，所以在上单调递减. 因为在上单调递减，且外层函数在上单调递减， 根据复合函数“同增异减”的原则，可知内层函数在上单调递增. 对于二次函数，其图象开口向上，对称轴为. 二次函数在对称轴右侧单调递增，要使在上单调递增， 则对称轴需满足，解得. 故选：A. 将不等式两边化为同底构造对应的指数函数再利用指数函数的单调性求解． 【变式1】 若，则实数的取值范围是（  ） A． B． C． D．全不对 【答案】B 【分析】应用指数函数的单调性计算求解. 【解析】函数在上为减函数， 因为，所以， 即恒成立，． 故选：B. 【变式2】设函数在上单调递减，则a的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复合函数的单调性求解判断. 【解析】设，可得， 因为函数在定义域上为单调递减函数， 要使得 在上单调递减，则满足，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：D. 【变式3】已知函数，若，则实数a的取值范围是_______________ 【答案】 【分析】构造函数，研究函数的单调性与奇偶性，利用函数性质解不等式. 【解析】令，定义域为，且， 所以函数为定义域内的奇函数，且在上单调递增； 则，则，即，即， 又因为为定义域内的奇函数，所以， 又因为在上单调递增，所以， 解得或， 故实数a的取值范围是. 故选：C 【变式4】若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是_____________ 【答案】 【分析】根据复合函数的单调性求解判断. 【解析】令，对称轴为，又是R上增函数， 因为是上的增函数， 所以，即， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 【变式4】若函数是定义在上的增函数，则实数的取值范围为________ 【答案】 【分析】由分段函数在上为增函数的性质列式可求得结果. 【解析】因为是在上的增函数，所以， 故答案为： 题型10 指数型函数的单调性与奇偶性结合的应用 【典例1】已知函数． (1)试确定的奇偶性； (2)求证：函数在上是减函数； (3)若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)奇函数；(2)证明见解析；(3) 【分析（1）由于函数的定义域为，关于原点对称，且化简求得，可得函数为奇函数； （2）化简函数的解析式为，设，化简，可得函数在上是减函数； （3）由于为奇函数，不等式即恒成立，再由函数在上是减函数可得恒成立，即恒成立．由判别式，解得的取值范围． 【解析】（1）函数的定义域为，关于原点对称， 且有， 故函数为奇函数. （2）证明：， 设，再由， 可得， 故函数在上是减函数. （3）对任意的，不等式恒成立，为奇函数， 恒成立， 由函数在上是减函数， 可得 恒成立， 即恒成立， ，解得：， 故的取值范围为. 【变式1】已知，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且满足．若恒成立，则实数的取值范围为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用分参法及函数的单调性、奇偶性求解 【解析】因为，分别是定义在上的偶函数和奇函数， 所以，， 因为，① 所以， 所以，② ①②得，， 因为在定义域上单调递增，在定义域上单调递减， 所以在上单调递增，又， 若恒成立，则恒成立， 所以恒成立， 所以恒成立， 所以只需， 因为，，所以（当且仅当，即时取等号）， 所以（当且仅当时，取等号）， 所以， 所以的取值范围为. 故选：B． 【变式2】已知函数为偶函数，为奇函数，且满足.若对任意的，均有不等式恒成立，则实数的最大值为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用分参法及函数的单调性求解 【解析】因为为偶函数，为奇函数，且①， 所以，②， ①②两式联立可得，. 由可得， 可得， 令，其中， 任取、且，则， 所以， ， 当时，则，则，则， 当时，则，则，则， 所以，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，， 又因为，，则， 令，则，则， 因为函数、在上均为增函数，则， 故，即，故的最大值为. 故选：C. 题型11 指数型函数的恒成立和存在问题 【典例1】若对任意的，都有恒成立，则的取值范围为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将函数化为,分和两种情况讨论在区间上的最大值,进而求【解析】由得， ，所以的最小值为， 所以，． 故选：B． 【变式1】已知函数，若不等式对恒成立，则实数的取值范围为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用分参法及函数的单调性求解。 【解析】, , 所以为奇函数, 为单调增函数, , ,恒成立, , . 故选：D. 【变式2】已知函数，若对任意、、，总有、、为某一个三角形的边长，则实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过对参量的讨论研究函数的单调性求解。 【解析】因为，，为某一个三角形的三条边长， 所以，对任意，，，恒成立， 函数， 当时，，满足，符合题意； 当时，在上递减， 所以函数的值域为， 所以且， 所以，又，所以， 当时，在上递增， 函数的值域为， 所以且， 所以，解得，所以， 综上的取值范围是． 故选：D． 【变式3】设，若在区间上，关于x的不等式有意义且能恒成立，则t的取值范围为 ． 【答案】 【分析】利用分参法及函数的单调性求解。 【解析】由题意得在上有意义，故在上恒成立， 故， 当时，，而，满足，符合题意， 当时，，在上恒成立， 令，， 其中在上单调递减， 故， 故， 综上，t的取值范围是， 故答案为： 题型12 指数函数的实际应用问题 【典例1】某学校一个课外实验小组研究某种植物在一定条件下的生长规律，根据实验数据可知，在相同条件下，这种植物每天以的增长率生长，8天后，该植物的长度是原来的倍，则24天后该植物的长度是原来的（  ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 【答案】C 【分析】设植物原来长度为m，根据8天后，该植物的长度是原来的倍，求出，再结合指数幂的运算即可求得24天后该植物的长度是原来的多少倍． 【解析】方法1 设植物原来长度为m，8天后，该植物的长度是原来的倍， 故，即，即． 24天后该植物的长度是，即为原来的倍， 又， 所以24天后该植物的长度是原来的倍． 方法2  设植物原来长度为1，8天后，该植物的长度是， 24天后，该植物的长度是， 即24天后该植物的长度是原来的倍． 故选：C. 【变式1】已知某种果蔬的有效保鲜时间（单位：小时）与储藏温度（单位：℃）近似满足函数关系（a，b为常数，e为自然对数底数），若该果蔬在7℃的保鲜时间为216小时，在28℃的有效保鲜时间为8小时，那么在14℃时，该果蔬的有效保鲜时间大约为（  ）小时. A．36 B．72 C．81 D．90 【答案】B 【分析】根据题意列出方程组，求出，确定函数解析式，再代入求值即可. 【解析】由题意得：，①÷②得：，故， 则，，故 故当时，. 故选：B 【变式2】核酸检测在新冠疫情防控核中起到了重要作用，是重要依据之一，核酸检测是用荧光定量PCR法进行的，通过化学物质的荧光信号，对在PCR扩增过程中的靶标DNA进行实时检测．已知被标靶的DNA在PCR扩增期间，每扩增一次，DNA的数量就增加．若被测标本DNA扩增5次后，数量变为原来的10倍，则p的值约为（  ）（参考数据：，） A．36.9 B．41.5 C．58.5 D．63.1 【答案】C 【分析】设DNA数量没有扩增前数量为a，由题意可得，，化简得，再根据指数函数的运算，即可求解． 【解析】设DNA数量没有扩增前数量为a， 由题意可得，，即， 所以，即， 故． 故选：C． 1．在①；②；③；④；⑤中，y是关于x的指数函数的个数是（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】直接根据指数函数的定义依次判断即可. 【解析】根据指数函数的定义，知①⑤中的函数是指数函数， ②中底数不是常数，指数不是自变量，所以不是指数函数； ③中的系数是，所以不是指数函数； ④中底数，所以不是指数函数． 故选：B． 2．若函数（且）在上的值域为，则（  ） A．3或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据指数函数的单调性即可求解. 【解析】当时，在上单调递减， 则，解得， 此时. 当时，在上单调递增， 则，解得或（舍去）， 此时 综上可得：为或. 故选：C 3．已知函数，且恒过定点，且满足，其中是正实数，则的最小值是（  ） A．16 B．6 C． D． 【答案】A 【分析】通过可得定点，代入等式得，然后通过展开可求最小值. 【解析】令 ，得，此时，为， . ， 当且仅当， 即时，等号成立， 故选：A. 4．已知函数（，且）与函数（，且）的图象如图所示，则（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由指数函数的图象与性质可得，.再根据函数（，且）与函数（，且）的图象的对称性，数形结合即可求解. 【解析】由图得，，所以. 因为函数（，且）的图象与函数（，且）的图象关于轴对称，如图所示， 由图可知： 5．下列式子正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用指数函数性质比较大小即得. 【解析】对于选项A:由在单调递增，且，所以，故选项A错误； 对于选项B: 由在单调递增，所以， 由在单调递减，所以，故，故选项B错误； 对于选项C: 由,在单调递减，且在第一象限底大图高， 所以,故选项C错误； 对于选项D: 由在单调递增，且，所以,故选项D正确； 故选：D. 6．已知，则关于的不等式的解集为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先画出函数的图象，然后根据图象列不等式组，从而求得正确答案. 【解析】画出的图象如下图所示， 所以， 解得，所以不等式的解集为. 故选：A    7．（多选）已知函数，则下列结论正确的是（  ） A．函数的定义域为 B．函数的值域为 C．函数的图象关于轴对称 D．函数在上单调递增 【答案】ABD 【分析】根据指数函数的性质，结合函数关于轴对称定义、单调性的性质逐一判断即可. 【解析】对A：由恒成立，故函数的定义域为，故A正确； 对B：，由，则， 故，则，故B正确； 对C：，故关于对称，故C错误； 对D：，由且为增函数， 则为减函数，则在上单调递增，故D正确. 故选：ABD. 8．（多选）已知函数，则正确的是（  ） A．的值域为 B．的解集为 C．的图象与的图象关于轴对称 D．函数是偶函数 【答案】AC 【分析】A项，根据的性质易求出函数的值域；B项，写出的表达式，根据的单调性，即可求出的解集；C项，求出的表达式，得出与的表达式相同，即可得出结论；D项，设，利用函数的奇偶性定义即可判断. 【解析】对于A，因，则，即值域为，A正确； 对于B，因，由得，即， ∵函数为减函数，∴，解得，故的解集为，B错误； 对于C，由， 可得，    由图知，的图象与的图象关于轴对称，C正确； 对于D，设，函数的定义域为，关于原点对称， 且，故为奇函数，故D错误. 故选：AC. 9．（多选）函数为奇函数，函数（  ） A．实数的值的值为2 B．函数为上的单调递增函数 C．不等式的解集为 D．若对，总，使得成立，则实数的取值范围是 【答案】BCD 【分析】对于A，由奇函数的性质可得出，可求出的值，然后利用函数奇偶性的定义证明即可，对于B，利用指数函数的单调性可判断出函数在其定义域上的单调性；对于C，利用函数的单调性结合奇偶性可将不等式变形为，利用指数函数的单调性解之即可；对于D，分析可知，函数的值域为函数在上的值域的子集，可得出关于实数的不等式组，解之即可. 【解析】对于A，对任意的，， 所以，的定义域为且函数为奇函数， 所以，则， 因为， 所以是奇函数，符合题意，故成立，故A错误； 对于B，由（1），则，是定义域上的增函数，证明如下： 对任意的、且，则， 由可得， 故函数为上的增函数，故B正确； 对于C，因为函数是实数集上的增函数又是奇函数， 所以由可得， 根据B项，可得，可得，即， 因为，则，解得，即原不等式的解集为，故C正确； 对于D，因为函数，显然，所以有 可得，则，则， 因为 ， 令，当时，， 设，所以，， 于是当时，， 对，总，使得成立， 故函数的值域为函数在上的值域的子集，即， 所以有，解得，即实数的取值范围为，故D正确. 故选：BCD. 10．设函数，则 ． 【答案】 【分析】根据分段函数的知识求得正确答案. 【解析】，. 故答案为： 11．若直线y＝2a与函数y＝|ax－1|＋1(a＞0，且a≠1)的图象有两个公共点，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】分a＞1和0＜a＜1两种情况讨论交点的情况即可. 【解析】 当a＞1时，通过平移变换和翻折变换可得如图（1）所示的图象，则由图可知1＜2a＜2，即＜a＜1，与a＞1矛盾； 当0＜a＜1时，同样通过平移变换和翻折变换可得如图（2）所示的图象，则由图可知1＜2a＜2，即＜a＜1.综上可知，＜a＜1. 故答案为：. 12．已知函数，，若函数有6个零点，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】画出的图象，结合图象及的零点个数，得到的两个不等零点，从而得到不等式组，求出实数的取值范围. 【解析】画出的图象如下：    因为最多两个零点， 即当，或时，有两个不等零点， 要想有六个零点，结合函数图象，要和分别有3个零点， 则且， 即的两个不等零点， 则要满足，解得， 故实数的取值范围为 故答案为： 13．已知函数. (1)在如图所示的平面直角坐标系中画出的大致图象，并写出的单调区间及值域； (2)若函数的图象与轴有两个不同的交点，求实数的取值范围. 【答案】(1)作图见解析，答案见解析；(2) 【分析】（1）利用指数函数的图象与函数图象的变换即可作出的图象，再数形结合即可得到的单调区间及值域； （2）将问题转化为与的图象有两个交点，从而数形结合即可得解. 【解析】（1）因为的图象是由的图象向下平移两个单位而得， 而的图象是由的图象保留轴上方的图象， 再将轴下方的图象沿着轴向上翻折而得， 所以的大致图象如图， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为，值域为. （2）因为函数的图象与轴有两个不同的交点， 所以有两个零点，即与的图象有两个交点， 结合图象可知，，解得， 即实数的取值范围为. 14．已知函数. (1)判断的单调性，并用函数单调性的定义证明； (2)判断的奇偶性，并用函数奇偶性的定义证明； (3)若不等式对任意恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)单调递增，证明见解析；(2)奇函数，证明见解析；(3) 【分析】（1）设，利用函数单调性的定义，可得函数在上是增函数； （2）由于函数的定义域为，关于原点对称，且化简求得，可得函数为奇函数； （3）由于为奇函数，不等式可得，再由函数在上是增函数令，即对恒成立进而解得的取值范围． 【解析】（1）任取，且， 则 ， 由，得，所以， 又由，得，所以， 于是，即， 所以在上单调递增； （2）函数的定义域为，关于原点对称， 因为都有， 且 ， 所以为奇函数； （3）因为是上单调递增奇函数， 则由可得， 所以原不等式可转化为：对恒成立， 令，即对恒成立， ，. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $