6.1 幂函数 教学设计- 2025-2026学年高一上学期数学苏教版必修第一册

该高中数学教学设计聚焦幂函数的概念、图像与性质及应用，通过对比指数函数，以问题链引导学生从特殊幂函数实例出发，逐步抽象出幂函数定义，构建从具体到抽象的学习支架。 资料融合数学抽象、逻辑推理和数学运算素养，让学生绘制五个特殊幂函数图像并归纳性质，落实数形结合思想，培养抽象概括与识图能力，为教师提供素养导向的结构化教学方案，提升课堂效率与学生学习深度。

第6章 幂函数、指数函数和对数函数 6.1 幂函数 ▍教学目标 1. 理解幂函数的概念，会画幂函数，，，，的图象． 2. 结合这几个幂函数的图象，理解幂函数图象的变化情况和性质；会用它们的单调性比较两个底数不同而指数相同的指数式值的大小． 3. 通过观察、总结幂函数的性质，培养学生概括抽象和识图能力，进一步体会数形结合的思想． 数学抽象：幂函数的概念． 逻辑推理：由五个特殊幂函数的图象归纳幂函数的图象与性质． 数学运算：求幂函数的解析式及比较大小． ▍情境设置 【问题1】 ，，，这一类是什么函数？ [学生活动] 老师直接提问学生，由全体学生共同回答． 【问题2】 指数函数的一般形式是什么？ [学生活动] （，） 【问题3】 对于， ， ，   ，   ，，是不是指数函数？从结构上来看有什么特征？ [学生活动] 得出结论：在底数上，指数为常数，（的一次幂），（的二次幂），（的三次幂），（的次幂）． ▍概念的探究与建构 【问题4】 函数的形式都是的多少次幂的形式，是什么函数？ 形成知识 一般地，我们把形如的函数称为幂函数，其中是自变量，是常数．幂函数的表达式中前面的系数为，为常数． 【问题5】 (1) 下列函数是幂函数的是： A. B. C. D. (2) 幂函数与指数函数有什么联系和区别？ [学生活动] 自主探究完成(1)(2)． [教师引导] 函数表达式 名称 指数函数： 底数 指数 幂值 幂函数： 指数 底数 幂值 方法归纳 判断一个函数是幂函数还是指数函数：自变量是指数即为指数函数，自变量是底数即为幂函数． [学生活动] (1) 在同一平面直角坐标系内函数，，，，的图象． (2) 总结五个幂函数的性质： 定义域 R R R 值域 R R 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增 在上增， 在上减 增 增 在上减， 在上减 形成知识 一般幂函数特征： (1) 所有的幂函数在上都有定义，并且图象都过点； (2) 当时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数．特别地，当时，幂函数的图象下凸；当时，幂函数的图象上凸； (3) 当时，幂函数的图象在区间上是减函数； (4) 幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线对称； (5) 在第一象限，作直线（），它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列． ▍知识的运用与升华 【例题1】 写出下列函数的定义域，并分别指出它们的奇偶性： (1) ； (2) ； (3) ． [解析] (1) 函数的定义域为，因为对于任意的，，都有，所以有奇函数的定义知，函数为奇函数． (2) 函数即，其定义域是，不关于原点对称． 所以，函数既不是奇函数，也不是偶函数． 即非奇非偶函数． (3) 由函数即可知， 所以此函数的定义域是， 关于原点对称，又， 所以，函数是偶函数． [处理建议] 师生共同完成，教师板书一道例题的过程． 方法归纳 1. 研究（，为互质的整数）的定义域，一般将它改写为根式后，再求出它的定义域． 2. 确定函数的奇偶性：若指数为整数，可直接判断；若为分数，先把它改写成根式，一看定义域，二看与的关系． 【例题2】 试比较下列各组数的大小： (1) ，； (2) ，，； [解析] (1) 因为函数在区间上是增函数，又，所以． (2) 因为函数在区间上是增函数，又，所以． 方法归纳： 熟练地利用函数的单调性比较两个实数的大小关系．当比较的数多于两个时，一般采用从整体到局部的思维方法：先与比较，分出正数与负数（如果都是正数，再与比较；如果都是负数，再与比较），最后转化为只有两个数的大小比较问题．重要的是寻求它们与中间数的大小比较．一般比较大小有四种方法：①作差比较法；②作商比较法；③中间值法；④利用函数的单调性比较大小． 【例题3】 已知幂函数的图象经过点，求这个函数的解析式． [解析] 设因为幂函数的图象经过点， 所以，所以． ▍课堂反馈 1. 分别指出下列函数的定义域，并指出它们的奇偶性： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ． 2. 已知幂函数的图象经过点，求这个函数的解析式． 3. 画出函数的图象，并指出其单调区间． 4. 试比较下列各组数中两个数的大小： (1) ，； (2) ，； (3) ，； (4) ，． ▍课堂总结 【问题6】 通过本节课的学习和研究，你有哪些收获或启示？ [学生活动] 学生交流在本节课学习中的体会、收获，交流学习过程中的体验和感受，师生合作共同完成小结． 知识框图： 1. 知识与技能层面： 一般幂函数特征： (1) 所有的幂函数在上都有定义，并且图象都过点； (2) 当时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数．特别地，当时，幂函数的图象下凸；当时，幂函数的图象上凸； (3) 当时，幂函数的图象在区间上是减函数； 比较大小的常见方法： ①作差比较法；②作商比较法；③中间值法；④利用函数的单调性比较大小． 2. 思想与方法层面： 研究问题涵盖的思想与方法：数形结合、特殊到一般、类比…… 学科网（北京）股份有限公司 $