专题5.5 函数的奇偶性（高效培优讲义）数学苏教版2019高一必修第一册

专题5.5 函数的奇偶性 教学目标 1.结合具体函数，了解函数奇偶性的概念和几何意义. 2.能判断函数的奇偶性，能运用奇偶函数的图象特征解决一些简单问题. 3.了解函数图象的对称轴、对称中心满足的条件. 4.通过本节内容的学习，让学生结合实例，利用图象抽象出函数性质，提升学生的直观想象和逻辑推理素养；通过函数奇偶性的应用，熟悉转化、对称等思考方法，提升学生的逻辑推理素养；通过函数图象的对称轴、对称中心条件，提升学生的直观想象和数学抽象素养. 教学重难点 1.重点 函数奇偶性的概念与判断； 2.难点 利用函数的奇偶性解决问题. 知识点01 偶函数和奇函数的定义 1. 偶函数和奇函数的定义： 设函数y＝f(x)的定义域为A. (1)如果对于任意的x∈A，都有－x∈A，并且___________，那么称函数y＝f(x)是偶函数； (2)如果对于任意的x∈A，都有－x∈A，并且___________，那么称函数y＝f(x)是奇函数； (3)如果函数f(x)是___________或___________，那么我们称函数f(x)具有奇偶性； 注意：①利用性质法来判断奇偶性（以函数的定义域关于原点对称为前提，所有奇偶函数都非零函数） ②对于含参函数中参数的求值问题，在填空题与选择题中，掌握以下两个结论，会给解题带来方便： (i)f(x)为偶函数⇔f(x)＝f(|x|)．(ii)若奇函数在x＝0处有意义，则f(0)＝0. 【即学即练】 1．下列函数中，是偶函数的是（  ） A．（） B． C． D． 2．（多选）下列说法中正确的是（  ） A．函数是奇函数 B．函数是偶函数 C．函数，是偶函数 D．函数既不是奇函数，也不是偶函数 知识点02 偶函数和奇函数图象的特点 根据函数奇偶性的定义可知，偶函数的图象关于___________对称，奇函数的图象关于___________对称． 说明：奇函数与偶函数的定义域的特征：定义域关于原点对称． 注意： ①奇函数图像关于原点对称f(－x)＝－f(x) ②偶函数图像关于轴对称f(－x)＝f(x) ③奇函数在轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在轴两侧相对称的区间增减性相反．(重要） 【即学即练】 1．函数的图像大致是（  ） A．   B． C．     D．   2．设偶函数在区间上单调递增，则（  ） A． B． C． D． 知识点03 判断函数奇偶性的方法 判断函数奇偶性的方法： (1)定义法： (2) 图象法：函数是奇(偶)函数⇔函数图象关于原点(y轴)对称. 注意：函数奇偶性的常用结论 (1)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)． (2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性． (3)在公共定义域内有：奇±奇→奇，偶±偶→偶，奇×奇→偶，偶×偶→偶，奇×偶→奇． (4)奇(偶)函数倒数或相反数运算，奇偶性不变； (5)奇(偶)函数的绝对值运算，函数的奇偶性均为偶函数． (6)若函数的定义域关于原点对称，则函数能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式．记，，则． (7)复合函数的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇． 【即学即练】 1．判断下列函数的奇偶性，并说明理由 (1)； (2)； 2．已知函数是奇函数，当时，，那么的值是________ 题型01 函数奇偶性的定义及判断 【典例1】判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)； (3)． (4)； (5). 判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件： (1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域； (2)判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数))是否成立. 注：判定函数奇偶性容易失误是由于没有考虑到函数的定义域．函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件，因此研究函数的奇偶性必须“坚持定义域优先”的原则，即优先研究函数的定义域，否则就会做无用功． 【变式1】函数的奇偶性为（  ） A．奇函数 B．偶函数 C．即奇又偶函数 D．非奇非偶函数 【变式2】设函数，则下列函数中为奇函数的是（  ） A． B． C． D． 【变式3】判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)； (3)． 题型02 利用函数奇偶性求值 【典例1】设是定义在上的奇函数，当时，，则（  ） A． B．1 C． D． 由函数的奇偶性求函数值： 若所给的函数具有奇偶性，则直接利用或求解；若所给函数不具有奇偶性，一般利用所给的函数构造一个奇函数或偶函数，然后利用其奇偶性求值 【变式1】若奇函数和偶函数满足，则（  ） A． B． C． D． 【变式2】已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则 . 【变式3】设函数若为奇函数，则（  ） A．4 B．2 C． D． 【变式4】已知是定义在上的奇函数，且当时，，若，则（  ） A． B．0 C．1 D．2 题型03 已知f（x）=奇函数+C(常数） 【典例1】已知函数，，则 . 若函数，则我们把它称为准奇函数，求准奇函数最大值+最小值之和（），我们把它叫做中值模型． （1）若为奇函数，则其最大值与最小值和为0，即； （2）若为奇函数，则； （3）常见考向 【变式1】已知函数和均为上的奇函数，且，，则的值为（　　） A． B． C． D．6 【变式2】已知函数在区间上的最大值为M，最小值为N，则的值为 ． 【变式3】设函数（）的最大值为，最小值为，则= 题型04 利用函数的奇偶性求解析式 【典例1】已知是定义在上的奇函数，当时，，则在上的表达式为__________________ 抓住奇偶性讨论函数在各个分区间上的解析式，或充分利用奇偶性得出关于的方程，从而可得的解析式 【变式1】已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则时，的解析式为（  ） A． B． C． D． 【变式2】如果函数是奇函数，那么（ ） A． B． C． D． 【变式3】已知函数在R上为奇函数，且当时，，则当时，的解析式为 ． 【变式4】若定义在R上的偶函数和奇函数满足．则 ． 【变式5】已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，函数在轴左侧的图象如图所示，请根据图象； 画出在轴右侧的图象，并写出函数的解析式； 题型05 利用函数的奇偶性求参数 【典例1】若函数是上的偶函数，则的值为 . 由函数的奇偶性求参数：若函数解析式中含参数，则根据或，利用待定系数法求参数；若定义域含参数，则根据定义域关于原点对称，利用区间的端点值之和为0求参数 【变式1】若函数是定义在上的偶函数，则（  ） A．6 B．5 C．4 D．3 【变式2】函数是定义在上的奇函数．若，则的值为（  ） A．6 B．5 C．4 D．3 【变式3】若函数为偶函数，则实数 ． 【变式4】已知函数为偶函数，则 ． 题型06 利用函数的奇偶性求最值 【典例1】设函数的最大值为，最小值为，则（  ） A．5 B．4 C．3 D．2 【变式1】设函数，则它的最大值与最小值的和为（  ） A．2 B．1 C．0 D．-1 【变式2】若函数在区间上的最大值为M，最小值为m，则 ． 题型07 利用函数的奇偶性求单调区间 【典例1】已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，函数在轴左侧的图象如图所示，请根据图象； 画出在轴右侧的图象，并写出函数的单调区间； 【变式1】已知函数的部分图象如图所示，则（  ） A．的定义域为 B．的值域为 C．在区间上单调递减 D．的解集为 【变式2】已知函数是定义在区间内的奇函数，且在区间内的图象如图所示，则的单调递增区间为______________ 题型08 利用函数的奇偶性识别图象 【典例1】函数的图象大致是（ ） A． B． C． D． 【变式1】函数的图象大致形状是（  ） A． B． C． D． 【变式2】函数的大致图象如图所示，则可能是（  ）    A． B． C． D． 【变式3】函数的图像大致是（  ） A． B． C． D． 【变式4】已知偶函数和奇函数的定义域都是，它们在上的图像分别是图1和图2，则关于的不等式的解集是 ． 题型09 抽象函数的奇偶性问题 【典例1】已知函数的定义域为，且．当时，． (1)求； (2)证明：函数在为增函数； (3)如果，解不等式． 若所给的函数具有奇偶性，则直接利用或求解；若所给函数不具有奇偶性，抽象函数的模特函数通常有： (1)若，则(正比例函数) (2)若，则(一次函数) 【变式1】定义在上的函数满足对任意实数都有，若时，，则（  ） A．先单调通减后单调递增 B．在上单调递增 C．在上单调通减 D．单调性不确定 【变式2】已知函数的定义域为，满足，则下列说法正确的是（  ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．是偶函数 D．是奇函数 【变式3】已知函数的定义域为，且，若，则（  ） A． B． C．为增函数 D．为奇函数 【变式4】 （多选）已知函数的定义域为，对任意实数x，y满足，且，则下列结论正确的是（  ） A． B． C．为奇函数 D．为上的减函数 题型10 函数的单调性和奇偶性、对称性的综合应用 【典例1】已知函数是定义在上的奇函数，满足，当时，有． (1)求函数的解析式； (2)解不等式． 1、灵活运用数形结合的思想：根据函数的性质，如奇偶性、对称性等，先画出函数在某个基本区间上的图象，然后利用对称性等性质，将图象进行平移、翻转或复制，得到函数在整个定义域上的大致图象； 2、代数推导与运算：根据题目给出的函数性质条件，进行代数推导，得到函数的其他性质或具体表达式，若题目给出了函数的具体表达式，可根据表达式进行代数运算，如因式分解、配方等，以求解相关问题； 3、分类讨论与转化思想：当题目中的条件或结论存在多种可能性时，需要进行分类讨论；将复杂的问题转化为简单的问题，或将陌生的问题转化为熟悉的问题． 【变式1】已知定义在上的偶函数在上为减函数，且，则实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【变式2】已知函数是定义域为的奇函数，且，若对任意的，，且，都有成立，则不等式的解集为（  ） A． B． C． D． 【变式3】已知偶函数在区间上是增函数，则满足的取值范围是 . 【变式4】已知为上的奇函数，，若且，都有，则不等式的解集为是 . 【变式5】已知函数，. (1)判断函数的奇偶性； (2)用定义法证明：函数在上单调递增； (3)求不等式的解集. 1．下列函数中为偶函数的是（  ） A． B． C． D． 2．若，函数为上的奇函数，则是的（  ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 3．已知函数，若，则（  ） A．0 B．2 C．4 D．6 4．若函数是定义在上的偶函数，则（  ） A． B． C． D．2 5．函数，经过点，则关于的不等式解集为（  ） A． B． C． D． 6．定义在上的奇函数，在上单调递增，且，则满足的的取值范围是（  ） A． B． C． D． 7．（多选）下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的函数是（  ） A． B． C． D． 8．（多选）已知定义在上的函数满足为奇函数且，以下说法一定正确的是（  ） A． B．，都有，且 C． D． 9．（多选）已知函数，下列结论正确的是（  ） A．的图象关于轴对称 B．在上单调递减 C．当时， D．的值域是 10．设是定义在上的奇函数，则_______ 11．若定义在R上的奇函数在上单调递减，且，则满足的x的取值范围是_____________ 12．已知函数，且其定义域为． (1)判定函数的奇偶性； (2)利用单调性的定义证明：在上单调递减； (3)解不等式． 13．已知函数是定义在上的偶函数，且当时，．现已画出函数在轴左侧的图象，如图所示，并根据图象． (1)画出在轴右侧的图象并写出函数的增区间； (2)写出函数的解析式； (3)若函数，求函数的最小值． 14.已知函数的定义域为，对任意，都满足，且.当时，，且. (1)求，的值； (2)用函数单调性的定义证明在上单调递增； (3)若对任意的，恒成立，求实数a的取值范围. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题5.5 函数的奇偶性 教学目标 1.结合具体函数，了解函数奇偶性的概念和几何意义. 2.能判断函数的奇偶性，能运用奇偶函数的图象特征解决一些简单问题. 3.了解函数图象的对称轴、对称中心满足的条件. 4.通过本节内容的学习，让学生结合实例，利用图象抽象出函数性质，提升学生的直观想象和逻辑推理素养；通过函数奇偶性的应用，熟悉转化、对称等思考方法，提升学生的逻辑推理素养；通过函数图象的对称轴、对称中心条件，提升学生的直观想象和数学抽象素养. 教学重难点 1.重点 函数奇偶性的概念与判断； 2.难点 利用函数的奇偶性解决问题. 知识点01 偶函数和奇函数的定义 1. 偶函数和奇函数的定义： 设函数y＝f(x)的定义域为A. (1)如果对于任意的x∈A，都有－x∈A，并且f(－x)＝f(x)，那么称函数y＝f(x)是偶函数； (2)如果对于任意的x∈A，都有－x∈A，并且f(－x)＝－f(x)，那么称函数y＝f(x)是奇函数； (3)如果函数f(x)是奇函数或偶函数，那么我们称函数f(x)具有奇偶性； 注意：①利用性质法来判断奇偶性（以函数的定义域关于原点对称为前提，所有奇偶函数都非零函数） ②对于含参函数中参数的求值问题，在填空题与选择题中，掌握以下两个结论，会给解题带来方便： (i)f(x)为偶函数⇔f(x)＝f(|x|)．(ii)若奇函数在x＝0处有意义，则f(0)＝0. 【即学即练】 1．下列函数中，是偶函数的是（  ） A．（） B． C． D． 【答案】C 【分析】根据偶函数的定义，逐项分析即可得解. 【解析】对于A选项，()定义域不关于原点对称，故A错误； 对于B选项，，所以不是偶函数，故B错误； 对于C选项，函数定义域为R，且，所以是偶函数，故C正确； 对于D选项，，所以不是偶函数，故D错误. 故选：C 2．（多选）下列说法中正确的是（  ） A．函数是奇函数 B．函数是偶函数 C．函数，是偶函数 D．函数既不是奇函数，也不是偶函数 【答案】ABD 【解析】对于A，函数的定义域为，定义域关于原点对称， 又，，则，所以函数是奇函数； 对于B，函数的定义域为，定义域关于原点对称， 又，，则，所以函数是偶函数； 对于C，函数的定义域为，定义域不关于原点对称， 所以函数，既不是奇函数，也不是偶函数； 对于D，函数的定义域为，定义域关于原点对称， 又，，则且， 因此函数既不是奇函数，也不是偶函数. 所以选项中C的说法不正确， 故选：ABD 知识点02 偶函数和奇函数图象的特点 根据函数奇偶性的定义可知，偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图象关于原点对称． 说明：奇函数与偶函数的定义域的特征：定义域关于原点对称． 注意： ①奇函数图像关于原点对称f(－x)＝－f(x) ②偶函数图像关于轴对称f(－x)＝f(x) ③奇函数在轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在轴两侧相对称的区间增减性相反．(重要） 【即学即练】 1．函数的图像大致是（  ） A．   B． C．     D．   【答案】B 【解析】由函数，可得， 所以函数为奇函数，其图象关于原点对称， 又由时，，所以函数图象为B选项. 故选：B. 2．设偶函数在区间上单调递增，则（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据偶函数的性质得到，再根据函数的单调性判断即可. 【解析】因为为偶函数，所以， 又在区间上单调递增，，所以， 则. 故选：B. 知识点03 判断函数奇偶性的方法 判断函数奇偶性的方法： (1)定义法： (2) 图象法：函数是奇(偶)函数⇔函数图象关于原点(y轴)对称. 注意：函数奇偶性的常用结论 (1)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)． (2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性． (3)在公共定义域内有：奇±奇→奇，偶±偶→偶，奇×奇→偶，偶×偶→偶，奇×偶→奇． (4)奇(偶)函数倒数或相反数运算，奇偶性不变； (5)奇(偶)函数的绝对值运算，函数的奇偶性均为偶函数． (6)若函数的定义域关于原点对称，则函数能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式．记，，则． (7)复合函数的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇． 【即学即练】 1．判断下列函数的奇偶性，并说明理由 (1)； (2)； 【答案】(1)偶函数;(2)非奇非偶函数 【分析】（1）（2）根据函数奇偶性的定义进行判断即可. 【解析】（1）偶函数，理由如下： 函数的定义域为R，关于原点对称， 且， 所以函数为偶函数. （2）非奇非偶函数，理由如下： 由得且， 故函数的定义域为且，不关于原点对称， 所以函数为非奇非偶函数. 2．已知函数是奇函数，当时，，那么的值是________ 【答案】 【分析】根据奇函数的性质即可求解. 【解析】因为函数为奇函数，当时，, 则. 故答案为： 题型01 函数奇偶性的定义及判断 【典例1】判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)； (3)． (4)； (5). 【答案】(1)偶函数；(2)奇函数；(3)奇函数；(4)非奇非偶函数；(5)既是奇函数又是偶函数 【分析】（1）（2）（3）（4）（5）求得定义域，利用奇偶性的定义判断即可；. 【解析】（1）因为的定义域为，关于原点对称， 又， 所以为偶函数． （2）因为的定义域为，它关于原点对称， 又， 所以为奇函数． （3）由题设得：，所以函数定义域为，关于原点对称， 且，所以， 所以， 所以， 所以是奇函数． （4）非奇非偶函数，理由如下： 由解得，所以，函数的定义域为，定义域关于原点不对称， 则为非奇非偶函数． （5）既是奇函数又是偶函数，理由如下： 由，所以，其定义域为，关于原点对称. 因为对定义域内的每一个，都有，所以，， 所以既是奇函数又是偶函数. 判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件： (1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域； (2)判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数))是否成立. 注：判定函数奇偶性容易失误是由于没有考虑到函数的定义域．函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件，因此研究函数的奇偶性必须“坚持定义域优先”的原则，即优先研究函数的定义域，否则就会做无用功． 【变式1】函数的奇偶性为（  ） A．奇函数 B．偶函数 C．即奇又偶函数 D．非奇非偶函数 【答案】A 【分析】按照判定函数奇偶性的步骤，先求函数的定义域，并判断是否关于原点对称，求，与对比，即可得出结论. 【解析】的定义域为， ， 所以是奇函数. 故选:A. 【变式2】设函数，则下列函数中为奇函数的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据奇函数的定义即可得出判断． 【解析】对于A，，设， ，所以为奇函数，故A符合题意； 对于B，，， 定义域关于原点不对称，所以是非奇非偶函数，故B不合题意； 对于C，， 设， 则，不为奇函数，故C不合题意； 对于D，， 定义域关于原点不对称，所以为非奇非偶函数，故D不合题意； 故选：A． 【变式3】判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)偶函数；(2)非奇非偶函数；(3)奇函数 【分析】（1）（2）（3）求得定义域，利用奇偶性的定义判断即可；. 【解析】（1）函数的定义域为R，关于原点对称， 又， ∴为偶函数． （2）函数的定义域为，不关于原点对称， ∴是非奇非偶函数． （3）函数的定义域为， ∵，都有， 且， ∴是奇函数． 题型02 利用函数奇偶性求值 【典例1】设是定义在上的奇函数，当时，，则（  ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】根据奇函数的定义可得，求出即可. 【解析】因为是定义在上的奇函数，且当时，， 所以. 故选：D. 由函数的奇偶性求函数值： 若所给的函数具有奇偶性，则直接利用或求解；若所给函数不具有奇偶性，一般利用所给的函数构造一个奇函数或偶函数，然后利用其奇偶性求值 【变式1】若奇函数和偶函数满足，则（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用奇函数和偶函数的性质可得出关于、的方程组，解出这两个函数的解析式，代值计算可得出的值. 【解析】因为奇函数和偶函数满足， 则， 即，解得， 因此，. 故选：C. 【变式2】已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则 . 【答案】 【解析】依题意，. 故答案为： 【变式3】设函数若为奇函数，则（  ） A．4 B．2 C． D． 【答案】A 【解析】因是奇函数， 故. 故选：A. 【变式4】已知是定义在上的奇函数，且当时，，若，则（  ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【解析】因为是定义在上的奇函数，所以， 当时，， 又，即，故，则， 则当时，，当时，， 所以，则所以． 故选：A. 题型03 已知f（x）=奇函数+C(常数） 【典例1】已知函数，，则 . 【答案】 【分析】根据函数的奇偶性求函数值. 【解析】设，则，且为奇函数，即. 又 ； 所以， 所以. 故答案为： 若函数，则我们把它称为准奇函数，求准奇函数最大值+最小值之和（），我们把它叫做中值模型． （1）若为奇函数，则其最大值与最小值和为0，即； （2）若为奇函数，则； （3）常见考向 【变式1】已知函数和均为上的奇函数，且，，则的值为（　　） A． B． C． D．6 【答案】A 【分析】代入，和，利用奇函数的性质，两式相加求值. 【解析】,①, 和 都是奇函数， 即 ② ①+②可得 . 故选A. 【变式2】已知函数在区间上的最大值为M，最小值为N，则的值为 ． 【答案】 【解析】因， 设，则，可得函数为奇函数， 则在区间上的最大值与最小值的和为0，故， 于是，. 故答案为：. 【变式3】设函数（）的最大值为，最小值为，则= 【答案】4048 【解析】由题意 ，， 令，， 则，即为奇函数， 则， 结合函数（）的最大值为，最小值为， 得，则， 故答案为：4048 题型04 利用函数的奇偶性求解析式 【典例1】已知是定义在上的奇函数，当时，，则在上的表达式为__________________ 【答案】 【分析】利用函数奇偶性求对称区域解析式，再利用绝对值的意义，把分段函数又写成含绝对值的函数即可. 【解析】当时，，即有， 再由是定义在上的奇函数，所以， 即有， 所以当时，， 当时，， 综上可得：， 故答案为： 抓住奇偶性讨论函数在各个分区间上的解析式，或充分利用奇偶性得出关于的方程，从而可得的解析式 【变式1】已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则时，的解析式为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性求得正确答案. 【解析】是定义域为的奇函数， 当时，，所以. 故选：A. 【变式2】如果函数是奇函数，那么（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】当时，， 所以， 又因为为奇函数，所以， 所以，即， 所以当时，. 故选：A. 【变式3】已知函数在R上为奇函数，且当时，，则当时，的解析式为 ． 【答案】 【解析】函数在上为奇函数，且当时，， 当时，， 所以. 故答案为：. 【变式4】若定义在R上的偶函数和奇函数满足．则 ． 【答案】 【解析】由题意，， 则由 可得，即 由，可得 故答案为： 【变式5】已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，函数在轴左侧的图象如图所示，请根据图象； 画出在轴右侧的图象，并写出函数的解析式； 【答案】图象见答案 【解析】函数是定义在上的奇函数，即函数的图象关于原点对称， 则函数图象如图所示． 根据题意， 令，则，则， 又因为函数是定义在上的奇函数， 所以， 即， 所以. 题型05 利用函数的奇偶性求参数 【典例1】若函数是上的偶函数，则的值为 . 【答案】 【分析】根据偶函数的定义域的对称性得到a的值，进一步根据偶函数的定义和函数的解析式得到b的值，即得. 【解析】函数是定义在上的偶函数， ，即． ， ， ， ∴, 故答案为：. 由函数的奇偶性求参数：若函数解析式中含参数，则根据或，利用待定系数法求参数；若定义域含参数，则根据定义域关于原点对称，利用区间的端点值之和为0求参数 【变式1】若函数是定义在上的偶函数，则（  ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【解析】函数是定义在上的偶函数，，即． ，，， ∴,∴, 故选：B 【变式2】函数是定义在上的奇函数．若，则的值为（  ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】A 【分析】由奇函数的定义域可得的值，再由解出，进而求出答案． 【解析】函数是定义在上的奇函数，则，解得．又，则，所以． 故选：A 【变式3】若函数为偶函数，则实数 ． 【答案】0 【解析】因为， 该函数的定义域为， 因为函数为偶函数，则， 即， 可得对任意的恒成立，故，解得. 故答案为：0. 【变式4】已知函数为偶函数，则 ． 【答案】 【分析】令时，则，由偶函数的定义可得出，可得出、的值，进而可得出的值. 【解析】因为函数为偶函数， 当时，，此时，， 所以，，，故. 故答案为：. 题型06 利用函数的奇偶性求最值 【典例1】设函数的最大值为，最小值为，则（  ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【解析】因为， 令，定义域为. 且，所以为奇函数. 因为，所以的最大值为，的最小值为. 所以，所以. 故选：D 【变式1】设函数，则它的最大值与最小值的和为（  ） A．2 B．1 C．0 D．-1 【答案】C 【解析】因为的定义域关于原点对称，且， 所以是奇函数，不妨设， 则， 所以的最大值与最小值的和为0. 故选：C 【变式2】若函数在区间上的最大值为M，最小值为m，则 ． 【答案】4 【解析】因为， 令，则， 又因为，所以函数为奇函数， 所以，所以． 故答案为：4． 题型07 利用函数的奇偶性求单调区间 【典例1】已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，函数在轴左侧的图象如图所示，请根据图象； 画出在轴右侧的图象，并写出函数的单调区间； 【答案】答案见解析 【解析】函数是定义在上的奇函数，即函数的图象关于原点对称， 则函数图象如图所示． 故函数的单调递减区间为，单调递增区间为； 【变式1】已知函数的部分图象如图所示，则（  ） A．的定义域为 B．的值域为 C．在区间上单调递减 D．的解集为 【答案】D 【分析】根据解析式和图像直接判断AB；对于C：结合奇函数性质分析判断；对于D：利用单调性解不等式即可. 【解析】对于选项A：显然函数的定义域为，故A错误； 对于选项B：由图象可知可以为负值，所以的值域不为，故B错误； 因为，可知为奇函数. 对于选项C：由图象可知：在区间上单调递增， 则在区间上单调递增，故C错误； 对于选项D：因为在区间上单调递增， 且，此时的解集为； 又因为在区间上单调递增， 且，此时的解集为； 综上所述：的解集为，故D正确； 故选：D. 【变式2】已知函数是定义在区间内的奇函数，且在区间内的图象如图所示，则的单调递增区间为______________ 【答案】和 【分析】根据奇函数的定义求出的值，由图象可得函数在内单调递增，根据奇函数的对称性，求出函数在内单调递增，即可得解. 【解析】因为函数是定义在区间内的奇函数， 所以，解得， 所以函数是定义在区间内的奇函数， 由图可知，函数在内单调递增，由奇函数的性质可知函数在内单调递增， 因此的单调递增区间为和． 故答案为：和 题型08 利用函数的奇偶性识别图象 【典例1】函数的图象大致是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】令且定义域为R，，即为奇函数，排除C、D； 当时，恒成立，排除B. 故选：A 【变式1】函数的图象大致形状是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性和函数值的符号可得正确的选项. 【解析】的定义域为，而， 因此为奇函数，故排除CD， 当时，，故排除B， 故选：A. 【变式2】函数的大致图象如图所示，则可能是（  ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图象分析的奇偶性以及定义域，然后逐项判断即可. 【解析】由图象可知，为奇函数且定义域为， 对于A：定义域为关于原点对称，，是偶函数，不符合； 对于B：定义域为，不符合； 对于C：定义域为关于原点对称，，是奇函数，符合； 对于D：定义域为，不符合； 故选：C. 【变式3】函数的图像大致是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以函数为奇函数，图象关于原点成中心对称，故C错； 令，则，故B错； 令，则，故D错. 选项A正确. 故选：A 【变式4】已知偶函数和奇函数的定义域都是，它们在上的图像分别是图1和图2，则关于的不等式的解集是 ． 【答案】 【解析】由偶函数的性质可知，， 或， 由奇函数的性质可知，，， 当，得， 当，得， 所以不等式的解集为. 故答案为： 题型09 抽象函数的奇偶性问题 【典例1】已知函数的定义域为，且．当时，． (1)求； (2)证明：函数在为增函数； (3)如果，解不等式． 【答案】(1)0；(2)证明见解析；(3) 【解析】（1）∵， 令，则， ∴； （2）由，可得， 则得，， 设，由， 因时，有，依题意，，即， 所以函数在为增函数； （3）因，∴， 又由，则 ， 由可得， 即，即，因函数在为增函数 故可得，， 解得，即不等式的解集为. 若所给的函数具有奇偶性，则直接利用或求解；若所给函数不具有奇偶性，抽象函数的模特函数通常有： (1)若，则(正比例函数) (2)若，则(一次函数) 【变式1】定义在上的函数满足对任意实数都有，若时，，则（  ） A．先单调通减后单调递增 B．在上单调递增 C．在上单调通减 D．单调性不确定 【答案】B 【解析】任取，令， 则 ， 因为， 所以， 所以， 所以在上单调递增. 故选：B. 【变式2】已知函数的定义域为，满足，则下列说法正确的是（  ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．是偶函数 D．是奇函数 【答案】D 【解析】由题意知，在函数中，2023， 当时，，解得， 若函数是上的奇函数，则该函数的图象必过原点，即有，故B错误. 当时，，解得， 无法得到，故A错误. 在函数中，， 所以是奇函数，故C错误，D正确. 故选：D. 【变式3】已知函数的定义域为，且，若，则（  ） A． B． C．为增函数 D．为奇函数 【答案】C 【解析】对于A，令，则， 又因为，所以， 令，则，解得，故A错误； 对于B，令，则，又， 解得，故B错误； 对于C，令，则有， 又因为，所以， 所以函数为单调递增函数，故C正确； 对于D，由C可知，为非奇非偶函数，故D错误. 故选：C. 【变式4】（多选）已知函数的定义域为，对任意实数x，y满足，且，则下列结论正确的是（  ） A． B． C．为奇函数 D．为上的减函数 【答案】ABC 【解析】A：令，代入， 得，解得，故A正确； B：令，代入， 得，又，所以； 令，代入， 得， 令，代入， 得，所以，故B正确； C：令，代入， 得，则， 所以函数为奇函数，故C正确； D：由选项AB知，，，则， 所以函数不为R上的减函数，故D错误. 故选：ABC 题型10 函数的单调性和奇偶性、对称性的综合应用 【典例1】已知函数是定义在上的奇函数，满足，当时，有． (1)求函数的解析式； (2)解不等式． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）因为函数是定义在上的奇函数，所以，即，解得， 因为，所以，所以， 所以当时，， 当时，， 则， 综上所述，． （2）任取，且， 则 ， 因为，所以， 所以，即， 故在上为增函数； 因为函数是定义在上的奇函数， 所以， 又由在上为增函数， 所以， 解得， 故原不等式的解集为． 1、灵活运用数形结合的思想：根据函数的性质，如奇偶性、对称性等，先画出函数在某个基本区间上的图象，然后利用对称性等性质，将图象进行平移、翻转或复制，得到函数在整个定义域上的大致图象； 2、代数推导与运算：根据题目给出的函数性质条件，进行代数推导，得到函数的其他性质或具体表达式，若题目给出了函数的具体表达式，可根据表达式进行代数运算，如因式分解、配方等，以求解相关问题； 3、分类讨论与转化思想：当题目中的条件或结论存在多种可能性时，需要进行分类讨论；将复杂的问题转化为简单的问题，或将陌生的问题转化为熟悉的问题． 【变式1】已知定义在上的偶函数在上为减函数，且，则实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为为定义在上的偶函数，且，可得， 且在上为减函数，则，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：C. 【变式2】已知函数是定义域为的奇函数，且，若对任意的，，且，都有成立，则不等式的解集为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对任意的，，且，都有成立，所以在单调递增， 又因为函数是定义域为的奇函数，所以在单调递增， 由， 当时，，即； 当时，，即； 由可得. 故选：D. 【变式3】已知偶函数在区间上是增函数，则满足的取值范围是 . 【答案】 【解析】因为偶函数在区间上是增函数， 所以在区间上单调递减， 不等式等价于，等价于， 即，解得，即满足的取值范围是. 故答案为： 【变式4】已知为上的奇函数，，若且，都有，则不等式的解集为是 . 【答案】 【分析】设，由题意得到为偶函数且在上单调递增，由，将原不等式转化为，然后利用的图象与性质将问题转化为，解不等式即可得解. 【解析】设，由且, 则在上单调递增，∵为奇函数，， 故为偶函数， 而， 则，解得：， 故答案为： 【变式5】已知函数，. (1)判断函数的奇偶性； (2)用定义法证明：函数在上单调递增； (3)求不等式的解集. 【答案】(1)为奇函数；(2)证明见解析；(3) 【解析】（1）由，且定义域关于原点对称，故为奇函数. （2）任取，且， ， 因为，且， 故，，，，， 所以，， 故函数在上单调递增； （3）由（1）（2）为奇函数，且在上单调递增， 变形为， 则要满足，解得：， 故不等式的解集为 1．下列函数中为偶函数的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，函数的定义域为，关于数0不对称，是非奇非偶函数，A不是； 对于B，函数的定义域为，是奇函数，B不是； 对于C，函数的定义域为，，是偶函数，C是； 对于D，函数的定义域为，是奇函数，D不是. 故选：C 2．若，函数为上的奇函数，则是的（  ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 【答案】D 【解析】若函数为上的奇函数，则，解得或， 当时，，因为，， 所以，即函数不是奇函数； 当时，，该函数的定义域为， ，即函数为奇函数. 故当函数为上的奇函数时，， 因此，是的充要条件. 故选：D. 3．已知函数，若，则（  ） A．0 B．2 C．4 D．6 【答案】D 【解析】令，， 所以为奇函数， 所以，所以， 所以，所以． 故选：D. 4．若函数是定义在上的偶函数，则（  ） A． B． C． D．2 【答案】D 【解析】因为函数是定义在上的偶函数， 所以且，则， 所以，则. 故选：D． 5．函数，经过点，则关于的不等式解集为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由函数的图象经过点，得， 则， 所以函数在上单调递减，在上单调递减， 所以在R上单调递减， 又，即函数是奇函数， 不等式， 则，即，解得， 所以原不等式的解集为. 故选：B. 6．定义在上的奇函数，在上单调递增，且，则满足的的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意得到，的值与的单调性，再分类讨论，，，与五种情况，结合的性质即可得解. 【解析】因为函数是定义在上的奇函数，在区间上单调递增，且， 所以，，在上单调递增， 当时，成立； 当时，成立； 当，即时，，即有，可得； 当时，，，可得，可得； 当时，，，可得，可得； 综上，或，即的取值范围是. 故选：B. 7．（多选）下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的函数是（  ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】对于A，的定义域为，且，即为奇函数，A错误； 对于B，的定义域为，， 则为偶函数， 当时，函数在上单调递增，B正确； 对于C，的定义域为，，即为偶函数， 函数在上单调递增，C正确； 对于D，的定义域为，且， 为偶函数，在上单调递减，D错误. 故选：BC 8．（多选）已知定义在上的函数满足为奇函数且，以下说法一定正确的是（  ） A． B．，都有，且 C． D． 【答案】AD 【分析】根据奇函数的定义以及赋值法求解. 【解析】对于选项，因为为奇函数，所以，则正确，错误； 由可知，令，则，则正确，错误； 故选：AD. 9．（多选）已知函数，下列结论正确的是（  ） A．的图象关于轴对称 B．在上单调递减 C．当时， D．的值域是 【答案】ACD 【解析】对于选项A：因为，可知的定义域为， 又因为，所以是偶函数，图象关于轴对称，故A正确； 对于选项B：因为， 且在上单调递增，所以在上单调递增，故B错误； 对于选项C：当时，，故C正确； 对于选项D：因为，则，即， 可得，所以的值域是，故D正确； 故选：ACD. 10．设是定义在上的奇函数，则_______ 【答案】2 【分析】由题设得，进而求出a，再检验即可. 【解析】因为是定义在上的奇函数， 所以，即，故， 此时，所以， 满足是定义在上的奇函数， 所以. 故答案为：2 11．若定义在R上的奇函数在上单调递减，且，则满足的x的取值范围是_____________ 【答案】 【解析】由题意，定义在R上的奇函数在上单调递减，且， 则在上单调递减，且，， 所以当时，， 当时，， 所以由可得： 或或， 解得或或，即或， 所以满足的的取值范围是. 故答案为： 12．已知函数，且其定义域为． (1)判定函数的奇偶性； (2)利用单调性的定义证明：在上单调递减； (3)解不等式． 【答案】(1)奇函数;(2)证明见解析;(3) 【解析】（1）为奇函数，理由如下： 因为，且函数定义域为，关于原点对称， 所以为奇函数. （2）任取， 所以，， 则， 所以， 故在上单调递减； （3）可转化为， 则，所以，解得， 故的范围为. 13．已知函数是定义在上的偶函数，且当时，．现已画出函数在轴左侧的图象，如图所示，并根据图象． (1)画出在轴右侧的图象并写出函数的增区间； (2)写出函数的解析式； (3)若函数，求函数的最小值． 【答案】(1)图象见解析，递增区间为， (2) (3) 【解析】（1） 函数是定义在上的偶函数， 即函数的图象关于轴对称，其递增区间为，； （2）根据题意，令，则，则， 又由函数是定义在上的偶函数， 则，则； （3）根据题意，，则， 则，其对称轴为， 当时，即时，在区间上为增函数，； 当时，即时，； 当时，即时，在区间上为减函数，， 则． 14.已知函数的定义域为，对任意，都满足，且.当时，，且. (1)求，的值； (2)用函数单调性的定义证明在上单调递增； (3)若对任意的，恒成立，求实数a的取值范围. 【答案】(1)，；(2)证明见解析；(3) 【解析】（1）由， 则， 又当时，， 则， ； （2）令，则，即， 当时，，且， 即， 即在上恒成立， 由，可知， 令，，且，即， 则， 所以， 即在上单调递增； （3）由已知， 又由（1）得， 所以， 又函数在上单调递增， 则恒成立， 所以恒成立， 又， 即， 解得. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $