第5章 §5.2 函数的表示方法（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（苏教版）

本讲义聚焦函数的表示方法、解析式求法及分段函数三大核心知识点，从初中函数基础引入，通过问题驱动梳理解析法、列表法、图象法的优缺点，系统讲解换元法、配凑法等求解析式方法，最终落脚于分段函数的表示与性质研究，构建完整知识支架。 该资料以“才高八斗”等成语类比导入，用购买饮料、出租车收费等生活实例，培养学生用数学眼光观察现实世界的意识。通过换元法推理、分段函数建模等环节，训练数学思维与语言表达能力，课中助力教师高效授课，课后便于学生回顾强化，弥补知识盲点。

学习目标　1.了解函数的三种表示方法及各自的优缺点.2.掌握求函数解析式的常见方法.3.会用解析法及图象法表示分段函数，能研究分段函数的有关性质. 导语 如果一个人极有才华，我们会用“才高八斗”来形容；如果一个人兼有文武才能，我们会用“出将入相”来形容；如果一个人是稀有而可贵的人才，我们会用“凤毛麟角”来形容；如果一个人品行卓越，天下绝无仅有，我们会用“斗南一人”来形容，那么对于呈现出来的不同函数，是否也会有不同的表示方法呢？让我们一起来探究吧. 一、函数的三种表示方法 问题1　结合初中所学以及上节课的几个问题，你能总结出函数的几种表示方法？ 提示　解析法；列表法；图象法. 知识梳理　函数的表示方法 注意点： 函数三种表示方法的优缺点 例1　(课本例1)购买某种饮料x听，所需钱数为y元.若每听2元，试分别用解析法、列表法、图象法将y表示成x(x∈{1，2，3，4})的函数，并指出这个函数的值域. 解　(1)解析法：y=2x，x∈{1，2，3，4}. (2)列表法：如表所示. x/听 1 2 3 4 y/元 2 4 6 8 (3)图象法：图象由点(1，2)，(2，4)，(3，6)，(4，8)组成，如图所示. 函数的值域是{2，4，6，8}. 例1　某同学购买x(x∈{1，2，3，4，5})张价格为20元的科技馆门票需要y元.试用函数的三种表示方法将y表示成x的函数. 解　(1)列表法： x/张 1 2 3 4 5 y/元 20 40 60 80 100 (2)图象法：如图所示. (3)解析法：y=20x，x∈{1，2，3，4，5}. 反思感悟　理解函数表示方法的三个关注点 (1)列表法、图象法、解析法均是函数的表示方法，无论是哪种方式表示函数，都必须满足函数的概念. (2)列表法更直观，图象法从形的角度描述函数，解析法从数的角度描述函数. (3)函数的三种表示方法互相兼容或补充，许多函数是可以用三种方法表示的，但在实际操作中，仍以解析法为主. 跟踪训练1　已知函数f(x)=-x-1，x∈{1，2，3，4}，试分别用图象法和列表法表示函数y=f(x). 解　用图象法表示函数y=f(x)，如图所示. 用列表法表示函数y=f(x)，如表所示. x 1 2 3 4 y -2 -3 -4 -5 二、求函数的解析式 例2　(1)已知f(+1)=x+2求f(x)； (2)已知f(x)为二次函数，且f(x+1)+f(x-1)=2x2-4x，求f(x)； (3)已知函数f(x)对于任意的x(x≠0)都有f(x)+2f=x，求f(x). 解　(1)方法一　(换元法)：令t=+1， 则x=(t-1)2，t≥1， 所以f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-1(t≥1)， 所以f(x)的解析式为f(x)=x2-1(x≥1). 方法二　(配凑法)：f(+1)=x+2 =x+2+1-1=(+1)2-1. 因为+1≥1， 所以f(x)的解析式为f(x)=x2-1(x≥1). (2)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0)， 则f(x+1)+f(x-1) =a(x+1)2+b(x+1)+c+a(x-1)2+b(x-1)+c =2ax2+2bx+2a+2c=2x2-4x， 则得 所以f(x)=x2-2x-1. (3)在f(x)+2f=x中，用代换x， 得f+2f(x)= 于是得关于f(x)与f的方程组 解得f(x)=-(x≠0). 反思感悟　求函数解析式的四种常用方法 (1)换元法：设t=g(x)，解出x，代入f(g(x))，求f(t)的解析式即可.注意换元时t的取值范围. (2)配凑法：对f(g(x))的解析式进行配凑变形，使它能用g(x)表示出来，再用x代替两边所有的“g(x)”即可.注意g(x)的取值范围. (3)待定系数法：若已知f(x)的解析式的类型，设出它的一般形式，根据特殊值确定相关的系数即可. (4)方程组法(或消元法)：当同一个对应关系中的两个之间有互为相反数或互为倒数关系时，可构造方程组求解. 跟踪训练2　(1)已知f(x+1)=x2-3x+2，求f(x)； (2)已知函数f(x)是一次函数，若f(f(x))=4x+8，求f(x)； (3)已知函数f(x)对于任意的x都有f(x)-2f(-x)=1+2x，求f(x). 解　(1)方法一　(配凑法) ∵f(x+1)=x2-3x+2 =(x+1)2-5x+1=(x+1)2-5(x+1)+6， ∴f(x)=x2-5x+6. 方法二　(换元法)　令t=x+1，则x=t-1， ∴f(t)=(t-1)2-3(t-1)+2=t2-5t+6， 即f(x)=x2-5x+6. (2)设f(x)=ax+b(a≠0)， 则f(f(x))=f(ax+b)=a(ax+b)+b =a2x+ab+b. 又f(f(x))=4x+8，∴a2x+ab+b=4x+8， 即解得或 ∴f(x)=2x+或f(x)=-2x-8. (3)由题意，在f(x)-2f(-x)=1+2x中， 以-x代替x可得f(-x)-2f(x)=1-2x， 联立可得 消去f(-x)可得f(x)=x-1. 三、分段函数 问题2　函数y=是两个函数吗？ 提示　是一个函数，只不过x的取值范围不同，解析式不同. 知识梳理 分段函数的定义：在定义域内不同部分上，有不同的解析表达式.像这样的函数，通常叫作分段函数. 注意点： (1)分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集. (2)作分段函数图象时，应分别作出每一段的图象. 例3　(课本例3)某市出租汽车收费标准如下：在3 km以内(含3 km)路程按起步价9元收费，超过3 km的路程按2.4元/km收费.试写出收费额(单位：元)关于路程(单位：km)的函数解析式. 解　设路程为x km时，收费额为y元，则由题意得：当x≤3时，y=9；当x>3时，按2.4元/km所收费用为2.4×(x-3)，那么有y=9+2.4×(x-3). 于是，收费额关于路程的函数解析式为 y= 即y= 例3　某地区的电力紧缺，电力公司为鼓励市民节约用电，采取按月用电量分段收费办法，若某户居民每月应交电费y(元)关于用电量x(度)的函数图象是一条折线(如图所示)，根据图象解决下列问题： (1)求y关于x的函数关系式； (2)利用函数解析式，说明电力公司采取的收费标准； (3)若该用户某月用电62度，则应交费多少元？若该用户某月交费105元，则该用户该月用了多少度电？ 解　(1)当0≤x≤100时， 设函数解析式为y=kx(k≠0). 将x=100，y=65代入， 得k=0.65，所以y=0.65x. 当x>100时，设函数解析式为y=ax+b(a≠0). 将x=100，y=65和x=130，y=89代入， 得解得 所以y=0.8x-15. 综上可得y= (2)由(1)知电力公司采取的收费标准为：用户月用电量不超过100度时，每度电0.65元；超过100度时，超出的部分每度电0.8元. (3)当x=62时，y=62×0.65=40.3(元)； 当y=105时， 因为0.65×100=65<105，故x>100， 所以105=0.8x-15，解得x=150. 即该用户月用电62度时，则应交费40.3元；若该用户月交费105元，则该用户该月用了150度电. 反思感悟　由分段函数的图象确定函数解析式的步骤 (1)定类型：根据自变量在不同范围内图象的特点，先确定函数的类型. (2)设函数：设出函数的解析式. (3)列方程(组)：根据图象中的已知点，列出方程或方程组，求出该段内的解析式. (4)下结论：最后用“{”表示出各段解析式，注意自变量的取值范围. 跟踪训练3　已知函数f(x)= (1)求f(-5)，f(1)，f； (2)若f(a)=3，求实数a的值； (3)若f(x)>2x，求x的取值范围. 解　(1)由-5∈(-∞，-2]，1∈(-2，2)，-∈(-∞，-2]， 得f(-5)=-5+1=-4，f(1)=3×1+5=8， f =f=f =3×+5=. (2)当a≤-2时，f(a)=a+1=3， 即a=2>-2，不符合题意，舍去； 当-2<a<2时，f(a)=3a+5=3， 即a=-∈(-2，2)，符合题意； 当a≥2时，f(a)=2a-1=3， 即a=2∈[2，+∞)，符合题意. 综上可得，当f(a)=3时，a的值为-或2. (3)当x≤-2时，f(x)>2x可化为x+1>2x， 即x<1，所以x≤-2； 当-2<x<2时，f(x)>2x可化为3x+5>2x， 即x>-5，所以-2<x<2； 当x≥2时，f(x)>2x可化为2x-1>2x， 则x∈∅， 综上可得，x的取值范围是(-∞，2). 1.知识清单： (1)函数的三种表示方法：解析法、列表法、图象法. (2)求函数的解析式. (3)分段函数. 2.方法归纳：数形结合法、换元法、待定系数法. 3.常见误区：换元法求解析式时忽视新元的范围致误. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共18分 1.已知函数f(x)的对应关系如表，函数g(x)的图象如图所示，则f(g(0))等于(　　) x 0 1 4 f(x) 2 6 9 A.2 B.6 C.9 D.0 答案　C 解析　由图可知g(0)=4， 由表可知f(g(0))=f(4)=9. 2.已知f(1-2x)=则f 的值为(　　) A.4 B. C.16 D. 答案　C 解析　根据题意令1-2x=解得x=故=16. 3.已知f(x-1)=x2+4x-5，则f(x)的解析式是(　　) A.f(x)=x2+6x B.f(x)=x2+8x+7 C.f(x)=x2+2x-3 D.f(x)=x2+6x-10 答案　A 解析　方法一　(换元法) 设t=x-1，则x=t+1. ∵f(x-1)=x2+4x-5， ∴f(t)=(t+1)2+4(t+1)-5=t2+6t， ∴f(x)的解析式是f(x)=x2+6x. 方法二　(配凑法) ∵f(x-1)=x2+4x-5=(x-1)2+6(x-1)，∴f(x)=x2+6x， ∴f(x)的解析式是f(x)=x2+6x. 4.设x∈R，定义符号函数sgn x=则函数f(x)=|x|sgn x的图象大致是(　　) 答案　C 解析　函数f(x)=|x|sgn x=故函数f(x)=|x|sgn x的图象为y=x所在的直线，故选C. 5.一等腰三角形的周长是20，底边长y是关于腰长x的函数，则它的解析式为(　　) A.y=20-2x B.y=20-2x(0<x<10) C.y=20-2x(5≤x≤10) D.y=20-2x(5<x<10) 答案　D 解析　由题意得y+2x=20，所以y=20-2x， 由2x>y，即2x>20-2x，得x>5， 由y>0，即20-2x>0，得x<10，所以5<x<10. 6.(多选)已知函数f(x)=则(　　) A.f(4)=8 B.f=7 C.若f(a)=8，则a= D.不等式f(x)>8的解集为{x|x>2} 答案　BC 解析　f(4)=42-2=14，故A错误； f=2×=3，∴f=f(3)=7，故B正确； 当a≤2时，由2a=8得a=4，不符合题意， 当a>2时，由a2-2=8得a=或a=-(舍去)，故C正确； f(x)>8等价于或 ∴x>故D错误. 7.(5分)已知函数f(x)是一次函数，满足f(f(x))=16x-20，则f(x)=　　　　　　.  答案　4x-4或-4x+ 解析　设f(x)=kx+b(k≠0)， 则f(f(x))=f(kx+b)=k(kx+b)+b=k2x+kb+b=16x-20， 所以解得或 所以f(x)=4x-4或f(x)=-4x+. 8.(5分)函数f(x)=则该函数的值域为　　　　　.  答案　(-∞，6) 解析　当0<x<2时，二次函数f(x)=x2+x的对称轴是x=-且开口向上， 由二次函数的图象可知f(x)=x2+x，0<x<2的值域为(0，6)； 当x≥2时，f(x)=-2x+8≤-2×2+8=4，即f(x)=-2x+8，x≥2的值域为(-∞，4]， 综上，f(x)=的值域为(-∞，6). 9.(10分)某商场新进了10台电脑，每台售价3 000元，试求售出台数x与收款数y之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来. 解　①列表法：如表所示. x(台) 1 2 3 4 5 y(元) 3 000 6 000 9 000 12 000 15 000 x(台) 6 7 8 9 10 y(元) 18 000 21 000 24 000 27 000 30 000 ②图象法：如图所示. ③解析法：y=3 000x，x∈{1，2，3，…，10}. 10.(10分)(1)已知f(x+1)=x2-x，求f(x)的解析式；(3分) (2)已知函数f(x)是二次函数，且f(0)=1，f(x+1)-f(x)=4x，求f(x)的解析式；(3分) (3)已知f(x)+2f(-x)=x2+x，求f(x)的解析式.(4分) 解　(1)∵f(x+1)=x2-x=(x+1)2-3x-1=(x+1)2-3(x+1)+2， ∴f(x)=x2-3x+2. (2)设所求二次函数的解析式为f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，∵f(0)=1，∴c=1， ∴f(x)=ax2+bx+1(a≠0)， 又f(x+1)-f(x)=4x， ∴a(x+1)2+b(x+1)+1-(ax2+bx+1)=4x， 即2ax+a+b=4x，∴解得 ∴f(x)=2x2-2x+1. (3)∵f(x)+2f(-x)=x2+x， ① 把x换成-x，得f(-x)+2f(x)=x2-x， ② 联立①②得 解得f(x)=-x. 11.某超市搞促销活动，规定：顾客购物总金额不超过500元，不享受任何折扣；如果顾客购物的总金额超过500元，则超过的部分享受一定的折扣优惠，并按下表折扣分别累计计算： 可享受折扣优惠的金额 折扣率 不超过400元的部分 10% 超过400元的部分 20% 若某顾客在此超市获得的折扣金额为60元，则此人购物实际所付金额为(　　) A.940元 B.1 000元 C.1 140元 D.1 200元 答案　A 解析　设此人购物总金额为x元，购物可获得的折扣金额为y元， 则y= 当x=900时，y=0.1×(900-500)=40， ∵60>40，∴x>900，∴0.2(x-900)+40=60， 解得x=1 000，故此人购物实际所付金额为1 000-60=940(元). 12.(多选)若函数f(1-2x)=(x≠0)，则(　　) A.f=15 B.f(2)=- C.f(x)=-1(x≠0) D.f =-1(x≠0且x≠1) 答案　AD 解析　令1-2x=t(t≠1)，则x= 所以f(t)==-1(t≠1)， 则f(x)=-1(x≠1)，故C错误； f=15，故A正确； f(2)=3，故B错误； f =-1=-1(x≠0且x≠1)，故D正确. 13.(5分)已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式是　　　　　　　　　. 答案　f(x)= 解析　由题图可知，图象是由两段组成， 当-1≤x<0时，设f(x)=ax+b(a≠0)， 将(-1，0)，(0，1)代入解析式， 则∴即f(x)=x+1； 当0≤x≤1时，设f(x)=kx(k≠0)， 将(1，-1)代入，则k=-1，f(x)=-x， 综上所述，f(x)= 14.(5分)函数f(x)=当f(f(a))=8时，实数a=　　　　.  答案　8 解析　令t=f(a)，则f(f(a))=f(t)=8， 当t≤1时，有t2+2t=8，解得t=-4或t=2(舍去)， 即t=f(a)=-4，当a≤1时，有a2+2a=-4，即a2+2a+4=0，无实数解， 当a>1时，有-5=-4⇒a=8，满足题意； 当t>1时-5=8⇒t=不满足题意， 故实数a=8. 15.(多选)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x)=x3f(x∈(-∞，0)∪(0，+∞))，f(x)+f(y)+xy=f(x+y)，则下列说法正确的是(　　) A.f(0)=0 B.f(3)=3 C.f(x)-f(-x)=x D.f(x)= 答案　AC 解析　对于A，f(x)+f(y)+xy=f(x+y)中，令x=y=0， 则f(0)=0，A正确； 对于B，C，D，再令y=-x，则f(x)+f(-x)-x2=f(0)=0， 即f(x)+f(-x)=x2， ① 所以f(x)=x3f=x3=x-x3f=x+f(-x)， 即f(x)-f(-x)=x(x≠0)， ② f(0)=0也符合上式，C正确； 联立①②，解得 f(x)=(x∈R)，D错误； f(3)=6，B错误. 16.(12分)如图，△OAB是边长为2的正三角形，记△OAB位于直线x=t(t<2)右侧的图形的面积为f(t). (1)求f(t)的解析式；(5分) (2)已知当m∈(0，2)时，f(m)=.若正实数a，b满足2a+b=m，求+的最小值.(7分) 解　(1)当t≤0时，f(t)=S△OAB=×2×=； 当0<t<1时，f(t)=-×t×t=-t2； 当1≤t<2时，f(t)=×(2-t)×(2-t)=(t2-4t+4)， 综上所述，f(t)= (2)由(1)知，当0<m<1时，f(m)=-m2=解得m=1或m=-1，均不符合题意； 当1≤m<2时，f(m)=(m2-4m+4)=解得m=1或m=3(舍去)， 所以2a+b=1. 又+=+=++1， 且a，b都是正实数，所以+≥2=2 当且仅当=即a=b=-1时，等号成立+取得最小值2故+的最小值为2+1. 学科网（北京）股份有限公司 $