专题5.4 函数的最值（高效培优讲义）数学苏教版2019高一必修第一册

专题5.4 函数的最值 教学目标 1.借助函数图象，会用符号语言表达函数的最大值、最小值，理解它们的作用和意义. 2.通过图象经历函数最值的抽象过程，培养学生的数学抽象、逻辑推理和数学运算素养. 教学重难点 1.重点 常见函数最值的求法； 2.难点 常见函数最值的求法. 知识点01 最大值、最小值的概念 最大值、最小值的概念： 一般地，设y＝f(x)的定义域为A.如果存在x0∈A，使得对于任意的x∈A，都有_________，那么称f(x0)为y＝f(x)的最大值，记为__________；如果存在x0∈A，使得对于任意的x∈A，都有_________，那么称f(x0)为y＝f(x)的最小值，记为_________. (2)利用函数单调性求最值的常用结论： ①如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增，在区间[b,c]上单调递减，那么函数y=f(x),x∈[a,c]在x=b处有_________f(b)，如图(1)所示； ②如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减，在区间[b,c]上单调递增，那么函数y=f(x), x∈[a,c]在x=b处有_________f(b)，如图(2)所示. 函数最值的几何意义：从函数的图象上看，函数的最大值就是函数图象最高点的纵坐标；函数的最小值就是函数图象最低点的纵坐标。 【即学即练】 1．已知函数，，则函数的最小值为 . 2．函数的最大值为 . 知识点02 函数最值的基本方法 求函数最值的三种基本方法： (1)_________：先确定函数的单调性，再由单调性求最值. (2)_________：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值. (3)_________：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值 【即学即练】 1．函数的最小值是（  ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．若函数在区间内的最大值为3，则（  ） A．3 B．4 C．5 D．3或5 3.已知函数， (1)用定义法判断在区间上的单调性 (2)求出该函数在区间上的最大值和最小值. 题型01 函数的最大（小）值的判定及求解 【典例1】函数（  ） A．最小值为0，最大值为3 B．最小值为，最大值为0 C．最小值为，最大值为3 D．既无最小值，也无最大值 通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的最值，或利用函数的图象的“最高点”和“最低点”，观察求得函数的最值； 【变式1】若的定义域为，则函数的值域为（  ） A．1 B．0 C．2 D．3 【变式2】函数的最大值是___________ 【变式3】已知函数 ． (1)判断函数在区间上的单调性，并用函数单调性的定义加以证明. (2)求出函数在区间上的最大值和最小值. (3)画出函数图象并求出其值域 【变式4】设函数. (1)求的单调区间； (2)求在区间的最大值和最小值. 题型02 利用单调性研究函数的最值 【典例1】函数在区间上的最小值为，最大值为，则 求函数最值时，如果能够先判断函数的单调性，可以利用函数在给定的区间上的单调递增或单调递减求最值 【变式1】函数在上的最小值为（  ） A．1 B． C． D． 【变式2】函数的最小值为 . 【变式3】函数的最小值为 ． 【变式4】已知函数，且. (1)求； (2)判断函数在上的单调性，并用定义法证明； (3)求函数在区间上的最大值和最小值. 题型03 利用函数图象研究最值 【典例1】如图是函数的图象，则下列说法正确的是（  ） A．在和上单调递减 B．在区间上的最大值为3，最小值为-2 C．在上有最大值2，有最小值-1 D．当直线与函数图象有交点时 利用函数图像求函数的最值，先作出所涉及到的函数图像，根据题目对函数的要求，从图像上寻找取得最值的位置，计算出答案，体现了数形结合的思想 【变式1】用表示a，b，c三个数中的最小值，则函数的最大值是（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】对，，记，则函数的最小值为 ． 【变式3】已知，函数.    (1)当时，画出的图象，并写出其单调增区间； (2)设，函数在既有最大值又有最小值，分别求出实数m，n的取值范围（用a表示）. 题型04 利用基本不等式研究函数最值 【典例1】已知函数，则函数的值域是 . 形如的函数，可用基本不等式法求最值，利用基本不等式法求函数的最值时，要注意条件“一正、二定、三相等”，即利用求函数的值域（或最值）时，应满足三个条件：①；②（或）为定值；③取等号的条件为，三个条件缺一不可； 【变式1】函数在区间上的最大值为（  ） A． B． C．5 D．6 【变式2】函数的值域为 ． 【变式3】求函数的值域. 【变式4】求下列函数的值域： (1) (2) (3) 题型05 利用函数的最值求参数 【典例1】已知函数在闭区间上有最大值3，最小值2，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【变式1】若函数 在 的最大值为2，则 的取值范围是 . 【变式2】已知函数在区间上的最大值为4，求实数的值. 【变式3】设函数，若是的最小值，则实数t的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【变式4】定义一种运算，设（为常数，且，则使函数的最大值为4的的值可以是（  ） A．或4 B．6 C．4或6 D． 题型06 分类讨论研究含参函数的最值 【典例1】已知函数在上的最小值为，求. 【变式1】已知函数. （1）求函数的单调区间和值域； （2）设，求函数的最大值的表达式. 【变式2】已知二次函数满足. (1)求函数的解析式； (2)若，，求的最小值. 【变式3】已知函数． (1)已知，若，求实数取值范围； (2)求在上的最小值； (3)求（2）中函数的最大值． 题型07 函数的最值与恒成立、能成立问题的融合 【典例1】已知函数. (1)当，求函数的值域. (2)若任意，使得恒成立，求实数的取值范围. 【变式1】已知函数，若恒成立，则的最大值为_____； 【变式2】已知函数，若，恒成立，则实数的取值范围是 . 【变式3】已知函数，，，.对于任意的，存在，使得，则的取值范围是 . 【变式4】若对，使不等式成立，则的最小值是_______ 【变式5】已知函数,若对任意的正实数，存在，使得，求实数的取值范围. 1．已知函数，则在区间的最大值为（  ） A．2 B．3 C．6 D．18 2．函数的最小值为（  ） A．2 B．5 C．6 D．7 3．已知函数在区间上的最大值为，则等于（  ） A． B． C． D．或 4．函数的最小值为（  ） A． B． C．1 D．2 5．若的最小值是4，则实数的值为（  ） A．6或 B．或18 C．6或18 D．或 6．已知，函数在区间上的最大值是5，则a的取值范围是（  ） A． B． C． D． 7．（多选）定义在R上的函数满足，当时，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 在区间上有最大值 D. 的解集为 8．（多选）已知函数，下列选项正确的是（  ） A．若，则 B．函数在定义域内是减函数 C．若时，则的值域是 D．若，则函数有最小值也有最大值 9．（多选）定义在R上的函数满足，当时，，则下列说法正确的是（  ） A． B．在R上是减函数 C．在上的最大值与最小值之和是4048 D．的解集为 10．函数，的值域为 ． 11．已知，若函数（）的最大值与最小值之差为1，则实数的值为_________ 12．已知函数的最小值为8.则实数的值是______ 13．已知二次函数且. (1)若函数的最小值为，求的解析式； (2)在（1）的条件下，在区间上恒成立，试求的取值范围. 14．已知函数 (1)当时，解不等式； (2)若任意，都有成立，求实数的取值范围； (3)若，使得不等式成立，求实数的取值范围． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题5.4 函数的最值 教学目标 1.借助函数图象，会用符号语言表达函数的最大值、最小值，理解它们的作用和意义. 2.通过图象经历函数最值的抽象过程，培养学生的数学抽象、逻辑推理和数学运算素养. 教学重难点 1.重点 常见函数最值的求法； 2.难点 常见函数最值的求法. 知识点01 最大值、最小值的概念 最大值、最小值的概念： 一般地，设y＝f(x)的定义域为A.如果存在x0∈A，使得对于任意的x∈A，都有f(x)≤f(x0)，那么称f(x0)为y＝f(x)的最大值，记为ymax＝f(x0)；如果存在x0∈A，使得对于任意的x∈A，都有f(x)≥f(x0)，那么称f(x0)为y＝f(x)的最小值，记为ymin＝f(x0). (2)利用函数单调性求最值的常用结论： ①如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增，在区间[b,c]上单调递减，那么函数y=f(x),x∈[a,c]在x=b处有最大值f(b)，如图(1)所示； ②如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减，在区间[b,c]上单调递增，那么函数y=f(x), x∈[a,c]在x=b处有最小值f(b)，如图(2)所示. 函数最值的几何意义：从函数的图象上看，函数的最大值就是函数图象最高点的纵坐标；函数的最小值就是函数图象最低点的纵坐标。 【即学即练】 1．已知函数，，则函数的最小值为 . 【答案】0 【分析】根据二次函数在区间上的单调性，得出该函数的最大值和最小值，即可得出该函数的值域. 【解析】函数在区间上为增函数， 所以，该函数的最小值为， 故答案为：0. 2．函数的最大值为 . 【答案】1 【解析】因为，所以，因此，函数的值域是. 该函数的最答值为1 故答案为：1 知识点02 函数最值的基本方法 求函数最值的三种基本方法： (1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值. (2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值. (3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值 【即学即练】 1．函数的最小值是（  ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】设（），则函数等价于，，结合二次函数的性质即可求解. 【解析】设，，则， 则函数等价于，， ∵在上是增函数，． ∴函数的最小值是3． 故选：A． 2．若函数在区间内的最大值为3，则（  ） A．3 B．4 C．5 D．3或5 【答案】A 【分析】先分离变量，再由复合函数的单调性知，分类研究即可. 【解析】，当时，，不符合题意； 当，即时，在内单调递减，，符合题意； 当，即时，在内单调递增，， 解得，与矛盾，舍去． 综上所述，． 故选：. 3.已知函数， (1)用定义法判断在区间上的单调性 (2)求出该函数在区间上的最大值和最小值. 【答案】（1）在区间上单调递增；（2）最小值为，最大值为 【解析】（1），且， 则 因，则， 则，即， 则在区间上单调递增. （2）由（1）可知在区间上单调递增， 则的最小值为，最大值为. 题型01 函数的最大（小）值的判定及求解 【典例1】函数（  ） A．最小值为0，最大值为3 B．最小值为，最大值为0 C．最小值为，最大值为3 D．既无最小值，也无最大值 【答案】C 【分析】将函数写成分段函数形式，求出值域，得到答案. 【解析】函数， 当时，，故， 故， 所以的最小值为，最大值为3． 故选：C． 通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的最值，或利用函数的图象的“最高点”和“最低点”，观察求得函数的最值； 【变式1】若的定义域为，则函数的值域为（  ） A．1 B．0 C．2 D．3 【答案】 【分析】根据二次函数的值域解析式求解即可. 【解析】因为的定义域为，所以；；；所以函数值域为. 故答案为：. 【变式2】函数的最大值是___________ 【答案】1 【解析】因为，所以，因此，函数的最大值域是1. 故答案为：1. 【变式3】已知函数 ． (1)判断函数在区间上的单调性，并用函数单调性的定义加以证明. (2)求出函数在区间上的最大值和最小值. (3)画出函数图象并求出其值域 【答案】（1）函数在区间上单调递增，证明见解析；（2）最小值为，最大值为；（3） 【解析】（1）函数在区间上单调递增. 任取，则， 由，得，则， 即，因此， 所以函数在区间上单调递增. （2）由（1）知函数在区间上单调递增，则，， 所以函数在区间上的最大值为，最小值为. （3）函数的图象，可由反比例函数的图象向左平移一个单位，再向上平移2个单位得到，大致图象如下： 函数，而，则， 所以的值域为. 【变式4】设函数. (1)求的单调区间； (2)求在区间的最大值和最小值. 【答案】(1)递增区间是，递减区间是；(2)最大值和最小值分别为 【分析】（1）利用复合函数单调性，结合二次函数单调性求出单调区间. （2）由（1）的结论，利用单调性求出最大值. 【解析】（1）函数中，，即，解得， 函数在上单调递增，在上单调递减， 而函数在上单调递增， 所以的单调递增区间是，递减区间是. （2）由（1）知，函数在上单调递增，在上单调递减， 而，则， 所以在区间的最大值和最小值分别为. 题型02 利用单调性研究函数的最值 【典例1】函数在区间上的最小值为，最大值为，则 【答案】 【分析】结合函数的单调性计算即可得. 【解析】由在上单调递减，故，， 即. 故答案为： 求函数最值时，如果能够先判断函数的单调性，可以利用函数在给定的区间上的单调递增或单调递减求最值 【变式1】函数在上的最小值为（  ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【解析】因为在上单调递增，且恒成立， 可知函数在上单调递减， 当时，，所以函数在上的最小值为. 故选：B. 【变式2】函数的最小值为 . 【答案】 【解析】由题意可得函数的定义域为， ， 由复合函数的单调性可得函数为增函数， 所以当时，取得最小值，最小值为， 故答案为：. 【变式3】函数的最小值为 ． 【答案】1 【解析】由，得，即的定义域， 当时，与都单调递增， 所以在上单调递增，当时，取得最小值1． 故答案为：1. 【变式4】已知函数，且. (1)求； (2)判断函数在上的单调性，并用定义法证明； (3)求函数在区间上的最大值和最小值. 【答案】(1)；(2)函数在上单调递增，证明见解析；(3)最大值为，最小值为6. 【分析】（1）直接由代入，即可求得； （2）利用定义法作差计算，即可证明函数的单调性； （3）利用函数的单调性计算最值即可. 【解析】（1）函数，因为， 所以，则. （2）函数在上单调递增， 由（1）知，， 下面证明单调区间， 设，则， 由，则， 所以，即， 所以函数在上单调递增. （3）由（2）可知在区间上单调递增，则在区间上单调递增， 所以， 则函数在上的最大值为，最小值为6 题型03 利用函数图象研究最值 【典例1】如图是函数的图象，则下列说法正确的是（  ） A．在和上单调递减 B．在区间上的最大值为3，最小值为-2 C．在上有最大值2，有最小值-1 D．当直线与函数图象有交点时 【答案】A 【分析】根据函数图象，结合函数的基本性质，逐项判断，即可得出结果. 【解析】A选项，由函数图象可得，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，故A正确； B选项，由图象可得，函数在区间上的最大值为，无最小值，故B错； C选项，由图象可得，函数在上有最大值，有最小值，故C错； D选项，由图象可得，为使直线与函数的图象有交点，只需，故D错. 故选：A 利用函数图像求函数的最值，先作出所涉及到的函数图像，根据题目对函数的要求，从图像上寻找取得最值的位置，计算出答案，体现了数形结合的思想 【变式1】用表示a，b，c三个数中的最小值，则函数的最大值是（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】在一个坐标系中画出的图像，从左到右，取横坐标对应的纵坐标小的点构成新的图像，如图： 其中A点，即与的交点，其纵坐标即为所求 联立，解得， 函数的最大值为3 故选：C. 【变式2】对，，记，则函数的最小值为 ． 【答案】/1.5 【解析】函数是函数与函数同一个取得的两个函数值的较大的值， 作函数与函数的图象如下， 由图象可知，令，得或， 故当时，的最小值为． 故答案为：． 【变式3】已知，函数.    (1)当时，画出的图象，并写出其单调增区间； (2)设，函数在既有最大值又有最小值，分别求出实数m，n的取值范围（用a表示）. 【答案】(1)图象见解析；单调增区间为；(2)答案见解析 【分析】（1）画出图象，由图象即可得到增区间； （2），分和两种情况，分别画出函数的图象，结合图象，根据题中要求，分别求出m，n的取值范围. 【解析】（1）当时，， 作出图象，如图所示，    由图可知，函数的单调递增区间为； （2）因为，所以， 当时，图象如下所示：    由图象可知，在上的最大值为， 由， 又，得， 为使函数在既有最大值又有最小值， 必须； 当时，图象如下所示：    由图象可知，在上的最小值为， 由，又，得， 为使函数在既有最大值又有最小值， 必须. 综上所述，当时，的取值范围是的取值范围是； 当时，的取值范围是的取值范围是. 题型04 利用基本不等式研究函数最值 【典例1】已知函数，则函数的值域是 . 【答案】 【分析】将解析式变形为，然后利用基本不等式即可求解. 【解析】因为， 因为，所以，则有， 当且仅当，即时取等号， 所以， 因为，所以，则函数的值域为， 故答案为：. 形如的函数，可用基本不等式法求最值，利用基本不等式法求函数的最值时，要注意条件“一正、二定、三相等”，即利用求函数的值域（或最值）时，应满足三个条件：①；②（或）为定值；③取等号的条件为，三个条件缺一不可； 【变式1】函数在区间上的最大值为（  ） A． B． C．5 D．6 【答案】B 【分析】将变形为，然后利用基本不等式求解即可. 【解析】函数在区间上变形为：， ，所以， 当且仅当，即时，等号成立. 故选：B. 【变式2】函数的值域为 ． 【答案】 【分析】求出函数的定义域，化简函数解析式为，利用基本不等式可求得函数的值域. 【解析】对于函数，有，可得， 所以函数的定义域为， 所以， 当且仅当即当时等号成立， 故函数的值域为. 故答案为：. 【变式3】求函数的值域. 【答案】 【分析】利用换元法和基本不等式求值域. 【解析】令，则，， 当时，； 当时，，因为，当且仅当，时等号成立，所以， 所以函数的值域为. 【变式4】求下列函数的值域： (1) (2) (3) 【答案】(1)；(2)；(3) 【分析】（1）（3）根据题意结合基本不等式求值域； （2）换元令，结合二次函数求值域. 【解析】（1）因为，则， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以函数的值域为. （2）令，则， 可得， 当时，等号成立， 所以函数的值域为. （3）因为，则， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 即，所以函数的值域为. 题型05 利用函数的最值求参数 【典例1】已知函数在闭区间上有最大值3，最小值2，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题可知当时，函数取得最小值2，而，再结合二次函数图象的对称性可求出的取值范围. 【解析】因为， 所以当时，函数取得最小值2， 因为，而函数闭区间上有最大值3，最小值2， 所以. 故选：D 【变式1】若函数 在 的最大值为2，则 的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据必要性，最值的定义以及二次函数图象对称轴位置分类讨论即可解出． 【解析】设，，， 因为函数在 的最大值为2，， 所以，解得：， 当时，函数在上先递减再递增， 而， 所以，，且，即函数在 的最大值为2，符合题意； 当时，函数在上递减，所以， 而，所以函数在 的最大值为2，符合题意， 综上，． 故答案为： 【变式2】已知函数在区间上的最大值为4，求实数的值. 【答案】（1）（2）或. 【分析】（1）化成顶点式，得到对称轴，根据二次函数性质即可得到最值； （2）先求出对称轴，再分和讨论即可. 【解析】（1）把二次函数解析式配成顶点式, 得： ， 因为，所以抛物线开口方向向上，对称轴是， 所以顶点的纵坐标即为最小值是， 而当时，函数值最大， 所以最大值是. 综上当，；当，. （2） 当时，不符合最大值为4，不合题意； 其对称轴为， ①当时，其图象开口向上，此时离对称轴更远， 当时有最大值，最大值为，，解得； ②当，其图象开口向下， 则当时函数有最大值，最大值为， ，解得. 综上所述的值为或 【变式3】设函数，若是的最小值，则实数t的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数的性质结合基本不等式求解即可. 【解析】，当时，， 当且仅当即时，等号成立； 当时，，要使是的最小值， 只需在上递减，且， 即，解得. 故选：B 【变式4】定义一种运算，设（为常数，且，则使函数的最大值为4的的值可以是（  ） A．或4 B．6 C．4或6 D． 【答案】A 【分析】根据定义，先计算在上的最大值，然后利用条件函数最大值为，确定的取值即可． 【解析】在上的最大值为， 所以由，解得或， 所以时，， 所以要使函数最大值为4，则根据定义可知， 当时，即时，，此时解得，符合题意； 当时，即时，，此时解得，符合题意； 故或. 故选：A 题型06 分类讨论研究含参函数的最值 【典例1】已知函数在上的最小值为，求. 【答案】或5 【分析】由函数的单调性，根据给定区间与其对称轴的关系，分类考虑分别求解即得. 【解析】当，即时，在上单调递减，， 解得，舍去； 当，即时，在上单调递增，， 解得，符合题意； 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， ，解得或0（，舍去）. 故或5. 【变式1】已知函数. （1）求函数的单调区间和值域； （2）设，求函数的最大值的表达式. 【答案】（1）单调增区间为，单调减区间为；值域为；（2）. 【分析】（1）先求得函数的定义域是，然后转化为，结合，利用复合函数的单调性求解. （2）将函数转化为，，再风，，，，五种情况讨论求解. 【解析】（1）要使函数有意义，需满足， 解得 所以函数的定义域是. ∵，又， 所以的单调增区间为，单调减区间为 又， ∴， ∵ ∴， 即函数的值域为. （2）令， 则， 原函数转化为：， 令， 时函数的图像的对称轴方程为. ①当时，，函数在区间上递增， ∴. ②当时，， ③当时，， 若，即时，函数在区间上递减， ∴， 若，即时，， 若，即时，函数在区间上递增， ∴. 综上，. 【变式2】已知二次函数满足. (1)求函数的解析式； (2)若，，求的最小值. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）设，根据条件建立方程组，即可求解； （2）由（1）可得，，对分类讨论，利用二次函数的性质，即可求解. 【解析】（1）设， 因为 ， 所以，解得，所以. （2），. 当时，在上单调递增，； 当时，； 当时，在上单调递减，. 综上，. 【变式3】已知函数． (1)已知，若，求实数取值范围； (2)求在上的最小值； (3)求（2）中函数的最大值． 【答案】(1)；(2)；(3)3． 【分析】（1）由已知可得，求解即可； （2）求得的对称轴为，分，，三种情况讨论可求在上的最小值； （3）分，，三种情况讨论可求的最大值, 【解析】（1）因为，， 所以，所以，解得． （2）由，得函数的对称轴为， 当，即时，在区间上单调递增，， 当即时，在区间上单调递减，在区间上单调递增， ， 当即时，在区间上单调递减，， 综上，； （3）由（2）知，当时，， 当时，， 当时，， 综上，的最大值为3 题型07 函数的最值与恒成立、能成立问题的融合 【典例1】已知函数. (1)当，求函数的值域. (2)若任意，使得恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根据单调性的定义证明函数在上单调递增，即可求解最值得解， （2）分离参数，即可根据函数的单调性求解最值求解. 【解析】（1）函数在上单调递增，证明如下： 任取，,，且， 则，， 则， ，即， 函数是,上的增函数,因此函数在单调递增， 故值域为 （2）由任意，使得恒成立可得对任意，恒成立， 由（1）的证明过程可推导函数在单调递减，故最小值为，故 【变式1】已知函数，若恒成立，则的最大值为_____； 【答案】 【分析】由一元二次不等式恒成立，结合图象推得，解之即得； 【解析】（1）由题意得恒成立，则， 解得， 所以a的最大值为. 故答案为： 【变式2】已知函数，若，恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】令，结合对勾函数单调性可求得，根据恒成立的思想可求得结果. 【解析】， 当时，， 令，则在上单调递增，， ，当时，恒成立， 即实数的取值范围为. 故答案为：. 【变式3】已知函数，，，.对于任意的，存在，使得，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】由题意知得需满足，继而结合函数单调性求出两函数的最小值，讨论a的范围，并解不等式即可求得答案. 【解析】由题意知对于任意的，存在，使得， 即得需满足； 函数在上单调递减，所以. 当时，在区间上单调递增，， 所以，解得，所以； 当时，在区间上单调递减，， 所以，解得，所以； 当时，也符合题意. 综上，的取值范围是. 故答案为： 【变式4】若对，使不等式成立，则的最小值是_______ 【答案】2 【分析】根据题意可得，利用对勾函数的单调性可求得，从而将问题再转化为恒成立，然后分情况求的取值范围. 【解析】， 即对，使不等式成立， ∴， ∵对勾函数在上单调递增，． 恒成立， 的对称轴， ∴，解得， 或，无解， 或，无解， 综上， 即的取值范围为． 的最小值是2 故答案为：2 【变式5】已知函数,若对任意的正实数，存在，使得，求实数的取值范围. 【答案】 【分析】由题意可得，然后分，和三种情况讨论的最大值，从而可求得结果. 【解析】因为对任意的正实数，存在，使得， 所以， 易知当时，在上单调递增， 所以时，，且， 因为，所以， 当，即时，， 因为，所以，所以； 当，即时，令，得， 所以，故； 当，即时，所以， 因为，所以，所以； 综上，，所以的取值范围为 1．已知函数，则在区间的最大值为（  ） A．2 B．3 C．6 D．18 【答案】C 【分析】根据二次函数的单调性可求得最大值. 【解析】的对称轴为， 在区间单调递减，在单调递增， 当，， 故选：C． 2．函数的最小值为（  ） A．2 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】由基本不等式即可求解. 【解析】由可得，所以， 当且仅当，即时等号成立， 故选:D 3．已知函数在区间上的最大值为，则等于（  ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】求得函数的对称轴，对分类讨论，结合二次函数的性质，即可求解. 【解析】由函数，对称轴的方程为， 当时，则时，函数取得最大值，不满足题意； 当时，可函数在区间上单调递减， 所以当时，函数取得最大值，最大值为， 解得或（舍去）. 故选：C. 4．函数的最小值为（  ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】利用换元法，令，然后将原函数转化为自变量为的函数，再结合二次函数的性质可求出其最小值. 【解析】令，则， 所以 所以当时，取得最小值， 所以函数的最小值为， 故选：A. 5．若的最小值是4，则实数的值为（  ） A．6或 B．或18 C．6或18 D．或 【答案】A 【分析】分，，三种情况，得出每种情况下的最小值，令其为4，解出的值. 【解析】当时，， ，解得，符合题意； 当时，， ，解得，符合题意； 当时，，，舍掉. 故选：A. 6．已知，函数在区间上的最大值是5，则a的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由对勾函数的单调性可得，分，，三种情况讨论即可. 【解析】因为，在上单调递减，在上单调递增， 所以， 当时，， 函数的最大值，所以，舍去； 当时，，符合题意； 当时，， 则或， 解得或， 综上，实数的取值范围是. 故选：. 7．（多选）定义在R上的函数满足，当时，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 在区间上有最大值 D. 的解集为 【答案】ABD 【分析】令可判断A选项；令，可得，得到可判断B选项；任取，，且，则，， 根据单调性的定义得到函数在R上的单调性，可判断C选项；由可得，结合函数在R上的单调性可判断D选项. 【解析】对于A选项，在中，令，可得，解得，A选项正确； 对于B选项，由于函数的定义域为R，在中，令，可得，所以，B选项正确； 对于C选项，任取，，且，则，， 所以，所以，则函数在R上为减函数，所以在区间上有最小值，C选项错误； 对于D选项，由可得，又函数在R上为减函数，则，整理得，解得，D选项正确. 故选：ABD． 8．（多选）已知函数，下列选项正确的是（  ） A．若，则 B．函数在定义域内是减函数 C．若时，则的值域是 D．若，则函数有最小值也有最大值 【答案】AD 【分析】求得函数的定义域与单调性，进而逐项计算判断即可. 【解析】对于A，由，可得，解得，故A正确； 对于B，的定义域为， 所以在上单调递减，且， 所以在上单调递减，且， 故在上不是单调函数，故B错误； 对于C，由B可得，当时，， 当时，，所以的值域是， 当时，无意义，故C错误； 当且时，， 当且时，， 所以若，则函数有最小值也有最大值，故D正确； 故选：AD. 9．（多选）定义在R上的函数满足，当时，，则下列说法正确的是（  ） A． B．在R上是减函数 C．在上的最大值与最小值之和是4048 D．的解集为 【答案】AC 【分析】利用赋值法即可求解A，根据单调性的定义即可结合条件求解B，根据函数的单调性即可求解CD. 【解析】令，则，故，A正确， 对于B，取，则， 故， 所以，即，因此在R上是单调递增，故B正确， 对于C，由于在R上是单调递增，故在上的最大值与最小值之和是，故C正确， 对于D， 由可得， 故，根据单调递增，故，解得或，故D错误， 故选：AC 10．函数，的值域为 ． 【答案】 【分析】化简函数为，根据其单调性求解即可. 【解析】由， 函数在上单调递减， 所以当时，， 当时，， 所以函数，的值域为. 故答案为： 11．已知，若函数（）的最大值与最小值之差为1，则实数的值为_________ 【答案】 【分析】且，利用作差法证明即可；由此求出函数的最值，再根据题意即可得解. 【解析】且， 则， 因为，所以， 又因为，所以， 因此， 所以在是减函数； 由此可知，是减函数， 所以时，取得最大值为， 时，取得最小值为， 因为最大值与最小值之差为1， 所以，解得. 故答案为： 12．已知函数的最小值为8.则实数的值是______ 【答案】2 【分析】将原函数分离常数，由题意，结合反比例函数的性质建立方程，解之即可. 【解析】由， 而函数在上单调递减，所以函数在上单调递减， 又其在上的最小值为8， 所以，解得. 故答案为：2 13．已知二次函数且. (1)若函数的最小值为，求的解析式； (2)在（1）的条件下，在区间上恒成立，试求的取值范围. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根据函数的最小值为，可得，且，可得的值，从而得到的解析式； （2）分离参数，求解二次函数在区间上的最小值，即可得的范围． 【解析】（1）由题意知，且， ∴，∴. （2）在区间上恒成立， 转化为在上恒成立． 设，且对称轴为， 则在取得最小值， ∴． ∴，即的取值范围为 14．已知函数 (1)当时，解不等式； (2)若任意，都有成立，求实数的取值范围； (3)若，使得不等式成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)R；(2);(3) 【解析】（1）当时，， 所以，即， 所以的解集为R． （2）若对任意，都有成立，即在恒成立， 解法一：设，对称轴， 由题意，只须， ①当即时，在上单调递增， 所以，符合题意，所以； ②当即时，在上单调递减，在单调递增， 所以，解得且， 所以． 综上，． 解法二：不等式可化为，即， 设， 由题意，只须， 当且仅当即时等号成立，则， 所以，即． （3）若对任意，存在，使得不等式成立， 即只需满足， ，对称轴在上递减，在上递增， 所以； ，对称轴， ①即时，在递增， 所以恒成立； ②即时，在递减，在递增， ， 所以，故； ③即时，在递减，， 所以，解得. 综上：． . 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $