专题5.2 函数的表示方法（举一反三讲义）高一数学苏教版必修第一册

专题5.2 函数的表示方法（举一反三讲义） 【苏教版】 【题型1 解析法表示函数】 1 【题型2 图象法表示函数】 2 【题型3 列表法表示函数】 4 【题型4 已知函数类型求解析式】 5 【题型5 已知f(g(x))求解析式】 6 【题型6 函数方程组法求解析式】 7 【题型7 求解析式中的参数值】 7 【题型8 求分段函数的解析式或函数值】 8 【题型9 已知分段函数的值求参数或自变量】 9 【题型10 求分段函数的定义域、值域（最值）】 9 【题型11 分段函数与不等式】 10 知识点1 函数的表示法 1．函数的表示法 函数的三种表示法：解析法、列表法和图象法. (1)解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系； (2)列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系； (3)图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系. 2．函数解析式的求法 (1)配凑法：由已知条件f(g(x))=F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式. (2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法来求解. (3)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围. (4)解方程组法：已知关于f(x)与或f(-x)等的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x). 【题型1 解析法表示函数】 【例1】（24-25高一上·北京·期中）某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选1名代表，当各班人数除以10的余数大于5时再增选1名代表.那么各班可推选的代表人数与该班人数之间的函数关系用取整函数（表示不大于的最大整数）可以表示为（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25高三上·江苏南通·开学考试）已知函数，则（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25高一上·全国·课后作业）购买某种饮料听，所需钱数为元．若每听2元，用解析法将表示成的函数为 ． 【变式1-3】（24-25高一上·全国·课后作业）如图，在等腰梯形中， ，且.已知为定值，腰与直线的夹角为，设等腰梯形的面积为，高为，则关于的函数解析式为 . 【题型2 图象法表示函数】 【例2】（24-25高一上·全国·课后作业）水以恒速注入下图所示容器中，则水的高度与时间满足的函数图象是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（24-25高一上·内蒙古包头·期末）我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是返回家里找到了作业本再上学.下列哪一个图象与这件事吻合得最好？（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25高一上·广东东莞·期中）已知，下列图象能表示以为定义域，为值域的函数的是（    ）. A． B． C． D． 【变式2-3】（24-25高一上·全国·课后作业）甲、乙两人在一次赛跑中，路程s与时间t的函数关系如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．甲比乙先出发 B．乙比甲跑的路程多 C．甲、乙两人的速度相同 D．甲先到达终点 【题型3 列表法表示函数】 【例3】（25-26高一上·全国·课前预习）根据列表中的数据选择合适的模型，则（   ） 1 2 3 4 5 2 0 A． B． C． D． 【变式3-1】（24-25高一上·广东佛山·期中）已知函数列表法表示如下，则下列说法正确的是（    ） 1 2 3 4 2 3 4 1 1 2 3 4 2 4 1 3 A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25高一上·北京通州·期中）若函数用列表法表示如下： 1 2 3 3 2 1 1 2 3 1 3 2 则满足的值为（    ） A．1 B．3 C．1或2 D．2或3 【变式3-3】（24-25高一上·湖南·期中）已知函数的对应关系如表所示，函数的图象是如图所示，则的值为（    ） 1 2 3 4 3 -1      A．-1 B．0 C．3 D．4 【题型4 已知函数类型求解析式】 【例4】（25-26高一上·全国·单元测试）已知一次函数满足，则（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】（24-25高一上·福建福州·期中）若函数是二次函数，满足，则=（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25高一上·云南昭通·阶段练习）（1）若二次函数满足，且图象过原点，求的解析式; （2）已知是一次函数，且满足，求的解析式. 【变式4-3】（25-26高一上·全国·课堂例题）求下列函数的解析式 (1)已知函数是一次函数，满足，求； (2)已知是二次函数，且，，，求． 【题型5 已知f(g(x))求解析式】 【例5】（24-25高一上·云南文山·期中）已知函数，则的解析式为（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】（24-25高一上·山东威海·阶段练习）已知函数，则（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】（24-25高一上·全国·课后作业）求下列函数的解析式： (1)已知，求； (2)已知，求. 【变式5-3】（24-25高一上·广西玉林·阶段练习）（1）已知是一次函数，且，求的解析式； （2）已知函数，求函数的解析式； （3）已知函数满足，求函数的解析式； 【题型6 函数方程组法求解析式】 【例6】（24-25高一上·江苏盐城·阶段练习）函数满足，则函数（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（24-25高一上·山东·阶段练习）已知函数的定义域为，对任意均满足：，则函数解析式为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数对于任意的都有，求的解析式. 【变式6-3】（24-25高一上·安徽芜湖·期中）根据下列条件，求的解析式. (1)是一次函数，且满足； (2). 【题型7 求解析式中的参数值】 【例7】（2025·四川德阳·三模）已知，且，则（    ） A．3 B． C．1 D． 【变式7-1】（24-25高一上·河北张家口·期中）如图所示为函数的图象，则（    ） A． B．2 C． D．0 【变式7-2】（24-25高一上·江西南昌·期中）已知，且，则m等于（    ） A． B．2 C． D．3 【变式7-3】（24-25高一上·吉林长春·期中）设函数的定义域为，且，当时，，则（    ） A．6 B． C．9 D． 知识点2 分段函数 1．分段函数 分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应写函数几种不同的表达式并用个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况. 2．分段函数问题 分段函数问题往往需要进行分类讨论，根据分段函数在其定义域内每段的解析式不同，然后分别解决，即分段函数问题，分段解决． 【题型8 求分段函数的解析式或函数值】 【例8】（24-25高一上·吉林·阶段练习）已知函数，则（    ） A． B．4 C． D．8 【变式8-1】（25-26高一·全国·假期作业）已知函数，则（    ） A．128 B．256 C．512 D．1024 【变式8-2】（24-25高一上·贵州毕节·期末）已知函数，则（    ） A．2 B．1 C． D．0 【变式8-3】（24-25高一上·河南郑州·期中）已知函数则（    ） A． B． C． D． 【题型9 已知分段函数的值求参数或自变量】 【例9】（24-25高一上·湖南永州·期末）设，若，则（    ） A．或 B．或 C．或 D． 【变式9-1】（2025·江西上饶·一模）设，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】（24-25高一上·湖北荆州·阶段练习）已知函数，若，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【变式9-3】（24-25高三上·四川成都·阶段练习）已知，若，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【题型10 求分段函数的定义域、值域（最值）】 【例10】（24-25高二下·江苏徐州·期末）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【变式10-1】（24-25高一上·云南大理·期末）已知，，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【变式10-2】（2025高一·江苏·专题练习）已知函数 (1)求，，的值； (2)求函数的定义域、值域． 【变式10-3】（2025高一·江苏·专题练习）已知函数. (1)用分段函数的形式表示函数； (2)画出函数的图象，并写出函数的值域. 【题型11 分段函数与不等式】 【例11】（24-25高一上·山西太原·阶段练习）已知函数，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式11-1】（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式11-2】（24-25高一上·内蒙古包头·期中）已知函数． (1)若，求的值； (2)若，求实数的取值范围． 【变式11-3】（24-25高一上·广东东莞·期中）已知函数 (1)求； (2)画出函数的图像； (3)若，求的取值范围． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题5.2 函数的表示方法（举一反三讲义） 【苏教版】 【题型1 解析法表示函数】 1 【题型2 图象法表示函数】 3 【题型3 列表法表示函数】 6 【题型4 已知函数类型求解析式】 8 【题型5 已知f(g(x))求解析式】 9 【题型6 函数方程组法求解析式】 11 【题型7 求解析式中的参数值】 13 【题型8 求分段函数的解析式或函数值】 15 【题型9 已知分段函数的值求参数或自变量】 16 【题型10 求分段函数的定义域、值域（最值）】 18 【题型11 分段函数与不等式】 20 知识点1 函数的表示法 1．函数的表示法 函数的三种表示法：解析法、列表法和图象法. (1)解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系； (2)列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系； (3)图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系. 2．函数解析式的求法 (1)配凑法：由已知条件f(g(x))=F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式. (2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法来求解. (3)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围. (4)解方程组法：已知关于f(x)与或f(-x)等的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x). 【题型1 解析法表示函数】 【例1】（24-25高一上·北京·期中）某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选1名代表，当各班人数除以10的余数大于5时再增选1名代表.那么各班可推选的代表人数与该班人数之间的函数关系用取整函数（表示不大于的最大整数）可以表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】可分余数为和两种情况分别表示出班级人数和代表人数关系式，再推理即可判断得答案. 【解答过程】设各班人数除以10的余数为， 当时，，，， ； 当时，，，， ， 所以所求的函数关系为. 故选：B. 【变式1-1】（24-25高三上·江苏南通·开学考试）已知函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据解析式代入验证即可. 【解答过程】因为，而， 所以. 故选：C. 【变式1-2】（24-25高一上·全国·课后作业）购买某种饮料听，所需钱数为元．若每听2元，用解析法将表示成的函数为 ． 【答案】， 【解题思路】根据正比例关系即可求解. 【解答过程】根据题意可得，， 故答案为：，. 【变式1-3】（24-25高一上·全国·课后作业）如图，在等腰梯形中， ，且.已知为定值，腰与直线的夹角为，设等腰梯形的面积为，高为，则关于的函数解析式为 . 【答案】 【解题思路】用表示，，结合梯形面积公式计算即可. 【解答过程】如图，过点作的垂线，交于点.易知. 在中，，所以. 因为，所以，所以， 所以. 答案 【题型2 图象法表示函数】 【例2】（24-25高一上·全国·课后作业）水以恒速注入下图所示容器中，则水的高度与时间满足的函数图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据容器的特征，结合几何体的结构和题意知，容器的底面积越大水的高度变化慢、反之变化得快，再由图象越平缓就是变化越慢、图象陡就是变化快来判断．结合函数图象分析判别可得结论. 【解答过程】此容器从下往上口径先由大变小，再由小变大，故等速注入液体其高度增加变化率先由慢变快，再由快变慢， A、B、C选项中：函数图象中高度变化率分别是先快后慢、先慢后快、匀速的增加，与题干不符，故排除； D选项：当注水开始时，函数图象中高度变化率是先由慢变快，再由快变慢，符合题意； 故选：D. 【变式2-1】（24-25高一上·内蒙古包头·期末）我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是返回家里找到了作业本再上学.下列哪一个图象与这件事吻合得最好？（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据给定条件，由实际背景出发确定图象的特征即可得解. 【解答过程】中途返回家中，则离开家的距离先增大，后减小至0，到家找作业本，再离开家到学校，选项D吻合最好. 故选：D. 【变式2-2】（24-25高一上·广东东莞·期中）已知，下列图象能表示以为定义域，为值域的函数的是（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】观察选项ACD中函数的值域即可排除，观察分析选项B中函数的定义域与值域，从而得解. 【解答过程】A是函数的图象，值域为，与题干函数的值域为不符，故A错误； B是函数的图象，定义域为，值域为，故B正确； C是函数的图象，值域为，与题干函数的值域为不符，故C错误； D是函数的图象，值域为，与题干函数的值域为不符，故D错误. 故选：B. 【变式2-3】（24-25高一上·全国·课后作业）甲、乙两人在一次赛跑中，路程s与时间t的函数关系如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．甲比乙先出发 B．乙比甲跑的路程多 C．甲、乙两人的速度相同 D．甲先到达终点 【答案】D 【解题思路】根据图象对选项进行分析，从而确定正确答案. 【解答过程】当时，，甲、乙同时出发；甲、乙路程一样，故AB错误； 甲跑完全程s所用的时间少于乙所用时间，故甲先到达终点，则甲速度比乙速度快，则C错误，D正确． 故选：D. 【题型3 列表法表示函数】 【例3】（25-26高一上·全国·课前预习）根据列表中的数据选择合适的模型，则（   ） 1 2 3 4 5 2 0 A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】观察表格数据，检验选项中解析式即可得解. 【解答过程】A项：，A错误； B项：，B错误； C项：，C错误； D项： 满足表中的数据，D正确． 故选：D. 【变式3-1】（24-25高一上·广东佛山·期中）已知函数列表法表示如下，则下列说法正确的是（    ） 1 2 3 4 2 3 4 1 1 2 3 4 2 4 1 3 A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】结合表格中的数据，代入即可得到正确答案. 【解答过程】由表格得，，，， 则，， ，， 因此，只有C选项正确. 故选：C. 【变式3-2】（24-25高一上·北京通州·期中）若函数用列表法表示如下： 1 2 3 3 2 1 1 2 3 1 3 2 则满足的值为（    ） A．1 B．3 C．1或2 D．2或3 【答案】D 【解题思路】根据表格求函数值，逐项验证进行比较. 【解答过程】根据表格可知，， ， ， 所以满足条件的是或. 故选：D. 【变式3-3】（24-25高一上·湖南·期中）已知函数的对应关系如表所示，函数的图象是如图所示，则的值为（    ） 1 2 3 4 3 -1      A．-1 B．0 C．3 D．4 【答案】A 【解题思路】根据函数的定义及图表计算即可. 【解答过程】由图象可知，而由表格可知，所以. 故选：A. 【题型4 已知函数类型求解析式】 【例4】（25-26高一上·全国·单元测试）已知一次函数满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】设出函数解析式，利用待定系数法求解. 【解答过程】由为一次函数，设， 依题意，，整理得6， 因此，解得，所以． 故选：A. 【变式4-1】（24-25高一上·福建福州·期中）若函数是二次函数，满足，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用待定系数法，由题意建立方程组，可得答案. 【解答过程】设（），由，则， 由，则， 整理可得，则，解得， 所以. 故选：B. 【变式4-2】（24-25高一上·云南昭通·阶段练习）（1）若二次函数满足，且图象过原点，求的解析式; （2）已知是一次函数，且满足，求的解析式. 【答案】（1）；（2） 【解题思路】（1）根据待定系数法即可求解， （2）根据待定系数法即可求解. 【解答过程】解：（1）设 , , 且图象过原点, 解得 （2）设 ， 则, , 即 不论为何值都成立, 解得 . 【变式4-3】（25-26高一上·全国·课堂例题）求下列函数的解析式 (1)已知函数是一次函数，满足，求； (2)已知是二次函数，且，，，求． 【答案】(1)或 (2) 【解题思路】（1）设，代入后利用恒等可求参数的值，从而得到解析式； （2）设，结合题设条件可得关于参数的方程组，求出其解后可得函数解析式. 【解答过程】（1）设，则 ， 所以，解得或， 所以 或 . （2）设， 根据题意得，解得 所以． 【题型5 已知f(g(x))求解析式】 【例5】（24-25高一上·云南文山·期中）已知函数，则的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用换元法求解即可. 【解答过程】令，则， 所以， 所以. 故选：D. 【变式5-1】（24-25高一上·山东威海·阶段练习）已知函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】令，得，表示出即可得到的解析式. 【解答过程】令，则，， ∴， ∴. 故选：B. 【变式5-2】（24-25高一上·全国·课后作业）求下列函数的解析式： (1)已知，求； (2)已知，求. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）法一：利用换元法即可求解，注意自变量的范围；法二：利用配凑法即可求解，注意自变量的范围； （2）利用配凑法即可求解. 【解答过程】（1）法一：（换元法）令，则，， 所以， 所以的解析式为. 法二：（配凑法）. 因为，所以的解析式为 （2）， 所以. 【变式5-3】（24-25高一上·广西玉林·阶段练习）（1）已知是一次函数，且，求的解析式； （2）已知函数，求函数的解析式； （3）已知函数满足，求函数的解析式； 【答案】（1）或；（2）；（3）. 【解题思路】（1）设，可用待定系数法求解析式. （2）令，用换元法求解析式. （3）将换成，得，用解方程组法求解析式. 【解答过程】（1）设，则， 于是，解得或， 所以或. （2）令，则，于是， 所以. （3）由，得， 由消去解得：， 所以. 【题型6 函数方程组法求解析式】 【例6】（24-25高一上·江苏盐城·阶段练习）函数满足，则函数（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由可得，运用解方程组法求解析式即可. 【解答过程】因为①，所以②， 得，即. 故选：B. 【变式6-1】（24-25高一上·山东·阶段练习）已知函数的定义域为，对任意均满足：，则函数解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用方程组法求解析式即可. 【解答过程】由①， 可得②， ①②得：，即. 故选：A. 【变式6-2】（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数对于任意的都有，求的解析式. 【答案】 【解题思路】利用方程组的方法求函数解析式. 【解答过程】在中，以代换，可得， 则消去， 可得. 【变式6-3】（24-25高一上·安徽芜湖·期中）根据下列条件，求的解析式. (1)是一次函数，且满足； (2). 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）设，利用待定系数法确定函数解析式； （2）将原式中的x与互换，建立方程组，求解即可. 【解答过程】（1）由题意，设 因为， 所以， 即， 由恒等式性质，得， 解得， 则所求函数解析式为. （2）因为，将原式中的x与互换，得， 于是得关于的方程组：， 解得. 【题型7 求解析式中的参数值】 【例7】（2025·四川德阳·三模）已知，且，则（    ） A．3 B． C．1 D． 【答案】C 【解题思路】令，求出，代入解出. 【解答过程】， 且， 令，，解得， ，即, . 故选：C. 【变式7-1】（24-25高一上·河北张家口·期中）如图所示为函数的图象，则（    ） A． B．2 C． D．0 【答案】C 【解题思路】根据函数的定义域、特殊点的函数值求得，进而求得. 【解答过程】由图可知，的定义域为， 且经过点，而，解得，所以， 所以，解得，所以. 故选：C. 【变式7-2】（24-25高一上·江西南昌·期中）已知，且，则m等于（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】D 【解题思路】令解得，代入得，解之可得选项. 【解答过程】因为，所以令解得，所以， 解得， 故选：D. 【变式7-3】（24-25高一上·吉林长春·期中）设函数的定义域为，且，当时，，则（    ） A．6 B． C．9 D． 【答案】C 【解题思路】根据函数性质，利用赋值法可得解. 【解答过程】因为，取，可得， 即， 因为，取，则， 因为，所以，解得， 因为，取，则， 所以，解得，则. 故选：C. 知识点2 分段函数 1．分段函数 分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应写函数几种不同的表达式并用个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况. 2．分段函数问题 分段函数问题往往需要进行分类讨论，根据分段函数在其定义域内每段的解析式不同，然后分别解决，即分段函数问题，分段解决． 【题型8 求分段函数的解析式或函数值】 【例8】（24-25高一上·吉林·阶段练习）已知函数，则（    ） A． B．4 C． D．8 【答案】D 【解题思路】将自变量的值代入函数解析式，求值即可得到答案. 【解答过程】，所以， 故选：D. 【变式8-1】（25-26高一·全国·假期作业）已知函数，则（    ） A．128 B．256 C．512 D．1024 【答案】B 【解题思路】根据分段函数解析式，分别代入数值计算即可求解. 【解答过程】由题意， . 故选：B. 【变式8-2】（24-25高一上·贵州毕节·期末）已知函数，则（    ） A．2 B．1 C． D．0 【答案】D 【解题思路】根据分段函数的解析式计算直接得出结果. 【解答过程】由题意知，，， 所以. 故选：D. 【变式8-3】（24-25高一上·河南郑州·期中）已知函数则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】将自变量的值代入解析式求函数值即可. 【解答过程】由题设， 则. 故选：B. 【题型9 已知分段函数的值求参数或自变量】 【例9】（24-25高一上·湖南永州·期末）设，若，则（    ） A．或 B．或 C．或 D． 【答案】A 【解题思路】需要分情况讨论的取值范围，当时，代入求解；当时，代入求解. 【解答过程】当，即时：，解得； 当，即时：， 设（），则， ，即，解得. 综上所得，或. 故选：A. 【变式9-1】（2025·江西上饶·一模）设，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】分和两种情况解方程即可求解. 【解答过程】由题意可知， 当时，，所以由得； 当时，，所以由得，无解. 综上，. 故选：C. 【变式9-2】（24-25高一上·湖北荆州·阶段练习）已知函数，若，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【解题思路】由分段函数的解析式，分类讨论求解实数的值即可. 【解答过程】当时，由可得，解得，不满足题意，故舍去； 当时，由可得，解得（不满足题意，舍去）或； 所以实数的值为. 故选：B. 【变式9-3】（24-25高三上·四川成都·阶段练习）已知，若，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【解题思路】先判断函数的单调性，作出函数的图象，判断和的范围，代入解析式，求得的值，验证后即可求出的值. 【解答过程】由，可知当时，函数是增函数， 当时，函数也是增函数，且，作出其图象如图：    因，且，则， 故得，解得或， 由知，故，则. 故选：B. 【题型10 求分段函数的定义域、值域（最值）】 【例10】（24-25高二下·江苏徐州·期末）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】求出各段上的函数值的范围后可得正确的选项. 【解答过程】当时，， 而当时，，当且仅当时等号成立， 故函数的值域为， 故选：D. 【变式10-1】（24-25高一上·云南大理·期末）已知，，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先得到，再作出其图象求解. 【解答过程】解：由题意得：， 其图象，如图所示：    由图象知：函数y的值域为， 故选：A. 【变式10-2】（2025高一·江苏·专题练习）已知函数 (1)求，，的值； (2)求函数的定义域、值域． 【答案】(1)，，. (2)定义域为，值域为 【解题思路】（1）根据分段函数的解析式求函数值； （2）作出分段函数的图象，由图象判断函数的定义域、值域． 【解答过程】（1）由函数， ，，. （2）作出图象如图所示．    利用数形结合易知的定义域为，值域为． 【变式10-3】（2025高一·江苏·专题练习）已知函数. (1)用分段函数的形式表示函数； (2)画出函数的图象，并写出函数的值域. 【答案】(1) (2)作图见解析， 【解题思路】（1）利用绝对值的性质进行分类讨论求解即可； （2）根据一次函数图象性质进行画图，根据图象求最值即可. 【解答过程】（1）当时，； 当时，； 所以 （2）由（1）得 由此画出的图象如下图所示： 由图象知，的值域为. 【题型11 分段函数与不等式】 【例11】（24-25高一上·山西太原·阶段练习）已知函数，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】分和两种情况解不等式. 【解答过程】若，则，恒成立， 若，则，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：B. 【变式11-1】（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据分段函数表示和，再求解不等式. 【解答过程】由题可知，， 因为，则当时，，解得，故； 当时，，解得，故， 综上可知，的取值范围为． 故选：B. 【变式11-2】（24-25高一上·内蒙古包头·期中）已知函数． (1)若，求的值； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)或； (2) 【解题思路】（1）由，结合函数解析式解方程即可； （2）可得或，解之即可求解. 【解答过程】（1）由可得： （i）（舍去）； （ii）. 综上，或； （2）由可得： （i）； （ii）. 综上可得． 【变式11-3】（24-25高一上·广东东莞·期中）已知函数 (1)求； (2)画出函数的图像； (3)若，求的取值范围． 【答案】(1)， (2)答案见解析 (3) 【解题思路】（1）代入计算，即可得到结果； （2）由分段函数的解析式，分别画出每一段的函数图像，即可得到结果； （3）根据题意，分，以及讨论，代入计算，即可得到结果. 【解答过程】（1），. （2）函数的图像为： （3）当时，由可得，解得，所以； 当时，由可得，解得，所以； 当时，由可得，解得，所以； 综上所述，实数的取值范围为. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$