第4章 4.2.2 第2课时 换底公式及对数的应用（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（苏教版）

本讲义聚焦高中数学“换底公式及对数的应用”核心知识点，前承对数运算性质，通过log₄8、log₉27等具体问题引导学生发现换底公式，推导其推论，进而构建有附加条件的对数式求值、对数实际应用的学习支架，形成完整知识脉络。 该资料以问题驱动培养数学思维，通过古莲子年代测定、机器价值折旧等实例引导学生用数学眼光观察现实世界，借助多方法解题训练逻辑推理能力。课中例题与跟踪训练辅助教师高效授课，课后课时对点练帮助学生巩固知识，提升用数学语言表达和解决实际问题的能力。

第2课时　换底公式及对数的应用 学习目标　1.掌握换底公式及其推论.2.能熟练运用对数的运算性质进行化简求值. 一、换底公式 问题1　上节课我们学习了对数的运算性质，但对于一些式子，比如log48，log927等式子的化简求值问题还不能做到，你能解决这个问题吗？ 提示　设log48=x，故有4x=8，即22x=23，故x=而log28=3，log24=2，于是我们大胆猜测log48=同样log927=. 问题2　是否对任意的logab都可以表示成logab=(a>0，a≠1；b>0；c>0，c≠1)？说出你的理由. 提示　依据当a>0，a≠1时，ax=N⇔logaN=x推导得出. 令=x，则logcb=xlogca=logcax， 故b=ax，∴x=logab，∴logab=. 知识梳理　换底公式 (1)logaN=(a>0，a≠1，N>0，c>0，c≠1). (2)对数换底公式的重要推论： ①logaN=(N>0，N≠1；a>0，a≠1). ②lobm=logab(a>0，a≠1，b>0，n≠0). ③logab·logbc·logcd=logad(a>0，b>0，c>0，d>0，且a≠1，b≠1，c≠1).特别地logab·logba=1. 注意点： (1)公式成立的条件要使每一个对数式都有意义. (2)在具体运算中，我们习惯换成常用对数或自然对数，即logab=或logab=. 例1　(1)(课本例8)求log89×log332的值. 解　log89×log332=×=×=. 例1　(1)计算：(log43+log83)(log32+log92)； (2)已知log189=a，18b=5，用a，b表示log3645的值. 解　(1)原式= ==× =. (2)方法一　∵log189=a，18b=5，∴log185=b. ∴log3645== ===. 方法二　∵log189=a，18b=5，∴log185=b. ∴log3645== ==. 反思感悟　利用换底公式进行化简求值的原则和技巧 跟踪训练1　(1)log25×log52等于(　　) A.5 B.2 C.1 D.0 答案　C 解析　log25×log52=×=1. (2)计算：. 解　原式= =lo·lo9=lo·3lo32 =-·log32·3log23=-. 二、有附加条件的对数式求值问题 例2　(1)设3a=4b=36，求+的值； (2)已知x，y，z为正数，若3x=4y=6z，求-的值. 解　(1)方法一　由3a=4b=36， 得a=log336，b=log436， 由换底公式得=log363=log364， ∴+=2log363+log364 =log369+log364=log3636=1. 方法二　由3a=4b=36，两边取以6为底的对数，得alog63=blog64=log636=2， ∴=log63=log64=log62， ∴+=log63+log62=log66=1. (2)令3x=4y=6z=a(a>0)， ∴x=log3a，y=log4a，z=log6a， ∴-=-=×-×=-==. 反思感悟　利用对数式与指数式互化求值的方法 (1)在对数式、指数式的互化运算中，要注意灵活运用定义、性质和运算法则，尤其要注意条件和结论之间的关系，进行正确的相互转化. (2)对于连等式可令其等于k(k>0)，然后将指数式用对数式表示，再由换底公式可将指数的倒数化为同底的对数，从而使问题得解. 跟踪训练2　已知3a=5b=c，且+=2，求c的值. 解　∵3a=5b=c，∴c>0，∴a=log3c，b=log5c， ∴=logc3=logc5，∴+=logc15. 由logc15=2得c2=15， 又∵c>0，∴c=. 三、对数的实际应用 例3　(课本例10)要测定古物的年代，可以用放射性碳法：在动植物的体内都含有微量的放射性14C.动植物死亡后，停止了新陈代谢.14C不再产生，且原有的14C会自动衰变.经过5 730年(14C的半衰期)，它的残余量只有原始量的一半.经过科学测定，若14C的原始含量为1，则经过x年后的残留量为y=0.999 879x. 用放射性碳法，测得我国辽东半岛普兰店附近的泥炭中发掘出的古莲子中14C的残余量占原来的87.9%，试推算古莲子的生活年代. 解　由题设可知，原始量为1的14C经过x年后的残余量是y=0.999 879x. 由y=87.9%=0.879可知0.879=0.999 879x， 两边取常用对数，得xlg 0.999 879=lg 0.879， 从而x=≈1 066. 所以古莲子约是1 066年前的遗物. 例3　一台机器原价20万元，由于磨损，该机器每年比上一年的价格降低8.75%，问经过多少年这台机器的价值为8万元？(lg 2≈0.301 0，lg 9.125≈0.960 2) 解　设经过x年，这台机器的价值为8万元. 则8=20(1-0.087 5)x，即0.912 5x=0.4， 等号两边同时取常用对数， 得x===≈10. 所以约经过10年这台机器的价值为8万元. 反思感悟　解决对数应用题的一般步骤 跟踪训练3　荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.”所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点.我们可以把(1+1%)365看作是每天的“进步”率都是1%，一年后是1.01365≈37.783 4；而把(1-1%)365看作是每天“退步”率都是1%，一年后是0.99365≈0.025 5，这样，一年后的“进步值”是“退步值”的≈1 481倍.那么当“进步值”是“退步值”的4倍，需要经过大约(参考数据：lg 101≈2.004 3，lg 99≈1.995 6，lg 2≈0.301 0)(　　) A.18天 B.30天 C.51天 D.69天 答案　D 解析　设经过x天“进步值”是“退步值”的4倍， 则=4， ∴x=lo4=== ≈=≈69. 1.知识清单： (1)换底公式. (2)有附加条件的对数式求值问题. (3)对数的实际应用. 2.方法归纳：换底公式、转化法. 3.常见误区：要注意对数的换底公式的结构形式，易混淆. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共18分 1.化简得log832的值为(　　) A. B.2 C.4 D. 答案　D 解析　log832===. 2.log29·log34等于(　　) A. B. C.2 D.4 答案　D 解析　方法一　原式=×==4. 方法二　原式=2log23×=2×2=4. 3.+等于(　　) A.lg 3 B.-lg 3 C. D.- 答案　C 解析　原式=lo+lo=lo+lo =lo=log310=. 4.在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足m2-m1=lg 其中星等为mk的星的亮度为Ek(k=1，2).已知太阳的星等是-26.7，天狼星的星等是-1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为(　　) A.1010.1 B.10.1 C.lg 10.1 D.10-10.1 答案　A 解析　由题意知，m1=-26.7，m2=-1.45， 代入所给公式得-1.45-(-26.7)=lg 所以lg =10.1，所以=1010.1. 5.(多选)下列各式中正确的是(　　) A.10-2lg 3= B.log168= C.log34·log427=2 D.= 答案　ABD 解析　10-2lg 3==3-2=所以A选项正确； log168=lo23=log22=所以B选项正确； log34·log427=log327=log333=3，所以C选项不正确； ===所以D选项正确. 6.(多选)历史上数学计算方面的三大发明为阿拉伯数字、十进制和对数，常用对数曾经在化简计算上为人们做过重大贡献，而自然对数成了研究科学、了解自然的必不可少的工具.现有如下四个关于对数的运算，其中正确的是(　　) A.ln e2=2 B.lg 125=3-3lg 2 C.log34×log32=log38 D.log23×log34×log42=1 答案　ABD 解析　由对数运算规律可知，ln e2=2，所以A正确； lg 125=lg 53=3lg 5=3-3lg 2，所以B正确； log34+log32=log38，所以C错误； log23×log34×log42=××=1，所以D正确. 7.(5分)若lg 2=a，lg 3=b，则log916=　　　　.(用a，b的代数式子表示)  答案　 解析　log916====. 8.(5分)设log23·log36·log6m=log4(2m+8)，则实数m=　　　　.  答案　4 解析　左边=××=log2m=log4m2，所以m2=2m+8，解得m=4或m=-2(负值舍去). 9.(10分)计算下列各式的值： (1)log535+2lo-log5-log514；(4分) (2)(log2125+log425+log85)·(log52+log254+log1258).(6分) 解　(1)原式=log535+log550-log514+2lo =log5+lo2=log553-1=2. (2)方法一　原式 = = =log25·3log52=13log25·=13. 方法二　原式= = ==13. 10.(10分)设xa=yb=zc，，其中x，y，z均大于0，且都不为1+=求证：z=xy. 证明　设xa=yb=zc=k，k>0，且k≠1， 则a=logxk，b=logyk，c=logzk. 因为+=所以+= 即logkx+logky=logkz. 所以logk(xy)=logkz，即z=xy. 11.设log83=p，log35=q，则lg 5等于(　　) A.p2+q2 B.(3p+2q) C. D.pq 答案　C 解析　∵log83===p，∴lg 3=3plg 2. ∵log35==q， ∴lg 5=qlg 3=3pqlg 2=3pq(1-lg 5)， ∴lg 5=. 12.计算log89×log910×log1011×…×log3132的结果为(　　) A.4 B. C. D. 答案　B 解析　log89×log910×log1011×…×log3132 =×××…×= ==. 13.(多选)若10a=4，10b=25，5c=4，则下列计算正确的是(　　) A.a+b=2 B.b-a=1 C.ab=10 D.-= 答案　AD 解析　由10a=4，10b=25，5c=4， 则a=lg 4，b=lg 25，c=log54， 所以a+b=lg 4+lg 25=lg 100=2，故A正确； b-a=lg 25-lg 4=lg≠1，故B错误； 由ab≤=1，当且仅当a=b时取等号， 又a=lg 4，b=lg 25，所以等号不成立，即ab<1，故C错误； 由-=-=log410-log45=log42=故D正确. 14.(5分)我国的5G通信技术领先世界，5G技术的数学原理之一是著名的香农(Shannon)公式，香农提出并严格证明了“在被高斯白噪声干扰的信道中，计算最大信息传送速率c的公式c=Wlog2”，其中W是信道带宽(赫兹)，S是信道内所传信号的平均功率(瓦)，N是信道内部的高斯噪声的功率(瓦)，其中叫做信噪比，根据公式，在不改变W的前提下，将信噪比从99提升至λ，使得c大约增加了60%，则λ的值大约为　　　　.(参考数据：100.2≈1.58)(答案保留整数)  答案　1 579 解析　由题意知≈60%，即≈1.6， 则log2(1+λ)≈1.6×log2100=log21001.6， ∴1+λ≈1001.6，∵100.2≈1.58， ∴1001.6=103.2=1 000×100.2≈1 580， ∴λ的值大约为1 580-1=1 579. 15.已知2x=3y=6，则下列关系式错误的是(　　) A.(x-1)(y-1)=1 B.x+y>4 C.+>1 D.xy>4 答案　C 解析　因为2x=3y=6， 所以x=log26=1+log23， y=log36=1+log32， 所以(x-1)(y-1)=log23×log32=1，故A正确； x+y=2+log23+log32>2+2=4，故B正确； +=log62+log63=1，故C错误； 由+=1，可得xy=xy=x+y>4，故D正确. 16.(12分)对于正整数a，b，c(a≤b≤c)和非零实数x，y，z，w，有ax=by=cz=70w=++求a，b，c的值. 解　令ax=by=cz=70w=k≠1， 则x=logak，y=logbk，z=logck，w=log70k， ∴=logka=logkb=logkc=logk70， ∵=++ ∴logk70=logka+logkb+logkc=logk(abc)， ∴abc=70=2×5×7， ∵a≤b≤c，a，b，c为正整数， ∴a=2，b=5，c=7. 学科网（北京）股份有限公司 $