第4章 4.1.2 指数幂的拓展（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（苏教版）

本讲义聚焦指数幂的拓展这一核心知识点，从整数指数幂出发，通过牛顿历史贡献引入，系统梳理根式与分数指数幂的互化规则、有理数及实数指数幂的运算性质，搭建从具体到抽象的学习支架。 该资料以历史情境激发学习兴趣，培养数学眼光，通过严格定义与性质推导发展数学思维，结合整体代换法等例题训练提升运算能力。课中助力教师系统授课，课后分层对点练帮助学生巩固知识，体现应用意识，有效查漏补缺。

4.1.2　指数幂的拓展 学习目标　通过对有理数指数幂(a>0，且a≠1，m，n为整数，且n>0)、实数指数幂ax(a>0，且a≠1，x∈R)含义的认识，了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质. 导语 牛顿(Newton 1643-1727)是大家所熟悉的物理学家，可是你知道他在数学史上的贡献吗？他在1676年6月13日写给莱布尼茨的信里说：“因为数学家将aa，aaa，aaaa，…写成a2，a3，a4，…，所以可将…写成…，将…写成a-1，a-2，a-3，…”，这是牛顿首次使用任意实数指数，这正是这节课我们要学习的指数幂的拓展过程. 一、根式与分数指数幂的互化 问题　被开方数的指数不能被根指数整除的根式，比如a>0，是否也可以表示为分数指数幂的形式？如何表示？ 提示　======. 知识梳理　分数指数幂的意义 (1)规定正数的正分数指数幂的意义：=(a>0，m，n∈N*，n>1). (2)规定正数的负分数指数幂的意义：=(a>0，m，n∈N*，n>1). (3)0的正分数指数幂为0，0的负分数指数幂没有意义. 注意点： (1)分数指数幂不可理解为个a相乘，它是根式的一种写法. (2)正数的负分数指数幂总表示正数，而不是负数. 例1　(1)用根式的形式表示下列各式(x>0). ①；②. 解　①=. ②=. (2)把下列根式化成分数指数幂的形式，其中a>0. ①；②. 解　①=. ②===a3. 反思感悟　根式与分数指数幂互化的规律 (1)根指数↔分数指数的分母，被开方数(式)的指数↔分数指数的分子. (2)如果根式中含有多重根号，要由里向外用分数指数幂写出. 跟踪训练1　把下列根式化成分数指数幂的形式，其中a>0. (1)；(2). 解　(1)==. (2)==. 二、利用指数幂的运算性质化简和求值 1.对于有理数指数幂，原整数指数幂的运算性质保持不变，即： (1)asat=as+t(a>0，s，t∈Q)； (2)(as)t=ast(a>0，s，t∈Q)； (3)(ab)t=atbt(a>0，b>0，t∈Q)； (4)拓展：①=as-t(a>0，s，t∈Q)， ②=(a>0，b>0，t∈Q). 2.一般地，当a>0且x是一个无理数时，ax是一个确定的实数.有理数指数幂的运算性质对无理数指数幂同样适用. 注意点： (1)有理数指数幂的运算性质记忆口诀：乘相加，除相减，幂相乘. (2)不要自创公式，严格按照公式化简、运算. 例2　化简求值： (1)+2-2×-(0.01)0.5； (2)-++-π0； (3)(a-2b-3)×(-4a-1b)÷(12a-4b-2c)(a>0，b>0，c≠0). 解　(1)原式=1+×-=. (2)原式=-++-1 =-++-1=3. (3)原式=-4a-2-1b-3+1÷(12a-4b-2c) =-a-3-(-4)b-2-(-2)c-1 =-ac-1=-. 反思感悟　指数幂运算的常用技巧 (1)有括号先算括号里的，无括号先进行指数运算. (2)负指数幂化为正指数幂的倒数. (3)底数是小数，先要化成分数；底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于运用指数幂的运算性质. 跟踪训练2　化简求值： (1)0.02-+25+(2-3-1+π0； (2)((m>0)； (3)2÷4×3(a>0，b>0). 解　(1)原式=(0.33-+(44+(-+1=0.3-+43+2-+1=64. (2)原式==26m3=64m3. (3)原式=2÷(4)×(3) =×3=. 三、整体代换法求分数指数幂 例3　已知x+x-1=7，求值： (1)+； (2)x2+x-2； (3)-； (4)x2-x-2. 解　(1)设m=+ 两边平方得m2=x+x-1+2=7+2=9， 因为m>0，所以m=3，即+=3. (2)将x+x-1=7两边平方得x2+x-2+2=49， 所以x2+x-2=47. (3)设n=- 两边平方得n2=x+x-1-2=7-2=5， 因为n∈R，所以n=± 即-=±. (4)由(1)(3)知+=3， -=±. 所以x-x-1=(+)(-)=±3 x2-x-2=(x+x-1)(x-x-1)=±21. 反思感悟　利用整体代换法求分数指数幂 (1)整体代换法是数学变形与计算常用的技巧方法，分析观察条件与结论的结构特点，灵活运用恒等式是关键. (2)利用整体代换法解决分数指数幂的计算问题，常常运用完全平方公式及其变形公式. x2+x-2=(x±x-1)2 ∓2，x+x-1=(±)2∓2+=(±)2∓2. 跟踪训练3　已知9x=5，求的值. 解　由9x=5，得9-x= 则9x+9-x=即(3x+3-x)2-2= ∴(3x+3-x)2= 又∵3x+3-x>0，∴3x+3-x= ∴=3x+3-x=. 1.知识清单： (1)根式与分数指数幂的互化. (2)分数指数幂的运算. 2.方法归纳：整体代换法. 3.常见误区：在运用分数指数幂的运算性质化简时，其结果不能同时含有根式和分数指数，也不能既含有分母又含有负指数. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共6分 1.若(1-2x有意义，则x的取值范围是(　　) A.R B.∪ C. D. 答案　D 解析　将分数指数幂化为根式，可知需满足1-2x>0，解得x<. 2.将化为分数指数幂为(　　) A. B.- C. D.- 答案　B 解析　===-. 3.下列运算中正确的是(　　) A.= B.(-a2)3=(-a3)2 C.(-2)0=1 D.(-)5=- 答案　D 解析　=故A错误；(-a2)3=-a2×3 =-a6，(-a3)2=a6，故B错误；当a=4时，(-2)0无意义，故C错误；(-)5=-故D正确. 4.化简(2a-3)(-3a-1b)÷(4a-4)(a>0，b>0)得(　　) A.-b2 B.b2 C.- D. 答案　A 解析　原式==-b2. 5.下列各式中正确的是(　　) A.= B.=x(x>0，y>0) C.=- D.=(x≠0，y≠0) 答案　D 解析　==故A错误； ==(xy(x>0，y>0)，故B错误； 取a=8，b=1，则=-=3，故C错误； ==(x≠0，y≠0)，故D正确. 6.若3a·9b=则下列等式正确的是(　　) A.a+b=-1 B.a+b=1 C.a+2b=-1 D.a+2b=1 答案　C 解析　∵3a·9b=3a·32b=3a+2b==3-1， ∴a+2b=-1. 7.(5分)化简：=　　　　.  答案　1 解析　原式====1. 8.(5分)已知-=3，则+=　　　　.  答案　 解析　=a+a-1+2 =+4=9+4=13. 因为+>0， 所以+=. 9.(10分)化简下列各式(x>0，y>0)： (1)(-)(3)(-2)；(5分) (2)2(-3)÷(-6).(5分) 解　(1)(-)(3)(-2) =[-1×3×(-2)] =6x0y1=6y. (2)2(-3)÷(-6) =[2×(-3)÷(-6)]=x2y. 10.(12分)计算： (1)7-3-6+；(6分) (2)0.008 -×-10×0.02.(6分) 解　(1)原式=7×-3××2-6×+(3× =-6×+ =2×-2×3×=2×-2×=0. (2)原式=-(3×1)-1×-10×(0.33 =-×-10×0.3 =--3=0. 11.(a>0)等于(　　) A.a16 B.a8 C.a4 D.a2 答案　C 解析　原式==a2a2=a2+2=a4. 12.已知2a=5b=m，且+=2，则m等于(　　) A. B.10 C.20 D.100 答案　A 解析　由题意得m>0，∵2a=m，5b=m， ∴2=5=∵2×5== ∴m2=10，∴m=. 13.(多选)设m，n是方程2x2+3x-1=0的两根，则下面各式的值等于8的有(　　) A.m2+n2 B. C.64mn D. 答案　BD 解析　因为m，n是方程2x2+3x-1=0的两根，所以由根与系数的关系可得m+n=-mn=-所以m2+n2=(m+n)2-2mn=；===8；64mn=6=；===8. 14.(5分)已知a2m+n=2-2，am-n=28(a>0，且a≠1)，则a4m+n的值为　　　　.  答案　4 解析　因为 所以①×②得a3m=26，所以am=22. 将am=22代入②得22·a-n=28， 所以an=2-6，所以a4m+n=a4m·an=(am)4·an =(22)4·2-6 =22=4. 15.(5分)已知x+x-1=3，则=　　　　.  答案　± 解析　因为x+x-1=3，则(x+x-1)2=x2+x-2+2=9，可得x2+x-2=7，则(x-x-1)2=x2+x-2-2=5，可得x-x-1=±且x3+x-3=(x+x-1)·(x2+x-2-1)=3×(7-1)=18，所以==±. 16.(12分)已知2a·3b=2c·3d=6，求证：(a-1)(d-1)=(b-1)(c-1). 证明　因为2a·3b=2c·3d=6， 故2a-1·3b-1=1，2c-1·3d-1=1， 所以2a-1=31-b，2c-1=31-d， 所以2(a-1)(1-d)=3(1-b)(1-d)，2(c-1)(1-b)=3(1-b)(1-d)， 故2(a-1)(1-d)=2(c-1)(1-b)， 所以(a-1)(1-d)=(c-1)(1-b)， 故(a-1)(d-1)=(b-1)(c-1). 学科网（北京）股份有限公司 $