4.4 一次函数的应用 第3课时 (课件) 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦一次函数的应用（双函数图象），通过复习单个一次函数应用，提问一次函数与一元一次方程关系及多函数问题分析，搭建前后知识衔接的学习支架。 其亮点是以实际问题（如销售收入与成本、行程追赶）为载体，结合图象获取信息，培养几何直观，通过多方法解决问题发展推理意识与模型观念。课堂小结结构化，帮助学生掌握“获取信息-建立模型-解决问题”步骤，提升应用能力，也为教师提供清晰教学思路。

北师版八年级上册 4.4 一次函数的应用 第四章 一次函数 第3课时 双函数图象的应用 上节课我们学习了应用一个一次函数去解决实际问题. 一次函数与一元一次方程有什么关系？ 如果问题中涉及两个或两个以上的一次函数， 我们该怎么去分析并解决问题？ 新课导入 如图，l1 表示某公司产品的销售收入与销售量之间的关系，l2 表示该公司产品的销售成本与销售量之间的关系. 根据图象填空: 探索新知 （2）当销售量为 6 t 时， 销售收入为_____元， 销售成本为_____元. （1）当销售量为 2 t 时， 销售收入为______元， 销售成本为______元. 2000 3000 6000 5000 销售收入 销售成本 （3）当销售量________时， 销售收入等于销售成本. 等于4 t （4）当销售量_________时， 销售收入大于销售成本， 该公司赢利； 当销售量__________时， 销售收入小于销售成本， 该公司亏损. 大于4 t 小于4 t 销售收入 销售成本 （5）当销售量为______t时， 该公司赢利 1000 元. 6 销售收入 销售成本 l1对应的函数表达式 是 ， （6） l2对应的函数表达式 是 . y＝1000x y＝500x＋2000 销售收入 销售成本 y＝1000x y＝500x＋2000 解：由（5）题意，得 1000x－(500x＋2000)=1000. 解这个方程得，x=6. 所以当销售量为 6 t时， 该公司赢利 1000 元. （7）你能借助（6）的结论求解（5）吗？ 设l1对应的一次函数为 y＝k1x ＋b1，k1和b1的实际意义各是什么？ 销售收入 y＝1000x k1表示每销售1吨产品，可收入1000元； b1表示未销售时，销售收入为0元. 思考·交流 设l2对应的一次函数为 y＝k2x ＋b2，k2和b2的实际意义各是什么？ 销售成本 y＝500x＋2000 k2表示每销售1 吨产品的成本为500元； b2表示未销售时，为销售所花的成本为2000元. 【例3】下图是某景区游览路线示意图。甲在观景台1联系乙，发现乙在观景台2，于是沿着游览路线追赶乙. 图中 l1，l2分别表示两人到观景台1的路程与追赶时间之间的关系. (1) 哪条线表示甲到观景台1的路程与追赶时间之间的关系？ 当t = 0时，甲到观景台1的路程为0m，即s=0，故l1表示甲到观景台1的路程与追赶时间之间的关系. 假设甲、乙两人保持现有的速度，根据图象回答下列问题： 解 甲 乙 （2）甲和乙哪个人的速度快？ t 从 0 增加到 20 时，l1 上点的纵坐标增加了1000， l2 上点的纵坐标增加了 600，即 20 min内，甲行走了1000m，乙行走了600m，所以甲的速度快. 解 甲 乙 （3）30 min 内甲能否追上乙？ 延长 l1，l2，可以看出， 当t＝30时，l1 上的对应点在 l2 上对应点的下方，这表明，30 min时甲尚未追上乙. 解 P 甲 乙 （4）到达观景台3后道路分岔，甲能否在到达观景台3前追上乙？ 如图，l1 与 l2 的交点 P 的纵坐标 小于800＋1300=2100，这说明，甲能在到达观景台3前追上乙. P 甲 乙 2000 （5）设l1与l2对应的两个一次函数分别为s＝k1t＋b1与s＝k2t＋b2，k1，k2的实际意义各是什么？甲、乙两人的速度各是多少？ 甲的速度是50 m/min， 乙的速度是30 m/min. k1 表示甲的速度， k2 表示乙的速度。 解 甲 乙 思考：你能用其他方法解决例3（1）~（4）吗？ 依据“速度＝路程÷时间”，求出甲的速度是 50 m/min， 乙的速度是 30 m/min. 问题即可依据行程问题解决. 方法2 求出l1和l2对应的函数表达式，y＝50x，y＝30x＋800，再依据实际意义解决. 方法3 回顾·反思 回顾应用一次函数解决问题的过程，你对不同解决方法有什么体会？ 01获取 02解决 双函数图象的应用 观察图象 获取关键信息 建立 一次函数模型 解决实际问题 课堂小结 1. 如图，射线l甲，l乙分别表示甲、乙两名运动员在自行车比 赛过程中，行驶路程s(单位：m)与行驶时间t(单位：min)之间 的关系，则下列说法正确的是(　D　) A. 无法确定谁快 B. 甲、乙同速 C. 乙比甲快 D. 甲比乙快 D 课堂练习 A层 基础练 2. 小亮在放学刚出校门时，看见同学小明在前方，便加快速 度追赶小明，在距离学校40 m处追上了小明，如图反映了这一 过程，其中s(单位：m)表示与学校的距离，t(单位：s)表示时 间。以下说法错误的是(　D　) A. 开始时小明与小亮之间的距离是20 m B. 15 s时小亮追上了小明 C. 小亮走了40 m追上小明 D. 被小亮看见到追上的过程中，小明走了40 m D A层 基础练 3. 某工厂一车间需加工一批零件，甲组在加工过程中因故停产检修机器一次，然后以原来的速度继续加工，由于时间紧任务重，乙组也加入甲组共同加工零件。如图，l1，l2分别表示甲、乙两组加工零件的数量x(单位：个)与甲组加工时间t(单位：h)之间的关系。根据图象回答下列问题： (1)甲组检修机器的时长为 h； (2)甲组在检修机器前平均每小时加工零件 个， 乙组平均每小时加工零件 个； (3)求a的值。 1　 40　 120　 (3)解：根据题意可知甲组在检修机器前和 检修机器后的速度相同， 所以根据函数图象，得a＝120＋40×(8－4)＝280。 (3)解：根据题意可知甲组在检修机器前和检修机器后 的速度相同， 所以根据函数图象，得a＝120＋40×(8－4)＝280。 A层 基础练 4. A，B两地相距300 km，甲、乙两辆火车分别从A，B两地同时出发，相向而 行。如图，l1，l2分别表示甲、乙两辆火车离A地的距离s(单位：km)与行驶时 间t(单位：h)之间的关系。 (1)分别求出l1，l2的函数表达式； 解：(1)设l2的函数表达式为s＝kt＋b。 根据图象，得k＋b＝240，b＝300。 将b＝300代入k＋b＝240，解得k＝－60。 所以l2的函数表达式为s＝－60t＋300。 设l1的函数表达式为s＝mt。 根据图象，得m＝40。 所以l1的函数表达式为s＝40t。 (2)甲、乙两辆火车行驶多久后相遇？ 解：(1)设l2的函数表达式为s＝kt＋b。 根据图象，得k＋b＝240，b＝300。 将b＝300代入k＋b＝240，解得k＝－60。 所以l2的函数表达式为s＝－60t＋300。 设l1的函数表达式为s＝mt。 根据图象，得m＝40。 所以l1的函数表达式为s＝40t。 (2)根据题意，得－60t＋300＝40t。解得t＝3。 所以，甲、乙两辆火车行驶3 h后相遇。 A层 基础练 5. 某快递公司每天上午9：30－10：30为集中揽件和派件时 段，甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件，该时段内 甲、乙两仓库的快件数量y(单位：件)与时间x(单位：分钟)之 间的关系如图所示，那么从9：30开始，经过 分钟，两 仓库快递件数相同。 20　 B层 提升练 6. (核心素养•几何直观)如图，l1反映了某公司产品的销售收入y1(单位：元)与销售量x(单位：t)的函数关系；l2反映了该公司产品的销售成本y2(单位：元)与销售量x(单位：t)的函数关系。根据图象回答下列问题： (1)分别求出销售收入y1和销售成本y2与x之间的关系式； 解：(1)设y1与x之间的关系式是y1＝kx。 根据图象，得2k＝2 000。解得k＝1 000。 所以y1与x之间的关系式是y1＝1 000x。 设y2与x之间的关系式是y2＝ax＋b。 根据图象，得b＝2 000，2a＋b＝3 000。 将b＝2 000代入2a＋b＝3 000，解得a＝500。 所以y2与x之间的关系式是y2＝500x＋2 000。 解：(1)设y1与x之间的关系式是y1＝kx。 根据图象，得2k＝2 000。解得k＝1 000。 所以y1与x之间的关系式是y1＝1 000x。 设y2与x之间的关系式是y2＝ax＋b。 根据图象，得b＝2 000，2a＋b＝3 000。 将b＝2 000代入2a＋b＝3 000，解得a＝500。 所以y2与x之间的关系式是y2＝500x＋2 000。 B层 提升练 6. (核心素养•几何直观)如图，l1反映了某公司产品的销售收入 y1(单位：元)与销售量x(单位：t)的函数关系；l2反映了该公司产品 的销售成本y2(单位：元)与销售量x(单位：t)的函数关系。根据图 象回答下列问题： (2)指出两图象的交点A的实际意义，公司的销售量至少要达到多 少才能不亏损？ (2)两图象的交点A的实际意义是此时销售收入等于销售成本。 令1 000x＝500x＋2 000，得x＝4， 即公司的销售量至少要达到4 t才能不亏损。 (2)两图象的交点A的实际意义是此时销售收入 等于销售成本。 令1 000x＝500x＋2 000，得x＝4， 即公司的销售量至少要达到4 t才能不亏损。 B层 提升练 6. (核心素养•几何直观)如图，l1反映了某公司产品的销售收入 y1(单位：元)与销售量x(单位：t)的函数关系；l2反映了该公司 产品的销售成本y2(单位：元)与销售量x(单位：t)的函数关 系。根据图象回答下列问题： (3)如果该公司盈利1万元，那么需要销售 t产品。 24　 B层 提升练 7. 如图，正比例函数y＝－3x的图象与一次函数y＝kx＋b的 图象交于点P(m，3)，一次函数的图象与x轴的交点为A，与y 轴的交点为B(0，2)。 (1)求一次函数的表达式； 解：(1)把P(m，3)代入y＝－3x，得－3m＝3。 解得m＝－1。 所以P(－1，3)。 因为一次函数的图象与y轴的交点为B(0，2)， 所以b＝2。 把P(－1，3)代入y＝kx＋2，解得k＝－1。 所以一次函数的表达式为y＝－x＋2。 C层 拓展练 (2)求点A的坐标； 解：(2)由(1)知一次函数的表达式是y＝－x＋2， 令y＝0，则x＝2。所以点A的坐标为(2，0)。 (2)由(1)知一次函数的表达式是y＝－x＋2， 令y＝0，则x＝2。所以点A的坐标为(2，0)。 7. 如图，正比例函数y＝－3x的图象与一次函数y＝kx＋b的 图象交于点P(m，3)，一次函数的图象与x轴的交点为A，与y 轴的交点为B(0，2)。 (3)求△AOP的面积。 (3)由(2)知点A(2，0)，所以OA＝2。 因为P(－1，3)， 所以S△AOP＝ OA• ＝ ×2×3＝3。 C层 拓展练 $