4.4 一次函数的应用 第1课时 (课件) 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦一次函数表达式的确定，核心知识点为待定系数法。课堂导入通过回顾一次函数解析式与两点法画图，逆向思考已知两点求解析式，搭建“已知点→求解析式→确定图象”的学习支架，衔接前后知识。 其亮点是以斜坡下滑、弹簧长度等现实情境为载体，培养数学眼光观察数量关系，通过“设代求写”四步流程强化推理能力，体现数学思维。课堂小结用数形结合流程梳理知识，帮助学生形成模型意识，教师可借助丰富实例提升教学效率。

北师版八年级上册 4.4 一次函数的应用 第四章 一次函数 第1课时 确定一次函数的表达式 前面，我们学习了一次函数及其图象和性质，你能写出两个具体的一次函数解析式吗？ 如何画出它们的图象？ y = 3x+1 y = -2x+3 两点法：两点确定 一条直线. 反过来，已知一个一次函数的图象经过两个具体的点，你能求出它的解析式吗？ 一次函数解析式 两个点的坐标 一次函数图象 ？ 新课导入 解 某物体沿一个斜坡下滑，它的速度 v（单位：m/s）与其下滑时间 t（单位：s）之间的关系如图所示。 （1）写出 v 与 t 之间的关系式； （2）物体下滑 3s 时速度是多少？ （1）设 v＝kt，点（2，5）在函数图象上， 当t＝2时，v＝5，即2k＝5 ，解得 k＝2.5； 所以v 与t 的关系式为 v＝2.5t。 （2）当t＝3时，v＝2.5×3＝7.5 （m/s）。 探索新知 观察下面的图象，你能得到什么信息？ 你能否利用这个信息求函数关系式？ 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 －1 －2 －3 －4 －5 －2 －1 －3 已知一次函数的图象过点(0,5)、(2,﹣5)，求一次函数的表达式. 解： 设一次函数的表达式 y = kx+b， 根据题意，得 5=b，－5=2k+b, 解得，k=－5，b=5。 即一次函数的表达式为 y=－5x+5。 ①设一次函数的表达式； ②列方程，将已知坐标代入表达式； ③解方程，求出k和b的值； ④写出表达式。 待定系数法 ④“写” 用待定系数法确定一次函数表达式的步骤: ①“设” ②“代” ③“求” 设一次函数的表达式为y = kx+b ( k ≠ 0 )(正比例函数设 y = kx) 把图象上的两点的坐标代入表达式，建立关于 k、b的两个方程； 解这两个方程，求出k、b的值； 将所求得的系数k，b代回所设表达式，写出一次函数的表达式. 确定一次函数的表达式呢？ 确定正比例函数的表达式需要几个条件？ 一个 （求出 k 的值） 两个 （求出 k 和 b 的值） 思考·交流 例1 在弹性限度内，弹簧的长度 y（单位：cm）是所挂 物体质量 x（单位：kg）的一次函数. 某弹簧不挂物体时长14.5cm；当所挂物体的质量为3kg时，弹簧长16cm. 写出y与x之间的关系式，并求当所挂物体的质量为4kg时弹簧的长度？ 设 y＝kx＋b，根据题意，得 14.5＝b， ① 16＝3k＋b ② 将①代入②，得 k＝0.5 所以在弹性限度内，y＝0.5x＋14.5 当 x＝4 时，y＝0.5×4＋14.5＝16.5 因此，当所挂物体的质量为 4 kg 时，弹簧长度为 16.5 cm. 解 尝试·思考 某根蜡烛燃烧前长 30 cm；燃烧时，剩下的长度 y（单位：cm）是燃烧时间 x（单位：h）的一次函数. 当这根蜡烛燃烧 2 h 时，剩下的长度为 18 cm. (1) 写出 y 与 x 之间的关系式； (2) 这根蜡烛最多能燃烧多长时间？ 解：（1）设 y＝kx＋b，根据题意，得 30＝b， ① 18＝2k＋b. ② 将①代入②，得 k＝-6 ，所以 y＝ -6x＋30. （2）由（1）得 y＝ -6x＋30. 当 y＝0 时，-6x＋30＝0，解得 x=5. 因此这根蜡烛最多能燃烧 5 h. 尝试·思考 某根蜡烛燃烧前长 30 cm；燃烧时，剩下的长度 y（单位：cm）是燃烧时间 x（单位：h）的一次函数. 当这根蜡烛燃烧 2 h 时，剩下的长度为 18 cm. (1) 写出 y 与 x 之间的关系式； (2) 这根蜡烛最多能燃烧多长时间？ 函数解析式 y = kx+b 满足条件的两定点 与 一次函数的 图象 从数到形 从形到数 选取 连接 解出 选取 数学的基本思想方法：数形结合 待定系数法： 1.设 2.代 3.求 4.写 课堂小结 1. 若某正比例函数y＝kx(k≠0)的图象如图所示，则这个函数 的k值可能是(　B　) B 课堂练习 A层 基础练 2. (创新点•跨学科)某物体在力F的作用下，沿力的方向移动 的距离为s(单位：m)，力对物体所做的功W(单位：J)与s的对 应关系如图所示，则下列结论正确的是(　C　) C A层 基础练 3. 若点P(2，1)在过原点的一条直线上，则这条直线所对应的 函数表达式为(　B　) B A层 基础练 4. 如图，一次函数y＝kx－3的图象经过点M。 (1)求这个一次函数的表达式； 解：(1)因为一次函数y＝kx－3的图象经过点M(－2，1)， 所以－2k－3＝1。 解得k＝－2。 所以这个一次函数的表达式为y＝－2x－3。 解：(1)因为一次函数y＝kx－3的图象经过点M(－2，1)， 所以－2k－3＝1。 解得k＝－2。 所以这个一次函数的表达式为y＝－2x－3。 (2)点(2，－7)是否在该函数的图象上？ 解：(2)当x＝2时，y＝－2x－3＝－2×2－3＝－7， 所以点(2，－7)在该函数的图象上。 (2)当x＝2时，y＝－2x－3＝－2×2－3＝－7， 所以点(2，－7)在该函数的图象上。 A层 基础练 5.若直线y＝kx＋b与直线y＝－3x平行，且过点(1，－1)， 求该直线对应的函数表达式。 解：因为直线y＝kx＋b过点(1，－1)， 所以k＋b＝－1。 因为直线y＝kx＋b与直线y＝－3x平行， 所以k＝－3。 将k＝－3代入k＋b＝－1，解得b＝2。 所以该直线对应的函数表达式为y＝－3x＋2。 解：因为直线y＝kx＋b过点(1，－1)， 所以k＋b＝－1。 因为直线y＝kx＋b与直线y＝－3x平行， 所以k＝－3。 将k＝－3代入k＋b＝－1，解得b＝2。 所以该直线对应的函数表达式为y＝－3x＋2。 A层 基础练 6. 一次函数y＝kx＋b的图象经过点(0，－3)，且每当x增加1 个单位长度时，y增加3个单位长度，则此函数的表达式为 (　C　) A. y＝x＋b B. y＝2x＋3 C. y＝3x－3 D. y＝4x－4 C B层 提升练 7. 已知y＋4与x＋3成正比例，且当x＝－4时，y＝－2，则y 与x之间的关系式为 ⁠。 y＝－2x－10　 B层 提升练 8. 某生物兴趣小组观察一种植物的生长情况，得到这种植物 的高度y(单位：cm)与观察时间x(单位：天)的关系如图所示。 该植物的高度超过10 cm至少需要多少天？ 解：由图象可知，b＝5。 所以设该一次函数的表达式为y＝kx＋5。 将(8，6)代入y＝kx＋5，得8k＋5＝6。解得k＝ 。 所以该一次函数的表达式为y＝ x＋5。 令y＝10，即 x＋5＝10，解得x＝40。 因为k＝ ＞0，所以y随x的增大而增大。 所以该植物的高度超过10 cm至少需要40天。 B层 提升练 9. (思想方法•分类)如图，已知点A(－6，0)，点B(0，4)。 (1)求直线AB所对应的函数表达式； 解：(1)设直线AB所对应的函数表达式为y＝kx＋b。 将点A(－6，0)，B(0，4)代入y＝kx＋b， 得－6k＋b＝0，b＝4。 将b＝4代入－6k＋b＝0，得－6k＋4＝0。解得k＝ 。 所以直线AB所对应的函数表达式为y＝ x＋4。 解：(1)设直线AB所对应的函数表达式为y＝kx＋b。 将点A(－6，0)，B(0，4)代入y＝kx＋b， 得－6k＋b＝0，b＝4。 将b＝4代入－6k＋b＝0，得－6k＋4＝0。解得k＝ 。 所以直线AB所对应的函数表达式为y＝ x＋4。 C层 拓展练 9. (思想方法•分类)如图，已知点A(－6，0)，点B(0，4)。 (2)点P在直线AB上，且满足点P到x轴的距离等于8，求点P 的坐标。 解：(2)因为点P到x轴的距离等于8， 所以点P的纵坐标为8或－8。 当y＝8时，则8＝ x＋4。解得x＝6。 当y＝－8时，则－8＝ x＋4。解得x＝－18。 所以点P的坐标为(6，8)或(－18，－8)。 解：(2)因为点P到x轴的距离等于8， 所以点P的纵坐标为8或－8。 当y＝8时，则8＝ x＋4。解得x＝6。 当y＝－8时，则－8＝ x＋4。解得x＝－18。 所以点P的坐标为(6，8)或(－18，－8)。 C层 拓展练 $