第四章 一次函数【章末复习】 课件 -2026-2027学年北师大版数学八年级上册

该初中数学单元复习课件系统梳理了一次函数的核心知识，通过思维导图版知识框架将变量与函数、三种表示法、正比例函数、一次函数图象性质、待定系数法及实际应用等内容串联，清晰呈现从基础概念到综合应用的逻辑脉络，帮助学生构建完整知识网络。 其亮点在于融合高频易错点分析与“全章万能口诀”，设计多维度随堂练习，如弹簧长度与质量关系、出租车收费方案等实际问题，培养学生模型意识与应用能力。分层练习覆盖基础巩固到拓展提升，助力教师实施个性化复习，有效提升学生数学思维与知识运用能力。

北师大版数学八年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年6月10日 章末复习 第四章 一次函数 第四章 一次函数 全章精讲总复习（北师大版八年级上册） 第四章 知识框架（思维导图版） 变化过程→变量与函数→函数三种表示法→均匀变化→正比例函数→一次函数→函数图象与性质→待定系数法求解析式→一次函数实际应用（单/双图象） --- 4.1 函数（基础核心） 1. 变量与常量 变化过程中，数值变化的量为变量，数值不变的量为常量；二者相对变化过程而言，可相互转换。 2. 函数严格定义 在一个变化过程中，有两个变量x、y，对于x的每一个确定的值，y有唯一确定的值与之对应，则称y是x的函数。 核心判定：一对一、多对一可以，一对多不是函数。 自变量x：主动变化的量；因变量y：随x变化的被动变量。 3. 函数三种表示方法 列表法：直观查值，仅展示有限数据； 解析式法：精准通用，可计算任意函数值； 图象法：直观展示变化趋势，数形结合核心。 三者可相互转化，描述同一函数关系。 4. 自变量取值范围（必考） 整式：全体实数； 分式：分母≠0； 二次根式：被开方数≥0； 实际问题：符合实际意义（非负、整数、正数等）。 5. 函数图象判定（竖线检验法） 任意作垂直x轴的直线，与图象最多一个交点即为函数图象，一对多无函数关系。 --- 4.2 一次函数与正比例函数 4.2.1 均匀变化 定义：自变量x均匀增减（等间距变化），因变量y增减差值恒定，即为均匀变化。 判定：x等差、y等差；图象为倾斜直线；解析式为一次整式。 分类：均匀递增、均匀递减；水平直线无变化，不属于均匀变化。 4.2.2 一次函数与正比例函数定义 一次函数：$$y=kx+b\ (k、b为常数，k eq0)$$，x次数为1、整式形式、系数不为0。 正比例函数：$$y=kx\ (k eq0)$$，无常数项，是特殊的一次函数。 包含关系：正比例函数⊂一次函数；一次函数不一定是正比例函数。 参数求解核心：一次函数（次数=1、k≠0）；正比例函数（次数=1、k≠0、b=0）。 --- 4.3 一次函数的图象与性质（本章重难点） 4.3.1 正比例函数图象与性质（$$y=kx\ (k eq0)$$） 图象：过原点(0,0)的直线，两点作图法：$$(0,0)、(1,k)$$。 性质： 1. $$k>0$$：过一、三象限，y随x增大而增大，图象上升； 2. $$k<0$$：过二、四象限，y随x增大而减小，图象下降； 3. $$|k|$$越大，直线越陡，变化速度越快。 4.3.2 一次函数图象与性质（$$y=kx+b\ (k eq0)$$） 图象：一条倾斜直线，两点作图法：坐标轴交点$$(0,b)$$、$$(-\dfrac{b}{k},0)$$。 k、b几何意义： k（斜率）：定增减、定陡缓；k正升、k负降，|k|越大越陡； b（截距）：定与y轴交点，$$b>0$$上交、$$b<0$$下交、$$b=0$$过原点。 象限分布（必背）： k>0，b>0 → 一、二、三象限； k>0，b<0 → 一、三、四象限； k<0，b>0 → 一、二、四象限； k<0，b<0 → 二、三、四象限。 图象平移规律：上加下减，左加右减；平移不改变k值，直线平行。 两直线位置关系：$$k_1=k_2,b_1 eq b_2$$平行；$$k_1=k_2,b_1=b_2$$重合；$$k_1 eq k_2$$相交。 --- 4.4 一次函数表达式确定与图象应用（大题核心） 4.4.1 确定一次函数表达式（待定系数法） 核心原理：2个参数k、b需2组坐标；正比例函数1个参数k需1组坐标。 满分四步：一设、二代、三解、四写。 常用隐含条件：平行则k相等；y轴交点直接得b值。 4.4.2 单个一次函数图象的应用 核心：数形结合，读图解题。 关键点意义：y轴交点→初始值；x轴交点→归零时刻； 核心题型：行程、费用、水量、温度变化； 本质：已知x求y、已知y求x、解一元一次方程。 4.4.3 两个一次函数图象的应用 核心重点：交点意义：自变量为交点横坐标时，两个函数值相等（相遇、费用相同、数量相等）。 大小比较：上大下小，交点为区间分界； 陡缓对比：|k|越大，变化速度越快； 高频模型：追及相遇、方案选择、双量对比。 解题模板：读图释义→求解析式→联立求交→分区比较。 --- 第四章 核心公式与结论汇总 1. 正比例函数：$$y=kx(k eq0)$$ 2. 一次函数：$$y=kx+b(k eq0)$$ 3. 方程$$kx+b=0$$的解 = 直线与x轴交点横坐标 4. 两直线交点 = 对应二元一次方程组的解 5. 平行直线：k相等，b不等 第四章 高频易错点总览 1. 函数判定混淆一对多、多对一关系； 2. 自变量取值范围漏分母不为0、根式非负条件； 3. 忽略一次函数、正比例函数$$k eq0$$的前提条件； 4. 记错k、b的几何意义，判错函数增减、经过象限； 5. 平移、对称变换时搞错解析式； 6. 双函数应用不会解释交点实际意义、不区分区间比大小； 7. 待定系数法代入坐标时x、y颠倒，计算失误。 第四章 全章万能口诀 变量对应唯一值，函数定义要记实； 正比过原看正负，一三增来二四迟； 一次直线看kb，k定升降b定支； 平移k同上下移，交点等值解相宜； 待定四步求解析式，数形结合解万题。 ①表格 ②关系式 ③图象 概念 丰富的现实背景 某些变量间存在着一定的关系，给定其中某一变量的值，相应的就确定了另一变量的值。 变量 函数不是数， 它是一种关系。 函数 一次函数 表示 方式 概念 图象 性质 应用 ①建模思想 ②数形结合思想 ③分类讨论思想 数学思想（核心素养） 知识回顾 概念 表示 方式 一次 函数 函数 如果在一个变化过程中有两个变量x和y ，并且对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，那么称 y是x的函数 ①表格 ②关系式 ③图象（列表、描点、连线） 【表达式】 【性质】 【表达式的 确定】 【应用】 y＝kx＋b (k，b为常数，k≠0) ; 正比例函数y＝kx (k≠0) 当k＞0时，y随着x的增大而增大 当k＜0时，y随着x的增大而减小 k、b的取值决定 图象所在的象限 正比例函数需一个条件 一次函数需两个条件 与一元一次方程的关系 实际应用 一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x和y ，并且对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，那么我们称y是x的函数。其中x是自变量。 函数 如果两个变量 x，y 间的对应关系可以表示成 y =kx+b( k，b为常数，k≠0)的形式，那么称 y是 x的一次函数。特别地，当b=0时，称 y 是 x 的正比例函数。 一次函数 一次函数 y = k x + b 的图象如图所示,则下列结论正确的是( ) A. k<0 B. b=－1 C. y 的值随着 x 值的增大而减小 D.当 x>2 时, k x+ b<0 B 例 3 (1)一次函数y= k x+ b 的图象和性质是由k , b的符号决定的;同样地, k ,b的符号也可由一次函数y = kx+ b的图象和性质确定. (2)图象在x轴上方的部分对应y>0,图象在x轴下方的部分对应y<0. 技巧点拨 确定一次函数的表达式y =kx+b (k，b为常数，k≠0)， 需要两个独立的条件, 这两个条件通常是 两个点的坐标 或 两对 x , y 的值。 只需求出 k，b的值即可 ④“写” ①“设” ②“代” ③“求” 设一次函数的表达式为y = kx+b ( k ≠ 0 )(正比例函数设 y = kx) 将已知的两组对应 x,y的值或两个点(通常情况下,其中一个点是与y轴的交点)的坐标分别代入表达式,建立关于k,b的两个方程; 解这两个方程，求出k，b的值； 将所求得的系数k,b代回所设表达式，写出一次函数的表达式。 “一 般 步 骤 ”： 一次函数与一元一次方程 数 形 一次函数y=kx+b(k≠0)的函数值为0时x的值 一元一次方程 kx+b=0(k≠0)的解 一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与x轴交点的横坐标 一元一次方程 kx+b=0(k≠0)的解 8 在弹性限度内，弹簧伸长的长度与所挂物体的质量成正比。某弹簧不挂物体时长15 cm；当所挂物体质量为3 kg 时，弹簧长16.8 cm。 1. 【教材P105 复习题 第1题】 （1）写出该弹簧长度 y（单位：cm）与所挂物体质量 x（单位：kg）之间的关系式； 解：设y与x之间的函数表达式为y＝kx＋15。 由题意，得 16.8＝3k＋15，解得k＝0.6， 所以y与x之间的函数表达式为y＝0.6x＋15。 随堂练习 在弹性限度内，弹簧伸长的长度与所挂物体的质量成正比。某弹簧不挂物体时长15 cm；当所挂物体质量为3 kg 时，弹簧长16.8 cm。 1. （2）在（1）的关系式中，一次项系数和常数项的实 际意义分别是什么？ 解：一次项系数的实际意义是在弹性限度内，弹簧所挂物体的质量每增加 1 kg，弹簧伸长 0.6 cm；常数项的实际意义是弹簧不挂物体时长 15 cm。 【教材P105 复习题 第1题】 随堂练习 已知一次函数的图象经过点(0，2)，并与直线y=x－1平行，求这个一次函数的表达式。 2. 【教材P105 复习题 第2题】 解：设这个一次函数的表达式为y=x+b。 因为图象经过点（0，2），所以 2=b， 所以这个一次函数的表达式为y= x+2。 随堂练习 3. 下表中，y 是 x 的一次函数，写出该函数表达式，并完成下表。 x -3 -2 -1 0 1 y 6 4 【教材P105 复习题 第3题】 2 0 -2 解：该函数表达式为y= -2x。 随堂练习 4. 下面分别给出了三个一次函数的一种表示方式，试写出它们的另外两种表示方式。 y＝-3x＋4 y＝4x－2 -10 -2 2 6 10 -4 -3 -2.5 -2 -1.5 【教材P106 复习题 第4题】 随堂练习 5. 已知一次函数y＝kx＋b的图象如图所示，则k，b的取值范围是（ ）。 【教材P106 复习题 第5题】 D （A）k＞0， b＞0 （B）k＞0， b＜0 （C）k＜0， b＞0 （D）k＜0， b＜0 随堂练习 “数学理解” 02 随堂练习 6. （1） 如果把人的头顶和脚底分别看成一个点，把地球 赤道看成一个圆，那么身高1.5m的小亮沿地球赤道环行一周，他的头顶比脚底多“走”了约多少米？先猜一猜，再算一算，看看你的猜想如何（π取3.14）。 【教材P106 复习题 第6题】 解：（1）他的头顶比脚底多“走”了约 9.42 m。 假设小亮在某个半径为 1 km的星球上沿着其赤道环行一周，他的头顶比脚底又多“走”了约多少米？在半径为 10 km的星球上情况又如何呢（π取3.14）？ （2） （2）不管在半径为多大的星球上沿着其赤道环行一周，他的头顶比脚底都多“走”了约 9.42 m。 随堂练习 7. 小颖画某一次函数图象，列表时她将其中两个函数值算错了，试在下表中找出这两个算错的函数值，并写出这个函数的表达式。 【教材P106 复习题 第7题】 解：算错的两个函数值是当x= -1 时 y 的值和当 x=2 时y 的值，这个函数的表达式为 y= -2x+3。 x -1 0 1 2 3 y 6 3 1 -2 -3 随堂练习 8. 点（m，2m－1）不可能在哪个象限？ 【教材P106 复习题 第8题】 解：点（m，2m－1）不可能在第二象限。 随堂练习 9. 物体通常有热胀冷缩现象，研究表明，具有热胀冷缩现象的物体的体积 V 是温度 t 的一次函数。观察水银温度计或酒精温度计，它们的刻度均匀吗？试解释其中的道理。 【教材P107 复习题 第9题】 解：它们的刻度是均匀的。因为温度计中液体的体积的变化量与温度的变化量成正比。 随堂练习 10. 下面是某品牌汽车的刹车实验数据，根据实验数据回答下列问题。 【教材P106 复习题 第10题】 随堂练习 （1）反应距离s1、制动距离s2、停车距离s、停车时间 t 这 4 个变量中，哪些变量可近似地看成速度 v 的一次函数？你是如何判断的？ 解：反应距离s1，停车时间t可近似看成速度v的一次函数。速度v每增加10km/h，反应距离s1和停车时间t近似增加一个固定的值。 随堂练习 （2）试写出（1）中相应的一次函数的近似表达式。 s1=0.21v t=0.03v+0.76 随堂练习 11. 一个盛有水的敞口水杯的杯底有一个细小孔眼，在水漏完之前，随着时间 t 的增加，漏水量 V 也会增加。 （1）V是t的一次函数吗？说说你的理由。 （2）具体做做实验，验证你的猜想。 【教材P107 复习题 第11题】 随堂练习 “问题解决” 03 随堂练习 小明用的练习本可在甲、乙两个商店买到。已知两个 商店的标价都是每本3元。但甲商店的优惠条件是：购买10本以上，从第11本开始按标价的七折出售。乙商店的优惠条件是：从第1本开始就按标价的八五折出售。 【教材P107 复习题 第12题】 解：设所花钱数为y，练习本的本数为 x（x>10）。甲、乙两个商店的收费与购买练习本的数量之间的关系式分别为y甲=9+2.1x，y乙=2.55x。 12. （1）分别写出两个商店的收费（单位：元）与购买练习本的 数量（单位：本）之间的关系式。 随堂练习 解：令9+2.1x=2.55x，解得x=20。所以购买 20 本练习本时这两个商店的收费是一样的。 （2）购买多少练习本时这两个商店的收费是一样的？ （3）小明现有72元，最多可买多少本练习本？ 解：令y甲=72，则 9+2.1x=72，解得x=30； 令y乙=72，则2.55x=72，解得x=。 因为x为整数，即要符合实际意义，所以x=28。因为30>28，所以最多可买30本练习本。 随堂练习 13. 小明和小亮进行百米赛跑，小明比小亮跑得快。如果两人同时起跑，小明肯定赢。现在小明让小亮先跑若干米。图中l1，l2分别表示两人的路程与小明追赶时间之间的关系。 【教材P107 复习题 第13题】 解：当t＝0时，小明的路程应为0，即s＝0，故l2表示小明的路程与追赶时间之间的关系。 （1）哪条线表示小明的路程与追赶时间之间的关系？ 随堂练习 解：小明让小亮先跑了10 m。 （2）小明让小亮先跑了多少米? 【教材P107 复习题 第13题】 随堂练习 解：设l1，l2,对应的函数表达式分别为 s1＝k1t1＋b（k1≠0）， s2＝k2t2（k2 ≠0）。 由题意知b＝10，5k1＋10＝40，5k2＝35。 所以k1＝6，k2＝7。 所以s1＝6t1＋10，s2＝7t2。 当s＝100时， 14.3＜15，所以小明将赢得这场比赛。 （3）谁将赢得这场比赛? 随堂练习 解：一次项系数是6，它的实际意义是小亮的速度。 （4）l1对应的一次函数表达式中，一次项系数是多少?它的实际意义是什么? 随堂练习 14. 为了研究某地的海拔h（单位：km）与气温 t（单位：℃）之间的关系，研究人员于某日在该地的不同海拔处同时进行了若干次测量，测得的数据见下表: （1）在平面直角坐标系中，描出（h，t）对应的点。 （2）这些点是否大致在一条直线上? （3）写出 h 与 t 之间的一个近似关系式。 （4）估计此地海拔 3.5 km 处的气温。 【教材P108 复习题 第14题】 随堂练习 解：（1）如图所示。 （2）这些点大致在一条直线上。 （3）根据表中数据，h与t之间的一个近似关系式为t＝25－6.5h。（本题答案不唯一） （4）当h＝3.5时，t＝25－6.5×3.5＝2.25，即此地海拔3.5km处的气温约为2.25 ℃。（本题答案不唯一） 随堂练习 15. 你知道考古过程中是如何估计古人身高的吗？某次考古发现了商王朝南部“长”国的部落首领亚长的右肱骨长32.5cm，估计这一时期该部落男性身高h（单位：cm）的一个经验公式是h=2.88L+75.177，其中L（单位：cm）表示肱骨的长度。试估计亚长的身高。 解：当 L=32.5 时，h=2.88×32.5+75.177=168.777。 所以估计亚长的身高为 168.777 cm。 【教材P108 复习题 第15题】 随堂练习 16. 某空储蓄罐的质量为50 g。假设储蓄罐中只许投入一元硬币，不倒出硬币，你能估算出储蓄罐中的硬币数吗？试一试！ 解：能。先称出一个一元硬币的质量为 k g，则总质量 y 与投入一元硬币的个数 x 之间的关系式为 y=kx+50，估算时只要称出总质量 y，代入上式中，求出对应的 x 值即是储蓄罐中的硬币数。 【教材P108 复习题 第16题】 随堂练习 17. 每双鞋都有一个对应的鞋号。 查阅资料，了解中国鞋号与脚长之间的关系，以及不同鞋号体系之间的关系。 【教材P108 复习题 第17题】 随堂练习 18. 了解你所在地区的出租车收费标准。 （1）你所在地区的出租车收费与哪些因素有关？（2）如果忽视其他因素，仅考虑距离，那么请你写出费用与距离之间的关系式。 （3）如果考虑多个因素，给定一个具体用车情况，那么你能确定相应的收费标准吗？试一试！ 【教材P108 复习题 第18题】 随堂练习 “联系拓广” 04 随堂练习 19. 通过本章的学习，你对一次函数及其应用有哪些感悟？请以此为主题写一篇小短文。 【教材P109 复习题 第19题】 20. 一次函数的一般形式是y=kx+b（k，b为常数，k≠0）。结合本章的学习经验畅想一下：后续学习中还可能研究哪些形式的函数？对于具体形式的函数，后续学习中可能研究哪些内容？ 【教材P109 复习题 第20题】 随堂练习 $