第4章 4.2.2 第1课时 对数的运算性质（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（苏教版）

本讲义聚焦高中数学“对数的运算性质”核心知识点，从指数式与对数式转化切入，结合指数运算性质推导得出积、商、幂的对数运算性质，通过问题引导、知识梳理、例题及跟踪训练构建学习支架，帮助学生掌握性质推导与应用。 以开普勒对数表历史情境引入培养数学眼光，通过问题链推导性质发展数学思维（推理能力），例题与训练注重性质正逆用提升数学语言表达（模型意识）。课中助力教师引导探究，课后分层练习帮助学生查漏补缺，强化应用。

4.2.2　对数的运算性质 第1课时　对数的运算性质 学习目标　1.掌握积、商、幂的对数运算性质，理解其推导过程和成立条件.2.能熟练运用对数的运算性质进行化简求值. 导语 同学们，数学运算的发展可谓是贯穿了整个人类进化史.从人们对天文、航天、航海感兴趣开始，发现数太大了，天文学家开普勒利用他的对数表简化了行星轨道的复杂计算，对数被誉为“用缩短计算时间而使天文学家延长寿命”，对整个科学的发展起了重要作用. 一、对数的运算性质 问题1　将指数式M=ap(a>0，且a≠1)，N=aq(a>0，且a≠1)化为对数式，结合指数运算性质MN=apaq=ap+q能否将其化为对数式？它们之间有何联系(用一个等式表示)？ 提示　由M=ap，N=aq得p=logaM，q=logaN. 由MN=ap+q得p+q=loga(MN). 从而得出loga(MN)=logaM+logaN(a>0，a≠1，M>0，N>0). 问题2　结合问题1，若==ap-q，又能得到什么结论？ 提示　将指数式=ap-q化为对数式，得 loga=p-q=logaM-logaN(a>0，a≠1，M>0，N>0). 问题3　结合问题1，若Mn=(ap)n=anp(n∈R)，又能有何结果？ 提示　由Mn=anp，得logaMn=np=nlogaM(a>0，a≠1，M>0，n∈R). 知识梳理　对数的运算性质 (1)loga(MN)=logaM+logaN. (2)loga=logaM-logaN. (3)logaMn=nlogaM. 其中a>0，a≠1，M>0，N>0，n∈R. 注意点： (1)性质的逆运算仍然成立. (2)公式成立的条件是M>0，N>0，而不是MN>0，比如式子log2[(-2)·(-3)]有意义，而log2(-2)与log2(-3)都没有意义. (3)性质(1)可以推广为：loga(N1·N2·…·Nk)=logaN1+logaN2+…+logaNk，其中Nk>0，k∈N*. 例1　(课本例4)求下列各式的值： (1)log2(23×45)； (2)log5125. 解　(1)log2(23×45)=log223+log245=3+5log24=3+5×2=13. (2)log5125=log553=3log55=3. 例1　求下列各式的值. (1)ln；(2)log3e+log3；(3)lg 50-lg 5. 解　(1)ln=ln =ln e=. (2)log3e+log3=log3=log33=1. (3)lg 50-lg 5=lg =lg 10=1. 反思感悟　对数的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行. 跟踪训练1　求下列各式的值： (1)log3(27×92)；(2)lg 5+lg 2；(3)ln 3+ln ； (4)log35-log315. 解　(1)方法一　log3(27×92)=log327+log392=log333+log334=3log33+4log33=3+4=7. 方法二　log3(27×92)=log3(33×34)=log337=7log33=7. (2)lg 5+lg 2=lg(5×2)=lg 10=1. (3)ln 3+ln =ln=ln 1=0. (4)log35-log315=log3=log3 =log33-1=-1. 二、利用对数的运算性质化简、求值 例2　计算下列各式的值： (1)(lg 5)2+2lg 2-(lg 2)2； (2). 解　(1)原式=(lg 5)2+(2-lg 2)lg 2 =(lg 5)2+(1+lg 5)lg 2 =(lg 5)2+lg 2·lg 5+lg 2 =(lg 5+lg 2)·lg 5+lg 2 =lg 5+lg 2=1. (2)原式= ==. 反思感悟　对数运算性质的综合应用解题思路 (1)“收”：将同底的两个对数的和(差)合并为积(商)的对数，即公式逆用. (2)“拆”：将积(商)的对数拆成同底的两个对数的和(差)，即公式的正用. (3)“凑”：将同底数的对数凑成特殊值，如利用lg 2+lg 5=1，进行计算或化简. 跟踪训练2　计算下列各式的值： (1)lg-lg+lg； (2)lg 25+lg 8+lg 5×lg 20+(lg 2)2. 解　(1)方法一　原式=(5lg 2-2lg 7)-×lg 2+(2lg 7+lg 5) =lg 2-lg 7-2lg 2+lg 7+lg 5 =lg 2+lg 5=(lg 2+lg 5)=lg 10=. 方法二　原式=lg-lg 4+lg 7 =lg=lg()=lg =. (2)原式=2lg 5+2lg 2+lg 5×(2lg 2+lg 5)+(lg 2)2=2lg 10+(lg 5+lg 2)2=2+(lg 10)2 =2+1=3. 三、对数运算性质的运用 例3　(课本例5)已知lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1，求下列各式的值(结果保留4位小数)： (1)lg 12； (2)lg. 解　(1)lg 12=lg(22×3)=lg 22+lg 3=2lg 2+lg 3≈2×0.301 0+0.477 1=1.079 1. (2)lg=lg 33-lg 24=3lg 3-4lg 2≈3×0.477 1-4×0.301 0=0.227 3. 例3　已知lg 2=a，lg 3=b，则lg =　　　　.  答案　b+3a-1 解析　lg=lg 12-lg 5 =lg(3×22)-(1-lg 2) =lg 3+lg 22-1+lg 2 =lg 3+3lg 2-1=b+3a-1. 反思感悟　用已知对数的值来表示所求对数的值时，要增强目标意识，把真数拆解成已知对数的真数，合理地把所求向已知条件转化. 跟踪训练3　用lg x，lg y，lg z表示下列各式： (1)lg(xyz)；(2)lg；(3)lg；(4)lg. 解　(1)lg(xyz)=lg x+lg y+lg z. (2)lg=lg(xy2)-lg z=lg x+lg y2-lg z =lg x+2lg y-lg z. (3)lg =lg(xy3)-lg =lg x+lg y3-lg =lg x+3lg y-lg z. (4)lg=lg -lg(y2z)=lg -(lg y2+lg z) =lg x-2lg y-lg z. 1.知识清单： (1)对数的运算性质. (2)利用对数的运算性质化简、求值. (3)对数运算性质的运用. 2.方法归纳：转化法. 3.常见误区：要注意对数的运算性质的结构形式，易混淆，且不可自创运算法则. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共12分 1.log242+log243+log244等于(　　) A.1 B.2 C.24 D. 答案　A 解析　原式=log24(2×3×4)=log2424=1. 2.计算lg 2-lg-eln 2等于(　　) A.-1 B. C.3 D.-5 答案　A 解析　原式=lg-2=-1. 3.下列计算正确的是(　　) A.(a3)2=a9 B.log26-log23=1 C.=0 D.log3(-4)2=2log3(-4) 答案　B 解析　由题意，根据实数指数幂的运算， 可得=a6=a0=1， 所以A，C不正确； 由对数的运算性质，可得log26-log23=log2=log22=1，所以B正确； 根据对数的化简，可得log3(-4)2=2log34， 而log3(-4)无意义，所以D不正确. 4.已知3a=2，那么log38-2log36用a表示为(　　) A.a-2 B.5a-2 C.3a-(1+a)2 D.3a-a2 答案　A 解析　因为3a=2，所以a=log32，所以log38-2log36=log323-2(log32+1)=log32-2=a-2. 5.已知xlog32=1，则2x+2-x的值是(　　) A.1 B.3 C. D. 答案　D 解析　由xlog32=1，可知log32x=1，即2x=3， 故2x+2-x=3+=. 6.(多选)若x>0，y>0，则下列各式中，一定成立的是(　　) A.lg x+lg y=lg(x+y) B.lg=lg x-lg y C.lg x2=(lg x)2 D.lg=3lg y-lg x 答案　BD 解析　对于A，lg x+lg y=lg(xy)，故A不正确； 对于B，根据对数的运算法则得lg=lg x-lg y，故B正确； 对于C，lg x2=2lg x，故C不正确； 对于D，lg=lg y3-lg=lg y3-lg =3lg y-lg x，故D正确. 7.(5分)lg+lg的值是　　　　.  答案　1 解析　原式=lg=lg 10=1. 8.(5分)若a=log49，b=log46，则a-2b+2a=　　　　　.  答案　2 解析　因为a=log49，b=log46，所以a-2b+2a=log49-2log46+=log49-log436+=log4+=-1+=-1+3=2. 9.(10分)已知lg 2=m，lg 3=n，试用m，n表示. 解　∵lg 2=m，lg 3=n， ∴===. 10.(11分)计算下列各式的值： (1)log3+lg 25+lg 4+；(5分) (2)2log32-log3+log38-.(6分) 解　(1)原式=log3+lg(25×4)+2=log3+lg 102+2=-+2+2=. (2)原式=2log32-(log325-log39)+3log32-=2log32-5log32+2log33+3log32-9=2-9=-7. 11.在科技史上，对数的发明大大缩短了计算时间，为人类研究科学和了解自然起了重大作用，对数对估算“天文数字”具有独特优势.已知lg 2≈0.301，lg 5≈0.699，则6.25500约为(　　) A.10198 B.10278 C.10398 D.10428 答案　C 解析　由于6.25500==设=x， 则lg x=lg=1 000lg=1 000(lg 5-lg 2)≈1 000×(0.699-0.301)=398， 所以x≈10398，即6.25500≈10398. 12.已知logax=2，logbx=1，logcx=4(a，b，c，x>0且a，b，c，x≠1)，则logx(abc)等于(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　由题意得x=a2=b=c4， 所以(abc)4=x7， 所以abc=即logx(abc)=. 13.(多选)已知2log3+log3b=0，则下列等式一定正确的是(　　) A.(2a)2=2b B.a·eln a=b C.b=2a D.log2b=2log2a 答案　BD 解析　由2log3+log3b=0，得a>0，b>0， 且log3a-2+log3b=0， 即log3(a-2b)=0， 所以a-2b=1，b=a2，所以b=2a不总是成立，故C错误； 若(2a)2=2b，即22a=2b，则b=2a，结合以上分析可知A错误； 由于a2=b，则a·eln a=a·a=a2=b，故B正确； 又2log2a=log2a2=log2b，故D正确. 14.(5分)若ln a，ln b是方程4x2-8x+3=0的两个根，则=　　　　.  答案　1 解析　根据题意，由根与系数的关系可知 ln a+ln b=2，ln a·ln b= 所以=(ln b-ln a)2=(ln b+ln a)2-4ln a·ln b=22-4×=1. 15.(5分)设a，b，c为△ABC的三边的长，且关于x的方程x2-2x+log2(c2-b2)-2log2a+1=0有两个相等的实数根，那么这个三角形的形状是　　　　.  答案　直角三角形 解析　由题意得Δ=4-4log2(c2-b2)+8log2a-4=0， ∴2log2a=log2(c2-b2).∴a2=c2-b2， 故有a2+b2=c2.∴△ABC为直角三角形. 16.(12分)法国数学家马林·梅森是研究素数的数学家中成就很高的一位，人们将“2p-1(p为素数)”形式的素数称为“梅森素数”，目前仅发现51个“梅森素数”，问267-1这个“梅森素数”的位数是多少？(参考数据：lg 2≈0.301) 解　由题意，得lg(267-1)≈lg 267=67lg 2 ≈67×0.301=20.167， ∴267-1≈1020.167， ∴267-1这个“梅森素数”的位数为21位. 学科网（北京）股份有限公司 $