第3章 3.3.2 第1课时 一元二次不等式的解法（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（苏教版）

3.3.2　从函数观点看一元二次不等式

第1课时　一元二次不等式的解法

学习目标　1.从函数观点看一元二次不等式,了解一元二次不等式的意义.2.借助一元二次函数的图象,了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系.

导语

通过前面的学习,我们知道一元一次不等式的解集和一元一次方程的解、一次函数的图象有关系,那么一元二次方程、二次函数和怎样的不等式有关系呢？如何求这一类不等式的解集呢？带着这个问题,我们开始这节课的学习.

一、一元二次不等式的概念

问题1　园艺师打算在绿地上用栅栏围一个矩形区域种植花卉.若栅栏的长度是24 m,围成的矩形区域的面积要大于20 m2,则这个矩形的边长要满足什么条件？

提示　设这个矩形的一条边长为x m,则另一条边长为(12-x)m.

由题意,得(12-x)x>20,其中x∈{x|0<x<12}.

整理得x2-12x+20<0,x∈{x|0<x<12}.

知识梳理　一元二次不等式的概念

 

注意点：

一元二次不等式一般形式中,应注意二次项系数a≠0.

例1　下列不等式中是一元二次不等式的为(　　)

A.ax2+2x+1>0 B.x2-y>0

C.-x2-3x<0 D.>0

答案　C

解析　由一元二次不等式定义可知,C正确.

反思感悟　一元二次不等式是只含一个未知数且未知数的最高次数是2的不等式,但需要注意,二次项的系数不为0.如果不等式含多个字母,且已经指定了未知数,可将其余字母看成相应的系数,若该未知数的最高次数是2,且二次项的系数不为0,这样的不等式也是一元二次不等式.

跟踪训练1　若把ab≠0,a2b+2ab2+9>0看成关于a的一元二次不等式,则a的二次项系数为　　　　. 

答案　b

解析　由ab≠0知,b≠0且a≠0,

a2b+2ab2+9>0可化为ba2+2b2a+9>0,

故a的二次项系数为b.

二、不含参数的一元二次不等式的解法

问题2　二次函数y=x2-12x+20的图象与x轴有两个交点,这与方程x2-12x+20=0的根有什么关系？

提示　函数图象与x轴交点的横坐标正好是方程的根.

问题3　你能从二次函数y=x2-12x+20的图象上找出x2-12x+20<0的解集吗？

提示　从图象上看,位于x轴下方的图象使得函数值小于零,故x2-12x+20<0的解集为{x|2<x<10}.

知识梳理

二次函数的图象与一元二次方程的根、不等式的解集的对应关系

 

注意点：

(1)当a>0时,若不等式对应的一元二次方程能因式分解,可直接利用“大于取两边,小于取中间”的方法得到不等式的解集.

(2)不等式的解集必须写成集合(区间)的形式,若不等式无解,则解集为空集.

例2　(课本例1)解下列不等式：

(1)x2-7x+12>0；

(2)-x2-2x+3≥0；

(3)x2-2x+1<0；

(4)x2-2x+2>0.

解　(1)方程x2-7x+12=0的解为x1=3,x2=4.

根据y=x2-7x+12的图象如图(1),可得原不等式的解集为{x|x<3或x>4}.

(2)不等式两边同乘以-1,得x2+2x-3≤0.

方程x2+2x-3=0的解为x1=-3,x2=1.

根据y=x2+2x-3的图象如图(2),可得原不等式的解集为{x|-3≤x≤1}.

(3)方程x2-2x+1=0有两个相同的解x1=x2=1.

根据y=x2-2x+1的图象如图(3),可得原不等式的解集为∅.

(4)因为Δ<0,所以方程x2-2x+2=0无实数解.

根据y=x2-2x+2的图象如图(4),可得原不等式的解集为R.

例2　解下列不等式：

(1)-2x2+x-6<0；

(2)-x2+6x-9≥0；

(3)x2-2x-3>0.

解　(1)原不等式可化为2x2-x+6>0.

因为方程2x2-x+6=0的判别式Δ=(-1)2-4×2×6<0,所以函数y=2x2-x+6的图象开口向上,与x轴无交点(如图所示).观察图象可得,原不等式的解集为R.

(2)原不等式可化为x2-6x+9≤0,