第4章 4.1.1 根 式（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（苏教版）

本讲义聚焦高中数学“根式”核心知识点，从平方根、立方根概念类比迁移，通过问题链引导学生抽象出n次方根定义，系统梳理根式表示（根指数奇偶性与被开方数取值关系）及性质（如偶次方根非负、奇次方根与被开方数同号等），构建从概念到性质再到化简求值的完整学习支架。 资料以毕达哥拉斯学派发现无理数的历史情境导入，激发学生用数学眼光观察现实世界的兴趣。通过问题引导类比推理，培养抽象能力与推理意识，体现用数学思维思考现实世界。例题分层设计（基础化简、条件限制化简）及课后对点练，课中助力教师引导学生逐步掌握，课后帮助学生巩固知识、查漏补缺。

4.1.1　根　式 学习目标　1.理解n次方根、根式的概念.2.能正确运用根式运算性质化简求值. 导语 公元前五世纪,古希腊有一个数学学派名叫毕达哥拉斯学派,其学派中的一个成员希伯斯考虑了一个问题：边长为1的正方形其对角线长度是多少呢？他发现这一长度既不能用整数,也不能用分数来表示,希伯斯的发现使数学史上第一个无理数诞生了.这就是本节课我们要学习的根式. 一、n次方根的概念 问题1　如果x2=a(a>0),那么x叫作a的什么？这样的x有几个？x3=a呢？ 提示　如果x2=a(a>0),那么x叫作a的平方根,这样的x有两个；如果x3=a,那么x叫作a的立方根,这样的x有一个. 问题2　类比平方根、立方根的概念,试着说说4次方根、5次方根、10次方根等,你认为n次方根应该是什么？ 提示　比如(±2)4=16,我们把±2叫作16的4次方根；(±3)4=81,我们把±3叫作81的4次方根；(-2)5=-32,我们把-2叫作-32的5次方根；(±2)10=1 024,我们把±2叫作1 024的10次方根等.类比上述过程,我们可以得到：如果2n=a,那么我们把2叫作a的n次方根. 知识梳理 1.a的n次方根的定义 一般地,如果xn=a(n>1,n∈N*),那么称x为a的n次方根. 2.a的n次方根的表示(n>1,n∈N*) n的奇 偶性 a的n次方根的 表示符号 a的取值 范围 n为奇数 R n为偶数 ± (0,+∞) 3.根式：式子叫作根式,其中n叫作根指数,a叫作被开方数. 4.根式的性质是化简根式的重要依据 (1)负数没有偶次方根. (2)0的n次方根等于0,记作=0. (3)()n=a(n∈N*,且n>1). (4)=a(n为大于1的奇数). (5)=|a|=(n为大于1的偶数). 注意点： (1)对于()n=a,若n为奇数,则a∈R；若n为偶数,则a≥0. (2)()n与意义不同,比如=3,而没有意义,故()n≠. (3)当a≥0时,()n=；当a<0且n为奇数时,()n=；当a<0且n为偶数时,()n没有意义,对于要注意运算次序. 例1　(1)若81的平方根为a,-8的立方根为b,则a+b=　　　　.  答案　7或-11 解析　81的平方根为-9或9, 即a=-9或9,-8的立方根为-2, 即b=-2, ∴a+b=-11或7. (2)若有意义,求实数x的取值范围. 解　∵有意义,∴x-2≥0,∴x≥2, 即x的取值范围是[2,+∞). 反思感悟　(1)方根个数：正数的偶次方根有两个且互为相反数,任意实数的奇次方根只有一个. (2)符号：根式的符号由根指数n的奇偶性及被开方数a的符号共同确定. ①当n为偶数,且a≥0时为非负实数； ②当n为奇数时的符号与a的符号一致. 跟踪训练1　(1)已知x7=8,则x等于(　　) A.2 B. C.- D.± 答案　B 解析　因为7为奇数, 所以8的7次方根只有一个. (2)16的4次方根是　　　　有意义,则x的取值范围是　　　　.  答案　±2　R 解析　4是偶数,则偶次方根有两个,为±2；3是奇数,任意实数的奇次方根都有意义,即x的取值范围为R. 二、利用根式的性质化简或求值 例2　(课本例1)求下列各式的值： (1)()2； (2)()3； (3)； (4). 解　(1)()2=5. (2)()3=-2. (3)==2. (4)==π-3. 例2　化简或求值： (1)+()5； (2)+()6； (3). 解　(1)原式=(-2)+(-2)=-4. (2)原式=|-2|+2=2+2=4. (3)原式=|x+2|= 反思感悟　正确区分与()n (1)()n已暗含了有意义,根据n的奇偶性可知a的范围. (2)中的a可以是全体实数的值取决于n的奇偶性. 跟踪训练2　化简或求值： (1)； (2)(a≤1)； (3)+. 解　(1)=-2. (2)∵a≤1, ∴=|3a-3|=3|a-1|=3-3a. (3)+=a+|1-a|= 三、有限制条件的根式的化简 例3　已知-3<x<3,化简-. 解　原式=-=|x-1|-|x+3|, ∵-3<x<3, ∴当-3<x<1时, 原式=-(x-1)-(x+3)=-2x-2； 当1≤x<3时,原式=(x-1)-(x+3)=-4. ∴原式= 延伸探究　本例中,若将“-3<x<3”变为“x≤-3”,则结果又是什么？ 解　原式=- =|x-1|-|x+3|. ∵x≤-3, ∴x-1<0,x+3≤0, ∴原式=-(x-1)+(x+3)=4. 反思感悟　有限制条件根式的化简 (1)有限制条件根式的化简问题,是指被开方数或被开方的表达式可以通过配方、拆分等方式进行化简. (2)有限制条件根式的化简经常用到配方的方法.当根指数为偶数时,在利用公式化简时,要考虑被开方数或被开方的表达式的正负. 跟踪训练3　已知代数式+有意义,化简+3×. 解　因为代数式+有意义, 所以3x-1≥0且3-x≥0,故≤x≤3, 所以+3× =|3x-1|+3|x-3|=3x-1+3(3-x)=8. 1.知识清单： (1)n次方根的概念及表示. (2)根式的性质. (3)利用根式性质化简或求值. 2.方法归纳：转化法. 3.常见误区： (1)对于，当n为偶数时，a≥0. (2)混淆()n和. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分,共30分；多选题每小题6分,共18分 1.()4运算的结果是(　　) A.2 B.-2 C.±2 D.不确定 答案　A 解析　因为()n=a,所以()4=2. 2.已知m10=2,则m等于(　　) A. B.- C. D.± 答案　D 解析　∵m10=2,∴m是2的10次方根. 又∵10是偶数,∴2的10次方根有两个,且互为相反数.∴m=±. 3.若+(a-4)0有意义,则a的取值范围是(　　) A.[2,+∞) B.[2,4)∪(4,+∞) C.(-∞,2)∪(2,+∞) D.(-∞,4)∪(4,+∞) 答案　B 解析　由题意可知∴a≥2且a≠4. 4.若a<则化简的结果是(　　) A.4a-1 B.1-4a C.- D.- 答案　B 解析　∵a<∴4a-1<0, ∴=|4a-1|=-(4a-1)=1-4a. 5.(多选)下列选项中正确的是(　　) A.81的4次方根是3 B.的运算结果是±2 C.当n为大于1的奇数时对任意a∈R都有意义 D.当n为大于1的偶数时只有当a≥0时才有意义 答案　CD 解析　A中81的4次方根应是±3；B中=2,由根式的性质知,正确的应为CD. 6.(多选)已知xy≠0,且=-3xy2,则下列结论可能正确的是(　　) A.x>0,y>0 B.x<0,y<0 C.x>0,y<0 D.x<0,y>0 答案　BD 解析　因为=3|x|·y2, 又=-3xy2, 所以3|x|·y2=-3xy2, 又xy≠0,所以x<0,y>0或y<0. 7.(5分)化简：+=　　　　.  答案　2 解析　+=(1+)+|1-|=1++-1=2. 8.(5分)化简：+=　　　　.  答案　 解析　+ =|a-b|+(a-b)= 9.(10分)化简： (1)；(4分) (2)(x<y,n>1,n∈N*).(6分) 解　(1)∵a≤-∴2a+1≤0, ∴= =|2a+1|=-2a-1. (2)∵x<y,∴x-y<0, ∴当n为大于1的偶数时, =|x-y|=y-x, 当n为大于1的奇数时=x-y. 10.(10分)已知+=-a-b,求+的值. 解　因为+=-a-b, 所以=-a=-b, 所以a≤0,b≤0,所以a+b≤0,所以 原式=|a+b|+a+b=-(a+b)+a+b=0. 11.当有意义时,化简-的结果是(　　) A.2x-7 B.-2x+1 C.1 D.7-2x 答案　C 解析　因为有意义,所以2-x≥0,即x≤2, 则x-4<0,x-3<0, 所以原式=- =|x-4|-|x-3|=(4-x)-(3-x)=1. 12.化简(1-a)的结果是(　　) A. B.- C. D.- 答案　B 解析　因为原式有意义的条件是a-1>0,即a>1, 所以(1-a)=- =-. 13.(多选)若=则实数a的取值可以是(　　) A.-1 B.- C. D.1 答案　ABC 解析　∵= ∴|2a-1|=1-2a,则2a-1≤0,解得a≤. 14.(5分)化简：=　　　　.  答案　3-2 解析　= ==3-2. 15.(5分)使得等式=成立的实数a的值为　　　　.  答案　8 解析　由题意可得≥0, 所以≥1,故≥1. 设=t,则a=t3(t≥1). =⇔=t ⇔1+=t2⇔=t2-1 ⇔1+t3=(t2-1)2⇔1+t3=t4-2t2+1 ⇔t4-t3-2t2=0 ⇔t2(t2-t-2)=0⇔t2(t-2)(t+1)=0, 解得t=2,或t=0(舍去),或t=-1(舍去), 所以=t=2, 所以a=8. 16.(12分)计算： (1)-+；(4分) (2)+；(4分) (3)已知a是128的七次方根,求+++的值.(4分) 解　(1)原式=-+=-+=. (2)方法一　+ =+ =3++3- =6. 方法二　令a=+>0, 则a2=11+6+2×+11-6=22+2=36, 故a=6. (3)∵a是128的七次方根, ∴a===2, ∴+++ =++ =++ =+ =+==-. 学科网（北京）股份有限公司 $