4.1.2 指数幂的拓展（Word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第一册（苏教版2019）

32 / 146 4．1.2　指数幂的拓展(强基课—梯度进阶式教学) 　课时目标 1.能正确运用根式运算性质化简求值. 2.掌握并运用有理数指数幂的运算性质． 3．能结合教材探究了解无理数指数幂. 4.结合有理数指数幂的运算性质掌握实数指数幂的运算． (一)分数指数幂的意义 正分数指数幂 规定：a＝(a>0，m，n∈N*，n>1) 负分数指数幂 规定：a－＝＝(a>0，m，n∈N*，n>1) 0的分数指数幂 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 微点助解 (1)分数指数幂是指数概念的又一推广，分数指数幂a不可理解为个a相乘，它是根式的一种新的写法．在这样的规定下，根式与分数指数幂是表示相同意义的量，只是形式不同而已． (2)指数的概念扩充到有理数指数后，当a≤0时，a有时有意义，有时无意义．如(－1)＝＝－1，但(－1)就不是实数了．为了保证在取任何有理数时，a都有意义，所以规定a＞0. (3)注意幂指数不能随意约分．如(－4)＝＝＝2，而(－4)＝ 在实数范围内无意义． (4)负分数指数幂在有意义的情况下，总表示正数，而不是负数． [基点训练] 下列关系式中，根式与分数指数幂的互化正确的是________(填序号)． ①－＝(－x)(x>0)； ② ＝y(y<0)； ③x－＝(x>0)； ④x－＝－(x≠0)； ⑤＝a(a>0)． 答案：③⑤ (二)有理数指数幂的运算性质与无理数指数幂 1．有理数指数幂的运算性质 (1)asat＝as＋t， (2)(as)t＝ast， (3)(ab)t＝atbt， 其中s，t∈Q，a>0，b>0. 2．无理数指数幂 一般地，当a>0且x是一个无理数时，ax也是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质对无理数指数幂同样适用． 这样，指数幂的概念从有理指数幂推广到实数指数幂． 微点助解 (1)有理数指数幂除上述运算性质外，还有如下性质： ①ar÷as＝ar－s(a＞0，r，s∈Q)；②r＝(a＞0，b＞0，r∈Q)． (2)有理数指数幂的几个常见结论：①当a＞0时，ab＞0；②当a≠0时，a0＝1，而当a＝0时，a0无意义；③若ar＝as(a＞0，且a≠1)，则r＝s；④乘法公式仍适用于分数指数幂，如：＝＝a－b(a＞0，b＞0)． (3)有理数指数幂的运算性质均在有意义的条件下才能成立，否则，不一定成立．如m×8不一定等于(m)8，因为当m＜0时，m没有意义． [基点训练] 1．下列运算结果中，正确的是(　 ) A．a2·a3＝a5 B．(－a2)3＝(－a3)2 C．(－1)0＝1 D．(－a2)3＝a6 解析：选A　a2·a3＝a2＋3＝a5，故A正确；(－a2)3＝－a6，(－a3)2＝a6，故B、D错误；当a＝1时无意义，故C错误． 2．计算－的结果是(　 ) A．π B. C．－π D. 答案：D 3．若10x＝3,10y＝4，则102x－y＝________. 解析：∵10x＝3，∴102x＝9.∴102x－y＝＝. 答案： 题型(一)　根式与分数指数幂的互化 [典例]　将下列根式化成分数指数幂的形式． (1)·；(2) ； (3) ·； (4)()2·. [解]　(1) ·＝a·a＝a. (2)原式＝a·a·a＝a. (3)原式＝a·a＝a. (4)原式＝(a)2·a·b＝ab. [方法技巧]　根式与分数指数幂互化的规律 (1)根指数分数指数的分母，被开方数(式)的指数分数指数的分子． (2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质运算． (3)当所求根式含有多重根号时，要搞清被开方数，由里向外用分数指数幂写出，然后再用性质进行化简． [针对训练] 把根式化为分数指数幂，把分数指数幂化为根式(式中字母均为正实数)． (1)b－；(2)；(3)(a＋b)；(4). 解：(1)b－＝.(2)＝2m－. (3)(a＋b)＝. (4)＝(x3＋y)－. 题型(二)　利用指数幂的运算性质化简求值 [典例]　化简求值： (1)0.027－＋256＋(2)－3－1； (2)(a－2b－3)·(－4a－1b)÷(12a－4b－2c)； (3)2÷4×3. [解]　(1)原式＝(0.33)－＋(44)＋－＝－＋43＋2－＝. (2)原式＝－4a－2－1b－3＋1÷(12a－4b－2c) ＝－a－3－(－4)b－2－(－2)c－1 ＝－ac－1＝－. (3)原式＝2a÷(4a·b)·(3b) [方法技巧] 1．指数幂运算的常用技巧 (1)有括号先算括号里的，无括号先进行指数运算． (2)负指数幂化为正指数幂的倒数． (3)底数是小数，先要化成分数；底数是带分数，要先化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，以便于运用指数