第3章 章末复习课 不等式（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（苏教版）

该高中数学单元复习讲义通过知识框架图系统梳理了不等式的知识体系，涵盖不等式的性质及应用、基本不等式及应用、一元二次不等式的解法、不等式在实际问题中的应用四大模块，清晰呈现各知识点的内在联系与重难点分布。 讲义亮点在于例题与跟踪训练的分层设计，如通过作差法比较大小、“1”的代换求最值、含参数不等式分类讨论等方法指导，培养逻辑推理与数学运算素养。实际应用题（如公园面积优化）提升数学建模能力，基础题与综合题结合助力不同学生进阶，为教师精准教学提供有效支持。

一、不等式的性质及应用 1.不等式的性质常用来比较大小、判断与不等式有关的命题的真假和证明不等式,防止由于考虑不全面出现错误. 2.在比较大小时,常采用作差法,有时也可结合特殊值法求解. 3.通过不等式的性质,提升数学抽象和逻辑推理素养. 例1　(1)若A=a2+3ab,B=4ab-b2,则A,B的大小关系是(　　) A.A≤B B.A≥B C.A<B或A>B D.A>B 答案　B 解析　∵A-B=a2+3ab-(4ab-b2) =a2+b2-ab=+b2≥0,∴A≥B. (2)若a>b,x>y,下列不等式正确的是(　　) A.a+x<b+y B.ax>by C.|a|x≥|a|y D.(a-b)x<(a-b)y 答案　C 解析　因为当a≠0时,|a|>0,不等式两边同乘以一个大于零的数,不等号方向不变；当a=0时,|a|x=|a|y,故|a|x≥|a|y. 反思感悟　不等式性质的应用方法 (1)作差法比较大小的关键是对差式进行变形,变形的方法一般是通分、分解因式、配方等. (2)不等式真假的判断,要依靠其适用范围和条件来确定,举反例是判断命题为假的一个好方法,用特例法验证时要注意,适合的不一定对,不适合的一定错,故特例只能否定选择项. 跟踪训练1　(1)(多选)若a>0,b>0,则使a>b成立的充要条件是(　　) A.a2>b2 B.a2b>ab2 C.> D.a+>b+ 答案　ABD 解析　∵a>0,b>0,∴a2>b2⇔(a+b)(a-b)>0⇔a>b,a2b>ab2⇔ab(a-b)>0⇔a>b,A,B选项正确； ∵a>b>0,则-==<0,∴>一定不成立,C选项错误； ∵a>b>0⇔>⇔a+>b+D选项正确. (2)若1≤a≤5,-1≤b≤2,则a-b的取值范围为　　　　　　　　.  答案　-1≤a-b≤6 解析　∵-1≤b≤2,∴-2≤-b≤1, 又1≤a≤5,∴-1≤a-b≤6. 二、基本不等式及应用 1.基本不等式：≤(a≥0,b≥0)是每年高考的热点,主要考查命题判断、不等式证明以及求最值问题,特别是求最值问题往往与实际问题相结合,同时在基本不等式的使用条件上设置一些问题,实际上是考查学生恒等变形的技巧,另外,基本不等式的和与积的转化在高考中也经常出现. 2.借助基本不等式的应用,提升数学抽象和数学运算素养. 例2　(1)若0<x<2,则x(2-x)的最大值是(　　) A.2 B. C.1 D. 答案　C 解析　因为0<x<2, 所以2-x>0,x(2-x)≤=1, 当且仅当x=2-x,即x=1时,等号成立. 所以x(2-x)的最大值是1. (2)已知x>0,y>0,且x+3y=1,则的最小值是　　　　.  答案　2+4 解析　=+=(x+3y) =++4≥2+4=2+4, 当且仅当x=y=时,等号成立, ∴的最小值是2+4. 反思感悟　利用基本不等式求最值的注意点 (1)把握不等式成立的条件：一正、二定、三相等. (2)注意寻求已知条件与目标函数之间的联系. (3)利用添项和拆项的配凑方法,使积(或和)产生定值.特别注意“1”的代换. 跟踪训练2　已知函数y=x-4+(x>-1),当x=a时,y取得最小值b,则a=　　　　　　；b=　　　　.  答案　2　1 解析　y=x-4+=(x+1)+-5, 因为x>-1,所以x+1>0, 所以y≥2-5=2×3-5=1, 当且仅当x+1= 即x=2时,等号成立,此时a=2,b=1. 三、一元二次不等式的解法 1.掌握一元二次不等式及分式不等式的解法；对于含参数的不等式要注意对参数进行讨论,做到不重不漏. 2.借助研究不等式的解法,重点提升逻辑推理和数学运算素养. 例3　(1)不等式4x2-4x-3≤0的解集是(　　) A.∪ B. C.∪ D. 答案　B 解析　∵4x2-4x-3≤0, ∴(2x-3)(2x+1)≤0,解得-≤x≤. ∴不等式4x2-4x-3≤0的解集为. (2)已知当x>0时,不等式x2-mx+16>0恒成立,则实数m的取值范围是(　　) A.(-8,8) B.(-∞,8] C.(-∞,8) D.(8,+∞) 答案　C 解析　当x>0时,由x2-mx+16>0得m<x+而x+≥2=8,当且仅当x=4时等号成立,所以m的取值范围是(-∞,8). (3)解不等式x2-(a+1)x+a≥0. 解　不等式可化为(x-a)(x-1)≥0, 当a<1时,不等式的解集为(-∞,a]∪[1,+∞)； 当a=1时,不等式的解集为R； 当a>1时,不等式的解集为(-∞,1]∪[a,+∞). 反思感悟　对于含参数的一元二次不等式,若二次项系数为常数,则可先考虑分解因式,再对参数进行讨论；若不易分解因式,则可对判别式分类讨论,分类时要做到不重不漏. 跟踪训练3　若不等式ax2+5x-2>0的解集是 (1)求a的值； (2)求不等式>a+5的解集. 解　(1)依题意,可得ax2+5x-2=0的两个实数根为和2, 由根与系数的关系,得 解得a=-2. (2)将a=-2代入不等式,得>3, 即-3>0, 整理得>0,即(x+1)(x+2)<0, 解得-2<x<-1, 则不等式的解集为{x|-2<x<-1}. 四、不等式在实际问题中的应用 1.不等式的应用题常以函数为背景,多是解决现实生活、生产中的优化问题,在解题中主要涉及不等式的解法、基本不等式求最值,根据题设条件构建数学模型是解题关键. 2.利用不等式解决实际应用问题,提升数学建模素养和数学运算素养. 例4　某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD,公园由长方形A1B1C1D1的休闲区和环公园人行道(阴影部分)组成.已知休闲区A1B1C1D1的面积为4 000平方米,人行道的宽分别为4米和10米(如图所示). (1)若设休闲区的长和宽的比=x(x>1),写出公园ABCD所占面积S与x的关系式； (2)要使公园所占面积最小,则休闲区A1B1C1D1的长和宽该如何设计？ 解　(1)设休闲区的宽B1C1为a米,则长A1B1为ax米,由a2x=4 000,得a=. 则S=(a+8)(ax+20)=a2x+(8x+20)a+160 =4 000+(8x+20)·+160 =80+4 160(x>1). (2)80+4 160 ≥80×2+4 160 =1 600+4 160=5 760. 当且仅当2=即x=2.5时,等号成立, 此时a=40,ax=100. 所以要使公园所占面积最小,休闲区A1B1C1D1应设计为长100米,宽40米. 反思感悟　解决与不等式有关的实际应用问题的注意点 (1)审题要准,初步建模. (2)设出变量,列出函数关系式. (3)根据题设构造应用不等式的形式并解决问题. 跟踪训练4　甲厂以x千克/小时的速度运输生产某种产品(生产条件要求1≤x≤10),每小时可获得的利润是100元. (1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元,求x的取值范围； (2)要使生产900千克该产品获得的利润最大,问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润. 解　(1)根据题意,200≥3 000 ⇒5x-14-≥0,又1≤x≤10, 解得3≤x≤10. 故x的取值范围是[3,10]. (2)设生产900千克该产品获得的利润为y元, 则y=×100 =9×1041≤x≤10, 当x=6时,ymax=457 500. 故甲厂应该选取6千克/小时的生产速度,最大利润为457 500元. 学科网（北京）股份有限公司 $